2011-2020年高考数学真题分专题训练 专题14 解三角形（教师版含解析）

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专题 14
解 三 角 形
十年大数据*全景展示
年 份
题 号
考 点
考 查 内 容
利用正弦定理、余弦定理解平面
课标 理 16
正弦定理、三角公式、三角函数最值问题．
正余弦定理及三角形面积公式
图形
2011
2012
利用正弦定理、余弦定理解平面
图形
课标
文 15
理 17
文 17
理 17
文 10
已知边角关系利用正余弦定理 利用正余弦定理解三角形、三角形面积公式，运
解三角形 算求解能力．
课标
课标
卷 1
卷 1
已知边角关系利用正余弦定理 利用正余弦定理解三角形、三角形面积公式，运
解三角形 算求解能力．
利用正弦定理、余弦定理解平面 利用正弦定理、余弦定理解三角形及两角和与差
图形
公式解平面图形
已知边角关系利用正余弦定理
解三角形
二倍角公式、利用正余弦定理解三角形．
2013
正弦定理、余弦定理、两角和与差三角公式、三
角形面积公式、基本不等式等知识，函数与方程
思想．
已知边角关系利用正余弦定理
解三角形
卷 2
理 17
利用正弦定理、余弦定理解平面 利用正弦定理、余弦定理解三角形及三角形面积
图形 公式
卷 2
卷 1
卷 2
卷 1
卷 2
卷 1
卷 2
文 4
理 16
理 4
已知边角关系利用正余弦定理 正弦定理、余弦定理、基本不等式、三角形面积
解三角形
公式等基础知识
已知边角关系利用正余弦定理
解三角形
三角形的面积公式、余弦定理
2014
正余弦定理在实际测量问题中 利用正余弦定理解决高度测量问题，空间想象能
文 16
文 17
理 16
理 17
的应用
力．
利用正弦定理、余弦定理解平面
图形
余弦定理及三角形面积公式，运算求解能力
利用正弦定理、余弦定理解平面 利用正弦定理与余弦定理解平面四边形，数形结
图形 合思想
2015
利用正弦定理、余弦定理解平面 利用正弦定理与余弦定理解三角形中的边角及
图形 三角形面积问题


已知边角关系利用正余弦定理 利用正余弦定理解三角形、三角形面积公式，运
解三角形 算求解能力．
卷 1
卷 2
卷 1
卷 1
卷 2
卷 3
卷 3
卷 2
卷 1
卷 2
卷 3
卷 1
卷 2
卷 3
卷 1
卷 2
文 17
文 17
理 17
文 4
利用正弦定理、余弦定理解平面 利用正弦定理与余弦定理解三角形中的边角及
图形 两角和的三角公式
已知边角关系利用正余弦定理 利用正余弦定理解三角形、三角公式、三角形面
解三角形
积公式，运算求解能力．
利用正弦定理、余弦定理解平面
图形
余弦定理解三角形．
已知边角关系利用正余弦定理 同角三角函数基本关系、两角和公式、利用正弦
理 13
理 8
解三角形
定理解三角形．
2016
利用正弦定理、余弦定理解平面
利用余弦定理解三角形．
图形
利用正弦定理、余弦定理解平面
图形
文 9
利用正弦定理解三角形．
利用正弦定理、余弦定理解平面 同角三角函数基本关系、诱导公式、两角和正弦
图形 公式、利用正弦定理解三角形．
文 15
理 17
理 17
理 17
文 11
文 16
文 15
理 17
已知边角关系利用 正余弦定理 已知三角形的边角关系利用正弦定理、余弦定理
解三角形 解三角形、求三角形面积，运算求解能力
已知边角关系利用正余弦定理 已知三角形的边角关系利用正弦定理、余弦定理
解三角形 解三角形、求三角形面积，运算求解能力
已知边角关系利用正余弦定理 已知三角形的边角关系利用正弦定理、余弦定理
解三角形 解三角形、求三角形面积，运算求解能力
利用正弦定理、余弦定理解平面 三角恒等变换、利用正余弦定理解三角形，转化
图形 与化归思想与运势求解能力．
2017
已 知边角关系利用正余弦定理 正弦定理、三角恒等变换与已知三角函数值求
解三角形
角．
利用正弦定理、余弦定理解平面
图形
利用正弦定理解三角形．
利用正弦定理、余弦定理解平面 利用正弦定理、余弦定理解平面四边形边长及
图形
角，数学应用意识．
2018
理 6 文 利用正弦定理、余弦定理解平面
图形
卷 3 理 9 文 已知边角关系利用正余弦定理 余弦定理、三角形面积公式、同角三角函数基本
二倍角公式、利用余弦定理求三角形边长．
7


11
解三角形
已知边角关系利用正余弦定理 已知三角形的边角关系利用正弦定理、余弦定理
解三角形 解三角形、求三角形面积，运算求解能力
关系，运算求解能力
卷 1
卷 1
卷 2
文 16
已知边角关系利用正余弦定理 已知角的三角函数间关系，利用正弦定理、余弦
解三角形 定理求角及三角函数值，运算求解能力．
已知边角关系利用正余弦定理 已知角的三角函数间关系，利用正弦定理、余弦
理 17
理 15
解三角形
定理求三角形角及三角形面积，运算求解能力．
已知角的三角函数间关系、三角公式、利用正弦
定理、余弦定理求三角形角及三角形面积，运算
求解能力．
已知边角关系利用正余弦定理
解三角形
2019 卷 3 文理 18
已知边角关系利用正余弦定理
解三角形
卷 1
文 11
文 15
利用正余弦定理解三角形．
已知边角关系利用正余弦定理 已知三角函数边角关系利用正弦定理、余弦定理
卷 2
卷 1
卷 2
解三角形
解三角形
解三角形
解三角形
解三角形
解三角形
求角，转化与化归思想．
文 18
理 17
文 17
理 7
余弦定理，三角形面积公式，三角函数公式
正弦定理、余弦定理，基本不等式
余弦定理，三角函数公式
2020
余弦定理及其推论
卷 3
文 11
余弦定理推论，平方关系、商关系
大数据分析*预测高考
出现频率 2021 年预测
考 点
考点 44 已知边角关系利 20/36
用正余弦定理解三角形
2021 年高考仍将重点考查已知三角形边角关系利用正弦定理解
三角形及利用正余弦定理解平面图形的边、角与面积，题型既有
选择也有填空更多是解答题，若考解答题，主要放在第 17 题位
置，为中档题，若为选题可以为基础题，多为中档题，也可为压
轴题．
考点 45 利用正弦定理、 17/36
余弦定理解平面图形
考点 46 正余弦定理在实 1/36
际测量问题中的应用
十年试题分类*探求规律
考点 44 已知边角关系利用正余弦定理解三角形
1．(2019•新课标Ⅰ，文 11) DABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知asin A-bsin B = 4csinC ，
1
b
cos A = - ，则 = (
)
4
c


A．6
B．5
C．4
D．3
【答案】A
ì -
2
2
=
2
a
b
4c
1
ï
1
b
【解析】∵asin A-bsin B = 4csinC ，cos A = - ，\ í
，解得3c = bc，\ = 6 ，
2
b2
+ c
2
- a
2
= - 1
4
cos A =
2
c
ï
î
2bc
4
故选 A ．
2．(2018•新课标Ⅲ，理9 文11) DABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若DABC 的面积为
a
2
+ b
2
- c
2
，
4
则C = (
)
p
p
p
p
A．
B．
C．
D．
2
3
4
6
【答案】C
【解析】QDABC 的内角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ．DABC 的面积为
a
2
+ b
2
- c
2
，
4
1
a
2
+b
2
-c
2
a
2
+b
2
-c
2
p
\SDABC = absinC =
，\sinC =
=cosC ，Q0 < C < p ，\C = ，故选C ．
2
4
2ab
4
2
3．(2016•新课标Ⅰ，文 4) DABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知a = 5 ，c = 2 ，cos A = ，
3
则b = (
)
A． 2
B． 3
C．2
D．3
【答案】D
2 b
【解析】Qa = 5 ，c = 2 ，cos A = ，\由余弦定理可得：cos A= =
2
+ -
c
2
a
2
b
2
+4 - 5
2
=
，整理可得：
3
3
2bc
2´b´2
1
3b -8b -3 = 0 ，\解得：b = 3或- (舍去)，故选 D ．
2
3
1
2
4．(2014 新课标Ⅱ，理 4)钝角三角形 ABC 的面积是 ，AB=1，BC= 2 ，则 AC=(
)
5
A．
5
B．
C．
2
D． 1
【答案】B．
1
2
1
1
2
【解析】∵SDABC
=
| AB|×| BC |×sin B，即： = ×1× 2 ×sin B ，∴sin B =
，
2
2
2
即B = 45
o
或135
o
．又∵| AC|
2
=| AB|
2
+| BC| -2| AB|×| BC|×cos B
2
∴| AC |2 =1或 5，又∵DABC为钝角三角形，∴| AC|2 =5，即： AC = 5 ，故选 B．
A+cos 2A = 0 ，
5．(2013 新课标Ⅰ，文 10)已知锐角△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，
23cos
2
a=7，c =6，则b =


A．10
B ．9
C．8
D．5
【答案】D
1
23cos
A+cos 2A = 0 及 △ ABC 是 锐 角 三 角 形 得 cos A = ， ∵ a =7 ， c =6 ， ∴
2
【 解 析 】 由
5
1
13
-12b-65 = 0，解得b =5或b= - (舍)，故选 D．
7
2
= 6
2
+b
2
-2´6b´ ，即5b
2
5
5
6．(2014 江西)在DABC中，内角 A，B，C 所对应的边分别为a,b,c, ，若3a =2b，则
2 sin
2
B-sin
2
A
的值为(
)
sin
2
A
1
9
1
3
7
2
A．-
B．
C．1
D．
【答案】D
2 sin
2
B-sin
2
A
sin B)
sin A
b
7
【解析】∵3a =2b，∴
= 2(
2
-1= 2( ) -1= ，故选 D．
2
sin
2
A
a
2
7．(2017 山东)在DABC中，角 A， B ，C的对边分别为a，b，c．若DABC为锐角三角形，且满足
sin B(1+2cosC) = 2 sin AcosC +cos AsinC ，则下列等式成立的是
A．a =2b
B．b=2a
C． A = 2B
D． B = 2A
【解析】A
【解析】由sin B(1+2cosC) = 2 sin AcosC +cos AsinC ，得sin B+2sin BcosC =sin AcosC+sin B，
即2sin BcosC =sin AcosC ，所以2sin B =sin A，即2b = a，选 A．
DABC
的内角 A， B ，C满足sin 2A sin(A- B+C)=sin(C A B)
+
- -
8．(2014 重庆)已知
1
+ ，面积 S 满足1≤S≤2 ，记a，b，c分别为 A， B ，C所对的边，则下列不等式一定成立的
2
是
A．bc(b+c) > 8
ab(a+b) >16 2
6 £ abc£12 D．12 £ abc £ 24
C．
B．
【解析】A
1
【解析】因为 A+B+C =p ，由sin 2A+sin(A- B+C) = sin(C - A- B) +
2
1
得sin 2A sin 2B sin 2C =
+
+
，
2
1
2
即sin[(A B) (A B)] sin[(A B) (A B)] sin 2C =
+
+
-
+
+
-
-
+
，
1
整理得sin Asin BsinC
=
，
8


1
1
1
又S = absinC = bcsin A = acsin B ，
2
2
2
1
1
S
3
= a
2
b
2
c
2
sin Asin BsinC =
a
2
2
b c2 ，由1≤S≤2
因此
8
64
1
得1≤
a
2
b
2
2
c ≤23 ，
64
即8≤abc≤16 2 ，因此选项 C、D 不一定成立．又b+c > a >0，
因此bc(b+c) > bc×a≥8，即bc(b+c) >8 ，选项 A 一定成立．又a+b >c >0，
因此ab(a+b) >8，显然不能得出ab(a+b) >16 2 ，选项 B 不一定成立．综上所述，选 A．
9．(2014 江西)在DABC中，a，b，c分别为内角 A， B ，C所对的边长，若
p
c2 =(a-b)2 +6 ，C = ，则DABC的面积是(
)
3
9 3
2
3 3
2
A．3
B．
C．
D．3 3
【解析】C
【解析】由
p
c
2
=(a-b)
2
+6
a
2
+b
2
-c
2
= 2ab-6 ①，由余弦定理及C =
可得
a
2
+b
2
-c = ab
2
可得
3
1
p
3 3
2
②．所以由①②得ab =6，所以 SDABC = absin =
．
2
3
DABC
+
10．(2013 辽宁)在
，内角 A, B,C 所对的边长分别为a,b,c．若asin BcosC
1
csin Bcos A = b ，且a >b，则ÐB =
2
A．p
B．p
C．
2p
D．
5p
6
3
3
6
【解析】A
1
1
2
p
【解析】边换角后约去sin B ，得sin(A+C) = ，所以sin B =
，但 B 非最大角，所以
B =
．
2
6
11．(2013 陕西)设△ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 若 bcosC +ccos B = asin A ， 则
△ABC 的形状为(
A．锐角三角形
)
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
【解析】B
【解析】∵ bcosC +ccos B = asin A ，∴由正弦定理得sin BcosC +sinCcos B =sin
2
A ，
∴sin(B+C) =sin
2
A，∴sin A =sin A，∴sin A =1，∴△ABC 是直角三角形．
2
asin Acos B+bcos A
2
12．(2011 辽宁)△ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，


b
= 2a，则 =
a
A．2 3
B．2 2
C． 3
D． 2
【答案】D
【解析】由正弦定理，得sin
2
Asin B+sin Bcos
2
A= 2 sin A，即sin B×(sin
2
A+cos
2
A) = 2 sin A，
b
sin B
sin A
sin B = 2 sin A，∴ =
= 2 ．
a
p
13．(2019•新课标Ⅱ，理 15) DABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若b = 6 ，a = 2c ，B =
，
3
则DABC 的面积为
【答案】6 3
．
p
p
【解析】由余弦定理有b
2
= a
2
+ c
2
- 2accosB ，Qb = 6 ，a = 2c ，B = ，\36 = (2c)
2
+ c
2
- 4c
2
cos ，\c =12 ，
2
3
3
1
\SDABC = acsin B = c
2
sin B = 6 3 ．
2
14．(2018•新课标Ⅰ，文 16) DABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知bsinC + csin B = 4asin BsinC ，
b
2
+ c - a = 8 ，则DABC 的面积为
2
2
．
2 3
3
【答案】
【解析】DABC 的内角 A ， B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，bsin C + csin B = 4asin Bsin C ，
利用正弦定文可得sin BsinC +sinCsin B = 4sin Asin BsinC ，由于0 < B c
2
Þ cosC =
>
= ÞC
2c Þ cosC =
>
³ ÞC
a
3
+b3 与a
3
+b
3
= c3 矛盾
2
p
④取a = b = 2,c =1满足(a+b)c < 2ab 得：C