专题18 利用导数求函数的最值(解析版)

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专题18 利用导数求函数的最值
【知识总结】
函数的最值与导数
(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件：
一般地，如果在区间[a，b]上，函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。
(2)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤为：
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
【例题讲解】
【例1】已知函数f(x)＝－lnx。
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)在上的最大值和最小值(其中e是自然对数的底数)。
解　(1)f(x)＝－lnx＝1－－lnx，f(x)的定义域为(0，＋∞)。
所以f′(x)＝－＝，
由f′(x)>0，得00得00)，
则h′(x)＝1－＝，
所以h(x)在上单调递减，在上单调递增，
所以h(x)min＝h＝ln2，
所以m＋n的最小值为ln2。
【例题训练】
一、单选题
1．若函数y＝x3＋x2＋m在[-2，1]上的最大值为，则m等于（ ）
A．0 B．1
C．2 D．
【答案】C
【分析】
利用导数研究函数的单调性，找出最值，解方程即可得到答案.
【详解】
，易知，当时，，当或时，，
所以函数y＝x3＋x2＋m在，上单调递增，在上单调递减，又当时，
，当时，，所以最大值为，解得.
故选：C
2．已知函数，，若对于任意的，存在唯一的，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A．（e，4） B．（e，4] C．（e，4） D．（，4]
【答案】B
【分析】
结合导数和二次函数的性质可求出和的值域，结合已知条件可得，，从而可求出实数a的取值范围.
【详解】
解：g（x）=x2ex的导函数为g′（x）=2xex+x2ex=x（x+2）ex，当时，，
由时，，时，，可得g（x）在[–1，0]上单调递减，
在（0，1]上单调递增，故g（x）在[–1，1]上的最小值为g（0）=0，最大值为g（1）=e，
所以对于任意的，．因为开口向下，对称轴为轴，
又，所以当时，，当时，，
则函数在[，2]上的值域为[a–4，a]，且函数f（x）在，
图象关于轴对称，在（，2]上，函数单调递减．由题意，得，，
可得a–4≤0