备战2025年高考数学二轮复习课件专题4立体几何专题突破练16立体几何中的翻折问题、探究性问题

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1.(15分)(2024安徽池州模拟)如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,△EAB与△FAD是两个全等的直角三角形,且FA=4,FC与AD交于点G,将Rt△EAB与Rt△FAD分别沿AB,AD翻折,使E,F重合于点P,连接PC,得到四棱锥P-ABCD.(1)证明:BD⊥PC;(2)若M为棱PC的中点,求直线BM与平面PCG所成的角的正弦值.
(1)证明 由题可知PA⊥AD,PA⊥AB,且AB⊥AD.又AB∩AD=A,AB,AD⊂平面ABCD,所以PA⊥平面ABCD.又BD⊂平面ABCD,所以PA⊥BD.连接AC,则AC⊥BD.又PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC,所以BD⊥平面PAC.又PC⊂平面PAC,所以BD⊥PC.
(2)解 以点A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
2.(15分)如图,棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都等于2,且∠ABC=∠A1AC=60°,平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求平面DAA1与平面C1CAA1所成角的余弦值.(2)在棱CC1所在直线上是否存在点P,使得BP∥平面DA1C1?若存在,求出点P的位置;若不存在,说明理由.
解 (1)如图,取AC中点O,连接A1O,A1C,BD.
因为棱柱各棱长均为2,且∠ABC=60°,所以四边形ABCD是菱形,△ABC是等边三角形,所以BD过点O,AC=2,AC⊥BD.又因为AA1=2,∠A1AC=60°,所以△A1AC是等边三角形,所以A1O⊥AC.又平面AA1C1C⊥平面ABCD,平面AA1C1C∩平面ABCD=AC,A1O⊂平面AA1C1C,所以A1O⊥平面ABCD.又AC,BD⊂平面ABCD,所以A1O,AC,BD两两垂直.
3.(15分)(2024河北张家口模拟)如图,在矩形ABCD中,AB= ,AD=2.将△ABD沿对角线BD折起,形成一个四面体A-BCD,此时AC=m.(1)是否存在实数m,使得AB⊥CD,AD⊥BC同时成立?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.(2)求当二面角A-CD-B的正弦值为多少时,四面体A-BCD的体积最大?
解 (1)不存在,理由如下:假设存在实数m,使得AB⊥CD,AD⊥BC同时成立.因为AB⊥CD,AB⊥AD,AD∩CD=D,AD,CD⊂平面ACD,所以AB⊥平面ACD.因为BC⊥AD,BC⊥CD,AD∩CD=D,AD,CD⊂平面ACD,所以BC⊥平面ACD,所以AB∥BC,或AB与BC重合.又AB∩BC=B,矛盾,所以不存在实数m,使得AB⊥CD,AD⊥BC同时成立.(2)因为△BCD的面积为定值,要使四面体A-BCD的体积最大,所以只需让平面BCD上的高最大即可,易知此时平面ABD⊥平面BCD.过点A作AO⊥BD于点O,连接OA.因为AO⊂平面ABD,平面ABD∩平面BCD=BD,所以AO⊥平面BCD.
以点O为原点,以在平面BCD中过点O且垂直于BD的直线为x轴,分别以OD,OA所在直线为y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
4.(15分)(2024湖南长沙模拟)如图,在直角梯形ABGH中,AB∥GH,AB⊥BG,AB=5,HG=1,∠BAH=60°,C,D分别为线段BG与AH的中点,现将四边形CDHG沿直线CD折成一个五面体AED-BFC.(1)在线段BF上是否存在点M,使CM∥平面ADE?若存在,找出点M的位置;若不存在,说明理由.(2)若二面角F-DC-B的大小为60°,求平面ADE与平面DEFC的夹角的余弦值.
解 (1)存在,M为BF的中点,证明如下:
所以CD∥MN,CD=MN,所以四边形CMND为平行四边形,所以CM∥DN.又CM⊄平面AED,DN⊂平面ADE,所以CM∥平面ADE.
(2)因为FC⊥CD,BC⊥CD,FC∩BC=C,FC,BC⊂平面FCB,所以CD⊥平面FCB.又CD⊂平面ABCD,所以平面ABCD⊥平面FCB.因为平面EFCD∩平面ABCD=CD,所以∠FCB为二面角F-DC-B的平面角,所以∠FCB=60°.又FC=CB,所以△FCB为等边三角形.在直角梯形ABGH中,AB∥GH,AB⊥BG,AB=5,HG=1,∠BAH=60°,可得BG=4 ,所以FC=BC=BF=2 .过点F作FO⊥BC交BC于点O,则点O为BC的中点.取AD中点P,连接OP,OF.易知OP∥CD,所以OP⊥平面FCB.又FO,BC⊂平面FCB,所以OP,BC,FO两两垂直.
5.(15分)(2024山西运城一模)如图,在矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=2,沿AC将△ADC折起,使点D到达点P的位置,点P在平面ABC上的射影H落在AB上.(1)求AH的长度;(2)若M是PC上的一个动点,是否存在点M,使得平面AMB与平面PBC的夹角的余弦值为 ?若存在,求CM的长度;若不存在,说明理由.
解 (1)如图,作PE⊥AC,交AC于点E,连接EH.因为点P在平面ABC上的射影H落在AB上,所以PH⊥平面ABC.又AC⊂平面ABC,所以PH⊥AC.又PH∩PE=P,PH,PE⊂平面PHE,所以AC⊥平面PHE.又EH⊂平面PHE,所以AC⊥EH,
(2)存在.因为PH⊥平面ABC,AB,BC⊂平面ABC,所以PH,AB,BC两两垂直.以点H为坐标原点,以过点H且平行于BC的直线为y轴,分别以HB,PH所在直线为x轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
6.(15分)(2024陕西西安一模)如图,在三棱锥P-ABC中,侧面PAC是边长为1的正三角形,BC=2,AB= ,E,F分别为PC,PB的中点,平面AEF与平面ABC的交线为l.
(1)证明:l∥平面PBC;(2)若三棱锥P-ABC的体积为 ,在直线l上是否存在点Q,使得直线PQ与平面AEF所成的角为α,异面直线PQ与EF所成的角为β,且满足α+β= ?若存在,求出线段AQ的长度;若不存在,请说明理由.
(1)证明 因为E,F分别为PC,PB的中点,所以EF∥BC.又BC⊂平面ABC,EF⊄平面ABC,所以EF∥平面ABC.又EF⊂平面AEF,平面AEF∩平面ABC=l,所以EF∥l,所以l∥BC.又BC⊂平面PBC,l⊄平面PBC,所以l∥平面PBC.
设点P到平面ABC的距离为h,所以PD⊥平面ABC.取AB的中点M,连接DM,则DM∥BC,所以DM⊥AC.又AC,DM⊂平面ABC,所以PD,AC,DM两两垂直.