2023-2024学年湖南省岳阳市岳阳县第一中学高一上学期第一次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年湖南省岳阳市岳阳县第一中学高一上学期第一次月考数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，应用题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，则（ ）
A．B．C．D．或
【答案】B
【分析】直接由交集的概念或者运算即可求解.
【详解】因为，
所以由交集的运算可知.
故选：B.
2．命题：“”的否定为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】对原命题“改量词，否结论”，即可求得结果.
【详解】命题：“”的否定为“”.
故选：C.
3．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.
【详解】求解二次不等式可得：或，
据此可知：是的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.
4．已知函数，若，则实数的值是（ ）
A．或5B．3或C．5D．3或或5
【答案】A
【分析】根据函数解析式，分别讨论，两种情况，结合题中条件，即可求出结果.
【详解】若，则，∴（舍去），
若，则，∴，
综上可得，或.
故选：A．
5．不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】将分式不等式转换为与之等价的不等式组，解不等式组即可求解.
【详解】由题意，
解不等式组得，
因此不等式的解集是.
故选：D.
6．若不等式的解集为，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】讨论是否为0，不为0时，根据开口方向和判别式建立不等式组，解之即可求出所求.
【详解】①当时，成立
②当 时，若不等式的解集为，
则不等式在恒成立，
则，
解得：
综上，实数的取值范围是
故选：D.
7．已知函数，则的最小值为（ ）
A．－3B．C．－2D．
【答案】A
【分析】分别求出和时，函数的最小值，比较后可得结论．
【详解】时，，∴时，，
时，，当且仅当时等号成立，
又，所以，
故选：A．
8．设，为正实数，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】将变形为，利用基本不等式求最小值，注意检验等号成立的条件.
【详解】解：因为，为正实数，
所以，
当且仅当，即时取等号，
故的最小值为3.
故选：.
二、多选题
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】ABD
【分析】根据不等式的性质判断.
【详解】A，显然，因此由可得，A正确；
B，，则，所以，B正确；
C，时，满足，但，C错；
D，，则，同除以得，，D正确；
故选：ABD．
10．下列说法正确的是（ ）
A．的最小值是3
B．的最大值是5
C．的最小值是2
D．的最大值是
【答案】ABD
【分析】A，C选项构造基本不等式即可，B选项利用基本不等式计算即可，D项变形构造基本不等式即可
【详解】选项A，因为
所以
当且仅当时取等号，故A正确.
选项B，因为
所以
当且仅当时取等号，故B正确.
对于C，，
当且仅，即时，等号不成立，
令，则在上单调递增，
所以时取得最小值为，故选项C错误；
对于D，当时，，
当且仅当，即时等号成立，所以最大值为，故D正确.
故选：ABD.
11．若函数在定义域上的值域为 ，则区间可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】根据二次函数单调性，以及值域，结合其函数特点，即可容易求得结果.
【详解】∵函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为，
故，又，
故要定义域上的值域为，满足题意的选项是：BC.
故选：BC.
12．设，用表示不超过的最大整数，称为高斯函数，也叫取整函数.如.设，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．函数的图象关于原点对称
C．
D．函数的值域为
【答案】AD
【分析】对于A，直接计算即可判断正确；对于B，举出反例即可判断错误；对于C，不失一般性，不妨设，结合的定义即可判断错误；对于D，由C可知是周期为1的周期函数，故只需求出在内的值域即可判断正确.
【详解】对于A，因为，所以，故A选项正确；
对于B，因为，，
所以，即函数的图象不关于原点对称，故B选项错误；
对于C，因为，使得，此时有，
所以，，故C选项错误；
对于D，由C选项分析可知，总有，即是周期为1的周期函数，
不妨设，则此时有，因此函数的值域为，故D选项正确.
故选：AD
【点睛】关键点点睛：对于A、B两个选项的判断比较常规，而判断C选项的关键是发现，使得，从而结合的定义即可判断，判断D选项的关键是利用C选项的结论，即是周期为1的周期函数，故只需求出在内的值域即可，这一类题目是新定义题目，我们只需读懂定义，结合所学知识并严格按照新定义来求解即可.
三、填空题
13．函数的定义域是 .（结果用区间表示）
【答案】
【分析】由函数定义域的概念列出不等式组，解不等式组即可求解.
【详解】由题意可知，解不等式组得，
所以函数的定义域是.
故答案为：.
14．已知，则函数的解析式 .
【答案】
【详解】试题分析：由，所以.
【解析】函数的解析式.
【方法点晴】本题主要考查了函数的解析式的求解，其中解答中涉及到函数解析式的求解、函数解析式中函数式的化简，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，同时考查了学生的构造思想，本题的解答中化简是解答的关键，属于基础题.
15．若且，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】利用基本不等式变形，然后解不等式可得．
【详解】由题意，当且仅当时等号成立，
解得，所以且等号能取得．
故答案为：．
16．设集合且A中任意两数之和不能被5整除，则的最大值为
【答案】17
【分析】由已知中A⊆{1，2，3，…，37}，且A中任意两数之和不能被5整除，我们可根据1～37中各数除以5的余数将数分为5类，进而分析出集合A中元素的最多个数，得到答案
【详解】根据除以5的余数，可将A集合分为5组：
A0＝{5，10，15，20，25，30，35}，则card(A0)＝7
A1＝{1，6，11，16，21，26，31，36}，则card(A1)＝8
A2＝{2，7，12，17，22，27，32，37}，则card(A2)＝8
A3＝{3，8，13，18，23，28，33}，则card(A3)＝7
A4＝{4，9，14，19，24，29，34}，则card(A4)＝7
A中的任何两个数之和不能被5整除，故A1和A4，A2和A3中不能同时取数，且A0中最多取一个
∴最多的取法是取A1∪A2和A0中的一个元素，
故n的最大值为17
故答案为：17
【点睛】本题考查了集合的并集运算并求元素个数，应用抽屉原理结合余数对集合元素作分类，进而通过不同的取数组合，讨论在任意两数之和不可被5整除的条件下使目标集合元素最多的情况，并应用集合运算求集合，并确定元素个数
四、解答题
17．设.
（1）当时，比较的大小；
（2）当时，比较的大小.
【答案】（1）；（2）见解析
【分析】（1）利用作差法比较的大小；（2），再对分类讨论得解.
【详解】（1）当时，，
则，
所以.
（2），
①当时，，则；
②当时，，则；
③当时，，则.
【点睛】本题主要考查比较实数大小，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
18．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|x＞1}.
(1)求集合；
(2)设集合M＝{x|a＜x＜a+6}，且A∪M＝M，求实数a的取值范围.
【答案】(1){x|﹣2≤x≤1}
(2)
【分析】（1）进行补集和交集的运算即可；
（2）根据可得出，然后即可得出，然后解出的范围即可．
【详解】（1），则，
又，则；
（2）∵，∴，且，
∴，解得，
∴实数的取值范围为:
19．已知集合，命题，命题.
(1)若，求实数的取值范围.
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意有，解不等式组即可求解.
（2）先化简得，由题意可知集合是集合的真子集，对是否为空集分类讨论即可求解.
【详解】（1）由题意，所以有，解得，
所以实数的取值范围为.
（2）因为，
所以，
若是的充分不必要条件，
则由题意可得是的真子集，
若，则，解得；
若，则，等号不同时成立，解得；
综上a的取值范围为.
20．已知函数
(1)若不等式的解集为空集，求m的取值范围
(2)若，的解集为，的最大值
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由不等式的解集为空集等价于恒成立，结合，即可求解；
（2）根据题意转化为是方程的两个实根，得到，，结合，结合基本不等式，即可求解.
【详解】（1）由题意，函数，
不等式的解集为空集等价于恒成立，
即，解得，
即的取值范围为．
（2）若，的解集为，所以有两个不同实根，
即是方程的两个实根，故，，
故同为负值，
则，
当且仅当时，即，时等号成立，
故的最大值为．
五、应用题
21．党的二十大报告指出：我们要推进美丽中国建设，坚持山水林田湖草沙一体化保护和系统治理，统筹产业结构调整、污染治理、生态保护、应对气候变化，协同推进降碳、减污、扩绿、增长，推进生态优先、节约集约、绿色低碳发展．某乡政府也越来越重视生态系统的重建和维护．若乡财政下拨一项专款400百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：；处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：．
(1)设分配给植绿护绿项目的资金为（百万元），则两个生态项目五年内带来的收益总和为（百万元），写出关于的函数解析式；
(2)生态维护项目的投资开始利润薄弱，只有持之以恒，才能功在当代，利在千秋．试求出的最大值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少？
【答案】(1)，
(2)的最大值为145（百万元），分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为60（百万元），340（百万元）．
【分析】（1）由题意可得处理污染项目投放资金为百万元，即可求出，从而求出关于的函数解析式；
（2）利用基本不等式求出函数的最大值，即可得解.
【详解】（1）解：由题意可得处理污染项目投放资金为百万元，
则，
，．
（2）解：由（1）可得，
，
当且仅当，即时等号成立，此时．
所以的最大值为（百万元），分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为（百万元），（百万元）．
六、解答题
22．已知函数
(1)若，求函数的值域.
(2)当时，求不等式解集；
(3)若存在，使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）根据二次函数性质求值域；
（2）分类讨论解不等式；
（3）首先令，问题转化为关于的方程有四个不等实根，即有两个不同正根，由二次方程根的分布可得参数的范围．
【详解】（1）由题意，在上递减，在上递增，
时，，，
所以值域为；
（2）由，即，
由，则，且
①当时，，不等式的解集为；
②当时，不等式的解集为；
③当时，，不等式的解集为；
综上，当时，不等式解集为，
当时解集为，
当时，解集为；
（3）当时，令，当且仅当时取等号，
则关于的方程可化为，
关于的方程有四个不等实根，
即有两个不同正根，
则，
因为，所以由，得，又，所以，
由题意存在使得成立，
故，即，
解得或，综合可得.
故实数的取值范围是.