专题14解三角形-解析版

这是一份专题14解三角形-解析版，共22页。试卷主要包含了挖掘题设信息，巧妙选角建模建立线段函数，统一方向转化复杂三角式，慧眼识别复杂三角式结构，互补角余弦定理建立等量关系， 解析思想寻找轨迹解三角形等内容，欢迎下载使用。
一、挖掘题设信息、有序运用极化
问题1：已知O是△ABC的外心，若|AB|=2，|AC|=4，则|AO||BC|的最小值是 ．
【解析】卡壳点：不了解外心对向量数量积的影响．
应对策略：挖掘条件信息，有序利用极化恒等式．
问题解答：解法1 AO⋅BC=AO⋅AC-AO⋅AB=|AC|22-|AB|22=8-2=6，
|AO||BC|=AO⋅BCcs〈AO,BC〉=6cs〈AO,BC〉．
当AO与BC的夹角趋于0时，cs〈AO,BC〉趋于1，|AO||BC|趋于6．
故|AO||BC|的最小值是6．
解法2 应用正弦定理与余弦定理有
|AO||BC|=12×BC2sinA=10×1-8csAsinA⩾102-821-cs2AsinA=6 （*），
当且仅当csA=45时，取得等号．
故|AO||BC|的最小值是6．
解法3 设BC=2x，则根据海伦公式，有△ABC面积
S=(3+x)(1+x)(-1+x)(3-x)=9-x2x2-1．
于是，|AO|=|AB||BC||CA|4S=4x9-x2x2-1．
故|AO||BC|=8x29-x2x2-1=8-1+10x2-9x4⩾6，当且仅当x=35时取得等号．
故|AO||BC|的最小值是6．
【反思】（1）解法1中，由“O是△ABC的外心”最先想到的是向量数量积的投影定义，在对“cs〈AO,BC〉”用极限思想分析过程中思维容易受阻．
（2）解法2中（*）式是一个运算智慧点，这里可以称是利用柯西不等式，实质上就是两向量数量积不大于两向量模之积．
（3）解法3一般不容易想到，一是涉及海伦公式，二是涉及“三边之积等于4倍的三角形面积与外接圆半径之积”．
二、巧妙选角建模建立线段函数
问题2：在等腰Rt△ABC中，AB=AC=1，在AB，AC上分别取点D，E，沿DE折叠，点A恰好落在边BC上，则AD的最小值为 ．
【解析】卡壳点：引入角建立目标函数是一个障碍，分析三角形内各角之间的联系也是一个障碍．
应对策略：为了建立线段长度函数，一是引入角，将线段与角联系；二是建立坐标系，因为给定了直角三角形．
问题解答：解法1 记点A关于DE对称且在BC上的点为P，
如图1，设∠BAP=θ，AD=x=DP，
则∠DPA=θ，∠BDP=2θ，∠APB=π-π4-θ=3π4-θ．
在△ABP中，由正弦定理得BPsinθ=1sin3π4-θ，
即BP=sinθsin3π4-θ ①．
在△PBD中，由正弦定理得xsinπ4=BPsin2θ，所以BP=2xsin2θ ②．
由①②可得2xsin2θ=sinθsin3π4-θ，
故x=122csθsin3π4-θ=12sin3π4+sin3π4-2θ=11+2sin3π4-2θ
当3π4-2θ=π2，即θ=π8时，分母最大值为1+2．
故xmin=11+2=2-1．
解法2 建立直角坐标系（将图形按如图2所示的方式摆放，利用直角关系），将几何条件“△ADE沿DE折叠，点A恰好落在边BC上”坐标化，建立目标AD长的代数函数关系．
记点A关于DE的对称点为点P，点P在BC上，则BC所在直线的函数解析式为x+y=1．
P(x,1-x)，0