专题06 解三角形（解析版）

这是一份专题06 解三角形（解析版），共55页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题06 解三角形
一、单选题
1．（2022·湖北襄阳·高三期末）在中，，，则角的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设，则，利用基本不等式求出的最小值，结合角的取值范围可求得角的最大值.
【详解】
设，则，由余弦定理可得，
当且仅当时，等号成立，因为，则.
故选：A.
2．（2022·湖北省鄂州高中高三期末）在中，，为的重心，若，则外接圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先由条件判定为等边三角形，再求得的边长，以正弦定理去求外接圆的半径即可解决.
【详解】
由，可得，则有
又在中，，为的重心，则为等边三角形.
则
解之得，则外接圆的半径为
故选：C
3．（2022·山东泰安·高三期末）在中，“”是“为钝角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
由充分、必要关系的定义，结合三角形内角的性质判断题设条件间的推出关系，即可确定答案.
【详解】
由：
若，则为钝角；
若，则，
此时，故充分性成立.
△为钝角三角形，若为钝角，则不成立；
∴“”是“△为钝角三角形”的充分不必要条件.
故选：.
4．（2022·江苏如东·高三期末）某校数学建模社团学生为了测量该校操场旗杆的高AB，先在旗杆底端的正西方点C处测得杆顶的仰角为45°，然后从点C处沿南偏东30°方向前进20m到达点D处，在D处测得杆顶的仰角为30°，则旗杆的高为（ ）
A．20m B．10m C．m D．m
【答案】B
【分析】
根据条件确定相关各角的度数，表示出 ，等边的长度，然后在中用余弦定理即可解得答案.
【详解】
如图示，AB表示旗杆，

由题意可知：，
所以设 ，则，
在 中， ,
即 ，解得 ，（舍去），
故选：B.

二、多选题


三、填空题
5．（2022·山东莱西·高三期末）在中，，，，，，若的外接圆的半径为，则角___________.
【答案】
【分析】
先根据正弦定理求出，再由条件确定为钝角，为锐角，然后求出，再利用即可求得角.
【详解】
设角A,B,C的对边分别为a，b，c，
由正弦定理，
，
，，
即为钝角，为锐角，
，
，
.
故答案为：.
6．（2022·江苏扬州·高三期末）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．若（）有最大值，则的取值范围是__________．
【答案】
【分析】
方法一：由已知结正弦定理可得，从而可得＝2m[cosC＋（－）sinC]，构造函数f（C）＝cosC＋（－）sinC，利用导数求其最大值，从而结合三角函数的性质可得结果，
方法二：由已知结正弦定理可得，从而可得mb＋nc＝2m[cosC＋（－）sinC]，构造函数f（C）＝cosC＋（－）sinC，然后利用辅助角公式结合三角函数的性质可求得
【详解】
法一：由题意可知，在中，由正弦定理可得，＝＝＝＝2，
所以，
又B＋C＝，
则mb＋nc＝m×2sinB＋n×2sinC＝2m[sin（－C）＋sinC]
＝2m[cosC－sinC＋sinC]
＝2m[cosC＋（）sinC]，
设f（C）＝cosC＋（）sinC，则f′（C）＝－sinC＋（）cosC，
令f′（C）＝0，则－sinC＋（）cosC＝0，
即tanC＝∈（0，），
所以∈，则∈（，2）．
法二：由题意可知，在中，由正弦定理可得，＝＝＝＝2，
所以，
又B＋C＝，
则mb＋nc＝m×2sinB＋n×2sinC＝2m[sin（－C）＋sinC]
＝2m[cosC－sinC＋sinC]
＝2m[cosC＋（）sinC]，
设f（C）＝2m[cosC＋（）sinC]＝sin（C＋），其中tan＝，
则当C＋＝，即C＝－时取到最大值，
则此时tanC＝tan（－）＝＝＝∈（0，），
所以∈，则∈（，2）．
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：此题考查正弦定理的应用，考查三角函数恒等变换公式的应用，考查导数的应用，解题的关键是由正弦定理和三角函数恒等变换公式得到mb＋nc＝2m[cosC＋（）sinC]，然后构造函数f（C）＝cosC＋（）sinC，利用导数或三角函数的性质求出其最值，从而可求得结果，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题
7．（2022·广东揭阳·高三期末）如图所示，在等腰直角中，为的中点，，分别为线段上的动点，且.


（1）当时，则的值为__________.
（2）的最大值为__________.
【答案】
【分析】
第一个空：过点作于点，在Rt中，可求出，从而在中，根据余弦定理即可求出答案；第二空需要选择恰当的角度表示出的值，再利用三角恒等变换以及三角函数的性质求解出最值.
【详解】
当时，，过点作于点，
在Rt中，，，，
在中，由余弦定理，得.

（2）设，则，
过点分别作的垂线于两点，则，
在与中，，，
所以，
所以当时，.

故答案为：；.
8．（2022·山东青岛·高三期末）已知的三个内角分别为，且成等差数列，则角的取值范围是_______；最小值为______.
【答案】
【分析】
第一空：根据已知条件运用等差数列性质以及正弦定理得到，运用余弦定理和基本不等式即可求解；
第二空：令，对其求导后根据导数与函数最值关系的知识即可求解.
【详解】
因为成等差数列，
所以，
在中，由正弦定理得：，
代入上式化简得：，
在中，由余弦定理得：
，
当且仅当，即时，等号成立，
又因为在中，，
所以，即角的取值范围是.
令，，
则，
令，
得或，
又因为，
所以，
则，
所以当时，单调递减；当时，单调递增.
所以当，即时，取得最小值，
所以.
故答案为：；

四、解答题
9．（2022·江苏海安·高三期末）在平面四边形ABCD中，∠BAD＝2∠ACB＝4∠BAC，AB＝2，BC＝－，CD＝．
（1）求∠ACB的大小；
（2）求四边形ABCD的面积．
【答案】

（1）

（2）
【分析】
（1）根据正弦定理及二倍角公式即可求解；
（2）由（1），分别运用正弦定理和余弦定理求出相关边长，再由面积公式计算即可.
（1）
由题意，设，则，，
在中，由正弦定理有，即，解得.
所以，
因为，所以.
（2）
由（1），可知，由正弦定理有，即，解得，
在中，由余弦定理有，
即，解得，
四边形ABCD的面积


.
10．（2022·江苏通州·高三期末）从以下3个条件中选择2个条件进行解答.①BA＝3；②BC＝；③∠A＝60°.在△ABC中，已知 ，D是AC边的中点，且BD＝，求AC的长及△ABC的面积.
【答案】，三角形的面积为
【分析】
结合余弦定理、三角形的面积公式求得正确答案.
【详解】
选①②，
设，
由余弦定理得，，
所以，
由于，所以.
所以.
选①③，
设，
由余弦定理得，
所以，
所以.
选②③，
设，
在三角形中，由余弦定理得①，
在三角形中，由余弦定理得②，
由①②解得，
所以，
所以.

11．（2022·江苏扬州·高三期末）在①b2＋c2－a2＝，②asinB＝bsin（A＋），③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．
在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，△ABC的面积为S， ．
（1）求角A；
（2）若AC＝2，BC＝，点D在线段AB上，且△ACD与△BCD的面积比为4∶5，求CD的长．
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答内容计分）
【答案】

（1）

（2）
【分析】
（1）选①，利用余弦定理和三角形的面积公式求得；选②，利用正弦定理、两角和的正弦公式求得；选③利用正弦定理、两角和的正弦公式求得.
（2）利用余弦定理求得的长.
（1）
选①，因为b2＋c2－a2＝，由余弦定理b2＋c2－a2＝2bccosA，
及得，
所以，因为cosA≠0，所以，
因为A∈（0，π），所以A＝．
选②，因为asinB＝bsin（A＋），及正弦定理，
所以可得sinAsinB＝sinBsin（A＋），
因为sinB≠0，所以sinA＝sin（A＋），
，
所以，因为cosA≠0，所以，
因为A∈（0，π），所以A＝．
选③，因为，及正弦定理，
所以，即．
因为sinA≠0，所以，又A∈（0，π），所以A＝．
（2）
在△ABC中，由余弦定理得，
因为AC＝2，BC＝，A＝，所以7，
解得AB＝3或AB＝－1（舍），
因为△ACD与ABCD面积比为4∶5，所以，
在三角形ACD中，由余弦定理得
，
即．
12．（2022·江苏宿迁·高三期末）在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答.问题：在中，内角的对边分别为，且__________.
（1）求角；
（2）若是锐角三角形，且，求的取值范围.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】

（1）答案见解析

（2）
【分析】
（1）选择①，运用正弦定理及同角三角函数关系求解；选择②，运用面积公式及同角三角函数关系求解；选择③运用正切两角和公式及同角三角函数关系求解.
（2）根据正弦定理及正切函数的单调性求解
（1）
选择①：条件即，由正弦定理可知，，
在中，，所以，
所以，且，即，所以；
选择②：条件即，即，
在中，，所以，则，
所以，所以.
选择③：条件即，
所以，
在中，，所以.
（2）
由（1）知，，所以，
由正弦定理可知，，
由是锐角三角形得，所以.
所以，所以，故的取值范围为.
13．（2022·江苏如东·高三期末）在①；②,这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， .
（1）判断△ABC的形状；
（2）在（1）的条件下，若，b＝10，AD为BC边上的中线，求AD的长.
【答案】

（1）选①，等腰三角形；选②，等腰三角形或直角三角形；

（2）选①，；选②，或；
【分析】
（1）选①，由正弦定理变形后可得；选②，由正弦定理及同角关系变形后，结合正弦函数性质得三角形为等腰三角形或直角三角形；
（2）选①，由等腰三角形性质求得底边长，然后由余弦定理求得；
选②，三角形为等腰三角形时同选①，三角形为直角三角形时，由求得，然后求得，用勾股定理求得．
（1）
选①，，由正弦定理理，即，又是三角形内角，所以，△ABC是等腰三角形；
选②，，由正弦定理得，所以，
，又是锐角三角形内角，所以或，
所以或，
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形；
（2）
选①，，则，，，
中，由余弦定理得：
，；
选②，时同选①得，
时，，则，，所以，，
所以．
14．（2022·江苏如皋·高三期末）已知在△ABC中，D为边BC上一点，CD=10，2AC=3AD=AB，cos∠CAD=.

（1）求AD的长；
（2）求sinB.
【答案】

（1）；

（2）.
【分析】
(1)在中，利用余弦定理建立方程求解作答.
(2)利用(1)的结论求出，再在中由正弦定理计算作答.
（1）
依题意，在中，由余弦定理得：，
即，解得，
所以AD的长是.
（2）
在中，由(1)知，，由余弦定理得：，
则有，在中，由正弦定理得：，
所以.
15．（2022·江苏无锡·高三期末）中，角所对应的边分别为，已知，，________.
请在①；②这两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并加以解答：（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）
（1）求角；
（2）求面积.
【答案】

（1）

（2）
【分析】
（1）若选①，则由正弦定理化简算出即可；若选②，先由正弦定理角化边，再利用余弦定理即可
（2）因为，计算和即可
（1）
若选①，则由
，
若选②，则
，.
（2）
在中，，
由正弦定理
而

16．（2022·江苏常州·高三期末）已知在四边形中，，，，且，．
（1）求；
（2）求．
【答案】

（1）

（2）7
【解析】
（1）
在中，
则
，
又在中，，故
（2）
设，，，，则，

由 即可知，
即
在中，，
又，则有
故
在中，
即，
解之得，即的长为7
17．（2022·江苏苏州·高三期末）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）的横线上，并解答下列题目．
在中，已知角的对边分别为，且，．
（1）求；
（2）若为边上一点，且，__________，求的面积．
（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）
【答案】

（1）

（2）
【分析】
（1）利用三角形内角和以及诱导公式化简，可得答案；
（2）若选①，根据边长之间的关系，结合余弦定理，可求的长，再用面积公式求得答案.若选②，可直接用正弦定理求得，接着用余弦定理求MC，最后求得面积；若选③，则根据直接求得AB,,再用余弦定理求得MC，最后求得面积.
（1）
由，得，
由正弦定理得．
因为，所以，
所以，即．
（2）
选①，设，．因为，
所以．
由余弦定理得，
解得．
所以，所以的面积．
选②，因为，所以．
由正弦定理得，解得，
由余弦定理得，
解得．
所以，所以的面积．
选③，因为，所以．
由，解得，所以．
由余弦定理得，
解得．
所以，所以的面积．
18．（2022·广东揭阳·高三期末）在中，角所对的边分别为，且.
（1）求角；
（2）若，且的面积为，且，求和的值.
【答案】

（1）

（2）
【分析】
（1）将已知条件利用正弦定理边化角，然后根据诱导公式、两角和的正弦公式化简即可得答案；
（2）由余弦定理及三角形的面积公式列出方程组求解即可得答案.
（1）
解：在中，因为，
所以由正弦定理可得，
又，
所以，即，
，

（2）
解：由余弦定理及三角形面积公式得，即，
因为，所以解得.
19．（2022·广东潮州·高三期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，
（1）求角B的大小；
（2）若点D在边AC上，且AD=2DC，BD=2，求面积的最大值．
【答案】

（1）

（2）
【分析】
（1）由已知结合正弦定理得，而代入化简可得，从而可求出角B的大小，
（2）由点D在边AC上，且AD=2DC，可得，平方化简后可得，再利用基本不等式可得，从而可求出面积的最大值
（1）
因为，
所以由正弦定理得,
所以，
所以，
所以，
因为，所以，
因为，所以
（2）
因为点D在边AC上，且AD=2DC，
所以
，
所以,
所以，即，
因为，所以，即，当且仅当时取等号，
所以面积为，当且仅当，即时取等号，
所以面积的最大值为
20．（2022·广东东莞·高三期末）的内角、、的对边分别为、、，已知.
（1）求；
（2）若，的面积为，求的周长.
【答案】

（1）；

（2）.
【分析】
（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式可求得的值；
（2）利用三角形的面积公式可求得，利用余弦定理可得出的值，可求得的值，即可得解.
（1）
解：因为，由正弦定理得，
即，
由，得，因为，所以.
（2）
解：由，，得，解得，
由，即，即.
由，得，
故，所以的周长为.
21．（2022·广东罗湖·高三期末）设的内角、、的对边分别为、、，且．
（1）求角的大小；
（2）若边上的高为，求．
【答案】

（1）；

（2）.
【分析】
（1）利用余弦定理可求得，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）利用三角形的面积公式可得出，利用余弦定理可得出，再代入即可得解.
（1）
解：由余弦定理，得， 所以，，
所以，，
又因为，所以，，则，
，因此，.
（2）
解：因为的面积，则，
由余弦定理，得，
所以，， 所以，.
22．（2022·广东清远·高三期末）在平面四边形中，．

（1）求；
（2）求的面积．
【答案】

（1）；

（2）.
【分析】
（1）在中求出，然后在中，利用余弦定理即可求出的长；
（2）首先判断出为直角三角形，从而可求出，然后利用三角形的面积公式即可求出答案.
（1）
因为为直角三角形，，
所以．
在中，，
由余弦定理，得，所以．
（2）
由（1）知，，，所以，
所以为直角三角形，且，
所以，
故．
23．（2022·广东汕尾·高三期末）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
（1）求角B
（2）当b=3时，求的面积的最大值．
【答案】

（1）

（2）
【分析】
（1）由正弦定理角化边可得，根据余弦定理结合角B的范围，即可得答案.
（2）由题意，结合基本不等式，可得，代入面积公式，即可得答案.
（1）
由正弦定理得：，整理得，
所以，
因为，所以
（2）
因为，
所以（当且仅当时等号成立），
所以面积的最大值.
24．（2022·广东佛山·高三期末）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求角A的大小；
（2）若边上的中线，求的面积.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）根据，利用正弦定理转化为，再利用两角和的正弦公式求解；
（2）在中，由余弦定理得到，然后分别在和中，利用余弦定理结合，两式相加得到，联立求得c，再利用三角形面积公式求解.
（1）
解；因为，
所以，
所以，
即 ，
因为 ，
所以 ，
所以；
（2）
在中，由余弦定理得，
即①，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
因为，
两式相加得②，
由①②得，
所以.
25．（2022·广东·铁一中学高三期末）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.
已知的内角，，所对的边分别是，，，若______.
（1）求角；
（2）若，求周长的最小值，并求出此时的面积.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）分别选三个条件，都可用正弦定理解出；
（2）由余弦定理可得，利用基本不等式可求出的最小值，即可求出周长最小值，再利用面积公式求出面积.
【详解】
（1）选①，由正弦定理得，
∵，∴，即，
∵，∴，
∴，∴.
选②，∵，，
由正弦定理可得，
∵，∴，
∵，∴.
选③，∵，
由已知结合正弦定理可得，
∴，∴，
∵，∴.
（2）∵，即，
∴，解得，当且仅当时取等号，
∴，周长的最小值为6，此时的面积.
【点睛】
本题考查正余弦定理的应用，考查基本不等式求最值，考查三角形面积公式，属于基础题.
26．（2022·湖南娄底·高三期末）在中，已知，．
（1）若，求的面积；
（2）若，求的周长．
（参考数据：．）
【答案】

（1）

（2）
【分析】
（1）首先利用正弦定理得到，再利用面积公式求解即可.
（2）首先设，，利用余弦定理得到，再求周长即可.
（1）
在中，
由正弦定理得，，所以，
所以三角形面积为.
（2）
因为，所以可设，，
在中，由余弦定理得，，
因为，，
所以，解得，
所以三角形的周长为．
27．（2022·湖南常德·高三期末）设a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，．
（1）求角A的大小；
（2）从下面两个问题中任选一个作答，两个都作答则按第一个记分．
①设角A的角平分线交BC边于点D，且，求面积的最小值．
②设点D为BC边上的中点，且，求面积的最大值．
【答案】

（1）；

（2）①；②.
【分析】
（1）利用正余弦定理即求；
（2）选①利用基本不等式及面积公式即求；选②利用余弦定理可得，然后利用基本不等式及面积公式即求.
（1）
∵且,
∴，即，
∴，又，
∴；
（2）
选①∵AD平分∠BAC，
∴，

∵，
∴，
即，
∴
由基本不等式可得：
，
∴，当且仅当时取“=”，
∴，
即的面积的最小值为；
②因为AD是BC边上的中线，
在中由余弦定理得，
在中由余弦定理得，
∵，
∴，
在中，，由余弦定理得，
∴
∴，
解得，当且仅当时取“=”，
所以，
即的面积的最大值为.
28．（2022·湖南郴州·高三期末）在中，若边对应的角分别为，且．
（1）求角的大小；
（2）若，，求的长度．
【答案】

（1）

（2）
【分析】
（1）由正弦定理将边化角，再利用辅助角公式得到，即可求出；
（2）依题意可得，再根据平面向量数量积的运算律求出，即可得解；
（1）
解：因为，由正弦定理可得
在，，∴
∴，即
又，∴
∴，∴
（2）
解：∵且，
∴，
∴
∴
29．（2022·湖北武昌·高三期末）已知的内角、、的对边分别为、、，已知．
（1）求；
（2）若，，求的面积．
【答案】

（1）；

（2）.
【分析】
（1）利用正弦定理结合辅助角公式化简得出，结合角的取值范围可求得结果；
（2）利用余弦定理结合已知条件可求得的值，再利用三角形的面积公式可求得结果.
（1）
解：因为，所以，
因为，则，所以，即，
即，
，则，所以，，解得．
（2）
解：因为，，，
所以由，得，即，解得．
所以．
30．（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）在中，角的对边分别是，的面积为.
（1）若，，，求边；
（2）若是锐角三角形且角，求的取值范围.
【答案】

（1）或；

（2）,
【分析】
（1）由题意可求出角，在由余弦定理可求出边；
（2）由正弦定理可把边转化为角，再利用角的范围即可求出答案.
（1）
∵，∴，又，则或
当时，；
当时，
∴或
（2）
由正弦定理得，，
∵是锐角三角形，
∴，，；∴，，；
∴
∴，∴
∴的取值范围为.
31．（2022·湖北江岸·高三期末）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且.
（1）求角C；
（2）若，求c的取值范围.
【答案】

（1）

（2）
【分析】
（1）根据正弦定理，将边化角，利用三角恒等变换以及三角形内角关系，即可求出结果；
（2）利用余弦定理以及已知条件，即可求出的取值范围.
（1）
由正弦定理得，
即，
，
因为，所以，所以，
又因为，所以；
（2）
由得，且
由（1）知：，由余弦定理得：


当时，由二次函数的性质知：
的值域为，当且仅当时取等号，
此时，所以，即所以c的取值范围为.
32．（2022·湖北襄阳·高三期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，且，求的面积．
【答案】

（1）

（2）
【分析】
（1）先利用正弦定理统一成角，然后利用三角函数恒等变换公化简，从而可求出角的大小，
（2）利用余弦将所给式统一成边，化简可得，结合已知可求出，再利用三角形面积公式求解即可
（1）
由已知及正弦定理，得．
∴．
∵，∴．
∴．
又∵，∴．
∵，∴．
（2）
由已知及余弦定理，得，
化简，得．即，
又∵，∴．
∴的面积．
33．（2022·湖北省鄂州高中高三期末）在中，角，，所对的边分别为，，.的角平分线与交于点.
（1）若，的面积为4，求的面积；
（2）若，，，求的值.
【答案】

（1）6

（2）
【分析】
（1）由题意结合三角形的面积公式可得，从而可得答案.
（2）在中，由余弦定理得到的长，由勾股定理可得，从而得到角,得出答案.
（1）
为的平分线，∴，∴，
∵，∴，
又∵，∴.
（2）
∵，，，
在中，由余弦定理得，
∴，∴.
又∵为角平分线，则,
所以，则

34．（2022·湖北·高三期末）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足．

（1）求角A；
（2）如图，若，点D是外一点，，设，求平面四边形面积的最大值及相应的值．
【答案】
（1）
（2）最大值为，此时
【分析】
（1）利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得进而求得.
（2）求得平面四边形面积的表达式，结合三角函数最值的求法求得平面四边形面积的最大值及相应的值.
（1）
∵，
由正弦定理知，，
由余弦定理知，.
（2）
由（1）以及，得是等边三角形．
设，则．
余弦定理可得：，
则．
故四边形面积．
∵，∴，
∴当时，S取得最大值为，
故平面四边形面积的最大值为，此时．
35．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，向量夹角的余弦角为
（1）求角B的大小；
（2）求的取值范围.
【答案】

（1）

（2）
【分析】
（1）根据向量夹角的坐标运算得到再由公式化简得到从而得到结果；（2）由三角形内角关系得到，根据角的范围求值域即可.
（1）

即
解得（舍）
（2）
由（1）可知

，
即
36．（2022·山东青岛·高三期末）在中，角所对的边分别为，已知，且.
（1）求的值；
（2）若的面积，求的值.
【答案】

（1）6

（2）
【分析】
（1）由余弦定理即可求解；（2）由三角形面积公式可得sinB、cosB，结合余弦定理得出a+c=5，再结合（1）可得a,c的值.
（1）
由题意，结合余弦定理得，，所以.
（2）
由于，

，
，
所以，，
又，
所以，.
37．（2022·山东临沂·高三期末）已知中，D是AC边的中点．，，．
（1）求AC的长；
（2）的平分线交BC于点E，求AE的长．
【答案】

（1）2

（2）
【分析】
（1）根据，利用余弦定理建立方程求解即可；
（2）由余弦定理求出A，根据三角形面积公式由建立方程求解.
（1）
设，
由余弦定理可得
又
，
，
即.
（2）
由（1）知，
因为，
所以，
由可得，
，
即
解得.
38．（2022·山东枣庄·高三期末）设的内角A，B，C的对边分别为．
（1）求；
（2）从以下三个条件：①；②；③边上的高中选择一个作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求的面积．
【答案】

（1）

（2）选第②个条件；
【分析】
（1）利用余弦定理即可求出A；
（2）选第①个条件，这样的三角形不存在；
选第②个条件，先利用正弦定理，余弦定理求出边长c，即可求出；
选第③个条件：先求出边长，代入判断出这样的三角形有两个.
（1）
因为，，所以．
所以，所以．
又，所以．
（2）
选第①个条件：．
由可得：，
因为，所以无解，这样的三角形不存在.
选第②个条件：．
由正弦定理，得，所以．
由，得．
解得，或（舍去）．
因此．
选第③个条件：边上的高．
在中，由，所以，即，
代入得：，解得：或，这样的三角形有两个.
39．（2022·山东泰安·高三期末）在某海域处的巡逻船发现南偏东方向，相距海里的处有一可疑船只，此可疑船只正沿射线（以点为坐标原点，正东，正北方向分别为轴，轴正方向，1海里为单位长度，建立平面直角坐标系）方向匀速航行.巡逻船立即开始沿直线匀速追击拦截，巡逻船出发小时后，可疑船只所在位置的横坐标为.若巡逻船以30海里/小时的速度向正东方向追击，则恰好1小时与可疑船只相遇.
（1）求的值；
（2）若巡逻船以海里/小时的速度进行追击拦截，能否搃截成功？若能，求出搃截时间，若不能，请说明理由.
【答案】

（1）

（2）能够拦截成功拦截，时间为2小时
【分析】
（1）设1小时后两船相遇于点C，根据关于y轴对称，且，即可求解；
（2）设t小时后两船相遇于点D，利用余弦定理列出方程，即可求解.
（1）
解：由题意，直线的倾斜角为，
若巡逻船以30海里/小时的速度向正东方向追击，设1小时后两船相遇于点C，
如图所示，则轴，，且关于y轴对称，
所以，所以.
（2）
解：若巡逻船以海里/小时进行追击，设t小时后两船相遇于点D，如图所示，
则，，，，
因为
可得
整理得，解得或（舍去），
所以能够拦截成功拦截时间为2小时.

40．（2022·山东淄博·高三期末）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，延长BC至D，使，的面积为．
（1）求AB的长；
（2）求外接圆的面积．
【答案】

（1）或

（2）
【分析】
（1）利用余弦定理可求得，从而可得为等边三角形，再利用三角形的面积公式即可得出答案；
（2）利用余弦定理求出，再利用正弦定理求得外接圆的半径，即可得解.
（1）
解：因为，
所以，
又，所以，
又因，所以为等边三角形，故，
由，可得，
故，
解得或；
（2）
解：由（1）得：
当时，，
则
，
所以，
设外接圆的半径为，
由正弦定理可得，所以，
所以外接圆的面积为，
当时，，
则
，
所以，
同理外接圆的面积为，
综上所述，外接圆的面积为.

41．（2022·山东青岛·高三期末）如图，在四边形中，.


（1）求证：；
（2）若，求的长.
【答案】

（1）证明见解析.

（2）.
【分析】
（1）由平行线的性质得，根据诱导公式可得，分别在、中，运用正弦定理得可得证；
（2）由已知得， ，再在中，运用余弦定理求得即可.
（1）
解：因为，所以，
因为，所以，所以，
在中，由正弦定理得，即，
同理在中，由正弦定理得，即，
所以，
所以，所以；
（2）
解：因为，所以，
所以，又，所以，
所以在中，，即，
解得（舍去），
所以.
42．（2022·山东德州·高三期末）在①②③三个条件中任选一个补充在下面横线上，并解决问题.
问题：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足___________.
（1）求角A；
（2）若A的角平分线AD长为1，且，求的值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】

（1）

（2）
【分析】
（1）选①，先用正弦定理，再求解角；选②，先用正弦定理，再用余弦定理求解；选③，先用正弦定理、诱导公式、二倍角公式，再根据特殊三角函数值求解.
（2）由面积公式得，再用余弦定理得，再由转化计算即可求解.
（1）
选①得，.
即，
则（舍）或
所以；
选②得，
即
由，
又，所以；
选③.得，
即，
因为，所以
又，所以.
（2）
由得，，
即，
由余弦定理，.
解得，
由正弦定理，，
.
所以的值为.
43．（2022·山东烟台·高三期末）在①；②向量，，；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行求解．
问题：在中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，已知，，D为AC边的中点，若______，求BD的长度．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】答案不唯一，具体见解析.
【分析】
选①，由正弦定理边化角，由余弦定理求出，再借助余弦定理计算作答.
选②，由向量关系结合余弦定理求出角C，再由正弦定理求角A即可计算作答.
选③，切化弦求出角C，由正弦定理求出角A，再借助余弦定理计算作答.
【详解】
若选①：在中，因，由正弦定理得，
而，即有，整理得，
又，则，即，有，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理，
所以.
若选②：由，得，即，整理得，
在中，由余弦定理得：，而，则，
由正弦定理得，即，由，可得：，
则，有，因此有，又D为斜边AC中点，
所以.
若选③：依题意，，即，
在中，，于是得，即有，
由正弦定理得：，解得，由，可得：，则有，
从而有，即．
在中，由余弦定理得：，
所以.
44．（2022·山东济南·高三期末）在.中，角，，的对边分别为，，，已知，.
（1）求角；
（2）若点在边上，且，求面积的最大值.
【答案】

（1）

（2）
【分析】
（1）利用正弦定理将，化为，由此即可求出结果；
（2）由题意可知，进而可得，再根据余弦定理和基本不等式可得的最大值，进而求出结果.
（1）
解：因为，所以，
所以，
因为，所以，因为，所以.
（2）
解：因为，所以；
所以，
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
所以，所以面积的最大值为.
45．（2022·山东省淄博实验中学高三期末）在中，内角，，所对的边分别为，，.请在①；②；③这三个条件中任选一个，完成下列问题
（1）求角；
（2）若，，延长到点，使，求线段的长度.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）条件选择见解析，；（2）.
【分析】
（1）利用所选条件，应用正余弦定理的边角关系、三角形面积公式，化简条件等式，结合三角形内角的性质，求角；
（2）由正余弦定理，结合诱导公式及两角和正弦公式求，进而求的长度.
【详解】
（1）若选①：∵，
∴，又，
∴，即，又，
∴，即，故.
若选②：∵，
∴，
即，
又，∴，又，
∴，
若选③：由，则有，
∴，又，
∴.
（2）中，由余弦定理：，
得或 (舍)，
由，可得，
△中，，
由正弦定理得：，即，解得，
∴.

【点睛】
关键点点睛：
（1）根据所选条件，应用正余弦定理的边角关系、三角形性质求角；
（2）利用正余弦定理及三角恒等变换求边长.
46．（2022·山东日照·高三期末）已知中，它的内角的对边分别为，且.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据题设条件，利用余弦定理，求得，进而求得的值；
（2）由，得到，进而求得的值.
【详解】
（1）在中，因为，即
由余弦定理可得，
因为，所以.
（2）在中，可得，可得，
由，
可得，
又由，则，则，所以.
47．（2022·河北唐山·高三期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求角C；
（2）求的取值范围．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）由正弦定理角化边以及余弦定理即可求解.
(2) 由正弦定理边化角，再由三角函数求最值.
（1）
由已知及正弦定理得，
即，由余弦定理得
，可得．
（2）
根据正弦定理得

，
又，则
故，则的取值范围是．
48．（2022·河北张家口·高三期末）在中，内角、、的对边分别为、、，且，.
（1）求；
（2）若为的中点，，求的面积.
【答案】
（1）；
（2）.
【分析】
（1）利用正弦定理可求得的值，利用同角三角函数的基本关系结合两角和差的正弦公式可求得的值；
（2）由正弦定理得出，设，，，利用余弦定理可得出关于的等式，求出的值，利用三角形的面积公式可求得的面积.
（1）
解：由正弦定理得，
，则，则，所以.
又，故，所以，
.
（2）
解：由（1）可知，，，.
由正弦定理得，设，，，
由余弦定理得，解得，
所以.
49．（2022·河北保定·高三期末）如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得.在点测得塔顶的仰角为.

（1）求与两点间的距离（结果精确到）；
（2）求塔高（结果精确到）.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）在中，利用正弦定理求解即可，
（2）在中利用正弦定理求出，再在直角三角形中可求出
（1）
在中，，
由正弦定理得，
则
.
（2）
由正弦定理得，
则
.
故塔高.
50．（2022·河北深州市中学高三期末）的内角，，的对边分别为，，.已知向量，，且.
（1）求；
（2）若，且，求的周长.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）先利用向量数量积的坐标形式可以得到，利用正弦定理和两角和的正弦公式可以得到，从而得到的大小.
（2）根据内角和为可得的关系，消元后可求出，再利用正弦定理求出后结合为等腰三角形可得所求的周长.
【详解】
解：（1）根据题意，可得，
化简整理得，
即.
因为，所以，又，
则.
（2）由（1）知，
则.
又因为，所以，故，因此.
因为，所以，
故的周长为.
【点睛】
本题考查向量的数量积、两角和的正弦以及正弦定理，注意根据题设条件选择合适的边角关系的转化方法，本题为中档题.