【专题复习】高考数学 专题1 用导数研究含参函数的单调性.zip

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函数是高中数学主干知识,单调性是函数的重要性质,用导数研究函数单调性是导数的一个主要应用,可以说在高考导数解答题中单调性问题是绕不开的一个问题,这是因为单调性是解决后续问题的关键,单调性在研究函数图像、比较函数值大小、确定函数的极值与零点、解不等式及证明不等式中都起着至关重要的作用.函数单调性的讨论与应用一直是高考考查的热点、而含有参数的函数单调性的讨论与应用更是高考中的热点难点.
二、解题秘籍
连续函数单调区间的分界点就是函数的极值点,也就是导函数的零点,即方程的根,所以求解含参函数的单调性问题,一般要根据的根的情况进行分类,分类时先确定导函数是一次型、二次型还是其他类型
1.若导函数是一次型,分类步骤是：
①判断是否有根,若没有根,会出现恒成立的情况；
②若有根,求出导的根,并判断根是否在定义域内；若根不在定义域内会出现恒成立的情况；
③若根在定义域内,会出现两个单调区间,根据导函数的正负,确定单调性；
2. 若导函数是二次型,分类步骤是：
①先判断二次型函数是否有根,若没有根,会出现恒成立的情况；
②判断根是否在定义域内,若仅有一个根在定义域内,会出现两个单调区间,根据导函数的正负,确定单调性；
③若两个根都在定义域内,需要根据两个根的大小进行讨论,当根的大小确定后,再讨论每个单调区间上的单调性.
3.若导函数是三角函数类型，需要借助三角函数的单调性及有界性进行讨论
下面我们根据的根的情况总结出11类题型及解法,帮助同学们掌握这类问题的求解方法.
类型一：定义域不是,可化为单根型一次方程
思路：根据根是否在定义域内进行分类
【例1】讨论的单调性
分析：,根的情况转化为根的情况
根据是否在定义域内进行分类
答案：
(1),在上是增函数；
(2),在上是减函数,在上是增函数.
类型二：定义域不是,可化为单根型类一次方程
思路：根据方程是否有根及根是否在定义域内进行分类
【例2】讨论的单调性
分析：,根的情况转化为在上根的情况.
步骤一：讨论(无实根)；
步骤二：讨论,由得(不在定义域内)；
步骤三：讨论,根据是否在定义域内再分.
答案：
(1),在上是减函数；
(2),在上是减函数；
(3)
( = 1 \* rman i), ,在上是增函数；
( = 2 \* rman ii),在上是减函数,在上是增函数.
类型三：定义域为, 可化为单根型类二次（或高次）方程
思路：根据的系数符号进行分类
【例3】讨论的单调性
分析：,因为,
根的情况转化为根的情况,
步骤一：讨论；
步骤二：讨论,注意此时 ；
步骤三：讨论,注意不等式两边除以,不等式要改变方向.
答案：
(1)时在上递增,在上递减；
(2)时在上递减；
(3) 时在上递减,在上递增.
类型四：定义域不是,可化为单根型二次方程
思路：根据方程的根是否在定义域内进行分类
【例4】讨论的单调性
分析：,因为,根的情况转化为在上根的情况.
步骤一：讨论(无实根)；
步骤二：讨论,由得；
答案：
(1),在上是增函数；
(2),, ,在上是增函数；,,在上是减函数.
类型五：定义域为, 可化为双根型二次方程
思路：根据根的大小进行分类
【例5】讨论的单调性
分析：,根的情况转化为的根的情况,根据与的大小进行讨论.
步骤一：讨论；
步骤二：讨论,注意此时；
步骤三：讨论.
答案：
(1)在上是增函数,在上是减函数；
(2),在上是增函数；
(3), 在上是增函数,在上是减函数.
类型六：定义域不是,可化为双根型二次方程
思路：根据根是否在定义域内及根的大小进行分类
【例6】讨论的单调性
分析：,根的情况转化为在上根的情况.
步骤一：讨论(根不在定义域内).
步骤二：讨论(根据的大小再分)
答案：
(1),在上是增函数；
(2)在上是增函数,在上是减函数；
(3),在上是增函数；
(4), 在上是增函数,在上是减函数.
类型七：定义域是,可化为双根型类二次方程
思路：根据根的个数及根的大小进行分类
【例7】讨论的单调性
分析：,根的情况转化为根的情况.
步骤一：讨论(无实根)；
步骤二：讨论,此时；
步骤三：讨论(根据的大小再分)
答案：
(1),在上是增函数,在上是减函数；
(2) 在上是减函数,在上是增函数；
(3)在上是增函数,在上是减函数；
(4),在上是增函数；
(5), 在上是增函数,在上是减函数.
提醒：对于类二次方程,不要忽略对项的系数为零的讨论
类型八：定义域不是,可化为双根型类二次方程
思路：根据根是否在定义域内、根的个数及根的大小进行分类
【例8】讨论的单调性
分析：,根的情况转化为根的情况.
步骤一：讨论(有1个根).
步骤二：讨论(不在定义域内)
步骤三：讨论(均在定义域内,根据的大小再分)
答案：
(1),在上是增函数,在上是减函数；(步骤一二合并)
(2)在上是增函数,在上是减函数；
(3),在上是增函数；
(4), 在上是增函数,在上是减函数.
类型九：先化为指数型方程,再通过拟合化为一次（或类一次）或二次（或类二次）方程
【例9】讨论的单调性
分析：,根的情况转化为根的情况.
步骤一：讨论(有1个根).
步骤二：讨论,的拟合函数为 (根据的大小再分)
答案：
(1),在上是增函数,在上是减函数；
(2)在上是增函数,在上是减函数；
(3),在上是增函数；
(4), 在上是增函数,在上是减函数.
类型十：先化为对数型方程,再通过拟合化为一次（或类一次）或二次（或类二次）方程
【例10】讨论的单调性
分析：的拟合函数为(根据与0,1大小分类)
步骤一：讨论( ).
步骤二：讨论, (再分)
答案：
(1),在上是减函数,在上是增函数；
(2)在上是增函数,在上是减函数；
(3),在上是增函数；
(4), 在上是增函数,在上是减函数.
类型十一：导函数为三角函数类型
【例10】判断在上的单调性
分析：
步骤一：，
步骤二：令，，
步骤三：利用弦函数有界性得，
步骤四：为增函数，．
答案：在上单调递增.
三、典例展示
【例1】（2024届重庆市南开中学校高三上学期7月月考）已知函数，其中且.
(1)讨论的单调性；
(2)，有，求证：.
【解析】（1），
当时，，可得，所以在上单调递减，
当时，，，故在单调递减，在单调递增.
（2）①当时，在上单减，因为，故，
所以，不符题意，故舍去.
（也可用时，，舍去）
②当时，在单减，单增，，
故，
令，则有，
令，且，
，
令，，故在单减，
因为，，故使得，
当时，，，单增，
当时，，，单减，
又，，
故存在使得，
所以由不等式解得，即，
又，，所以函数在单减，
所以，，
记，则，
所以在单减，，
而，显然成立，
综上：.
【例2】（2024届山西省朔州市怀仁市高三上学期摸底）已知函数（，e为自然对数的底数）.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数有且仅有3个零点，求实数a的取值范围.
【解析】（1）函数的定义域为，
.
①当时，由，有，令，可得，
可得函数的减区间为，
令，函数的增区间为；
②当时，，
可得函数在区间上单调递增，无单调减区间；
③当时，，令，可得，
可得函数的减区间为，
令，可得，或，所以函数的增区间为，；
④当时，，令，可得，
令，可得，或，
可得函数的减区间为，增区间为，；
综上，当时，由函数的减区间为，增区间为；
当时，函数在区间上单调递增；
当时，函数的减区间为，增区间为，；
当时，函数的减区间为，增区间为，.
（2）.
由（1）可知：
①当时，由函数的减区间为，增区间为，有，函数没有零点，不合题意；
②当时，函数单调递增，函数最多只有一个零点，不合题意；
③当时，函数的减区间为，增区间为，，
由，函数最多只有一个零点，不合题意；
④当时，函数的减区间为，增区间为，.
由，若函数有且仅有3个零点，必需，
令，有，
令，有，
可得函数单调递增，有，
可得函数单调递增，又由，
故满足不等式的a的取值范围为.
又由，可得当时，，
又由，，，可得函数有且仅有3个零点.
由上知，若函数有且仅有3个零点，实数a的取值范围为.
【例3】（2023届福建省三明市高三三模）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若，证明：.
【解析】（1）定义域为，因为，
所以.
令，则，
所以，
当时，，此时，所以在上单调递减.
当时，令，则，
所以当时，，即在上单调递减.
当时，令，则，
所以当时，，
即在和上单调递减，
当时，，
即在上单调递增.
综上所述：当时，在上单调递减；
当时，在和上单调递减，
在上单调递增
（2）要证明：，只要证明：，
只要证明：
只要证明：.
只要证明：，
只要证明：，
只要证明：.
由（1）知，当时，在上单调递减.
即要证明，即要证明.
即证明.因为，所以，所以原不等式成立.
解法二：
要证明：，只要证明：.
只要证明：
只要证明：
只要证明：.
令，
所以
所以.
因为，所以，即在上单调递增.
所以，即原不等式成立
【例4】（2023届福建省福州高三适应性考试）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数有两个零点，，且，求证:(其中是自然对数的底数).
【解析】（1）函数定义域为，
，
当时恒成立，所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减；
当时令，解得或，
当，即时恒成立，所以在上单调递增；
当即时，令，解得或，则在，上单调递增，
令，解得，则在上单调递减；
当即时，令，解得或，则在，上单调递增，
令，解得，则在上单调递减；
综上可得，当时在上单调递增，在上单调递减；
当时在上单调递增；
当时在，上单调递增，在上单调递减；
当时在，上单调递增，在上单调递减；
（2）因为，
由题意，是方程的两个根，
①，②，
①②两式相加，得③，
①②两式相减，得④，
联立③④，得，
，
设，，，
，，
因为，所以，则，
若，则一定有，
只需证明当时，不等式成立即可，即不等式成立，
设函数，，
在上单调递增，故时，，
即证得当时，，即证得，
，即证得，则．
【例5】（2023届湖北省新高三摸底联考）已知,函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)如果我们用表示区间的长度,试证明：对任意实数,关于的不等式的解集的区间长度小于．
【解析】 (1),定义域为,
若恒成立,所以在上单调递减；
若,
当时,；当时,,
所以在上单调递减,在上单调递增．
综上,时,在上单调递减；时,在上单调递减,在上单调递增．
(2)令,则,因为,
由（1）知,在上单调递减,在上单调递增,
又,所以,
令,
由恒成立,
所以在上单调递增．
又,所以,即．从而,
所以,即．
因为,所以,
所以存在唯一,使得,所以的解集为,
即的解集为,又的区间长度为,
原命题得证．
四、跟踪检测
1.（2024届湖北省黄冈市高三上学期8月质量检测）已知函数，，为函数的导函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若方程在上有实根，求的取值范围.
【解析】（1），令，则
当时，，函数在上单调递增；
当时，，得，，得.
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）知，，方程在上有实根等价于方程在上有实根.
令，则
当时，，函数在上单调递增，，不合题意；
当时，在上恒成立，所以函数在上单调递减，，不合题意；
当时，，得，，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
因为，所以，所以
综上所述，的取值范围为
2．（2024届广东省罗定中学高三上学期8月调研）已知函数，其中.
(1)求函数的单调区间；
(2)讨论函数零点的个数；
【解析】（1）由题意知：定义域为，，
令，解得：，，又，
当时，；当时，；
的单调递增区间为，；单调递减区间为.
（2）取，则当时，，，，
；
，由（1）知：在上单调递增，
当时，，即在上无零点；
下面讨论的情况：
①当时，在上单调递减，在上单调递增，
，
又，，
在和上各存在一个零点，即有两个不同零点；
②当时，在上单调递减，在上单调递增，又，
有唯一零点；
③当时，在上单调递减，在上单调递增，
，无零点；
综上所述：当时，有两个不同零点；当时，有且仅有一个零点；当时，无零点.
3.（2023届四川省内江市高三零模考试）已知函数,
(1)讨论的单调性；
(2)若不等式对任意恒成立,求的最大值．
【解析】 (1),
当时,恒成立,在上单调递增；
当时,令得,令得,在上单调递增,在上单调递减；
综上所述：当时, 在上单调递增；
当时, 在上单调递增,在上单调递减；
(2)依题意得：对任意恒成立,等价于恒成立.
令,则,则当时,,当时,,又,
在上单调递减,在上单调递增,
,
,即的最大值为.
4.（2023届河南省安阳市高三上学期名校调研摸底考试）已知函数．
(1)当时,讨论的单调性；
(2)当时,若,求b的最小值．
【解析】 (1)当时,,,当时,,在R上单调递增；当时,令有,当时,,单调递减,当时,,单调递增.
(2)当时,由（1）若,则有解即可,即有解,即有解,设,则,故当时,,单调递减；当时,,单调递增.故,故当.故b的最小值为
5.（2023届三省三校高三第一次联考）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若,设在上的最小值为,求证： .
【解析】 (1).
①当,即时：恒成立.故在上单调递减.
②当,即时：令,即,解得：;
所以在上单调递减,在上单调递增.
综上所述：当时：在上单调递减；
当时：在上单调递减,在上单调递增.
(2)当时,.
.
因为在上单调递增,且,.
所以必存在点,使,即
且当时,当时,
所以在区间上单调递减,在区间上单调递减.
所以..
又因在上单调递减.
所以.
故恒成立.
6．（2024届海南省陵水黎族自治县高三上学期第一次模拟）已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)若有两个零点，记较小零点为，求证：.
【解析】（1）解：的定义域为，
，
当时，有，即在上单调递增；
当时，令，可得，令，可得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
（2）证明：函数有两个零点，由第一问可知，且较小的零点，
则要证，即证，即证，
而可得（易检验），代换上式中，
所以即证，即证，
令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，而，
所以，即，得证.
7．（2023届贵州省贵阳市高三3 3 3高考备考诊断性联考）实数，，.
(1)讨论的单调性并写出过程；
(2)求证：.
【解析】（1）若，令，的定义域为.
.
此时
①当时，时，，在上是增函数；
时，，在上是减函数；
时，，在上是增函数；
②当时，，在上单调递增；
③当时，时，，在上是增函数，
时，，在上是减函数，
时，，是增函数.
若时，，
时，，在上是减函数；
时，，在上是增函数；
若，则的定义域为，
此时且，
当时，，当时，；
当时，；当时，；
故在，上为增函数，在，上为减函数
（2）由（1）得时，，在上是减函数，
即当时，，即，
即.
令，，
求和即得.
8．（2024届江西省高三第一次稳派大联考）已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）定义域为，，
①当时，令，得，此时单调递增，
令，得，此时单调递减；
②当时，令，得，此时单调递增，
令，得，此时单调递减；
综上所述，当时，在单调递增，在单调递减；
当时，在单调递增，在单调递减.
（2）记，
由（1）知，当时，，
则，则，
当时，恒成立，
即对恒成立，
即对恒成立，
则，即对恒成立，
令，对恒成立，
则在单调递增，所以，
所以，即实数的取值范围为.
9.已知
(1)若,讨论函数的单调性；
(2)有两个不同的零点,,若恒成立,求的范围．
【解析】 (1)定义域为
ⅰ）即时,
,或
ⅱ）即时,,恒成立
ⅲ）即,
,或
综上：
时,,单调递减；、,单调递增
时,,单调递增
时,,单调递减；、,单调递增
(2),由题,
则,设
∴
∴
恒成立
,
∴
∴恒成立
设,
∴恒成立
ⅰ）时,,
∴,
∴在上单调递增
∴恒成立,
∴合题
ⅱ）,,
∴,
∴在上单调递增
时,,
∴在上单调递减
∴,,不满足恒成立
综上：
10.已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若在上恒成立,求实数a的取值范围.
【解析】 (1)的定义域是,.
①当时,恒成立,所以在上单调递增；
②当时,令,解得或（舍）,令,解得,令,解得,
所以在上单调递增,在上单调递减.
(2)若在上恒成立,即在上恒成立.
令,,
则.
当时,,,不符合题意；
当时,在上恒成立,所以在上单调递减,又,所以,不符合题意；
当时,若,即,在上恒成立,所以在上单调递增,又,所以在上恒成立,符合题意.
若,即,令,解得,令,解得,所以在上单调递减,在上单调递增,
所以,不符合题意；
若,即,在上恒成立,所以在上单调递减,又,所以,不符合题意.综上所述,实数a的取值范围是.
11.已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若,函数在上恒成立,求整数的最大值.
【解析】 (1)
若时,,在上单调递增；
若时,,当或时,,为增函数,
当时,,为减函数,
若时,,当或时,,为增函数,
当时,,为减函数.
综上,时,在上单调递增；
当时,在和上单调递增,在上单调递减；
当时,在和上单调递增,在上单调递减.
(2)由,解得 ,
所以,
由时,,可知在上恒成立
可化为在上恒成立,设,
则,
设,则 ,所以在上单调递增,
又,,
所以方程有且只有一个实根,且 ,,
所以在上,, 单调递减,在上,,单调递增,
所以函数的最小值为,
从而,又为整数,所以的最大值为.
12．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若在上只有一个极值,且该极值小于,求的取值范围.
【解析】（1）由题意,函数,
可得,
当时,,令,解得；令,解得,
故在递减,在递增,
当时,令,解得或,
设,可得,
当时,；当时,,
故,故,
由,解得或,
由,解得,
故在递增,在递减,在递增,
综上可得：当时,在递减,在递增,
时,在递增,在递减,在递增；
（2）当时,由（1）知,在递减,在递增,
故,解得,
当时,,由（1）知在处取极大值,
设,
则,
因为,可得,所以,在递减,
所以,所以不合题意,
当时,,由（1）知在递增,
此时在无极值,不符合题意,
综上可得,实数的取值范围是.