适用于新高考新教材2024版高考数学二轮复习考点突破练18利用导数证明不等式（附解析）

这是一份适用于新高考新教材2024版高考数学二轮复习考点突破练18利用导数证明不等式（附解析），共3页。试卷主要包含了已知x>-1,证明，已知函数f=ln x-ax+2等内容，欢迎下载使用。
(1)当0≤x≤π时,求f(x)的最大值;
(2)当≤x≤时,求证:f(x)>ln(x+1).
2.(2023浙江湖州、衢州、丽水二模)已知函数f(x)=ex-asin x+bx(a>0).
(1)当b=0时,函数f(x)在上有极小值,求实数a的取值范围;
(2)当b-1,证明:
(1)ex-1≥x≥ln(x+1);
(2)(ex-1)ln(x+1)≥x2.
4.(2023湖北武汉模拟)已知函数f(x)=ln x-ax+2(a>0).
(1)若f(x)≤0恒成立,求实数a的取值范围;
(2)当a=1时,证明:·…·0,得-0在区间上恒成立.所以y=g(x)在区间上单调递增,所以g(x)≥g-ln-ln-0.739>0,所以当≤x≤时,f(x)>ln(x+1).
2.(1)解 由题意知f(x)=ex-asinx在上有极小值,则f'(x)=ex-acsx=0在上有解,故a=,设g(x)=,显然g(x)=上单调递增,又g(0)=1,当x→时,g(x)→+∞,所以a>1.当a>1时,f'(x)=ex-acsx在上单调递增,又f'(0)=1-a0,所以f(x)在(0,x0)上单调递减,f(x)在上单调递增,故f(x)在上有极小值点.因此实数a的取值范围是(1,+∞).
(2)证明 由题意知f'(x)=ex-acsx+b,
故f'(x0)=-acsx0+b=0.
f(x0)=-asinx0+bx0=-asinx0+bx0+f'(x0)=2-a(sinx0+csx0)+bx0+b
=2asin+bx0+b≥2+bx0+b-a.
设h(x)=2ex+bx+b-a(x∈R),
则h'(x)=2ex+b,当x∈时,h'(x)-1,
当-10,f(x)单调递增,
所以f(x)≥f(0)=0,当且仅当x=0时,等号成立,即x≥ln(x+1),从而ex≥eln(x+1)=x+1,所以ex-1≥x.
综上,ex-1≥x≥ln(x+1).
(2)显然当x=0时,(ex-1)ln(x+1)=x2=0.
令g(x)=,x≠0,则g'(x)=,x≠0,
令h(x)=(1-x)ex-1,则h'(x)=-xex,
当x0,所以当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈时,f'(x)0,f(x)单调递增;当x∈(1,+∞)时,f'(x)