专题4 函数的最值-解析版

这是一份专题4 函数的最值-解析版，共22页。试卷主要包含了从函数图象上分类思考，多次换元化简面积函数，化数推理巧妙确定参数，识类型找准求最值的方法，善于将给定信息转化变形到位，多角度思考双变元函数的最值等内容，欢迎下载使用。
最值问题在中学阶段一般有两大类.一类是一元函数的最值,对于不含参数和绝对值的函数,利用导数(二次函数除外)并借助列表法易解决;对于含参数的函数,不仅要会利用导数工具,还要会列表和分析;对于含绝对值的函数,最主要的方法是分析法.另一类是多元函数的条件极值,基本思想是消元,观察结构并借助基本不等式、柯西不等式、权和不等式等,运用“1”的代换、三角代换、均值代换等解决.
一、从函数图象上分类思考
在研究函数最值时,定标准科学分类是一个智慧点,在一道综合数学题中,把握问题中最关键的矛盾点是制定分类标准的基石.众所周知,三个数比较大小,可两两比较,也可寻找“桥”当媒介来比较,然后确定大小.
问题已知函数,当时,若直线与函数的图象相交于点,记,求的最大值.
【解析】卡壳点:不会从形上分类处理两动点间距离.
应对策略:从函数图象上分类思考函数.
问题解答:当时,若,则的图象如图1所示,此时有;若,则的图象如图2所示.
如何分类呢?考虑直线与函数图象交点的个数,当与相切时,,于是有下列分类.
(i)当时,直线与函数的图象没有交点.
(ii)当,或时,直线与函数的图象只有一个交点.
(iii)当时,.
由得,故.
(iv)当时,由得,解得.
由得,解得.
所以.
综上可知,的最大值为4.
【反思】(1)从函数结构上看,与对勾函数相关,但由于含参数,故不能仅从结构上看,当时,就不是对勾函数了.
(2)此函数含有绝对值与参数,都是进行分类讨论的信号,分类标准的确定是一个难点,此处抓住“直线与函数的图象交点个数”进行分类,看准问题的关键点.
(3)此题求的最大值,并不完全是找到此函数后再求最值,而是根据的几何意义,在分类讨论中确定.
二、多次换元化简面积函数
问题2:是等腰Rt所在平面上一点,且点与点分别位于直线的两侧,如图3,若,求四边形面积的最大值.
【解析】卡壳点:不会建立四边形的面积函数,也不会求解复杂函数的最值.
应对策略:选择变量建立面积函数,得到无理函数式,对函数结构化简求最值.
问题解答:在Rt中,,先建立Rt的面积函数,再得到面积函数.
因为,所以. ——找到角的正弦值
——建立面积函数
. ——整理化简
令,则. ——降低次数
令,则. ——化无理式为有理式
——合一变换化简函数
. ——利用有界性求函数最值
当且仅当,即时,取得最大值.
此时.——利用有界性求函数最值
【反思】(1)此题第一关是建立面积函数模型,要选择变量.因为是等腰直角三角形,边之间有数量关系,而的两边已知,必须找到夹角与所选变量间的关系,于是用到余弦定理.
(2)找到面积函数后,发现根号内是一个四次代数式,降低次数成为当务之急,于是通过换元降低次数.
(3)面对面积函数,无理式升为主要矛盾,于是三角换元变“无理”为“有理”.
三、化数推理巧妙确定参数
问题3:已知函数对任意实数均有,其中常数为负数,且在区间上有表达式.
(I)求的值并判断的周期性;
(II)写出在上的表达式,并讨论函数在上的单调性;
(III)求出在上的最小值与最大值.
【解析】卡壳点:如何确定参数?
应对策略:确定参数的值是关键,它制约着函数周期性,选择特殊值,充分利用“且等价于”找到突破口.
问题解答:(I)因为,所以,所以.
当时,有,从而,矛盾;
当时,有,从而,矛盾;
当时,因为,所以,从而.
故函数是周期为4的周期函数.
(II)在上的表达式为
所以在上的单调增区间为,单调减区间为.
(III)在上的最小值为,此时,或;
最大值为1,此时,或.
【反思】此题确定值的思维方法是一个智慧点.
四、识类型找准求最值的方法
函数最值问题的类型比较多,每一个类型都有其特点,求不同类型最值的方法要熟悉,不能用错,比如,对数复合二次函数的最值问题,要注意限制条件,否则就要出错.
问题4:若函数在上的最大值为3,求的值.
【解析】卡壳点:对含参数的对数复合函数式不会分解或处理.
应对策略:对参数分类判断,由于涉及对数函数,要考虑函数定义域.
问题解答:当时,在上的最大值为5,而,不符合题意.
当时,.
若,则满足题设条件时,有即解得.
若,则满足题设条件时,有即无解;
或有即解得,不符合题意.
综上所述,.
【反思】对数复合二次函数的最值问题,分析的智慧点在于始终注意函数的定义域.
五、善于将给定信息转化变形到位
求复杂结构的函数最值,一般都要作一些转化,转化的目的就是归类,类型找准了,方法使用对了,求函数的最值就解决了一半.
问题5:已知正实数满足,若不等式对满足条件的任意恒成立,求实数的最大值.
【解析】卡壳点:不会对已知的不等式结构进行变形.
应对策略:用均值换元挖掘代数式结构.
问题解答:解法1不妨设,令,则原不等式化为.
化简并分离变量,得.
由可得,所以.
故的最大值为.
解法
.
故的最大值为.
解法3设f(x，y)＝x＋1xy＋1y，注意到fk2，k2＝k2＋2k2，
所以已知条件转化为f(x，y)min＝fk2，k2．
f(x，y)＝xy＋1xy＋yx＋xy＝xy＋k2＋1xy-2．
设g(t)＝t＋k2＋1t-20＜t⩽k24，则已知条件转化为g(t)min＝gk24，
所以k24⩽k2＋1，解得0＜k⩽22＋5．
故k的最大值为22＋5．
【反思】通过把条件作一系列等价转化，原问題被转化为一个容易解决的熟悉问题，这时不需太多技巧和计算，就可以得到原问题的解答．
六、多角度思考双变元函数的最值
双变元函数的最值正在成为各类测试的热点，解决问题的基本思路：一是通过消元转化为一元函数来解决；二是发现结构上的特点，利用几何意义来解决；三是转化为规范模型来解决．
问题6：若正数x，y满足15x-y＝22，则x3＋y3-x2-y2的最小值为_____．
【解析】卡壳点:目标函数与题设条件问的关系不会挖掘．
应对策略：基本的思路是消元转化一元函数，或根据目标蛅构来构迧函数分析．
问题解答：解法1由已知得y＝15x-22，
所以x3＋y3-x2-y2＝x3＋(15x-22)3-x2＋(15x-22)2
＝3376x3-15076x2＋22440x-11132＝f(x)，x∈2215，＋∞
从而f′(x)＝8(633x－935)(2x－3)．
所以f(x)在2215，935633上单调递增，在935633，32上单调递减，在32，＋∞上单调递增．
所以f(x)min＝f32＝1．
【解法2】x3-x2＝154x-92＋x-322(x＋2)，
y3-y2＝yy2-y＋14-y4＝yy-122-y4，
x3＋y3-x2-y2＝1＋15x-y-224＋x＋24(2x-3)2＋y4(2y-1)2⩾1．
解法3注意到15x-32＝y-12，于是令x-32＝t，y-12＝s，所以15t＝s，s＞-12，t＞-32．
x3＋y3-x2-y2＝t＋323＋s＋123-t＋322-s＋122＝t2t＋72＋s2s＋12＋1＋15t-s4，
当s＝t＝0时，上式取得最小值1．
【反思】解法1是通法，运算量较大，解法2，3利用代数式的非负性，这是一个智慧点．
七、抓对称轴分类求含参二次函数的最值
问题7：知函数f(x)＝x2-ax，若对任意a∈R，存在x0∈[0，2]，使得使得│f(x0)│≥k成立，实数k的最大值是________．
【解析】卡壳点:不会想到把|f(x)|＝|x2－ax|【反思】为函数g(x)＝x2图像与h(x)＝ax图像上横坐标相同的点的纵向坐标。
应对策略：抓住二次函数图象对称轴的位置进行分析．
问题解答：f(x)＝x2-ax＝x-a22-a24．
(1)当a2⩽0，即a⩽0时，f(x)＝x2-ax⩾0在[0，2]上恒成立，所以|f(x)|＝f(x)，如图4．
此时f(x)在[0，2]上单调递增，于是|f(x)|max＝f(x)max＝f(2)＝4-2a．
所以k⩽4-2a，对任意的a⩽0成立，所以k⩽4．
(2)当a2⩾2，即a⩾4时，f(x)＝x2-ax⩽0在[0，2]上恒成立，所以|f(x)|＝-f(x)．如图5．
此时f(x)在[0，2]上单调递减，于是|f(x)|max＝-f(x)min＝-f(2)＝-4＋2a．
所以k⩽-4＋2a，对任意的a⩾4成立，所以k⩽4．
图4图5
(3)当0＜a2⩽1，即0＜a⩽2时，f(x)在0，a2上单调递减，在a2，2上单调递增，且f(x)⩽0在[0，a]上恒成立，f(x)⩾0在[a，2]上恒成立，如图6．
所以|f(x)|max＝maxf(2)，-fa2．
又当-fa2-f(2)＝a24＋2a-4⩾0，即-4＋42⩽a⩽2时，|f(x)|max＝a24．
故k⩽a24，对任意a⩾-4＋42成立，可得k⩽12-82．
图6
当0⩽a⩽-4＋42时，|f(x)|max＝4-2a．
所以k⩽4-2a对任意0⩽a⩽-4＋42成立，
可得k⩽12-82．
(4)当1＜a2＜2，即2＜a＜4时，f(x)max＝-fa2＝a24，如图7．
图7
故k⩽a24对任意2＜a＜4成立，所以k⩽1．
综上所述，k⩽12-82．
【反思】借助函数图象，对二次函数图象对称轴的位置进行分类讨论．
强化练习
1、如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为B．图中阴影区域的面积的最大值为（）
A．4β＋4cs⁡βB．4β＋4sin⁡β
C．2β＋2cs⁡βD．2β＋2sin⁡β
第1题图
【解析】设圆心为 O, 根据 ∠APB=β, 可知 AB 所对 圆心角 ∠AOB=2β, 故扇形 AOB 的面积为 π⋅222π⋅2β=4β.
由题意, 要使阴影部分面积最大, 则点 P 到 AB 的距离 最大, 此时 PO 与 AB 垂直,故阴影部分面积最大值 S=4β S△AOB+S△PAB
又 S△AOB=2sin⁡β×2×2cs⁡β2=4sin⁡βcs⁡β,
S△PAB=2sin⁡β×2×(2+2cs⁡β)2=4sin⁡β+4sin⁡βcs⁡β
故阴影部分面积最大值 S=4β-S△AOB+S△PAB=4β+ 4sin⁡β. 选择 B.
【反思】根据圆周角得到圆心角, 由题意, 要使阴影部分面 积最大, 则点 P 到 AB 的距离最大, 此时 PO 与 AB 垂直, 结 合三角函数的定义, 表示相应三角形的面积, 即可求出阴影 部分面积的最大值.
在一个圆上构造三动点一定长, 检测考生的数学建模能 力, 虽然已经给出面积函数的建立方向, 即角 β 的三角关系 式,但是还需考生分割图形,计算面积.
阴影面积何时最大? 因为 AB一定, 则点 P 到 AB 的距 离最大时, 阴影面积最大. 此时阴影面积与角 β 有什么关系 呢? 将阴影分割成规则图形是解题基础.
2、已知f(x)为可导函数，f'(x)是f(x)的导函数，f12＝ln⁡2-12，且xf'(x)-f(x)＝4x2ln⁡x4x＋12ln⁡2-1-1，则f(x)（）
A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值D．既无极大值，又无极小值
【解析】记 12ln⁡2-1-1=m,f12=12(m+1), 而 xf'(x)-f(x)=4x2ln⁡x4x+m
首先, 两边除以 x2, 有 f(x)x'=4ln⁡x4x+m, 进而移项整 理得 f'(x)=f(x)x+4xln⁡x4x+m
两边求导, 可得
f''(x) =f(x)x'+16x+4m(1+ln⁡x)(4x+m)2 =4ln⁡x4x+m+16x+4m(1+ln⁡x)(4x+m)2 =4(4x+2m)⋅1+ln⁡x-m4x+2m(4x+m)2
令 φ(x)=(4x+2m)⋅1+ln⁡x-m4x+2m(4x+m)2, 注意到 φ12=0, 且 φ(x) 单调递增.
由 φ(x) 的性质可得 f''(x) 在 0,12 上小于 0 , 在 12,+∞ 上大于 0.
所以 f'(x) 在 0,12 上单调递减, 在 12,+∞ 上单调递增.
又 f'12=0, 于是 f'(x) 在 (0,+∞) 上非负, 进而可 得函数 f(x) 无极值点.
答案 D正确.
3、已知正实数x，y满足x＋y＝1，则1＋yx＋1y的最小值为（）
A．3＋2B．2＋22C．5D．112
【解析】解法 1(消元判别式法)
1+yx+1y=1+y1-y+1y=y2+1y-y2=t, 即 (t+1)y2- ty+1=0 有解,
所以 Δ=t2-4(t+1)⩾0,
解得 t⩾2+22.
解法 2 (“1” 的代换与基本不等式法)
1+yx+1y=x+2yx+x+yy=2+2yx+xy⩾2+22,
当且仅当 2y2=x2 且 x+y=1, 即 x=2-2,y=2 -1 时取等号.
解法 3(三角换元与基本不等式法)
令 x=cs2⁡α,y=sin2⁡α, 则 1+yx+1y=1+sin2⁡αcs2⁡α+ 1sin2⁡α (*)
思路一: (*)式 =1cs2⁡α+1sin2⁡α+tan2⁡α
=1+tan2⁡α+1+1tan2⁡α+tan2⁡α =2+2tan2⁡α+1tan2⁡α⩾2+22.
思路二: ( *)式 =sin2⁡α+cs2⁡α+sin2⁡αcs2⁡α+sin2⁡α+cs2⁡αsin2⁡α =2+2sin2⁡αcs2⁡α+cs2⁡αsin2⁡α⩾2+22.
【反思】一是审题看代数式结构, 二是在数学思想指引下进行多种尝试. 解本题的障碍是当一次尝试失败后, 不会转变思路进行另一种尝试, 比如, 将二元化一元后, 看不出问题结 构, 即用判别式法求最值; 或用 “ 1 ”代换后, 也看不出代数式结构; 进行三角换元时, 三角函数知识缺乏也会造成思维障碍.
4、已知函数f(x)＝-x2＋3x＋a，g(x)＝2x-x2，若f(g(x))⩾0对x∈[0，1]恒成立，则a的取值范围是________．
【解析】由已知得 a⩾g2(x)-3g(x) 对 x∈[0,1] 恒 成立.
下面求 F(x)=g2(x)-3g(x) 在 [0,1] 上的最大值.
易得 g(x)∈1,2-14. F(x)=g2(x)-3g(x)=g(x)-322-94,
F(x) 在 1,2-14 上单调递减, 所以 F(x)max x=1=-2, 所以 a⩾-2.
【反思】: 根据函数的复合结构将原问题转化为一个不等式恒成立问题, 然后参变分离转化为求二次函数结构的最值问 题, 定义域的判断是关键.
在函数最值的研究中, 定义域意识非常重要, 因为根据函数的三要素, 函数的值域依赖于函数的定义域与对应法则, 虽然此问题的对应法则为复合结构, 但内外层函数为具体函数, 不构成难点, 而函数定义域明确给出限制, 必须考虑由于定义域限制而导致函数 g(x) 值域的限制, 从而导致 F(x) 的定义域变化.
5、已知lg⁡3，lg⁡sin⁡x-12，lg⁡(1-y)依次成等差数列，则y的最小值为_______，最大值为_______．
【解析】对“ lg⁡3,lg⁡sin⁡x-12,lg⁡(1-y) 依次成等差 数列”进行信息挖掘 :
sin⁡x>12,1-y>02lg⁡sin⁡x-12=lg⁡3+lg⁡(1-y),
即 sin⁡x>12,1-y>0,sin⁡x-122=3(1-y)，
即 sin⁡x>12,1-y>0,y=1-13sin⁡x-122.
因为 y0;
当 x∈(-2-5,-2)∪(-2+5,+∞) 时, f'(x)