适用于老高考旧教材2024版高考数学二轮复习考点突破练9立体几何中的位置关系证明翻折及探索性问题理（附解析）

这是一份适用于老高考旧教材2024版高考数学二轮复习考点突破练9立体几何中的位置关系证明翻折及探索性问题理（附解析），共6页。试卷主要包含了设平面PCD的法向量为n=,等内容，欢迎下载使用。
1.(2023山西统考模拟)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥平面ABCD,△PAD是边长为2的等边三角形,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AB=BC=1.
(1)求点B到平面PCD的距离.
(2)线段PD上是否存在异于端点的一点E,使得平面EAC与平面DAC所成锐二面角的余弦值为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
2.(2023安徽黄山二模)如图,在四棱锥P-ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,且AD=AB=BC=2,平面PCD⊥平面ABCD,且△PDC是以∠DPC为直角的等腰直角三角形,其中E为棱PC的中点,点F在棱PD上,且PF=2FD.
(1)求证:A,B,E,F四点共面;
(2)求平面PAB与平面PBC所成锐二面角的余弦值.
3.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为BD和BB1的中点,P为棱C1D1上的动点.
(1)是否存在点P使PE⊥平面EFC?若存在,求出满足条件时C1P的长度并证明;若不存在,请说明理由.
(2)当C1P为何值时,平面BCC1B1与平面PEF所成锐二面角的正弦值最小.
4.如图1,在矩形ABCD中,点E,F分别是线段AB,CD的中点,AB=4,AD=2,将矩形ABCD沿EF翻折.
图1
图2
图3
(1)若所成二面角的大小为(如图2),求证:直线CE⊥平面BDF;
(2)若所成二面角的大小为(如图3),点M在线段AD上,当直线BE与平面EMC所成角为时,求二面角D-EM-C的余弦值.
5.(2023广东汕头一模)如图,在多面体ABCDFE中,四边形ABCD与ABEF均为直角梯形,AD∥BC,AF∥BE,DA⊥平面ABEF,AB⊥AF,AD=AB=2BC=2BE=2.
(1)已知点G为AF上一点,且AG=2,求证:BG与平面DCE不平行;
(2)已知直线BF与平面DCE所成角的正弦值为,求该多面体ABCDFE的体积.
6.(2023河南焦作二模)如图1,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=,E为BC的中点,F为AB上一点,且EF⊥AB.现将△BEF沿EF翻折到△B'EF,如图2.
图1
图2
(1)证明:EF⊥AB'.
(2)已知二面角B'-EF-A为,在边AC上是否存在点M,使得直线BC与平面B'MF所成角的正弦值为?若存在,确定点M的位置;若不存在,请说明理由.
考点突破练9 立体几何中的位置关系证明、翻折及探索性问题
1.解(1)取AD的中点O,连接PO,OC.∵△PAD是等边三角形,∴PO⊥AD.又∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PO⊥平面ABCD,∴PO⊥OC.∵BC∥AO,BC=AO,∴四边形ABCO是平行四边形,∴AB∥OC.∵AB⊥AD,∴OC⊥AO.
如图所示,以点O为坐标原点,直线OC,OD,OP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,
则A(0,-1,0),D(0,1,0),C(1,0,0),B(1,-1,0),P(0,0,),=(-1,0,),=(-1,1,0).设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),
令z=1,则x=y=,则n=(,1),又=(0,1,0),故点B到平面PCD的距离d=
(2)设E(s,t,r),=,λ∈(0,1),∴(s,t,r-)=λ(0,1,-),∴E(0,λ,).则=(1,1,0),=(0,λ+1,),设平面EAC的法向量为m=(x',y',z'),令y'=1,则x'=-1,z'=,则m=(-1,1,),又平面DAC的法向量为=(0,0,),于是|cs|=令=e(e>1),则,解得e=2,即=2,所以1+λ=2-2λ,λ=,即,故存在点E,此时
2.(1)证明 由题意,取BC的中点M,连接DM,由题意知AD=BM=2,又AD∥BM,所以四边形ABMD是平行四边形,所以DM=AB=2.则DM=MC=2,且DM⊥MC.所以DC==2,又△PDC是以∠DPC为直角的等腰直角三角形,所以DP=CP=2.过点P作PN⊥CD,垂足为N,则点N为DC的中点,且PN=因为平面PCD⊥平面ABCD,且平面PCD∩平面ABCD=DC,所以PN⊥平面ABCD.过点A作直线l平行于直线PN,则l⊥平面ABCD,又AB⊥AD,所以直线l,AB,AD两两垂直.
以点A为坐标原点,以直线AB,AD,l分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0),C(2,4,0),P(1,3,).因为E为棱PC的中点,所以E(),又因为点F在棱PD上,且PF=2FD,所以F(),则=(),=(),=(2,0,0),令=+,则()=λ(2,0,0)+μ(),解得λ=,μ=,故,则共面,且向量有公共点A,所以A,B,E,F四点共面.
(2)解 由(1)可知=(-1,3,),=(0,4,0),=(-2,0,0),设平面PAB的法向量为m=(x1,y1,z1),则令y1=1,则x1=0,z1=-,所以m=(0,1,-).设平面PBC的法向量为n=(x2,y2,z2),则令x2=1,则y2=0,z2=,所以n=(1,0,).设平面PAB与平面PBC所成锐二面角的平面角为θ,则csθ=|cs|=,所以平面PAB与平面PBC所成锐二面角的余弦值为
3.解(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,以点D为坐标原点,直线DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,因为点E,F分别为BD和BB1的中点,点P为棱C1D1上的动点,则E(1,1,0),F(2,2,1),C(0,2,0),C1(0,2,2),设P(0,t,2),0≤t≤2,=(1,-1,0),=(2,0,1),=(1,1-t,-2),显然,=0,
即PE⊥CF.
由=1+(-1)(1-t)=0,得t=0,此时有PE⊥CE,而CE∩CF=C,且CE,CF⊂平面EFC,因此,PE⊥平面EFC,所以存在点P(0,0,2),使PE⊥平面EFC,C1P=2.
(2)在(1)的空间直角坐标系中,=(1,1,1),=(1,1-t,-2),令平面PEF的法向量为n=(x,y,z),
则
令y=3,得n=(t-3,3,-t),而平面BCC1B1的法向量m=(0,1,0),设平面BCC1B1与平面PEF所成锐二面角为θ,则csθ=|cs|=,当且仅当t=时取等号,因此,当t=,即P(0,,2)时,(csθ)max=,sinθ=,当且仅当csθ=时取等号,所以当P(0,,2),即C1P=时,平面BCC1B1与平面PEF所成锐二面角的正弦值最小.
4.(1)证明 由题设易知,四边形BEFC是边长为2的正方形,BF,EC是正方形BEFC的对角线,所以BF⊥EC,又平面BEFC⊥平面AEFD,平面BEFC∩平面AEFD=EF,DF⊥EF,DF⊂平面AEFD,所以DF⊥平面BEFC,又EC⊂平面BEFC,则DF⊥EC,又DF∩BF=F,则EC⊥平面BDF.
(2)解 过E作Ez⊥平面AEFD,而AE,EF⊂平面AEFD,则Ez⊥AE,Ez⊥EF,而AE⊥EF,可构建如右图所示的空间直角坐标系,由题设知,∠BEA=∠CFD=,
所以E(0,0,0),B(1,0,),C(1,2,),M(2,m,0)且0≤m≤2,则=(1,0,),=(1,2,),=(2,m,0),若n=(x,y,z)是平面EMC的一个法向量,则
令x=m,则n=,
|cs|=,可得m=1,则n=(1,-2,),又l=(0,0,1)是平面EMD的一个法向量,所以|cs|=,则锐二面角D-EM-C的余弦值为
5.(1)证明 因为DA⊥平面ABEF,AB,AF⊂平面ABEF,所以DA⊥AB,DA⊥AF,又AB⊥AF,所以AD,AB,AF两两垂直.
如图,以点A为坐标原点,以直线AF,AB,AD分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则B(0,2,0),E(1,2,0),C(0,2,1),D(0,0,2),G(2,0,0),所以=(-1,0,1),=(-1,-2,2),=(2,-2,0).设平面DCE的法向量为n=(x,y,z),则令x=2,则z=2,y=1,所以n=(2,1,2).
因为n=2×2+1×(-2)=2≠0,所以BG与平面DCE不平行.
(2)解 设AF=a(a>0且a≠1),则F(a,0,0),所以=(a,-2,0).由题意,=|cs|=,化简得11a2-40a-16=0,解得a=4或a=-(舍去).因为AD∥BC,DA⊥平面ABEF,所以BC⊥平面ABEF.又AB⊂平面ABEF,所以BC⊥AB.因为AB⊥AF,AF∥BE,所以AB⊥BE.因为BC∩BE=B,BC,BE⊂平面BCE,所以AB⊥平面BCE.因为BC⊥BE,所以△BCE的面积是S△BCE=1×1=,因为AD∥BC,BC⊂平面BCE,AD⊄平面BCE,所以AD∥平面BCE,所以三棱锥D-BCE的体积是V三棱锥D-BCE=AB·S△BCE=2梯形ABEF的面积是S梯形ABEF=(1+4)×2=5,所以V四棱锥D-ABEF=S梯形ABEF·AD=5×2=,所以V多面体ABCDFE=V三棱锥D-BCE+V四棱锥D-ABEF=,即多面体ABCDFE的体积为
6.(1)证明 翻折前,在△ABC中,EF⊥AB,翻折后有EF⊥AF,EF⊥FB',又AF∩FB'=F,AF,FB'⊂平面AFB',所以EF⊥平面AFB'.
因为AB'⊂平面AFB',所以EF⊥AB'.
(2)解 因为二面角B'-EF-A为,EF⊥AF,EF⊥FB',所以二面角B'-EF-A的平面角为∠B'FA=
因为EF⊥FA,所以以点F为坐标原点,FE,FA所在直线为x轴、y轴,过点F且垂直于平面ABC的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设AB=4,
则F(0,0,0),A(0,1,0),C(2,3,0),E(,0,0),B'(0,)=(2,2,0),=(0,1,0),=(0,),=(,3,0).
设==(2,2λ,0),=(2,2λ+1,0),其中0≤λ≤1.设平面B'MF的法向量为u=(a,b,c),由取c=2λ,可得u=(2λ+1,-2,2λ),
|cs|=,解得λ=,符合题意,故当时,直线BC与平面B'MF所成角的正弦值为