专题14 分类讨论证明或求函数的单调区间（含参）(解析版)

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专题14 分类讨论证明或求函数的单调区间（含参）
【知识总结】
1．f(x)在D上单调递增(减)，只要f′(x)≥0(≤0)在D上恒成立即可，如果能够分离参数，则尽可能分离参数后转化为参数值与函数最值之间的关系。
2．二次函数在区间D上大于零恒成立，讨论的标准是二次函数的图象的对称轴与区间D的相对位置，一般分对称轴在区间左侧、内部、右侧进行讨论。
【例题讲解】
【例1】　(1)若函数y＝sin2x＋acosx在区间(0，π)上是增函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1] B．[－1，＋∞)
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
(2)已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)ex，若f(x)在[－1,1]上是减函数，则a的取值范围是________。
解析　(1)y′＝cos2x－asinx≥0在(0，π)上恒成立，即a≤＝在(0，π)上恒成立。令t＝sinx∈(0,1]，g(t)＝＝－2t，t∈(0,1]，易知函数g(t)在(0,1]上单调递减，所以g(t)min＝g(1)＝－1，所以a≤－1，即实数a的取值范围是(－∞，－1]。
(2)f′(x)＝[x2－2(a－1)x－2a]·ex，因为f(x)在[－1,1]上是减函数，所以f′(x)≤0对x∈[－1,1]恒成立，所以x2－2(a－1)x－2a≤0对x∈[－1,1]恒成立。设g(x)＝x2－2(a－1)x－2a，所以所以解得a≥。
答案　(1)A　(2)a≥
【变式训练】　已知函数f(x)＝lnx＋ax2－2x存在单调递减区间，则实数a的取值范围为________。
解析　f′(x)＝＋ax－2＝(x>0)，函数f(x)存在单调递减区间，即定义域(0，＋∞)内存在区间使ax2－2x＋1≤0，等价于a小于在x∈(0，＋∞)上的最大值，设g(x)＝，则g′(x)＝，可知，函数g(x)在区间(0,1)上为增函数，在区间(1，＋∞)上为减函数，所以当x＝1时，函数g(x)取得最大值，此时g(x)＝1，所以a