专题18 利用导数求函数的最值(原卷版)

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专题18 利用导数求函数的最值【知识总结】函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件：一般地，如果在区间[a，b]上，函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。(2)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤为：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。【例题讲解】【例1】已知函数f(x)＝－lnx。(1)求f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在上的最大值和最小值(其中e是自然对数的底数)。 【变式训练】设函数f(x)＝lnx－2mx2－n(m，n∈R)。(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有最大值－ln2，求m＋n的最小值。【例题训练】一、单选题1．若函数y＝x3＋x2＋m在[-2，1]上的最大值为，则m等于（    ）A．0 B．1C．2 D．2．已知函数，，若对于任意的，存在唯一的，使得，则实数a的取值范围是（    ）A．（e，4） B．（e，4] C．（e，4） D．（，4]3．已知函数，对于任意都有，则实数的最小值为（    ）A．0 B．2 C．4 D．64．设函数．当时（e为自然对数的底数），记的最大值为，则的最小值为（    ）A．1 B． C．e D．5．函数在区间上的最大值是（    ）A． B． C． D．6．已知函数(为自然对数的底数)，则以下结论正确的为（    ）A．函数仅有一个零点，且在区间上单调递增；B．函数仅有一个零点，且在上单调递减，在递增；C．函数有二个零点，其中一个零点为0，另一个零点为负数；D．函数有二个零点，且当时，取得最小值为.7．函数在区间上的最小值是（    ）A． B． C．11 D．8．某企业拟建造一个容器(不计厚度，长度单位：米)，该容器的底部为圆柱形，高为，底面半径为，上部为半径为的半球形，按照设计要求容器的体积为立方米.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为3万元，半球形部分每平方米建造费用为4万元，则该容器的建造费用最小时，半径的值为（    ）A．1 B． C． D．29．下列关于函数的结论中，正确结论的个数是（    ）①的解集是；②是极大值，是极小值；③没有最大值，也没有最小值；④有最大值，没有最小值；⑤有最小值，没有最大值.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．函数的最小值是（        ）A． B． C． D． 二、多选题11．在单位圆O：上任取一点，圆O与x轴正向的交点是A，将OA绕原点O旋转到OP所成的角记为，若x，y关于的表达式分别为，，则下列说法正确的是（    ）A．是偶函数，是奇函数；B．在上为减函数，在上为增函数；C．在上恒成立；D．函数的最大值为.12．若存在实常数k和b，使得函数和对其公共定义域上的任意实数x都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，，（e为自然对数的底数），则下列结论正确的是（    ）A．在内单调递增B．和之间存在“隔离直线，且b的最小值为4C．和间存在“隔离直线”，且k的取值范围是D．和之间存在唯一的“隔离直线”三、解答题13．已知函数，.（1）判断函数的单调性；（2）若，判断是否存在实数，使函数的最小值为2？若存在求出的值；若不存在，请说明理由；14．已知函数在x=1处取得极值-6.    （1）求实数a，b的值；    （2）求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.15．已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）在平面直角坐标系中，直线与曲线交于，两点，设点的横坐标为，的面积为.（i）求证：；（ii）当取得最小值时，求的值.16．已知函数.（1）当时，求函数在上的最大值；（2）若函数在上单调递增，求实数a的取值范围.17．已知函数，.（1）当时，求在上的最大值和最小值；（2）若在上单调，求的取值范围.18．已知直线与抛物线交于A、B两点，P是抛物线C上异于A、B的一点，若重心的纵坐标为，且直线、的倾斜角互补．（Ⅰ）求k的值．（Ⅱ）求面积的取值范围．19．某市作为新兴的“网红城市”，有很多风靡网络的“网红景点”，每年都有大量的游客来参观旅游。为提高经济效益，管理部门对某一景点进行了改造升级，经市场调查，改造后旅游增加值y万元投入万元之间满足：（a，b为常数），当万元时，万元；当万元时，万元.（参考数据：）（1）写出该景点改造升级后旅游增加利润万元与投入万元的函数解析式；（利润=旅游增加值－投入）（2）投入多少万元时，旅游增加利润最大？最大利润是多少万元？（精确到0.1）20．已知函数，（1）若曲线在点处的切线与直线重合，求的值；（2）若函数的最大值为，求实数的值；（3）若，求实数的取值范围．21．已知函数，.（1）若函数在上存在单调递增区间，求实数的取值范围；（2）设.若，在上的最小值为，求的零点.22．已知函数，，，且.（1）若函数在处取得极值，求函数的解析式；（2）在（1）的条件下，求函数的单调区间；（3）设，为的导函数.若存在，使成立，求的取值范围.23．已知函数在时有极值0．（1）求常数，的值；（2）求在区间上的最值．24．已知，函数．（为自然对数的底数）．（1）求函数的单调区间；（2）求函数在上的最大值．25．已知函数，其中…是自然对数的底数.（1）已知，若，求x的取值范围；（2）若，存在最小值，且最小值为k，（i）若，求b的值；（ii）证明：.26．已知函数的极值为.（1）求的值并求函数在处的切线方程；（2）已知函数，存在，使得成立，求得最大值.27．已知函数，且函数的图象在点处的切线斜率为．（1）求b的值；（2）求函数的最值；28．已知函数.（1）求不等式的解集；（2）求函数在区间上的最大值和最小值.29．如图，某校园有一块半径为的半圆形绿化区域（以为圆心，为直径），现对其进行改建，在的延长线上取点，，在半圆上选定一点，改建后绿化区域由扇形区域和三角形区域组成，设.
 （1）当时，求改建后的绿化区域边界与线段长度之和；（2）若改建后绿化区域的面积为，写出关于的函数关系式，试问为多大时，改建后的绿化区域面积取得最大值.30．已知函数(其中)，为的导数.（1）求导数的最小值；（2）若不等式恒成立，求的取值范围.