2023-2024学年湖南省郴州市桂阳县甘甜中学高一上学期第一次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年湖南省郴州市桂阳县甘甜中学高一上学期第一次月考数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题，应用题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据并集的定义可求，从而可得正确的选项.
【详解】，
故选：D.
2．命题“，”的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】根据题意，由全称命题的否定是特称命题，即可得到结果.
【详解】因为命题“，”，则其否定为“，”
故选：D
3．若，则的最小值为
A．-1B．3C．-3D．1
【答案】A
【详解】分析：代数式可以配凑成，因，故可以利用基本不等式直接求最小值.
详解：，当且仅当时等号成立，故选A.
点睛：利用基本不等式求最值时，要注意“一正、二定、三相等”，有时题设给定的代数式中没有和为定值或积为定值的形式，我们需要对代数式变形，使得变形后的代数式有和为定值或者积为定值.特别要注意检验等号成立的条件是否满足.
4．已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A．B．{或}C．D．或
【答案】A
【分析】根据不等式的解集求出，代入不等式中，化简求出不等式的解集．
【详解】解：因为不等式的解集为，
的两根为，2，且，即，，解得，，
则不等式可化为，解得，则不等式的解集为．
故选：A.
5．函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据开偶数次发根号里的数大于等于零，分母不等于零计算即可.
【详解】由，
得，解得且，
所以函数的定义域为.
故选：D.
6．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确答案.
【详解】或或；
；
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
7．已知集合，，，则集合M，S，P的关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】通过整理集合中的表达式，由此确定正确答案.
【详解】∵，
，
，
因为，所以，
∴.
故选：B.
8．函数为偶函数，且对任意都有，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】结合奇偶性，单调性利用单调性的逆用解抽象函数不等式.
【详解】因为任意都有
所以函数在上单调增，
又为偶函数，，
所以，解得，
解集为.
故选：B.
二、多选题
9．设，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】根据不等式性质可判断A，B；举反例可判断C，D.
【详解】对于A，已知，由不等式性质可得，A正确；
对于B，由，则，B正确；
对于C，由于，若，则，C错误；
对于D，由于，若，则，D错误，
故选：AB
10．下列命题正确的是（ ）
A．集合有6个非空子集
B．
C．“”是“”的必要不充分条件
D．已知，则的范围为
【答案】BCD
【分析】由集合非空子集的个数即可判断A；当时，即可判断B；由必要不充分的定义即可判断C，由不等式的性质即可判断D.
【详解】集合非空子集的个数为，故A错误；
当时，，符合题意，故B正确；
由条件可得，反之，不成立，所以“”是“”的必要不充分条件，故C正确；
因为，则，所以，故D正确；
故选：BCD
11．下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根据函数定义域相同，对应关系相同是同一函数，逐项考查即可.
【详解】对于,与的定义域相同都为，解析式也相同，是同一函数；
对于，函数与的解析式不相同，不是同一函数；
对于,函数与的定义域相同都为，解析式也相同，是同一函数；
对于,函数的定义域为，的定义域为，两函数定义域不同，不是同一函数；
故选：
12．已知函数f（x）对都有，且.则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）为偶函数B．若，则
C．D．若，则
【答案】ACD
【分析】根据条件，利用赋值法逐一判断即可.
【详解】因为函数f（x）对都有，且.
所以令可得，所以
令可得，所以，所以为偶函数，故A正确；
令可得，所以，故B错误；
令可得，故C正确；
若，则，所以
所以，故D正确；
故选：ACD
三、填空题
13．设函数则 .
【答案】1
【分析】分段函数求值，根据自变量的取值范围代入相应的对应关系.
【详解】当时，，
则.
故答案为：1
14．设，，若，则 .
【答案】0
【分析】根据集合相等求解实数的值，即可得的值.
【详解】解：因为，若，则，所以.
故答案为：0.
15．若函数的定义域为，则函数的定义域是 ．
【答案】
【分析】根据复合函数定义域的性质进行求解即可.
【详解】函数的定义域为，
于是有，
即函数的定义域，
故答案为：
四、双空题
16．已知，则 ，的值域为 .
【答案】 且
【分析】利用换元法求得，根据二次函数的性质求得的值域.
【详解】令，则，
则，
所以且.
而，且，
所以的值域为.
故答案为：且；
五、解答题
17．已知集合.
(1)求，；
(2)，求实数m的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用集合并集、交集和补集的运算法则直接求解即可；
（2）由已知条件可知，则对集合分成和两类进行讨论，最后两者结果求并集即可.
【详解】（1）由已知得；
∵，∴；
（2）∵，∴，
当集合时，，即；.
当集合时，，即，
综上所述，实数的取值范围为.
18．关于实数x的不等式．
(1)若，求该不等式解集；
(2)若该不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将代入不等式，求解不等式即可.
（2）分和两种情况，结合二次函数的性质，即可求出结果.
【详解】（1）解：当时，原不等式即为：，
解得，所以不等式解集；
（2）解：若不等式对一切实数恒成立，
当时，恒成立，故满足题意；
当时，要使得不等式对一切实数恒成立，
则 即，解得；
综上：.
19．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．
(1)若菜园面积为72m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？
(2)若使用的篱笆总长度为30m，求的最小值．
【答案】(1)菜园的长x为12m，宽y为6m时，可使所用篱笆总长最小
(2)．
【分析】（1）由已知可得xy＝72，而篱笆总长为x+2y．利用基本不等式x+2y≥2即可得出；
（2）由已知得x+2y＝30，利用基本不等式（）•（x+2y）＝55+2，进而得出．
【详解】（1）由已知可得xy＝72，而篱笆总长为x+2y．又∵x+2y≥224，
当且仅当x＝2y，即x＝12，y＝6时等号成立．
∴菜园的长x为12m，宽y为6m时，可使所用篱笆总长最小．
（2）由已知得x+2y＝30，
又∵（）•（x+2y）＝55+29，
∴，当且仅当x＝y，即x＝10，y＝10时等号成立．
∴的最小值是．
20．已知函数是定义在上的奇函数，且
(1)求函数的解析式；
(2)证明：是增函数.
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【分析】（1）先根据函数的奇偶性和可求得参数的值便可求出函数解析式.
（2）根据函数单调性的定义证明函数的单调性.
【详解】（1）解：由题意得：
函数是定义在上的奇函数
，即
又
（2）由（1）得：
设
故此，即
所以在区间在是增函数.
21．已知全集，集合，.
(1)当时，求，；
(2)若“”是“”成立的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)或
【分析】（1）首先解一元二次不等式求出集合，再根据集合的运算法则计算可得；
（2）依题意可得，再分和两种情况讨论，分别求出参数的取值范围.
【详解】（1）由，即，解得，
所以，
当时，
所以，或，
所以.
（2）若“”是“”成立的必要不充分条件，
则，
当时，解得，符合题意；
当时，解得，
综上可得或.
六、应用题
22．第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行.本届进博会有4000多项新产品､新技术､新服务.某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调.生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，生产x千台空调，需另投入资金R万元，且.经测算，当生产10千台空调时需另投入的资金R=4000万元.现每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完.
(1)求2022年该企业年利润W（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式；
(2)2022年产量为多少时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少？注：利润=销售额-成本.
【答案】(1)
(2)当2022年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元
【分析】（1）由题意可知时，R=4000，代入函数中可求出，然后由年利润等于销售总额减去投入资金，再减去固定成本，可求出年利润W（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式，
（2）分别当和求出函数的最大值，比较即可得答案
【详解】（1）由题意知，当时，，所以a=300.
当时，；
当时，.
所以，
（2）当时，，所以当时，W有最大值，最大值为8740；
当时，，
当且仅当，即x=100时，W有最大值，最大值为8990.
因为，
所以当2022年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元.