八年级上数学月考试卷

这是一份八年级上数学月考试卷，共21页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
1．已知等腰三角形的两边长分别为2和5，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．7B．9C．9或12D．12
2．如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E、F、G、H分别是四条边上的中点，为了使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在（ ）
A．A、C两点之间B．E、G两点之间
C．B、F两点之间D．G、H两点之间
3．对于下列四个条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝3：4：5，③∠A＝90°﹣∠B；④∠A＝∠B＝0.5∠C，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
4．△ABC中，∠C＝90°，AD为角平分线，BC＝32，BD：DC＝9：7，则点D到AB的距离为（ ）
A．18cmB．16cmC．14cmD．12cm
5．如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是（ ）
A．SASB．ASAC．AASD．SSS
6．下列条件能作出唯一的三角形的是（ ）
A．AB＝3cm，∠B＝30°B．∠A＝30°，∠B＝60°
C．AB＝2cm，BC＝3cm，AC＝5cmD．AB＝4cm，BC＝3cm，AC＝5cm
7．如图△ABC中，已知D、E、F分别是BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝4，那么阴影部分的面积等于（ ）
A．2B．1C．D．
8．一副三角板如图所示摆放，则∠α与∠β的数量关系为（ ）
A．∠α+∠β＝180°B．∠α+∠β＝225°C．∠α+∠β＝270°D．∠α＝∠β
9．如图为二环四边形，它的内角和∠A+∠B+∠C+∠D+∠A1+∠B1+∠C1+∠D1度数为（ ）
A．360°B．540°C．720°D．900°
10．如图，平面直角坐标系中，点A为x轴负半轴上的动点，点B为y轴正半轴上的动点，△AOB中∠BAO的平分线与∠OBA的外角平分线所在直线交于点C，则下列语句中正确的是（ ）
A．点B不动，在点A向右运动的过程中，∠BCA逐渐减小
B．点A不动，在点B向上运动的过程中，∠BCA逐渐减小
C．在点A向左运动，点B向下运动的过程中，∠BCA逐渐增大
D．在点A，B运动的过程中，∠BCA的大小不变
二.填空题（每题3分，共24分）
11．如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2022个三角形，那么这个多边形是 边形．
12．若一个正多边形的每一个内角都比它相邻外角的3倍还多20°，则这个正多边形的边数为 ．
13．如图，BE、CF是△ABC的角平分线，∠BAC＝80°，BE、CF相交于D，则∠BDC的度数是 ．
14．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝ °．
15．如图，已知P（3，3），点B、A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，∠APB＝90°，则OA+OB＝ ．
16．如图所示，小华从A点出发，沿直线前进12米后向左转24°，再沿直线前进12米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是 米．
17．如图，在正五边形ABCDE中，在AB，BC边上分别取点M，N，使AM＝BN，连接AN，EM交于点O，则∠EOA＝ ．
18．△ABC中，AB＝AC＝12厘米，∠B＝∠C，BC＝8厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为 ．
三.解答题（七道大题共66分）
19．（8分）在△ABC中，AB＝AC，AC上的中线BD把△ABC的周长分为24和18两部分，求三角形三边的长．
20．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝36°，∠ACB＝110°，AE是∠BAC的平分线，AD是BC边上的高，求∠EAC、∠DAE的度数．
21．（9分）如图所示，已知AB＝AD，CB＝CD，E是AC上一点，求证：∠AEB＝∠AED．
22．（9分）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，若AD的长为2x+3，BE的长为x+1，ED＝5，求x的值．
23．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF．说明：
（1）CF＝EB；
（2）AB＝AF+2EB．
24．（11分）已知点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE于B，PC⊥AF于C，点M、N分别是射线AE、AF上的点．
（1）如图1，当点M在线段AB上，点N在线段AC的延长线上，且PM＝PN，求证：BM＝CN；
（2）在（1）的条件下，直接写出线段AM，CN与AC之间的数量关系 ；
（3）如图2，当点M在线段AB的延长线上，点N在线段AC上时，且∠MAN+∠MPN＝180°，若AC：PC＝2：1，PC＝4，求四边形ANPM的面积．
25．（11分）在△ABC中，AB＝AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC＝90°时，判断BD和CE的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．
如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论．
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）
1．已知等腰三角形的两边长分别为2和5，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．7B．9C．9或12D．12
【分析】根据2和5可分别作等腰三角形的腰，结合三边关系定理，分类讨论求解．
【解答】解：当2为腰时，三边为2，2，5，由三角形三边关系定理可知，不能构成三角形，
当5为腰时，三边为5，5，2，符合三角形三边关系定理，周长为：5+5+2＝12．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系定理．关键是根据2，5，分别作为腰，由三边关系定理，分类讨论．
2．如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E、F、G、H分别是四条边上的中点，为了使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在（ ）
A．A、C两点之间B．E、G两点之间
C．B、F两点之间D．G、H两点之间
【分析】用木条固定长方形窗框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释．
【解答】解：工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，工人师傅为了使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在E、G两点之间（没有构成三角形），这种做法根据的是三角形的稳定性．
故选：B．
【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
3．对于下列四个条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝3：4：5，③∠A＝90°﹣∠B；④∠A＝∠B＝0.5∠C，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据三角形内角和定理列式计算，根据直角三角形的概念判断即可．
【解答】解：①∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A+∠B＝∠C，
∴2∠C＝180°，
解得，∠C＝90°，
故①能确定△ABC是直角三角形；
②设∠A、∠B、∠C分别为3x、4x、5x，
则3x+4x+5x＝180°，
解得，x＝15°，
则∠A、∠B、∠C分别为45°、60°、75°，
故②不能确定△ABC是直角三角形；
③∠A＝90°﹣∠B，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠C＝90°，
故③能确定△ABC是直角三角形；
④∵∠A＝∠B＝0.5∠C，
∴0.5∠C+0.5∠C+∠C＝180°，
解得，∠C＝90°，
故④能确定△ABC是直角三角形；
∴能确定△ABC是直角三角形的条件有三个．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形内角和定理以及直角三角形的判定，解题的关键是根据三角形的内角和定理等于180°列出等式确定角的度数．
4．△ABC中，∠C＝90°，AD为角平分线，BC＝32，BD：DC＝9：7，则点D到AB的距离为（ ）
A．18cmB．16cmC．14cmD．12cm
【分析】根据题意画出图形分析．根据已知线段长度和关系可求DC的长；根据角平分线性质解答．
【解答】解：如图所示．
作DE⊥AB于E点．
∵BC＝32，BD：DC＝9：7，
∴CD＝32×＝14．
∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥DE，
∴DE＝DC＝14．
即D点到AB的距离是14cm．
故选：C．
【点评】此题考查角平分线的性质，属基础题．
5．如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是（ ）
A．SASB．ASAC．AASD．SSS
【分析】根据图形，未污染的部分两角与这两角的夹边可以测量，然后根据全等三角形的判定方法解答即可．
【解答】解：如图，∠A、AB、∠B都可以测量，
即他的依据是ASA．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，准确识图，并熟记全等三角形的判定方法是解题的关键．
6．下列条件能作出唯一的三角形的是（ ）
A．AB＝3cm，∠B＝30°B．∠A＝30°，∠B＝60°
C．AB＝2cm，BC＝3cm，AC＝5cmD．AB＝4cm，BC＝3cm，AC＝5cm
【分析】把尺规作图的唯一性转化成全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法逐项判定即可．
【解答】解：A、AB＝3cm，∠B＝30°，可知该三角形不是唯一的，错误；
B、已知两角只能确定相似三角形，两三角形大小不一定相等，错误；
C、2+3＝5，不能构成三角形，错误；
D、AB＝4cm，BC＝3cm，AC＝5cm，符合全等三角形的判定SSS，能作出唯一三角形，正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL，注意AAA和SSA不能证明三角形全等．
7．如图△ABC中，已知D、E、F分别是BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝4，那么阴影部分的面积等于（ ）
A．2B．1C．D．
【分析】如图，因为点F是CE的中点，所以△BEF的底是△BEC的底的一半，△BEF高等于△BEC的高；同理，D、E、分别是BC、AD的中点，△EBC与△ABC同底，△EBC的高是△ABC高的一半；利用三角形的等积变换可解答．
【解答】解：如图，点F是CE的中点，
∴△BEF的底是EF，△BEC的底是EC，即EF＝EC，高相等；
∴S△BEF＝S△BEC，
D、E分别是BC、AD的中点，同理得，
S△EBC＝S△ABC，
∴S△BEF＝S△ABC，且S△ABC＝4，
∴S△BEF＝1，
即阴影部分的面积为1．
故选：B．
【点评】本题主要考查了三角形面积的等积变换：若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．结合图形直观解答．
8．一副三角板如图所示摆放，则∠α与∠β的数量关系为（ ）
A．∠α+∠β＝180°B．∠α+∠β＝225°C．∠α+∠β＝270°D．∠α＝∠β
【分析】根据四边形的内角和定理即可得到结论．
【解答】解：如图，在四边形ABCD中，且∠1＝∠α，∠2＝∠β，
∵∠A+∠1+∠C+∠2＝360°，
∴∠α+∠β＝360°﹣90°﹣45°＝225°．
故选：B．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
9．如图为二环四边形，它的内角和∠A+∠B+∠C+∠D+∠A1+∠B1+∠C1+∠D1度数为（ ）
A．360°B．540°C．720°D．900°
【分析】AA1之间添加两条边，可得∠B1+∠C1+∠D1＝∠EAD+∠AEA1+∠EA1B1，再根据边形的内角和公式即可求解．
【解答】解：如图，
AA1之间添加两条边，可得∠B1+∠C1+∠D1＝∠EAD1+∠AEA1+∠EA1B1
则∠A+∠B+∠C+∠D+∠A1+∠B1+∠C1+∠D1＝∠EAB+∠B+∠C+∠D+∠DA1E+∠E＝720°；
故选：C．
【点评】考查了多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3）且n为整数）．
10．如图，平面直角坐标系中，点A为x轴负半轴上的动点，点B为y轴正半轴上的动点，△AOB中∠BAO的平分线与∠OBA的外角平分线所在直线交于点C，则下列语句中正确的是（ ）
A．点B不动，在点A向右运动的过程中，∠BCA逐渐减小
B．点A不动，在点B向上运动的过程中，∠BCA逐渐减小
C．在点A向左运动，点B向下运动的过程中，∠BCA逐渐增大
D．在点A，B运动的过程中，∠BCA的大小不变
【分析】给图中角标上序号，根据“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”，即可得出∠1＝∠2+90°﹣∠1＝∠2+∠C，进而即可得出∠C＝×90°＝45°，此题得解．
【解答】解：给图中角标上序号，如图所示
∵∠1＝∠2+90°，∠1＝∠2+∠C，
∴∠C＝×90°＝45°．
∴在点A、B运动的过程中，∠BCA的度数不变．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．
二.填空题（每题3分，共24分）
11．如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2022个三角形，那么这个多边形是 2024 边形．
【分析】从n边形的一个顶点出发作它的对角线，将n边形分成（n﹣2）个三角形，由此即可解决问题．
【解答】解：∵从n边形的一个顶点出发作它的对角线，将n边形分成（n﹣2）个三角形，
∴n﹣2＝2022，
∴n＝2024，
故答案为：2024．
【点评】本题考查多边形的有关知识，关键是掌握，从n边形的一个顶点出发作它的对角线，将n边形分成（n﹣2）个三角形．
12．若一个正多边形的每一个内角都比它相邻外角的3倍还多20°，则这个正多边形的边数为 9 ．
【分析】根据内角和外角的和为180°以及正多边形的每一个内角比每一个外角的3倍还大20°可求内角和外角，进而可求边数．
【解答】解：设正多边形的每个外角为x°，则内角为3x+20°，
∴x+3x+20＝180，
解得x＝40，
∴边数＝360°÷40°＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查正多边形的内角和外角，解题关键是熟知正多边形内角和外角的性质．
13．如图，BE、CF是△ABC的角平分线，∠BAC＝80°，BE、CF相交于D，则∠BDC的度数是 130° ．
【分析】在△ABC中，利用三角形内角和定理结合角平分线的定义，可求出∠DBC+∠DCB的度数，再在△BCD中，利用三角形内角和定理可求出∠BDC的度数．
【解答】解：在△ABC中，∠BAC＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣80°＝100°．
∵BE、CF是△ABC的角平分线，
∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝×100°＝50°．
在△BCD中，∠DBC+∠DCB+∠BDC＝180°，
∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣50°＝130°．
故答案为：130°．
【点评】本题考查了三角形内角和定义以及角平分线的定义，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键．
14．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝ 135 °．
【分析】观察图形可知∠1与∠3互余，∠2是直角的一半，利用这些关系可解此题．
【解答】解：观察图形可知：△ABC≌△BDE，
∴∠1＝∠DBE，
又∵∠DBE+∠3＝90°，
∴∠1+∠3＝90°．
∵∠2＝45°，
∴∠1+∠2+∠3＝∠1+∠3+∠2＝90°+45°＝135°．
故答案为：135．
【点评】此题综合考查角平分线，余角，要注意∠1与∠3互余，∠2是直角的一半，特别是观察图形的能力．
15．如图，已知P（3，3），点B、A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，∠APB＝90°，则OA+OB＝ 6 ．
【分析】过P作PM⊥y轴于M，PN⊥x轴于N，得出四边形PMON是正方形，推出OM＝OM＝ON＝PN＝3，证△APM≌△BPN，推出AM＝BN，求出OA+OB＝ON+OM，代入求出即可．
【解答】解：
过P作PM⊥y轴于M，PN⊥x轴于N，
∵P（3，3），
∴PN＝PM＝3，
∵x轴⊥y轴，
∴∠MON＝∠PNO＝∠PMO＝90°，
∴∠MPN＝360°﹣90°﹣90°﹣90°＝90°，
则四边形MONP是正方形，
∴OM＝ON＝PN＝PM＝3，
∵∠APB＝90°，
∴∠APB＝∠MON，
∴∠MPA＝90°﹣∠APN，∠BPN＝90°﹣∠APN，
∴∠APM＝∠BPN，
在△APM和△BPN中
∴△APM≌△BPN（ASA），
∴AM＝BN，
∴OA+OB
＝OA+0N+BN
＝OA+ON+AM
＝ON+OM
＝3+3
＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，坐标与图形性质，正方形的性质的应用，关键是推出AM＝BN和推出OA+OB＝OM+ON．
16．如图所示，小华从A点出发，沿直线前进12米后向左转24°，再沿直线前进12米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是 180 米．
【分析】多边形的外角和为360°，每一个外角都为24°，依此可求边数，再求多边形的周长．
【解答】解：∵多边形的外角和为360°，而每一个外角为24°，
∴多边形的边数为360°÷24°＝15，
∴小华一共走的路程：15×12＝180米．
故答案是：180．
【点评】本题考查多边形的内角和计算公式，多边形的外角和．关键是根据多边形的外角和及每一个外角都为24°求边数．
17．如图，在正五边形ABCDE中，在AB，BC边上分别取点M，N，使AM＝BN，连接AN，EM交于点O，则∠EOA＝ 72° ．
【分析】根据正五边形的性质得到∠B＝∠EAM＝108°，AB＝AE，根据全等三角形的性质得到∠BAN＝∠AEM，根据三角形的内角和定理即可得到结论．
【解答】解：在正五边形ABCDE中，∠B＝∠EAM＝108°，AB＝AE，
在△ABN与△EAM中，
，
∴△ABN≌△EAM（SAS），
∴∠BAN＝∠AEM，
∵∠AEM+∠EAO＝∠BAN+∠AEM＝∠BAE＝108°，
∴∠AOE＝180°﹣（∠AEO+∠OAE）＝72°，
故答案为：72°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，正多边形与圆，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
18．△ABC中，AB＝AC＝12厘米，∠B＝∠C，BC＝8厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为 2或3 ．
【分析】此题要分两种情况：①当BD＝PC时，△BPD与△CQP全等，计算出BP的长，进而可得运动时间，然后再求v；②当BD＝CQ时，△BDP≌△CQP，计算出BP的长，进而可得运动时间，然后再求v．
【解答】解：当BD＝PC时，△BPD与△CQP全等，
∵点D为AB的中点，
∴BD＝AB＝6cm，
∵BD＝PC，
∴BP＝8﹣6＝2（cm），
∵点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，
∴运动时间时1s，
∵△DBP≌△PCQ，
∴BP＝CQ＝2cm，
∴v＝2÷1＝2；
当BD＝CQ时，△BDP≌△CQP，
∵BD＝6cm，PB＝PC，
∴QC＝6cm，
∵BC＝8cm，
∴BP＝4cm，
∴运动时间为4÷2＝2（s），
∴v＝6÷2＝3（m/s），
故答案为：2或3．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是要分情况讨论，不要漏解，掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
三.解答题（七道大题共66分）
19．（8分）在△ABC中，AB＝AC，AC上的中线BD把△ABC的周长分为24和18两部分，求三角形三边的长．
【分析】结合题意画出图形，利用三角形的中线的定义，以及三角形的周长和三角形的三边关系求三角形三边的长．
【解答】解：如图，设AB＝AC＝a，BC＝b，
则有a+a＝24且a+b＝18；或a+a＝18且a+b＝24，
得到a＝16，b＝10或a＝12，b＝18，
这时三角形的三边长分别为16，16，10和12，12，18．它们都能构成三角形．
【点评】三角形的中线即三角形一个顶点与对边中点所连接的线段．
20．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝36°，∠ACB＝110°，AE是∠BAC的平分线，AD是BC边上的高，求∠EAC、∠DAE的度数．
【分析】在△ABC中，利用三角形内角和定理可求出∠BAC的度数，结合角平分线的定义可求出∠EAC的度数，在△ABD中，利用三角形内角和定理可求出∠BAD的度数，将其代入∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE中即可求出∠DAE的度数．
【解答】解：在△ABC中，∠B＝36°，∠ACB＝110°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣36°﹣110°＝34°，
又∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠EAC＝∠BAE＝∠BAC＝×34°＝17°．
在△ABD中，∠B＝36°，AD是BC边上的高，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣36°＝54°，
∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝54°﹣17°＝37°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键．
21．（9分）如图所示，已知AB＝AD，CB＝CD，E是AC上一点，求证：∠AEB＝∠AED．
【分析】根据SSS推出△ADC≌△ABC，推出∠DAE＝∠BAE，再根据SAS推出△DAE≌△BAE即可得出结论．
【解答】证明：∵在△ADC和△ABC中，
，
∴△ADC≌△ABC（SSS），
∴∠DAE＝∠BAE，
在△DAE和△BAE中，
，
∴△DAE≌△BAE（SAS），
∴∠AEB＝∠AED．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，证明△ADC≌△ABC是解题的关键．
22．（9分）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，若AD的长为2x+3，BE的长为x+1，ED＝5，求x的值．
【分析】由AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，得∠E＝∠ADC＝90°，而∠ACB＝90°，则∠BCE＝∠CAD＝90°﹣∠ACE，即可根据全等三角形的判定定理“AAS”证明△BCE≌△CAD，得CE＝AD＝2x+3，BE＝CD＝x+1，可列方程2x+3＝x+1+5，解方程求出x的值即可．
【解答】解：∵AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，
∴∠E＝∠ADC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE＝∠CAD＝90°﹣∠ACE，
在△BCE和△CAD中，
，
∴△BCE≌△CAD（AAS），
∴CE＝AD＝2x+3，BE＝CD＝x+1，
∵CE＝CD+ED，且ED＝5，
∴2x+3＝x+1+5，
解得x＝3，
∴x的值是3．
【点评】此题重点考查同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、列一元一次方程解应用题等知识与方法，证明△BCE≌△CAD是解题的关键．
23．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF．说明：
（1）CF＝EB；
（2）AB＝AF+2EB．
【分析】（1）根据直角三角形的全等的判定和性质解答即可；
（2）根据AAS证明全等三角形的判定，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC，
在Rt△CFD和Rt△EBD中，，
∴Rt△CFD≌Rt△EBD（HL），
∴CF＝EB；
（2）在△ACD和△AED中，，
∴△ACD≌△AED（AAS），
∴AC＝AE，
由（1）知，CF＝EB，
∴AB＝AE+EB＝AC+EB＝AF+FC+EB＝AF+2EB．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定和性质解答．
24．（11分）已知点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE于B，PC⊥AF于C，点M、N分别是射线AE、AF上的点．
（1）如图1，当点M在线段AB上，点N在线段AC的延长线上，且PM＝PN，求证：BM＝CN；
（2）在（1）的条件下，直接写出线段AM，CN与AC之间的数量关系 AM+CN＝AC ；
（3）如图2，当点M在线段AB的延长线上，点N在线段AC上时，且∠MAN+∠MPN＝180°，若AC：PC＝2：1，PC＝4，求四边形ANPM的面积．
【分析】（1）证明Rt△PBM≌Rt△PCN，根据全等三角形的性质证明；
（2）证明Rt△PBA≌Rt△PCA，得到AB＝AC，结合图形证明即可；
（3）证明△PBM≌△PCN，得到四边形ANPM的面积＝四边形ABPC的面积，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】（1）证明：∵点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE于B，PC⊥AF于C，
∴PB＝PC，
在Rt△PBM和Rt△PCN中，
，
∴Rt△PBM≌Rt△PCN，
∴BM＝CN；
（2）AM+CN＝AC，
理由如下：在Rt△PBA和Rt△PCA中，
，
∴Rt△PBA≌Rt△PCA，
∴AB＝AC，
∴AM+CN＝AM+BM＝AB＝AC，
故答案为：AM+CN＝AC；
（3）∵AC：PC＝2：1，PC＝4，
∴AC＝8，
∵PB⊥AE，PC⊥AF，
∴∠ABP＝∠ACP＝90°，
∴∠MAN+∠BPC＝180°，又∵∠MAN+∠MPN＝180°，
∴∠MPB＝∠NPC，
在△PBM和△PCN中，
，
∴△PBM≌△PCN，
∴四边形ANPM的面积＝四边形ABPC的面积＝×8×4×2＝32．
【点评】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角平分线的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
25．（11分）在△ABC中，AB＝AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC＝90°时，判断BD和CE的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．
如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）由DAE＝∠BAC＝90°，AB＝AC得∠ACB＝∠B＝45°，∠BAD＝∠CAE＝90°﹣∠CAD，即可证明△ABD≌△ACE，得BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，则∠BCE＝90°，所以BD⊥CE；
（2）先证明△CAE≌△BAD，得∠ACE＝∠B，则∠B＝∠ACB＝∠ACE，所以∠B+∠ACB＝∠DCE＝β，即可由∠BAC+∠B+∠ACB＝180°推导出α+β＝180°．
【解答】解：（1）BD＝CE，BD⊥CE，
理由：∵∠DAE＝∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B＝45°，∠BAD＝∠CAE＝90°﹣∠CAD，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，
∴BD⊥CE．
（2）α+β＝180°，
证明：∵∠DAE＝∠BAC＝α，
∴∠DAE﹣∠CAD＝∠BAC﹣∠CAD，
∴∠CAE＝∠BAD，
在△CAE和△BAD中，
，
∴△CAE≌△BAD（SAS），
∴∠ACE＝∠B，
∵∠B＝∠ACB，
∴∠ACE＝∠ACB，
∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB＝∠DCE＝β，
∵∠BAC+∠B+∠ACB＝180°，
∴α+β＝180°．