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2023-2024学年湖南省株洲市九方中学高一上学期9月月考数学试题B卷含答案

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这是一份2023-2024学年湖南省株洲市九方中学高一上学期9月月考数学试题B卷含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题，应用题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合P={x|1≤x<4}，Q={x|2≤x<3}，则PQ=（）
A．{x|1【答案】B
【分析】应用集合的交运算求PQ即可.
【详解】由已知集合知：.
故选：B
2．已知a，b，，则下列语句能成为“a，b，c都不小于1”的否定形式的是（）
A．a，b，c中至少有1个大于1B．a，b，c都小于1
C．a，b，c不大于1D．或或
【答案】D
【分析】命题的否定形式.
【详解】“a，b，c都不小于1”的否定形式为至少有一个小于1，
即“或或”，
故选：D.
3．已知集合，、、为非零实数，则的子集个数是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分都是正数，都是负数，中有一个是正数，另两个是负数，中有两个是正数，另一个是负数四种情况分别得出m的值，从而求得集合M的元素的个数，由此可得出集合M的子集的个数.
【详解】因为集合，、、为非零实数，
所以当都是正数时，；
当都是负数时，；
当中有一个是正数，另两个是负数时，，
当中有两个是正数，另一个是负数时，，
所以集合M中的元素是3个，所以的子集个数是8，
故选：D.
4．若命题“对任意的，恒成立”为真命题，则m的取值范围为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先参变分离，转化为，再利用基本不等式求最值，即可求解.
【详解】由题意可知，对任意的，恒成立，即，
当时，，当，即时，等号成立，
所以.
故选：D
5．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次命题正确的是使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学届接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是（）
A．若a＜b，则B．若a＞b＞0，则
C．若a＞b，则D．若，则a＞b
【答案】D
【分析】举反例说明选项AC错误；作差法说明选项B错误；不等式性质说明选项D正确.
【详解】当时，，选项A错误；
，所以，所以选项B错误；
时，，所以选项C错误；
时，，所以选项D正确.
故选：D
6．已知函数，则（）
A．B．9C．D．
【答案】D
【分析】根据分段函数的解析式，先求得，再求即得.
【详解】因为
所以，
所以，
故选：D.
【点睛】本题考查分段函数的求值，涉及复合函数，要先求内层函数值，再求解.
7．不等式的解集为，则函数的图象大致为（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，可得方程的两个根为和，且，结合二次方程根与系数的关系得到、、的关系，再结合二次函数的性质判断即可．
【详解】因为的解集为，
所以方程的两根分别为和1，且，
则变形可得
故函数的图象开口向下，
且与x轴的交点坐标为和，故A选项的图象符合.
故选：A
8．设，，，则下列选项错误的是（）
A．的最小值为
B．的取值范围是
C．的最小值为
D．若，则的最小值为8
【答案】C
【解析】由，可判定A正确；由，可判定B正确；由，结合基本不等式中的范围，可判定C不正确；由，得到，进而判定D正确.
【详解】对于A中，由，当且仅当时取等，
可得的最小值为，所以A正确；
对于B中，由，
当且仅当时，即时，等号成立，取得最小值9，所以B正确；
对于C中，由，
又由，所以，所以C不正确；
对于D中，由，
当且仅当时，即时，等号成立，
可得，
当且仅当时取等，所以D正确.
故选：C.
【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”：
（1）“一正”：就是各项必须为正数；
（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
二、多选题
9．判断下列每组对象，能组成一个集合的是（）
A．某校高一年级成绩优秀的学生
B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点
C．不小于3的自然数
D．2022年第24届冬季奥运会金牌获得者
【答案】BCD
【分析】判断是否满足集合三要素中的确定性，得到答案.
【详解】A中“成绩优秀”没有明确的标准，所以不能组成一个集合；
B、C、D中的对象都满足确定性，所以能组成集合．
故选：BCD
10．设，，若，则实数的值可以为（）
A．2B．C．D．0
【答案】BCD
【分析】先求出集合，再由可知，由此讨论集合B中元素的可能性，即可判断出答案.
【详解】集合，，，
又，
所以，
当时，，符合题意，
当时，则，所以或，
解得或，
综上所述，或或,
故选：
11．在下列四组函数中，与不表示同一函数的是（）
A．B．
C．D．
【答案】ABCD
【分析】根据同一函数的判定方法，结合函数的定义域与对应法则，逐项判定，即可求解.
【详解】A中，函数的定义域为，函数的定义域为，
所以两函数的定义域不同，不是同一函数；
B中，函数，函数，两函数的对应关系不同，所以不是同一函数；
C中，函数的定义域为，函数的定义域为，
所以两函数的定义域不同，不是同一函数；
D中，函数的定义域为，函数，
所以两函数的定义域不同，不是同一函数.
故选：ABCD.
12．下列结论不正确的是（）
A．任意，则B．若，则
C．若，则的最小值为4D．若，，，则
【答案】AC
【分析】根据特殊情况可判断A，利用不等式的性质判断B，根据对号函数性质判断C，根据基本不等式判断D.
【详解】A：当时，为负数，所以A不正确；
B：若，则，所以，所以B正确；
C：若，在上单调递增，则，故C不正确；
D：若，，，根据基本不等式有，
所以D正确.
故选：AC
三、填空题
13．命题“若，则”是命题.（填“真”或“假”）
【答案】真
【分析】根据基本不等式即可求解.
【详解】解：由题意得：
因为时，则
又，故根据基本不等式可知
故命题为真命题.
故答案为：真
14．若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是．
【答案】
【分析】根据题意得到与的包含关系，从而得到答案.
【详解】因为“”是“”的充分不必要条件，
所以是的真子集，故.
故答案为：.
15．若关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为 .
【答案】
【分析】根据不等式的解集求得和，和的关系式，由此化简不等式，进而求得不等式的解集.
【详解】因为关于x的不等式的解集为，
所以，且1，3是方程的两根，
所以，所以，
所以在关于x的不等式的两边同除以a，得，
所以不等式变为，即，
所以不等式的解集为.
故答案为：
16．已知存在两个正数和满足则实数的取值范围是．
【答案】
【解析】先利用基本不等式求解的最小值,进而得出关于的二次不等式求解即可.
【详解】,
当且仅当时取“=”,
所以,解得.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了基本不等式以及二次不等式的运用,需要熟悉常见不等式的结构找到思路,属于中档题.
四、解答题
17．已知集合，集合，
(1)若，求和；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由，得到，，再利用补集、并集和交集运算求解；
（2）由，得到，分，求解.
【详解】（1）解：时，，
所以，
所以
；
（2）∵，
，
①若时，，解得，符合题意；
②若时，，解得.
综上可得.
18．已知函数
(1)请在给定的坐标系中画出此函数的图象：

(2)写出此函数的定义域及值域．
【答案】(1)图象见解析
(2)定义域为，值域为
【分析】（1）根据函数的解析式，结合一次、二次函数，以及反比例函数的图象与性质，进而画出函数的图象；
（2）由（1）中，函数的图象，结合定义域、值域的定义与求法，即可求解.
【详解】（1）解：由函数，其图象，如图所示，
（2）解：由（1）中，函数的图象，可得：函数的定义域为，值域为.
五、证明题
19．证明下列不等式：
(1)已知，求证
(2)已知，求证
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】(1)利用作差法可证明;(2)考虑证明+即可.
【详解】（1）,
由,得,,
,当且仅当时取等号,
,即.
（2）,当且仅当即时取等号；
,当且仅当即时取等号；
+，即,
当且仅当时取等号.
六、应用题
20．某光伏企业投资万元用于太阳能发电项目，年内的总维修保养费用为万元，该项目每年可给公司带来万元的收入．假设到第年年底，该项目的纯利润为万元．（纯利润累计收入总维修保养费用投资成本）
(1)写出纯利润的表达式，并求该项目从第几年起开始盈利．
(2)若干年后，该公司为了投资新项目，决定转让该项目，现有以下两种处理方案：
①年平均利润最大时，以万元转让该项目；
②纯利润最大时，以万元转让该项目．
你认为以上哪种方案最有利于该公司的发展？请说明理由．
【答案】(1)，从第年起开始盈利
(2)选择方案①更有利于该公司的发展；理由见解析
【分析】（1）根据题意可得表达式，令，解不等式即可；
（2）分别计算两个方案的利润及所需时间，进而可确定方案.
【详解】（1）由题意可知，
令，得，解得，
所以从第年起开始盈利；
（2）若选择方案①，设年平均利润为万元，则，
当且仅当，即时等号成立，所以当时，取得最大值，
此时该项目共获利（万元）．
若选择方案②，纯利润，
所以当时，取得最大值，此时该项目共获利（万元）．
以上两种方案获利均为万元，但方案①只需年，而方案②需年，所以仅考虑该项目的获利情况时，选择方案①更有利于该公司的发展．
七、解答题
21．若二次函数满足，且.
（1）求的解析式；
（2）若在区间上，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】(1)由条件列关于a，b，c的方程，解方程求a，b，c，由此可得函数的解析式，(2)由已知可得在上恒成立，即，由此可求m的范围.
【详解】解：（1）由得，.∴
又∵，∴
即
∴∴∴
（2）不等式等价于
即
∵函数在上的最大值为
∴.
22．（1）若的解集为，求实数a，b的值；
（2）已知，求关于x的不等式的解集．
【答案】(1) ;(2) ①时，解集为，
②时，解集为，
③时，解集为.
【分析】（1）根据韦达定理即可求解；
（2）分解因式，再分类讨论的大小，即可求解.
【详解】解：（1）由题意得，为的两个根，且，
由韦达定理得：, ②式除①式，整理得，，
解得或，所以或(舍去).
(2) ,整理得，即，
①时，即，所以解集为，
②时，即，所以解集为，
③时，即，所以解集为.