专题1含参二次函数 - 解析版

这是一份专题1含参二次函数 - 解析版，共16页。试卷主要包含了二次函数不同表达式间的链接，含绝对值的二次函数结构等价转化等内容，欢迎下载使用。
一、二次函数不同表达式间的链接
问题已知,函数在上与轴有两个不同的交点,求的取值范围.
【解析】卡壳点:不会将二次函数系数与零点沟通.
应对策略:参数与零点间的联系通过二次函数不同表达式间的联系来建立.
问题解答:设的两个零点分别为,且,则.
于是,
从而.
由知,等号不成立,所以的取值范围是.
【反思】二次函数至少有三种表达形式,即一般式、零点式和对称式,对这三种形式之间的联系不熟悉是产生解题痛点的原因,如何将目标参数与函数零点结合起来?“桥梁”就是二次函数的零点式.在确定最值时,零点式的结构给我们启示,借助基本不等式实现“元”的消失,从而获得参数的范围.
二、含绝对值的二次函数结构等价转化
问题2:已知函数在上有两个不同的零点,则实数的取值范围是
【解析】卡壳点:不会将复杂函数的零点转化为两个函数图象交点思考.
应对策略:既含参数又有绝对值的二次函数,可将其复杂结构在其本质结构(即函数零点、方程实根、图象交点)间相互转化.
1问题解答:在上有两个不同的零点,可转化为方程在上有两个不同的实根,再转化为两函数与的图象有两个不同交点.
而
画出与的图象,如图1.显然当时,开口向下的“V”形线才能与拋物线相交,“V”形线开口的大小决定它们交点的个数.
根据图象可知,只需考虑方程组和的解的情况,考虑图象相切的情形,则联立方程组所得方程和a)都有唯一解.
由得,
由得.
所以当时,与的图象才会有两个交点.
【反思】面对复杂的代数式结构,冷静地分解代数式,尝试寻找代数式的主体结构(如二次函数与一次函数图象)间的关系,通过数形结合的方法解决.
三、二次复台函数不动点转化之桥一一零点表达
问题已知,函数,它的不动点为,且,若四次方程的另两个根为,且,试判断这四个根的大小.
【解析】卡壳点:不会将二次复合函数与函数零点建立关系.
应对策略:理解函数不动点概念,将复合结构用零点式表达,并进行化简与转化.
问题解答:由题意得,即.
于是
.
所以为方程的两个根.
由,得.
如图2,因为二次函数的图象开口向上,所以方程在区间,和上各有一个根.
又,得.所以.
【反思】函数的不动点即为方程的两个实根.如何比较这四个根的大小?思路隐藏得比较深,但二次函数的零点表达式又帮助我们建立起一种联系,特别是复合函数的简单化,使我们再一次认识此函数的本来面目.二次复合函数的根的分布情况,最终用零点定理确定.
四、合参二次函数抓“形式”促“结构”
问题4:设若的图象经过两点,且存在整数,使得,则
A.
B.
C.
D.
【解析】卡壳点:不会将较小者函数与零点建立关系.
应对策略:深刻理解较小者函数的数学符号,借助零点式进行转化.
问题解答:设,图象如图3,由题意可知.
当且仅当时,等号成立.
但由知等号不成立,
所以,
即.
【反思】因为,所以.问题转化为探求的最大值,此时二次函数的零点式为探求的最大值起到了桥梁作用,对零点式的代数结构的识别为基本不等式的运用奠定了基础.任何数学问题的外在形式中必隐藏着其本质结构,对于二次函数,其表达形式至少有一般式、零点式和顶点式,它们之间联系紧密,可以相互转化.本题中抓住这一智慧点,就能解决问题.
五、含参二次函数抓“形态”促“化数”
因为二次函数的图象是最基本的图形,若题目给出了特定区间上的抛物线,则应将抛物线补充“完整”,以帮助分析、寻找解题途径与思路.
问题5:设函数,当时,求函数在上的最小值的表达式.
【解析】卡壳点:不会分类处理定区间上抛物线弧的最值.
应对策略:抓住二次函数的几何形态,分类将二次函数代数式转化.
3问题解答:,其图象的对称轴方程为.(1)当,即时,,如图4.
(2)当,即时,,如图5.
(3)当,即时,,如图6.
所以
【反思】从抛物线的形态上看,抓住对称轴进行分类讨论,求出的取值范围即可得证.此问题涉及二次函数图象的形态,㧓住对称轴思考,帮助分析此二次函数的最值.
六、含参二次函数抓“分类”促“分解”
因为高中二次函数问题中一般含有参数或绝对值,也可能是复合或分段函数,求解时都离不开分类讨论,通过分类达到分解综合问题之目的.对于二次函数的分类,关键还是对称轴,因为它制约着二次函数的最值与值域.
问题6:设其中.若对任意的非零实数,存在唯一的非零实数,使得成立,则的取值范围为
【解析】卡壳点:不会从几何角度思考分段、任意、存在、含参的二层分类.
应对策略:抓住二次函数图象的对称轴分类,将综合问题按层分解.
问题解答:设.
(1)若二次函数图象的对称轴在轴的左侧,对任意的非零实数就会破坏的唯一性.
(2)若二次函数图象的对称轴不在轴的左侧,即.
①两个函数的图象在轴上不交于同一点,对任意的非零实数,会破坏的唯一性;
②因为两个函数的图象在轴上交于同一点,即,所以在上有解,从而.
【反思】一个分段函数中含有二次函数(的一部分),从形上思考分类,抓住抛物线的对称轴进人第一层分类,然后抓住分段点位置进人第二层分类,思维的有序性是解决问题的关键.
强化练习
1.设函数的定义域为,满足,且当时,.若对任意,都有,则的取值范围是
A.
B.
C.
D.
【解析】如答图, 作出函数图象, 可以直接排除选项 C,D.
因为当 x∈(0,1] 时, f(x) 的值域为 -14,0, 所以 把函数值转移到 -14,0 上, 才能求出对应的 x 值.f(x)=2f(x-1)=4f(x-2)=-89,
即 f(x-2)=-29=(x-2)(x-3), 代值检验可知 选 B.
【反思】人们常常利用周期性把自变量转移到某个区间, 求得函数值, 现在反过来, 需要根据值域, 用类似周期的关系 把自变量进行转移.
2.已知,设函数若关于的不等式在上恒成立,则的取值范围为
A.
B.
C.
D.
【解析】由 f(0)⩾0, 得 a⩾0.
当 0⩽a⩽1 时, f(x)=x2-2ax+2a=(x-a)2+2a –a2⩾2a-a2
=a(2-a)>0.
当 a>1 时, f(1)=1>0.
故当 a⩾0 时, x2-2ax+2a⩾0 在 (-∞,1] 上恒成立.
若 x-aln⁡x⩾0 在 (1,+∞) 上恒成立, 即 a⩽xln⁡x 在 (1,+∞) 上恒成立.
令 g(x)=xln⁡x, 则 g'(x)=ln⁡x-1(ln⁡x)2.
易知 x=e 为函数 g(x)=xln⁡x 在 (1,+∞) 上唯一的极小 值点, 也是最小值点.
故 g(x)min =g(e)=e, 所以 a⩽e.
综上所述, a 的取值范围为 [0,e], 故选 C.
【反思】 分段函数中对二次函数进行分析判断, 对超越函数进行参变分离.
3.已知,函数当时,不等式的解集是__.若函数恰有2个零点,则的取值范围是_.若函数恰有1个零点,则的取值范围是若函数恰有3个零点,则的取值范围是____
【解析】由 f(x)0,g(1)>0.
g(0)g(1)=a2x1x21-x11-x2⩽a2x1+1-x122. x2+1-x222=a216,
当且仅当 x1=x2=12 时等号成立. 又 a∈N*,b,c∈Z,g(0)>0,g(1)>0,g(0)=c⩾1, g(1)=f(1)-1=a+b+c-1⩾1, 所以 g(0)g(1)⩾1.
综上可知, a216⩾1, 即 a2⩾16,a⩾4.
又 a∈N*, 所以 a 的最小值为 4 .
【反思】 二次函数不同表达式的链接.
7.探求在定区间为常数)上的最值.
【解析】 y=f(x)=x2+x+c=x+122+c-14.
设 M(c) 和 m(c) 分别表示所求的最大值和最小值.
(1) 当 -12⩽m 时, f(x) 在 [m,n] 上单调递增,所以 M(c)=f(n),m(c)=f(m).
(2) 当 m