专题3 函数的单调性 - 解析版

这是一份专题3 函数的单调性 - 解析版，共15页。试卷主要包含了符号函数性质的渗透助突破，识别条件结构,㘬造函数破解，含参分段函数单调性关注分段点，综台问题层层分解寻找单调性，隐藏结构层层挖掘促步步显化，抽象函数单调优先助层层递进等内容，欢迎下载使用。
一、符号函数性质的渗透助突破
问题1:设是定义在上的奇函数,当时,,若对任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围是
A.
B.
C.
D.
【解析】卡壳点:不会将转化并利用函数的单调性.
应对策略:借助符号函数结构是解题的突破口.
问题解答:给定的函数即为
回归符号函数模型,函数为奇函数,且在上单调递增.
根据符号函数性质得.
化归转化抽象不等式:恒成立可转化为恒成立,
利用单调性转化:对恒成立,即对恒成立.
恒成立问题转化:,解得.
【反思】函数是分段函数,称为符号函数.将抽象不等式变形为函数两变量的大小关系式,再根据具体函数抽象化方法,利用其性质解题,否则就需要讨论并代人具体函数进行烦琐的计算.
二、识别条件结构,㘬造函数破解
问题2:定义在上的函数满足,且,则不等式的解集为
【解析】卡壳点:从题设主千条件看不出结构信息.
应对策略:从条件结构上去探寻函数结构.
问题解答:设任意,构造函数.
由已知条件,,所以在上单调递减.
由目标不等式可得,即,所以.又为正数,所以的解集为.
【反思】当面对复杂代数式结构时,冷静地分解代数式,尝试寻找代数式的主体结构,通过构造函数来寻找函数主体,然后判断函数的单调性,应用单调性解决目标问题.
三、含参分段函数单调性关注分段点
问题3:已知函数在上单调递增,求实数的取值范围.
【解析】卡壳点:不会对分段点左右两端函数单调性进行分析.
应对策略:对于分段函数的单调性要考虑分段点左右单调性一致.
问题解答:(1)审题当时,单调递增;当时,由于函数中含有参数,所以的单调性不确定.
(2)思考要使在上单调递增,必须满足三条:
第一条:在上单调递增;
第二条:在上单调递增;
第三条:.
(3)画图如图在上不单调,不满足第二条;如图2,不满足第三条;如图3,符合题意.
综上所述,实数的取值范围必须满足即.
【反思】若函数在上单调,为参数,则必须满足:
(1)在上单调增(减);
(2)在上单调增(减);
(3).
综合上述三个限制条件,即可准确得到问题的解.
四、综台问题层层分解寻找单调性
问题4:函数若方程有4个不同的根,且,则的取值范围是
【解析】卡壳点:面对综合问题,不会结合函数图噑进行分解.
应对策略:面对综合问题,既有分段函数,又有绝对值,还涉及零点,需妥画申图象一步步地分解.
问题解答:画出函数的图象,如图4所示,可知,
由,得.
所以,于是
此函数是单调递增函数,,所以所求代数式的取值范围是.
【反思】当问题转化为参变量函数时,要用到函数的单调性求函数的值域.
五、隐藏结构层层挖掘促步步显化
问题5:已知是定义在上的单调函数,且对任意,有,求.
【解析】卡壳点:面对复合结构,不会从整体结构上进行替换.
应对策略:面对条件中复杂的函数结构,通过变量替换层层拕掘条件式的结构,显化函数本质.
又,于是.
由于是单调函数,因此,
即.
令,则,解得,或.
经验证,这两个函数均符合题意,这样就得到了所有符合题意的.
【反思】第一,“用代替”是一个智慧点;第二,对代数式化简整理是基本功;第三,利用单调性转化是第二个智慧点;第四,此条件中复合结构复杂,看出本质并代换是智慧中的智慧!
六、抽象函数单调优先助层层递进
问题6:定义在上的函数满足对任意实数,有,当时,.设集合,集合,若,试求的取值范围.
【解析】卡壳点:不会利用函数的运算性质处理已知的两个集合.
应对策略:从抽象函数性质所对应的具体函数入手挖掘.
问题解答:先判断函数的单调性,再求的取值范围.
在中,令,得.因为,所以.
在中,令,则当时,.
当时,.
又,所以.
当时,,所以对任意.
设,则.
所以在上为减函数.
所以,即.
又,所以.
因为,所以直线与圆无公共点,
因此,解得.
【反思】利用函数性质显化两个集合元素的几何意义是智慧点.
强化练习
1.已知函数的定义域为,且对定义域内的一切实数,都有.又当时,有.若,则实数的取值范围是
A.
B.
C.D.
【解析】已知定义域关于原点对称, 令 x=y=0, 则 f(0)=f(0)+f(0), 即 f(0)=0.
再令 y=-x, 得 f(0)=f(x)+f(-x), 所以 f(-x)= -f(x), 所以原函数为奇函数.
设 -1