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小学奥数练习卷(知识点：方阵问题)含答案解析
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这是一份小学奥数练习卷(知识点：方阵问题)含答案解析，共37页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
一．选择题（共3小题）
1．三（2）班学生排成每行人数相同的队伍（正方形方阵），参加学校运动会入场式，梅红的位置从前数是第5个，从后数是第3个；从左数是第3个，从右数是第5个，那么该班有（ ）人参加入场式．
A．64B．63C．56D．49
2．如图是由15个点组成的三角形点阵，在右图中至少去掉（ ）个点，就不会再出现以图中的点为顶点的正三角形了．
A．6B．7C．8D．9
3．小虎在19×19的围棋盘的格点上摆棋子，先摆成了一个长方形的实心点阵．然后再加上45枚棋子，就正好摆成﹣边不变的较大的长方形的实心点阵．那么小虎最多用了（ ）枚棋子．
A．285B．171C．95D．57
第Ⅱ卷（非选择题）
二．填空题（共41小题）
4．有11个正方形方阵，每个都有相同数量的士兵组成，如果加上1名将军，就可以组成一个大的正方形方阵．原来的一个正方形方阵里最少要有 名士兵．
5．学而思学校举办运动会，二年级（1）班排成了一个方阵，乐乐同学在方阵中，从前往后数，他是第5个，从后往前数，他也是第五个，请问二年级（1）班的方阵中共有 人．
6．小明所在学校举办运动会，所有学生站成了一个12×12的实心方阵，这个方阵的最外层有 人．
7．要在一个正方形的花园四周的边上种树，每边都种10棵，并且四个角上都有种1棵，一共要准备 棵树苗．
8．一群学生组成了一个两层空心方阵，在原有方阵的最外层再增加一层，增加 后的总人数为原来人数的两倍．如果想让这个三层空心方阵变成一个实心方阵，至少还需要再补充 名学生．
9．小鱼老师站在一个9行9列的正方形队列中，她发现自己正前方有2个人；全体右转后，小鱼老师发现自己正前方变成了4个人；如果再全体右转，小鱼老师将发现自己正前方有 人．
10．阳光小学的学生在操场上排成一个实心正方形方阵．已知方阵最外面一圈都是男生，向内相邻一圈都是女生，然后再向内相邻一圈都是男生…如此下去直到最里面一圈．如果男生总数比女生总数多28人，那么整个方阵共有学生 人．
11．某小学三年级的部分学生排成一个实心正方形方阵，最外面3层有学生72人，这个方阵共有学生 人．
12．为纪念中国人民抗日战争暨反法西斯战争胜利70周年，2015年9月3日在天安门广场举行了盛大的阅兵式．受阅部队中有10个英模部队方队，已知每个英模部队方队有14排，每排25人．那么，受阅的10个英模方队共有 人．
13．一个四层的空心方阵，如果最外层人数是最内层人数的2倍，那么，这个空心方阵一共有 个人．
14．用同一规格的瓷砖铺一块正方形地面，铺的要求如图所示，正方形地面的两条对角线都用黑色，其余地方铺白色，而且黑色的瓷砖用了1001块，那么白色的瓷砖共用了 块．
15．有一队学生排成一个空心方阵，最外层是52人，最内层是28人，这队学生有 人．
16．同学们排成一个方阵进行广播操表演．小海的位置从前、从后、从左、从右数都是第5个，参加广播操表演的共有 人．
17．何何有一些棋子．她把这些棋子摆成了一个三层空心方阵，还多出50枚棋子．于是她继续在三层空心方阵外面又摆了一层，变成一个四层空心方阵，此时还多出2枚棋子．那么，何何一共有 枚棋子．
18．体操表演者排成每一横行和每一竖列中的人数相同的方阵，每个方阵最外一圈有16人，若四个这样的方阵恰好可以并成一个大方阵，则大方阵的最外一圈有 人．
19．学校大楼前摆放了一个方阵花坛．这个花坛的最外层每边各摆了10盆花，那么这个花坛最外层共摆了 盆花．
20．在一次运动会的开幕式上，有一大一小两个方阵合并成一个15行15列的方阵．则原来的大方阵有 人，小方阵有 人．
21．在学而思组织的一次“师生趣味运动会”上，老师和学生组成了一个四层的空心方阵．从外向里数，第一层都是男生，第二层都是女生，第三层都是男生，第四层都是老师．如果老师的人数只有女生的一半，那么，这个空心方阵一共有 人．
22．十一届“走美”参加决赛的三年级学生排成正方形方阵，剩余15人，至少再增加18人才能组成一个更大的正方形方阵，三年级有 人参加十一届“走美”决赛．
23．如图：40个点组成一个两层的中空方阵，请去掉两个点，并用直线将其余的点连成两个大小相同的正方形．
24．所有被抓住的小春香们排成了一个长方形的队列，小春香的本体发现她的前面有14只小春香，后面有26只小春香，从左往右数，她是第17只，从右往左数，她是第23只，请问，这里的小春香一共有 只．
25．一群解放军战士排成一个三层空心方阵多出9人，如果在空心部分再增 加一层，还差7人，这群战士共有 人．
26．48名学生做游戏，大家围成一个正方形，每边人数相等，四个顶点都有人，每边各有 名学生．
27．36人站成一个正方形队伍，最外层有 人．
28．有士兵若干人，排成实心长方阵不足17人，若长、宽各少1人就余12人，已知长比宽多6人，那么士兵有 人．
29．游行队伍中，手持鲜花的少先队员在一辆彩车四周围成了一个空心方阵，最外面每边 13人，最内层每边7 人，那么彩车周围的少先队员有 人．
30．有学生若干人，如果排成实心方阵，则不足14人；如果每边少排1人，就余41人，那么学生一共有 人．
31．今有棋子若干枚，它们恰好可以排成一个外层每边10枚棋子的4层空心方阵，那么这些棋子的总数是多少？最外层共有棋子 枚．
32．有一体育馆，地面想要铺瓷砖，排成空心方阵，外层每边26块，内层每边20块，一共使用了 块．
33．运动会入场式要求运动员排成9行9列的正方形方阵．如果去掉2行2列，每个方阵减少 名运动员．
34．888个同学排成一个方阵做操．从前面往后数，小明是第15个；从左面往右数，小明是第30个．那么从后面往前数，小明是第 个．
35．三（1）班同学们在体育活动课上，老师把同学们排成一个正方形的队伍，无论从前、后、左、右来数，小华都是第3个，那么三（1）班参加体育活动课共有 人．
36．一个8行n列的阵列队伍，如果排成若干个15行15列的方阵，还余下3人，一人举旗，2人护旗．则n最小等于 ．
37．同学们排练团体操，排成一个实心方阵，中间实心方阵是女同学，外面三层是男同学，最外两层又是女同学，已知方阵中男同学是132人，则女同学有 人．
38．一些棋子被摆成了一个四层的空心方阵（如图是一个四层空心方阵的示意图）．后来小林又添入28个棋子，这些棋子恰好变成了一个五层的空心方阵（不能移动原来的棋子），那么最开始最少有 个棋子．
39．小朋友在操场上做操，小俊站在左边第3行、右边第8行；假如从前往后数小俊是第6个，从后往前数小俊是第7个．如果每行的人数相同，那么一共有 个小朋友在做操．
40．11112222个棋子排成一个大的长方阵，每个横行的棋子数比每一直行的棋子数多一个．这个长方阵每一横行有棋子 个．
41．在相连的四个边长为20米的正方形花圃边上（包括中间边），每隔2米种上月季花，且每个交错点上都要种上一株，则一共要种 株．
42．一个长方形队列，如果增加一横行和一竖行，就要增加13人，这个长方形的队列原来最少有 人．
43．100位同学都面向主席台，排成l0行10列的方阵．小明在方阵中，他的正左方有2位同学，正前方有4位同学．若整个方阵的同学向右转，则小明的正左方有 位同学，正前方有 位同学．
44．某小学三年级学生排成一个实心正方形方阵，最外面一层有学生40人，这个方阵共有学生 人．
三．解答题（共6小题）
45．艺术节上，同学们用64盆花排出一个两层空心方阵，后来又决定在外面增加一层成为三层方阵，至少需要多少盆花？
46．一队战士排成一个三层空心方阵多出16人，如果在空心部分再增加一层又缺28人，这队战士共有多少人？
47．有若干名学生，恰好组成一个八列长方形方阵．如果在队列中再增加120人或从队列中减去120人，都能组成一个方形方阵，那么原长方形方阵中有多少名学生呢？
48．在一个正方形的池塘四边上种树，每边种10棵（四个角上都种一棵），四边一共种了多少棵？
49．明明用棋子摆了一个五层图形，每两层棋子的个数相差5，最内层用了18个棋子，问一共用了多少个棋子？
50．为了迎接3.15，光明社区居委会打算从林场采购一些小树苗．居委会李大妈发现，林场的一些小树苗排成一个三层的空心方阵，最里层每条边有6棵树．李大妈将这些小树苗全部买下来，发动小区居民将这些树苗种在小区南边的一条马路上，这条马路长400米，只在马路的一侧种树，并且两头都种，每隔5米种一棵．那么，最后还剩多少棵小树苗？
参考答案与试题解析
一．选择题（共3小题）
1．三（2）班学生排成每行人数相同的队伍（正方形方阵），参加学校运动会入场式，梅红的位置从前数是第5个，从后数是第3个；从左数是第3个，从右数是第5个，那么该班有（ ）人参加入场式．
A．64B．63C．56D．49
【分析】要解决这道题我们需要两个条件：
一：每行有多少人？5+3=8个，这时候梅红加了两次，所以每行应该有5+3﹣1人；
二：队伍的行数？用同样的方法，共有5+3﹣1（人），
最后用每行人数×行数，即可．
【解答】解：（5+3﹣1）×（5+3﹣1）
=7×7
=49（人）
答：该班有49人参加入场式．
故选：D．
【点评】本道题目就是利用排队方法找到每一行的人数，以及行数，同学们不应该因为数据比较多而乱找数量关系．
2．如图是由15个点组成的三角形点阵，在右图中至少去掉（ ）个点，就不会再出现以图中的点为顶点的正三角形了．
A．6B．7C．8D．9
【分析】
设最小正三角形的边长为1，即两个相邻格点的距离为1，要使不会再出现以图中的点为顶点的正三角形，就必须使任何三个点都不能组成正三角形，并且为使最少，尽量去掉公共点，据此解答即可．
【解答】解：设最小正三角形的边长为1，如图1所示，以A为顶点可以组成边长为4、3、2、1的等边三角形，所以A点必须去掉，同理B、C也必须去掉．
如图2所示（空白表示必须去掉的点），围成了四个边长为2的等边三角形和若干个边长为1的等边三角形，所以必须去掉O、D、E、F．
因此共去掉了7个点．
故选：B．
【点评】本题考查了方阵问题的灵活应用，关键是明确任何去点，使去掉的点尽量少．
3．小虎在19×19的围棋盘的格点上摆棋子，先摆成了一个长方形的实心点阵．然后再加上45枚棋子，就正好摆成﹣边不变的较大的长方形的实心点阵．那么小虎最多用了（ ）枚棋子．
A．285B．171C．95D．57
【分析】45=1×45=3×15=5×9，既然是长方形，1×45这种不用考虑，所以长方形不变的这条边长，可能是：3、5、9、15这四种．要使用最多棋子，则不变的边长只能是15，棋盘最长是19格，因此最终的较大点阵是15×19=285枚棋子．
【解答】解：45=1×45=3×15=5×9
既然是长方形，1×45这种不用考虑，所以长方形不变的这条边长，
可能是：3、5、9、15这四种，
要使用最多棋子，则不变的边长只能是15，棋盘最长是19格，
因此最终的较大点阵是：15×19=285（枚）；
故选：A．
【点评】本题关键是得出长方形不变的这条边长，可能是：3、5、9、15这四种．
二．填空题（共41小题）
4．有11个正方形方阵，每个都有相同数量的士兵组成，如果加上1名将军，就可以组成一个大的正方形方阵．原来的一个正方形方阵里最少要有 9 名士兵．
【分析】本题考察方阵问题．
【解答】解：由题，设原来的一个正方形方阵有a名士兵，
则a和11a+1是一个完全平方数，
当a=1时，11a+1=12，不符合题意；
当a=4时，11a+1=45，不符合题意；
当a=9时，11a+1=100，符合题意，
所以原来的一个正方形方阵里最少要有9名士兵．
【点评】本题关键在于列出代数式，然后枚举、检验．
5．学而思学校举办运动会，二年级（1）班排成了一个方阵，乐乐同学在方阵中，从前往后数，他是第5个，从后往前数，他也是第五个，请问二年级（1）班的方阵中共有 81 人．
【分析】从前往后数，他是第5个，从后往前数，他也是第五个，说明这一列共有5+5﹣1=9（人）；因为是方阵，所以这个正方行方阵的最外层每边有9人，根据总人数=每边人数×每边人数可求得总人数．
【解答】解：5+5﹣1=9（人）
共有：9×9=81人
答：二年级（1）班的方阵中共有 81人．
故答案为：81．
【点评】解答此题关键在于确定出每行、每列的人数，此题列式容易出错．
6．小明所在学校举办运动会，所有学生站成了一个12×12的实心方阵，这个方阵的最外层有 44 人．
【分析】所有学生站成了一个12×12的实心方阵，说明这个方阵的最外层每边有12人，然后根据最外层人数=每边人数×4﹣4；代入数据即可解答．
【解答】解：12×4﹣4
=48﹣4
=44（人）
答：这个方阵的最外层有 44人．
故答案为：44．
【点评】此题考查了方阵问题中：最外层点数=每边点数×4﹣4的灵活应用．
7．要在一个正方形的花园四周的边上种树，每边都种10棵，并且四个角上都有种1棵，一共要准备 36 棵树苗．
【分析】根据方阵问题的公式：四周点数=（每边点数﹣1）×4，代入数据解答即可．
【解答】解：（10﹣1）×4
=9×4
=36（棵）
答：一共要准备36棵树苗．
故答案为：36．
【点评】此题考查了方阵问题中：总点数=每边点数×每边点数；最外层四周点数=每边点数×4﹣4的灵活应用．
8．一群学生组成了一个两层空心方阵，在原有方阵的最外层再增加一层，增加 后的总人数为原来人数的两倍．如果想让这个三层空心方阵变成一个实心方阵，至少还需要再补充 1 名学生．
【分析】由题意，新增加最外层人数和原来两层人数和相等，根据最外层和第二层相差8，所以最内层为8名学生，则要想变成一个实心方阵，至少需要在中间补充1名学生．
【解答】解：在原有方阵的最外层再增加一层，增加后的总人数为原来人数的两倍，则新增加最外层人数和原来两层人数和相等，
因为最外层和第二层相差8，所以最内层为8名学生，则要想变成一个实心方阵，至少需要在中间补充1名学生．
故答案为1．
【点评】本题考查方阵问题，考查了方阵问题中的数量关系：实心方阵的总人数=每边人数×每边人数，空心方阵的总人数=（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4的灵活应用．
9．小鱼老师站在一个9行9列的正方形队列中，她发现自己正前方有2个人；全体右转后，小鱼老师发现自己正前方变成了4个人；如果再全体右转，小鱼老师将发现自己正前方有 6 人．
【分析】对于小鱼老师来说，她连续向右转后，就相当于小鱼老师直接向后转，这样问题就简化为，小鱼老师后面有2个人，去掉小鱼老师自己，根据方阵问题的特点还有9﹣2﹣1=6人；据此解答即可．
【解答】解：9﹣2﹣1=6（人）
答：如果再全体右转，小鱼老师将发现自己正前方有 6人．
故答案为：6．
【点评】本题关键是理解方阵问题的特点和变化前后小鱼老师的位置变化．
10．阳光小学的学生在操场上排成一个实心正方形方阵．已知方阵最外面一圈都是男生，向内相邻一圈都是女生，然后再向内相邻一圈都是男生…如此下去直到最里面一圈．如果男生总数比女生总数多28人，那么整个方阵共有学生 196 人．
【分析】根据方阵知识可知，相邻每边的人数相差2，所以相邻的内外圈相差2×4=8人，28÷8=3…4人，所以最后一圈是男生有4人，这一圈外面还有3×2=6圈，所以最外圈有4+6×8=52人，然后根据等差数列公式即可求出总人数．
【解答】解：相邻的内外圈相差：2×4=8（人）
因为28÷8=3…4（人），所以最后一圈是男生有4人，这一圈外面还有3×2=6圈，
所以最外圈有：4+6×8=52（人）
（4+52）×（6+1）÷2
=56×7×2
=196（人）
故答案为196．
【点评】本题考查了方阵问题与等差数列问题的综合应用，本题关键是求出最内层的人数，然后再根据等差数列公式解答即可．
11．某小学三年级的部分学生排成一个实心正方形方阵，最外面3层有学生72人，这个方阵共有学生 81 人．
【分析】因为方阵中，从外向内每边的人数依次减少2人，所以依次相差：2×4=8人，8×2=16人，假设3层人数都和最外层人数相等，共有学生72+8+16=96人，所以最外层的人数是：96÷3=32人，则每边的人数是：32÷4+1=9人，然后根据“实心方阵：总人数=每边人数×每边人数”解答即可．
【解答】解：（72+2×4+2×4×2）÷3÷4+1
=96÷3÷4+1
=32÷4+1
=9（人）
9×9=81（人）
答：这个方阵共有学生 81人．
故答案为：81．
【点评】此题考查了方阵问题，关键是明确方阵问题的结构特征，以及公式总点数=每边点数×每边点数；每边人数=四周人数÷4+1的灵活应用．
12．为纪念中国人民抗日战争暨反法西斯战争胜利70周年，2015年9月3日在天安门广场举行了盛大的阅兵式．受阅部队中有10个英模部队方队，已知每个英模部队方队有14排，每排25人．那么，受阅的10个英模方队共有 3500 人．
【分析】每个英模部队方队有14排，每排25人，每个方队就有14个25人，用25乘上14求出每个方队的人数，再乘10，即可求出10个方队一共有多少人．
【解答】解：25×14×10
=350×10
=3500（人）
答：受阅的10个英模方队共有 3500人．
故答案为：3500．
【点评】本题考查了乘法的意义：求几个几是多少，用乘法求解．
13．一个四层的空心方阵，如果最外层人数是最内层人数的2倍，那么，这个空心方阵一共有 144 个人．
【分析】在方阵问题中，相邻的里外两层每边的人数相差2人，所以四层的空心方阵最外层每边人数比最内层每边人数多：2×（4﹣1）=6人，一共多6×4=24人，根据差倍公式可得最内层人数是：24÷（2﹣1）=24人，则最外层人数是：24×2=48人，最外层每边的人数是：（48+4）÷4=13人，然后再根据“空心方阵的总人数=（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4”解答即可．
【解答】解：最外层比最内层多：2×（4﹣1）×4
=6×4
=24（人）
最内层人数是：24÷（2﹣1）=24（人）
最外层人数是：24×2=48（人）
最外层每边的人数是：（48+4）÷4=13（人）
总人数是：（13﹣4）×4×4
=9×16
=144（人）
答：这个空心方阵一共有 144个人．
故答案为：144．
【点评】本题考查了方阵问题，关键是明确方阵问题的结构特点，难点是根据差倍公式求得最内层人数；方阵问题相关的知识点是：四周的人数=（每边的人数﹣1）×4，每边的人数=四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数=每边的人数×每边的人数，空心方阵的总人数=（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2=实面积数，层数=（最外层每边的人数﹣内层每边的人数）÷2+1．
14．用同一规格的瓷砖铺一块正方形地面，铺的要求如图所示，正方形地面的两条对角线都用黑色，其余地方铺白色，而且黑色的瓷砖用了1001块，那么白色的瓷砖共用了 250000 块．
【分析】一条对角线上的块数等于正方形边长上的块数，由于两条对角线上的中心共用一块，所以，正方形边长上的块数是（1001+1）÷2=501块，利用实心方阵总点数=每边点数×每边点数，先求得黑白瓷砖的总块数为501×501=251001块，然后用总块数减去黑色的瓷砖即为白色的瓷砖，据此解答即可．
【解答】解：每条边上的瓷砖块数为：（1001+1）÷2=501（块）
黑白色瓷砖之和为：501×501=251001（块），
所以白色瓷砖的块数为：251001﹣1001=250000（块）
答：白色的瓷砖共用了250000块．
故答案为：250000．
【点评】此题考查了利用实心方阵问题解决实际问题的灵活应用，这里抓住对角线上的块数之和得出每边点数是解决此类问题的关键．
15．有一队学生排成一个空心方阵，最外层是52人，最内层是28人，这队学生有 160 人．
【分析】此题为空心方阵问题，每相邻的两层相差8人，已知最外层有52人，最内层有28人，则方阵的层数：（52﹣28）÷8+l=4（层）；最外层每边的人数52÷4+1=14人，共52人，由此根据“空心方阵的总人数=（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，”即可求出这个方阵的总人数．
【解答】解：方阵的层数：（52﹣28）÷8+l
=3+1
=4（层）；
最外层每边的人数：52÷4+1
=13+1
=14（人）；
总人数：（14﹣4）×4×4
=10×16
=160（人）；
答：这一队学生共有160人．
故答案为：160．
【点评】本题关键是求出方阵的层数和每边的人数；方阵问题相关的知识点是：四周的人数=（每边的人数﹣1）×4，每边的人数=四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数=每边的人数×每边的人数，空心方阵的总人数=（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2=实面积数．
16．同学们排成一个方阵进行广播操表演．小海的位置从前、从后、从左、从右数都是第5个，参加广播操表演的共有 81 人．
【分析】小海的前后左右都是第5个，包括他自己在内，每行每列都是5+5﹣1=9人；这个方队组成的是一个实心方阵，是一个正方形，最外层每条边上都有9个人，根据实心方阵的总点数=每边点数×每边点数，即可解答问题．
【解答】解：根据题干分析可得：
5+5﹣1=9（人）
9×9=81（人）
答：参加广播操表演的共有81人．
故答案为：81．
【点评】此题考查了在实际问题中公式实心方阵的总点数=每边点数×每边点数的灵活应用．
17．何何有一些棋子．她把这些棋子摆成了一个三层空心方阵，还多出50枚棋子．于是她继续在三层空心方阵外面又摆了一层，变成一个四层空心方阵，此时还多出2枚棋子．那么，何何一共有 146 枚棋子．
【分析】摆成了一个三层空心方阵，还多出50枚棋子，又摆成了一个四层空心方阵，此时还多出2枚棋子．说明第四层有50﹣2=48枚棋子，那么根据“每边的枚数=四周的枚数÷4+1”可得：最外层每边棋子的枚数是48÷4+1=13枚，任何再根据“空心方阵的总点数=（最外层每边的点数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4”，代入数据解答即可．
【解答】解：第四层有：50﹣2=48（枚）
最外层每边棋子的枚数是：48÷4+1=13（枚）
四层空心方阵总数是：（13﹣4）×4×4=144（枚）
何何一共有：144+2=146（枚）
答：何何一共有 146枚棋子．
故答案为：146．
【点评】本题考查了方阵问题，关键是明确方阵问题的结构特点，关键是求得最外层棋子数；方阵问题相关的知识点是：四周的人数=（每边的人数﹣1）×4，每边的人数=四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数=每边的人数×每边的人数，空心方阵的总人数=（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2=实面积数，层数=（最外层每边的人数﹣内层每边的人数）÷2+1．
18．体操表演者排成每一横行和每一竖列中的人数相同的方阵，每个方阵最外一圈有16人，若四个这样的方阵恰好可以并成一个大方阵，则大方阵的最外一圈有 36 人．
【分析】由于四个顶点上的人属于相邻的两个边公共的人，所以每边的人数是：16÷4+1=5（人），因此每个方阵共有学生5×5=25（人），四个这样的方阵恰好可以并成一个大方阵，则大方阵的总人数为25×4=100（人），因为100=10×10，所以每行就有10人，最外圈的人数就是10×4﹣4=36（人）．据此解答．
【解答】解：16÷4+1=5（人）
5×5=25（人）
25×4=100（人）
10×4﹣4=36（人）
答：大方阵的最外一圈有36人．
故答案为：36．
【点评】本题关键是求出每边的人数；方阵问题相关的知识点是：四周的人数=（每边的人数﹣1）×4，每边的人数=四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数=每边的人数×每边的人数，空心方阵的总人数=（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2=实面积数．
19．学校大楼前摆放了一个方阵花坛．这个花坛的最外层每边各摆了10盆花，那么这个花坛最外层共摆了 36 盆花．
【分析】这个方阵花坛的最外层每边有花盆10盆，可以看做每边点数为10的方阵问题，根据最外层四周的总点数=每边点数×4﹣4，即可解决问题．
【解答】解：10×4﹣4
=40﹣4
=36（盆），
答：最外层一共摆了36盆．
故答案为：36．
【点评】此题考查了空心方阵问题中：最外层四周的总点数=每边点数×4﹣4的灵活应用．
20．在一次运动会的开幕式上，有一大一小两个方阵合并成一个15行15列的方阵．则原来的大方阵有 144 人，小方阵有 81 人．
【分析】根据“总点数=每边点数×每边点数”可以求出总人数：15×15=225人，然后把225拆分为两个完全平方数即可．
【解答】解：15×15=225（人）
225=122+92=144+81
所以，原来的大方阵有 144人，小方阵有 81人．
故答案为：144；81．
【点评】此题主要考查方阵问题中：总点数=每边点数×每边点数的计算应用．
21．在学而思组织的一次“师生趣味运动会”上，老师和学生组成了一个四层的空心方阵．从外向里数，第一层都是男生，第二层都是女生，第三层都是男生，第四层都是老师．如果老师的人数只有女生的一半，那么，这个空心方阵一共有 112 人．
【分析】方阵问题中，只要本圈多于1人，那么下一圈将比本圈多8人，故知女生比老师多16人，又老师的人数只有女生的一半，这是一个简单的差倍问题，故可得老师有16人，求出各圈人数，即可得出结论．
【解答】解：方阵问题中，只要本圈多于1人，那么下一圈将比本圈多8人，故知女生比老师多16人，又老师的人数只有女生的一半，这是一个简单的差倍问题，故可得老师有16人，
所以最内圈16人，4圈人数从内到外分别有16人，24人，32人，40人，
所以这个空心方阵共有16+24+32+40=112人，
故答案为112．
【点评】本题考查方阵问题，考查学生分析解决问题的能力，考查简单的差倍问题，求出最内圈16人是关键．
22．十一届“走美”参加决赛的三年级学生排成正方形方阵，剩余15人，至少再增加18人才能组成一个更大的正方形方阵，三年级有 271 人参加十一届“走美”决赛．
【分析】方阵至少增加一行一列可以变成一个更大的正方形方阵，那么新方阵最外层增加一行一列，增加了15+18=33人，所以原来的方阵最外层每边有（33﹣1）÷2=16人，原来的总人数是16×16+15=271人；据此解答即可．
【解答】解：15+18=33（人）
（33﹣1）÷2
=32÷2
=16（人）
16×16+15
=256+15
=271（人）
答：三年级有 271人参加十一届“走美”决赛．
故答案为：271．
【点评】本题考查了方阵问题的结构特征，难点是求出原来的方阵最外层每边的人数．
23．如图：40个点组成一个两层的中空方阵，请去掉两个点，并用直线将其余的点连成两个大小相同的正方形．
【分析】可以去掉最外层相对的两个角上的点，然后用直线将其余的点连成两个大小相同的正方形；据此解答即可．
【解答】解：
【点评】解答本题关键结合图形的特征，确定在什么地方去掉两个点．
24．所有被抓住的小春香们排成了一个长方形的队列，小春香的本体发现她的前面有14只小春香，后面有26只小春香，从左往右数，她是第17只，从右往左数，她是第23只，请问，这里的小春香一共有 1599 只．
【分析】根据前面有14只小春香，后面有26只小春香，可得一共有14+26+1=41行，根据从左往右数，她是第17只，从右往左数，她是第23只，可得一共有17+23﹣1=39列，据此利用列数×行数即可解答问题．
【解答】解：（14+26+1）×（17+23﹣1）
=41×39
=1599（只）
答：小春香一共有1599只．
故答案为：1599．
【点评】解答此题的关键是求出这个长方形队伍的行数与列数．
25．一群解放军战士排成一个三层空心方阵多出9人，如果在空心部分再增 加一层，还差7人，这群战士共有 105 人．
【分析】由题意可知，增加的一层需要9+7=16人，设此层每边为A人，可得16=（A﹣4）×4×4，求得A=5，则最外层人数为5+3×2=11人，所以总数=（11﹣3）×3×4+9=105人，据此解答．
【解答】解：设此层每边为A人，由题意可得：
16=（A﹣4）×4×4，
16A=80，
A=5，
则最外层人数为5+3×2=11人，
总人数：（11﹣3）×3×4+9，
=8×3×4+9，
=105（人），
答：这群战士共有105人．
故答案为：105．
【点评】此题考查了空心方阵问题，明确最外层的人数及层数是解答的关键．
26．48名学生做游戏，大家围成一个正方形，每边人数相等，四个顶点都有人，每边各有 13 名学生．
【分析】把48名学生看作48个点，利用空心方阵的最外围每边点数=（最外层四周点数+4）÷4，即可解决问题．
【解答】解：（48+4）÷4，
=52÷4，
=13（人）；
答：每边各有13名学生．
故答案为：13．
【点评】此题考查了空心方阵中每边点数=（四周点数+4）÷4这个公式的灵活应用．
27．36人站成一个正方形队伍，最外层有 20 人．
【分析】36人站成一个正方形队伍，因为36=6×6，所以每行、每列都是6人，每个顶点处的人数在每条边上重复相加，所以最外层人数=每边人数×4﹣4，由此即可解答．
【解答】解：因为36=6×6，所以每行、每列都是6人，
6×4﹣4=20（人）
答：最外层有20人．
故答案为：20．
【点评】解决本题先找出36是哪个数的平方，从而得出方阵每边的人数，再根据最外层人数=每边人数×4﹣4进行求解．
28．有士兵若干人，排成实心长方阵不足17人，若长、宽各少1人就余12人，已知长比宽多6人，那么士兵有 199 人．
【分析】设长x人 那么宽有x﹣6人，那么原来总人数就可以表示为：x（x﹣6）﹣17人；后来长、宽各减少1人后分别是：（x﹣1）人，（x﹣6﹣1）人，总人数又可以表示为：（x﹣1）（x﹣6﹣1）+12人，根据总人数不变，列出方程出长的人数，进而求出宽的人数和总人数．
【解答】解：设长x人，那么宽有x﹣6人，由题意得：
x（x﹣6）﹣17=（x﹣1）（x﹣6﹣1）+12，
x2﹣6x=x2﹣8x+7+29，
2x=36，
x=18；
士兵人数：18×（18﹣6）﹣17，
=18×12﹣17，
=216﹣17，
=199（人）；
答：士兵有199人．
故答案为：199．
【点评】解决本题关键是根据方阵的总人数=长的人数×宽的人数，找出等量关系，再结合其它条件列出方程．
29．游行队伍中，手持鲜花的少先队员在一辆彩车四周围成了一个空心方阵，最外面每边 13人，最内层每边7 人，那么彩车周围的少先队员有 144 人．
【分析】先算出中空边长数：7﹣2=5（人），然后根据公式“外层边长数2﹣中空边长数2=实面积数”代入数据求出总人数，列式为：132﹣52=144（人）；据此解答
【解答】解：根据分析可得，
7﹣2=5（人），
132﹣52
=169﹣25，
=144（人）；
答：彩车周围的少先队员有144人．
故答案为：144．
【点评】本题关键是求出中空每边的人数；方阵问题相关的知识点是：外层边长数2﹣中空边长数2=实面积数或空心方阵的总人数=（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4．
30．有学生若干人，如果排成实心方阵，则不足14人；如果每边少排1人，就余41人，那么学生一共有 770 人．
【分析】如果每边少排1人，就相当于原来减少两个边的人数，根据盈亏问题可以求出原来两个边的人数：14+41=55人，那么原来方阵每个边的人数是：（55+1）÷2=28（人）；再根据中实方阵的总人数=每边的人数×每边的人数，求出总人数，列式为：28×28=784（人），然后减去14人，就是实有人数．
【解答】解：根据分析可得，
（14+41+1）÷2=28（人）；
28×28﹣14，
=784﹣14，
=770（人），
答：学生一共有770人．
故答案为：770．
【点评】本题关键是求出原来每边的人数；方阵问题相关的知识点是：四周的人数=（每边的人数﹣1）×4，每边的人数=四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数=每边的人数×每边的人数．
31．今有棋子若干枚，它们恰好可以排成一个外层每边10枚棋子的4层空心方阵，那么这些棋子的总数是多少？最外层共有棋子 36 枚．
【分析】根据公式“空心方阵的总人数=（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，”求出这个方阵的总数；外层每边10枚，一共是10×4=40枚棋子，但是4个角上都多算了一次，再减去4就是最外层的棋子数．
【解答】解：
（10﹣4）×4×4，
=6×4×4，
=96（枚）；
10×4﹣4，
=40﹣4，
=36（枚）；
答：那么这些棋子的总数是96枚，最外层共有棋子36枚．
故答案为：36．
【点评】本题考查了方阵问题，相关的知识点是：空心方阵的总人数=（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，或外层边长数2﹣中空边长数2=实面积数．
32．有一体育馆，地面想要铺瓷砖，排成空心方阵，外层每边26块，内层每边20块，一共使用了 352 块．
【分析】此题为空心方阵问题，每相邻的两层相差8块，最外层一共有26×4﹣4=100块，最内层一共有20×4﹣4=76块；（100﹣76）÷8=3个间隔，所以这是一个4层的中空方阵，则中间的2层分别是：76+8=84块；84+8=92块，由此即可求出这个方阵中一共使用了多少块．
【解答】解：最外层一共有：26×4﹣4=100（块），
最内层一共有：20×4﹣4=76（块），
（100﹣76）÷8=3个间隔，所以这是一个4层的中空方阵，
则中间的2层分别是：76+8=84（块），84+8=92（块），
所以方阵中一共有：100+92+84+76=352（块）；
答：这个空心方阵一共使用了352块．
故答案为：352．
【点评】此题关键是根据实心方阵每边点数特点得出每一层中总点数相差8的规律，再结合题意得出答案．
33．运动会入场式要求运动员排成9行9列的正方形方阵．如果去掉2行2列，每个方阵减少 32 名运动员．
【分析】9行9列，共有9×9=81人，如果去掉2行2列，还剩9﹣2=7行，9﹣2=7列，还剩7×7=49（人），然后用总人数减去剩下的人数就是减少的人数．
【解答】解：9﹣2=7（人），
9×9=81（人），
7×7=49（人），
81﹣49=32（人）；
答：每个方阵减少 32名运动员．
【点评】本题关键是求出去掉2行2列的列数和行数（即每列的人数和列数）．
34．888个同学排成一个方阵做操．从前面往后数，小明是第15个；从左面往右数，小明是第30个．那么从后面往前数，小明是第 10 个．
【分析】888=8×3×37 由小明的位置来看，方阵的长大于30，宽大于15，所以方阵的长为37，宽为8×3=24 那么从后往前数24﹣15+1=10，即从后往前数，小明是第10个，据此即可解答问题．
【解答】解：888=8×3×37 由小明的位置来看，方阵的长大于30，宽大于15，
所以方阵的长为37，宽为8×3=24，
那么从后往前数24﹣15+1=10，
即从后往前数，小明是第10个．
答：从后面往前数，小明是第 10个．
故答案为：10．
【点评】此题主要考查分解质因数在实际生活中的灵活应用，较复杂．
35．三（1）班同学们在体育活动课上，老师把同学们排成一个正方形的队伍，无论从前、后、左、右来数，小华都是第3个，那么三（1）班参加体育活动课共有 25 人．
【分析】因为从前、后、左、右数，小华都是第3个，所以每行都有：3×2﹣1=5人，由此利用方阵问题中：总人数=每边人数×每边人数，即可解答．
【解答】解：每边人数是：3×2﹣1=5（人），
共有：5×5=25（人），
答：三（1）班参加体育活动课共有25人．
故答案为：25．
【点评】此题考查了方阵问题中总点数=每边点数×每边点数的灵活应用，关键是根据行、列排列特点求出每边人数．
36．一个8行n列的阵列队伍，如果排成若干个15行15列的方阵，还余下3人，一人举旗，2人护旗．则n最小等于 141 ．
【分析】根据题干分析可得，这个方阵的人数是8的倍数，一个小方阵有15×15=225人，设有k个方阵，那么8n=225k+3，则225k+3应该是8的倍数，考虑除以8的余数，k最小为5，n最小为141．
【解答】解：设有k个方阵，那么8n=225k+3，
当k=1时，225+3=228，不是8的倍数；不符合题意；
当k=2时，225×2+3=453，不是8的倍数，不符合题意；
当k=3时，225×3+3=678，不是8的倍数，不符合题意；
当k=4时，225×4+3=903，不是8的倍数，不符合题意；
当k=5时，225×5+3=1128，是1128÷8=141；
答：k最小为5时，n最小为141．
故答案为：141．
【点评】根据题干得出这个方阵的总人数是8的倍数，
37．同学们排练团体操，排成一个实心方阵，中间实心方阵是女同学，外面三层是男同学，最外两层又是女同学，已知方阵中男同学是132人，则女同学有 192 人．
【分析】相邻两层人数相差8人，由里向外每层人数形成一个等差数列．根据这个规律求解．
【解答】解：
男生中间一层的人数是：132÷3=44（人），
所以男生外面的女生第一层人数是44+16=60（人），第二层人数是60+8=68（人），共有60+68=128（人）
男生内部的女生人数依次是：44﹣16=28（人）28﹣8=20（人）20﹣8=12（人）12﹣8=4（人），共有28+20+12+4=64（人）
这个方阵中共有女生128+64=192（人）
故填192
【点评】这题的解题关键是找出相邻两层之间的关系．
38．一些棋子被摆成了一个四层的空心方阵（如图是一个四层空心方阵的示意图）．后来小林又添入28个棋子，这些棋子恰好变成了一个五层的空心方阵（不能移动原来的棋子），那么最开始最少有 112 个棋子．
【分析】空心方阵有两种，每一层的边长为偶数（如上图），由内往外，每层的个数分别是4、12、20、28、36、44、52、…
还有一种每一层的边长为奇数，由内往外每层的个数分别是8、16、24、32、40、48…
由于原来的棋子不动，所以所加的棋子的位置只能是内部和外围，顺着这样的思路去思考．
【解答】解：
通过对比数据和尝试，可以得到下图，棋子红色的为后来添加的28个棋子．
所以原来的棋子是16+24+32+40=112（个）
【点评】这题的解题关键是找出所放棋子的位置是外部和内部如何去放，可以通过尝试调整得到结果．
39．小朋友在操场上做操，小俊站在左边第3行、右边第8行；假如从前往后数小俊是第6个，从后往前数小俊是第7个．如果每行的人数相同，那么一共有 120 个小朋友在做操．
【分析】小俊站在左起第3行，右起第8行；可以得到总行数3+8﹣1；从前面数是第6个，从后边数是第7个，可以求出每一行的人数：6+7﹣1；如果每行的人数一样多，要求共有多少个小朋友在做操，用乘法得解．
【解答】解：（7+6﹣1）×（3+8﹣1），
=12×10，
=120（个）；
答：一共有120个小朋友在做操．
故答案为：120．
【点评】注意：左右数数时，小俊自己占了一行，行数和要减去1；前后数数时，同理也要减去1．
40．11112222个棋子排成一个大的长方阵，每个横行的棋子数比每一直行的棋子数多一个．这个长方阵每一横行有棋子 3334 个．
【分析】长方形方阵的点数=长上的点数×宽上的点数，据此把11112222分解质因数得出相邻两个自然数的乘积即可．
【解答】解：11112222
=1111×10002
=1111×3×3334
=3333×3334
所以，这个长方阵每一横行有棋子3334个．
故答案为：3334．
【点评】本题关键是理解方阵的特点，然后结合分解质因数解答即可．
41．在相连的四个边长为20米的正方形花圃边上（包括中间边），每隔2米种上月季花，且每个交错点上都要种上一株，则一共要种 117 株．
【分析】先求出两头不种树时，每20米的边上种树的株数；再由图和题意得出共有12条边长是20米的边长，由此求出共种树的株数，再加上交错点种树的株数就是要求的答案．
【解答】解：每20米的边上种树（两头不种树），
20÷2﹣1=9（株），
共有12条边长，共种树9×12=108（株），
有9个交错点，一共种树108+9=117（株），
故答案为117．
【点评】求出两头不种树时，每20米的边上种树的株数是解答本题的关键；注意不要忘记加交错点种树的棵数．
42．一个长方形队列，如果增加一横行和一竖行，就要增加13人，这个长方形的队列原来最少有 35 人．
【分析】因为增加一横行和一竖行，就要增加13人，则围成的长方形方阵的另外的两条邻边上的人数就是13﹣2=11人，则最外层一共有13+11=24人，又因为，每相邻两层的总人数之差是8人，则第二层就是24﹣8=16人，第三层就是16﹣8=8人，据此把这三层的人数加起来，再减去增加的13人即可解答问题．
【解答】解：如果增加一横行和一竖行，就要增加13人，
则可得出此时最外层总人数是13﹣2+13=24（人）
则第二层就是就是24﹣8=16（人）
第三层就是16﹣8=8（人）
所以24+16+8﹣13
=48﹣13
=35（人）
答：这个长方形的队列原来最少有 35人．
故答案为：35．
【点评】解答此题的关键是明确实心方阵中，每相邻的两层的总人数相差8．
43．100位同学都面向主席台，排成l0行10列的方阵．小明在方阵中，他的正左方有2位同学，正前方有4位同学．若整个方阵的同学向右转，则小明的正左方有 4 位同学，正前方有 7 位同学．
【分析】根据题意，并结合方位可知：小明的正左方有2位同学，正前方有4位同学，那么他的正右方有7个同学，正后方有5个同学；现在小明向右转，转动之后他现在的正左方是原来的正前方，现在的正前方是原来的正右方；由此解答即可．
【解答】解：小明的正左方有2位同学，正前方有4位同学．那么他的正右方有7个同学，正后方有5个同学．现在小明向右转，转动之后他现在的正左方是原来的正前方有4个同学，现在的正前方是原来的正右方有7个同学；
故答案为：4，7．
【点评】明确小明向右转，转动之后他现在的正左方是原来的正前方，现在的正前方是原来的正右方，是解答此题的关键．
44．某小学三年级学生排成一个实心正方形方阵，最外面一层有学生40人，这个方阵共有学生 121 人．
【分析】由于四个顶点上的人属于相邻的两个边公共的人，所以每边的人数是：40÷4+1=11（人），因此这个方阵共有学生11×11=121（人），据此解答．
【解答】解：40÷4+1=11（人），
11×11=121（人）；
答：这个方阵共有学生121人．
故答案为：121．
【点评】本题关键是求出每边的人数；方阵问题相关的知识点是：四周的人数=（每边的人数﹣1）×4，每边的人数=四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数=每边的人数×每边的人数，空心方阵的总人数=（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2=实面积数．
三．解答题（共6小题）
45．艺术节上，同学们用64盆花排出一个两层空心方阵，后来又决定在外面增加一层成为三层方阵，至少需要多少盆花？
【分析】由于方阵相邻两层每边相差2盆，共相差8盆，所以用（64+8）÷2可求得两层空心方阵的最外层有多少盆，再加上8盆就是在外面增加一层需要的盆数．
【解答】解：（64+8）÷2+8
=72÷2+8
=36+8
=44（盆）
答：至少需要44盆花．
【点评】方阵问题相关的知识点是：四周的人数=（每边的人数﹣1）×4，每边的人数=四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数=每边的人数×每边的人数，空心方阵的总人数=（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2=实面积数．
46．一队战士排成一个三层空心方阵多出16人，如果在空心部分再增加一层又缺28人，这队战士共有多少人？
【分析】由题意可知，增加的一层需要16+28=44人，设此层每边为A人，可得44=（A﹣1）×4，求得A=12，则最外层人数为12+3×2=18人，因为空心方阵的总人数=（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，据此解答．
【解答】解：设此增加的层每边为A人，由题意可得：
16+28=（A﹣1）×4
44=4A=4
4A=48
A=12
则最外层每边人数为12+3×2=18人，
总人数：（18﹣3）×3×4+16
=15×12+16
=180+16
=196（人）
答：这队战士共有196人．
【点评】本题关键是求出现在每边的人数；方阵问题相关的知识点是：四周的人数=（每边的人数﹣1）×4，每边的人数=四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数=每边的人数×每边的人数，空心方阵的总人数=（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2=实面积数．
47．有若干名学生，恰好组成一个八列长方形方阵．如果在队列中再增加120人或从队列中减去120人，都能组成一个方形方阵，那么原长方形方阵中有多少名学生呢？
【分析】可设原有战士8n人，8n+120=a2，8n﹣120=b2，则存在a2﹣b2=240，根据奇偶性相同，即可求得a、b的值，进一步求得n的值．
【解答】解：设原有战士8n人，8n+120=a2，8n﹣120=b2，
则存在a2﹣b2=240，
即（a+b）（a﹣b）=240．但a+b与a﹣b的奇偶性相同，且a、b都为偶数，
故a+b=120，a﹣b=2，于是a=61，b=59（不合题意舍去）；
a+b=60，a﹣b=4，于是a=32，b=28，则8x=904．因为904﹣120=784，784为28的平方，即28行28列，与题意不符，即不是在原8列的方阵中减去120，而是减去120再排成队列，所以904不符条件，应舍去；
a+b=40，a﹣b=6，于是a=23，b=17（不合题意舍去）；
a+b=30，a﹣b=8，于是a=19，b=11（不合题意舍去）；
a+b=24，a﹣b=10，于是a=17，b=7（不合题意舍去）；
a+b=20，a﹣b=12，于是a=16，b=4，则8x=136；
a+b=16，a﹣b=15，于是a=15.5，b=0.5（不合题意舍去）．
故原长方形队列共有136名战士．
【点评】本题考查了完全平方数在实际生活中的应用，考查了因式分解法求值的应用，考查了奇偶性的判定．
48．在一个正方形的池塘四边上种树，每边种10棵（四个角上都种一棵），四边一共种了多少棵？
【分析】四周植树时，如果每个角处都植树，那么正好围成了一个空心方阵，此时四周点数之和=每边点数×4﹣4，由此即可解答．
【解答】解：10×4﹣4
=40﹣4
=36（棵）
答：四边一共种了36棵．
【点评】此题考查空心方阵中：四周点数=每边点数×4﹣4的灵活应用．
49．明明用棋子摆了一个五层图形，每两层棋子的个数相差5，最内层用了18个棋子，问一共用了多少个棋子？
【分析】因为每两层棋子的个数相差5，一共是5层，所以相差的总数为：5+5×2+5×3+5×4，再求出5个18是多少，最后相加即可．
【解答】解：18×5+（5+5×2+5×3+5×4），
=90+50，
=140（个），
答：一共用了140个棋子．
【点评】关键是理解题意，先求出相差棋子的个数，再求出5个18是多少，进而解决问题．
50．为了迎接3.15，光明社区居委会打算从林场采购一些小树苗．居委会李大妈发现，林场的一些小树苗排成一个三层的空心方阵，最里层每条边有6棵树．李大妈将这些小树苗全部买下来，发动小区居民将这些树苗种在小区南边的一条马路上，这条马路长400米，只在马路的一侧种树，并且两头都种，每隔5米种一棵．那么，最后还剩多少棵小树苗？
【分析】由题意知，这是一个三层空心方阵，最里层每条边有6棵树，因为每相邻的两层之间每边上都是相差2棵树，所以最外层每边有6+2+2=10棵树，根据方阵问题中：空心方阵的总人数=（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4即可求得树苗的总棵数；再根据两头都种的植树问题，用间隔数+1求得在马路的一侧种树需要的棵数，最后二者相减就是还剩的棵数；据此解答即可．
【解答】解：最外层每边有6+2+2=10棵树，
树苗总数：（10﹣3）×3×4=84（棵），
马路植树的棵数：400÷5+1=81（棵），
还剩：84﹣81=3（棵），
答：最后还剩3棵小树苗．
【点评】此题综合考查了方阵问题和植树问题，求得树苗总数是关键．题号
一
二
三
总分
得分
评卷人
得 分
评卷人
得 分
评卷人
得 分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
一．选择题（共3小题）
1．三（2）班学生排成每行人数相同的队伍（正方形方阵），参加学校运动会入场式，梅红的位置从前数是第5个，从后数是第3个；从左数是第3个，从右数是第5个，那么该班有（ ）人参加入场式．
A．64B．63C．56D．49
2．如图是由15个点组成的三角形点阵，在右图中至少去掉（ ）个点，就不会再出现以图中的点为顶点的正三角形了．
A．6B．7C．8D．9
3．小虎在19×19的围棋盘的格点上摆棋子，先摆成了一个长方形的实心点阵．然后再加上45枚棋子，就正好摆成﹣边不变的较大的长方形的实心点阵．那么小虎最多用了（ ）枚棋子．
A．285B．171C．95D．57
第Ⅱ卷（非选择题）
二．填空题（共41小题）
4．有11个正方形方阵，每个都有相同数量的士兵组成，如果加上1名将军，就可以组成一个大的正方形方阵．原来的一个正方形方阵里最少要有 名士兵．
5．学而思学校举办运动会，二年级（1）班排成了一个方阵，乐乐同学在方阵中，从前往后数，他是第5个，从后往前数，他也是第五个，请问二年级（1）班的方阵中共有 人．
6．小明所在学校举办运动会，所有学生站成了一个12×12的实心方阵，这个方阵的最外层有 人．
7．要在一个正方形的花园四周的边上种树，每边都种10棵，并且四个角上都有种1棵，一共要准备 棵树苗．
8．一群学生组成了一个两层空心方阵，在原有方阵的最外层再增加一层，增加 后的总人数为原来人数的两倍．如果想让这个三层空心方阵变成一个实心方阵，至少还需要再补充 名学生．
9．小鱼老师站在一个9行9列的正方形队列中，她发现自己正前方有2个人；全体右转后，小鱼老师发现自己正前方变成了4个人；如果再全体右转，小鱼老师将发现自己正前方有 人．
10．阳光小学的学生在操场上排成一个实心正方形方阵．已知方阵最外面一圈都是男生，向内相邻一圈都是女生，然后再向内相邻一圈都是男生…如此下去直到最里面一圈．如果男生总数比女生总数多28人，那么整个方阵共有学生 人．
11．某小学三年级的部分学生排成一个实心正方形方阵，最外面3层有学生72人，这个方阵共有学生 人．
12．为纪念中国人民抗日战争暨反法西斯战争胜利70周年，2015年9月3日在天安门广场举行了盛大的阅兵式．受阅部队中有10个英模部队方队，已知每个英模部队方队有14排，每排25人．那么，受阅的10个英模方队共有 人．
13．一个四层的空心方阵，如果最外层人数是最内层人数的2倍，那么，这个空心方阵一共有 个人．
14．用同一规格的瓷砖铺一块正方形地面，铺的要求如图所示，正方形地面的两条对角线都用黑色，其余地方铺白色，而且黑色的瓷砖用了1001块，那么白色的瓷砖共用了 块．
15．有一队学生排成一个空心方阵，最外层是52人，最内层是28人，这队学生有 人．
16．同学们排成一个方阵进行广播操表演．小海的位置从前、从后、从左、从右数都是第5个，参加广播操表演的共有 人．
17．何何有一些棋子．她把这些棋子摆成了一个三层空心方阵，还多出50枚棋子．于是她继续在三层空心方阵外面又摆了一层，变成一个四层空心方阵，此时还多出2枚棋子．那么，何何一共有 枚棋子．
18．体操表演者排成每一横行和每一竖列中的人数相同的方阵，每个方阵最外一圈有16人，若四个这样的方阵恰好可以并成一个大方阵，则大方阵的最外一圈有 人．
19．学校大楼前摆放了一个方阵花坛．这个花坛的最外层每边各摆了10盆花，那么这个花坛最外层共摆了 盆花．
20．在一次运动会的开幕式上，有一大一小两个方阵合并成一个15行15列的方阵．则原来的大方阵有 人，小方阵有 人．
21．在学而思组织的一次“师生趣味运动会”上，老师和学生组成了一个四层的空心方阵．从外向里数，第一层都是男生，第二层都是女生，第三层都是男生，第四层都是老师．如果老师的人数只有女生的一半，那么，这个空心方阵一共有 人．
22．十一届“走美”参加决赛的三年级学生排成正方形方阵，剩余15人，至少再增加18人才能组成一个更大的正方形方阵，三年级有 人参加十一届“走美”决赛．
23．如图：40个点组成一个两层的中空方阵，请去掉两个点，并用直线将其余的点连成两个大小相同的正方形．
24．所有被抓住的小春香们排成了一个长方形的队列，小春香的本体发现她的前面有14只小春香，后面有26只小春香，从左往右数，她是第17只，从右往左数，她是第23只，请问，这里的小春香一共有 只．
25．一群解放军战士排成一个三层空心方阵多出9人，如果在空心部分再增 加一层，还差7人，这群战士共有 人．
26．48名学生做游戏，大家围成一个正方形，每边人数相等，四个顶点都有人，每边各有 名学生．
27．36人站成一个正方形队伍，最外层有 人．
28．有士兵若干人，排成实心长方阵不足17人，若长、宽各少1人就余12人，已知长比宽多6人，那么士兵有 人．
29．游行队伍中，手持鲜花的少先队员在一辆彩车四周围成了一个空心方阵，最外面每边 13人，最内层每边7 人，那么彩车周围的少先队员有 人．
30．有学生若干人，如果排成实心方阵，则不足14人；如果每边少排1人，就余41人，那么学生一共有 人．
31．今有棋子若干枚，它们恰好可以排成一个外层每边10枚棋子的4层空心方阵，那么这些棋子的总数是多少？最外层共有棋子 枚．
32．有一体育馆，地面想要铺瓷砖，排成空心方阵，外层每边26块，内层每边20块，一共使用了 块．
33．运动会入场式要求运动员排成9行9列的正方形方阵．如果去掉2行2列，每个方阵减少 名运动员．
34．888个同学排成一个方阵做操．从前面往后数，小明是第15个；从左面往右数，小明是第30个．那么从后面往前数，小明是第 个．
35．三（1）班同学们在体育活动课上，老师把同学们排成一个正方形的队伍，无论从前、后、左、右来数，小华都是第3个，那么三（1）班参加体育活动课共有 人．
36．一个8行n列的阵列队伍，如果排成若干个15行15列的方阵，还余下3人，一人举旗，2人护旗．则n最小等于 ．
37．同学们排练团体操，排成一个实心方阵，中间实心方阵是女同学，外面三层是男同学，最外两层又是女同学，已知方阵中男同学是132人，则女同学有 人．
38．一些棋子被摆成了一个四层的空心方阵（如图是一个四层空心方阵的示意图）．后来小林又添入28个棋子，这些棋子恰好变成了一个五层的空心方阵（不能移动原来的棋子），那么最开始最少有 个棋子．
39．小朋友在操场上做操，小俊站在左边第3行、右边第8行；假如从前往后数小俊是第6个，从后往前数小俊是第7个．如果每行的人数相同，那么一共有 个小朋友在做操．
40．11112222个棋子排成一个大的长方阵，每个横行的棋子数比每一直行的棋子数多一个．这个长方阵每一横行有棋子 个．
41．在相连的四个边长为20米的正方形花圃边上（包括中间边），每隔2米种上月季花，且每个交错点上都要种上一株，则一共要种 株．
42．一个长方形队列，如果增加一横行和一竖行，就要增加13人，这个长方形的队列原来最少有 人．
43．100位同学都面向主席台，排成l0行10列的方阵．小明在方阵中，他的正左方有2位同学，正前方有4位同学．若整个方阵的同学向右转，则小明的正左方有 位同学，正前方有 位同学．
44．某小学三年级学生排成一个实心正方形方阵，最外面一层有学生40人，这个方阵共有学生 人．
三．解答题（共6小题）
45．艺术节上，同学们用64盆花排出一个两层空心方阵，后来又决定在外面增加一层成为三层方阵，至少需要多少盆花？
46．一队战士排成一个三层空心方阵多出16人，如果在空心部分再增加一层又缺28人，这队战士共有多少人？
47．有若干名学生，恰好组成一个八列长方形方阵．如果在队列中再增加120人或从队列中减去120人，都能组成一个方形方阵，那么原长方形方阵中有多少名学生呢？
48．在一个正方形的池塘四边上种树，每边种10棵（四个角上都种一棵），四边一共种了多少棵？
49．明明用棋子摆了一个五层图形，每两层棋子的个数相差5，最内层用了18个棋子，问一共用了多少个棋子？
50．为了迎接3.15，光明社区居委会打算从林场采购一些小树苗．居委会李大妈发现，林场的一些小树苗排成一个三层的空心方阵，最里层每条边有6棵树．李大妈将这些小树苗全部买下来，发动小区居民将这些树苗种在小区南边的一条马路上，这条马路长400米，只在马路的一侧种树，并且两头都种，每隔5米种一棵．那么，最后还剩多少棵小树苗？
参考答案与试题解析
一．选择题（共3小题）
1．三（2）班学生排成每行人数相同的队伍（正方形方阵），参加学校运动会入场式，梅红的位置从前数是第5个，从后数是第3个；从左数是第3个，从右数是第5个，那么该班有（ ）人参加入场式．
A．64B．63C．56D．49
【分析】要解决这道题我们需要两个条件：
一：每行有多少人？5+3=8个，这时候梅红加了两次，所以每行应该有5+3﹣1人；
二：队伍的行数？用同样的方法，共有5+3﹣1（人），
最后用每行人数×行数，即可．
【解答】解：（5+3﹣1）×（5+3﹣1）
=7×7
=49（人）
答：该班有49人参加入场式．
故选：D．
【点评】本道题目就是利用排队方法找到每一行的人数，以及行数，同学们不应该因为数据比较多而乱找数量关系．
2．如图是由15个点组成的三角形点阵，在右图中至少去掉（ ）个点，就不会再出现以图中的点为顶点的正三角形了．
A．6B．7C．8D．9
【分析】
设最小正三角形的边长为1，即两个相邻格点的距离为1，要使不会再出现以图中的点为顶点的正三角形，就必须使任何三个点都不能组成正三角形，并且为使最少，尽量去掉公共点，据此解答即可．
【解答】解：设最小正三角形的边长为1，如图1所示，以A为顶点可以组成边长为4、3、2、1的等边三角形，所以A点必须去掉，同理B、C也必须去掉．
如图2所示（空白表示必须去掉的点），围成了四个边长为2的等边三角形和若干个边长为1的等边三角形，所以必须去掉O、D、E、F．
因此共去掉了7个点．
故选：B．
【点评】本题考查了方阵问题的灵活应用，关键是明确任何去点，使去掉的点尽量少．
3．小虎在19×19的围棋盘的格点上摆棋子，先摆成了一个长方形的实心点阵．然后再加上45枚棋子，就正好摆成﹣边不变的较大的长方形的实心点阵．那么小虎最多用了（ ）枚棋子．
A．285B．171C．95D．57
【分析】45=1×45=3×15=5×9，既然是长方形，1×45这种不用考虑，所以长方形不变的这条边长，可能是：3、5、9、15这四种．要使用最多棋子，则不变的边长只能是15，棋盘最长是19格，因此最终的较大点阵是15×19=285枚棋子．
【解答】解：45=1×45=3×15=5×9
既然是长方形，1×45这种不用考虑，所以长方形不变的这条边长，
可能是：3、5、9、15这四种，
要使用最多棋子，则不变的边长只能是15，棋盘最长是19格，
因此最终的较大点阵是：15×19=285（枚）；
故选：A．
【点评】本题关键是得出长方形不变的这条边长，可能是：3、5、9、15这四种．
二．填空题（共41小题）
4．有11个正方形方阵，每个都有相同数量的士兵组成，如果加上1名将军，就可以组成一个大的正方形方阵．原来的一个正方形方阵里最少要有 9 名士兵．
【分析】本题考察方阵问题．
【解答】解：由题，设原来的一个正方形方阵有a名士兵，
则a和11a+1是一个完全平方数，
当a=1时，11a+1=12，不符合题意；
当a=4时，11a+1=45，不符合题意；
当a=9时，11a+1=100，符合题意，
所以原来的一个正方形方阵里最少要有9名士兵．
【点评】本题关键在于列出代数式，然后枚举、检验．
5．学而思学校举办运动会，二年级（1）班排成了一个方阵，乐乐同学在方阵中，从前往后数，他是第5个，从后往前数，他也是第五个，请问二年级（1）班的方阵中共有 81 人．
【分析】从前往后数，他是第5个，从后往前数，他也是第五个，说明这一列共有5+5﹣1=9（人）；因为是方阵，所以这个正方行方阵的最外层每边有9人，根据总人数=每边人数×每边人数可求得总人数．
【解答】解：5+5﹣1=9（人）
共有：9×9=81人
答：二年级（1）班的方阵中共有 81人．
故答案为：81．
【点评】解答此题关键在于确定出每行、每列的人数，此题列式容易出错．
6．小明所在学校举办运动会，所有学生站成了一个12×12的实心方阵，这个方阵的最外层有 44 人．
【分析】所有学生站成了一个12×12的实心方阵，说明这个方阵的最外层每边有12人，然后根据最外层人数=每边人数×4﹣4；代入数据即可解答．
【解答】解：12×4﹣4
=48﹣4
=44（人）
答：这个方阵的最外层有 44人．
故答案为：44．
【点评】此题考查了方阵问题中：最外层点数=每边点数×4﹣4的灵活应用．
7．要在一个正方形的花园四周的边上种树，每边都种10棵，并且四个角上都有种1棵，一共要准备 36 棵树苗．
【分析】根据方阵问题的公式：四周点数=（每边点数﹣1）×4，代入数据解答即可．
【解答】解：（10﹣1）×4
=9×4
=36（棵）
答：一共要准备36棵树苗．
故答案为：36．
【点评】此题考查了方阵问题中：总点数=每边点数×每边点数；最外层四周点数=每边点数×4﹣4的灵活应用．
8．一群学生组成了一个两层空心方阵，在原有方阵的最外层再增加一层，增加 后的总人数为原来人数的两倍．如果想让这个三层空心方阵变成一个实心方阵，至少还需要再补充 1 名学生．
【分析】由题意，新增加最外层人数和原来两层人数和相等，根据最外层和第二层相差8，所以最内层为8名学生，则要想变成一个实心方阵，至少需要在中间补充1名学生．
【解答】解：在原有方阵的最外层再增加一层，增加后的总人数为原来人数的两倍，则新增加最外层人数和原来两层人数和相等，
因为最外层和第二层相差8，所以最内层为8名学生，则要想变成一个实心方阵，至少需要在中间补充1名学生．
故答案为1．
【点评】本题考查方阵问题，考查了方阵问题中的数量关系：实心方阵的总人数=每边人数×每边人数，空心方阵的总人数=（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4的灵活应用．
9．小鱼老师站在一个9行9列的正方形队列中，她发现自己正前方有2个人；全体右转后，小鱼老师发现自己正前方变成了4个人；如果再全体右转，小鱼老师将发现自己正前方有 6 人．
【分析】对于小鱼老师来说，她连续向右转后，就相当于小鱼老师直接向后转，这样问题就简化为，小鱼老师后面有2个人，去掉小鱼老师自己，根据方阵问题的特点还有9﹣2﹣1=6人；据此解答即可．
【解答】解：9﹣2﹣1=6（人）
答：如果再全体右转，小鱼老师将发现自己正前方有 6人．
故答案为：6．
【点评】本题关键是理解方阵问题的特点和变化前后小鱼老师的位置变化．
10．阳光小学的学生在操场上排成一个实心正方形方阵．已知方阵最外面一圈都是男生，向内相邻一圈都是女生，然后再向内相邻一圈都是男生…如此下去直到最里面一圈．如果男生总数比女生总数多28人，那么整个方阵共有学生 196 人．
【分析】根据方阵知识可知，相邻每边的人数相差2，所以相邻的内外圈相差2×4=8人，28÷8=3…4人，所以最后一圈是男生有4人，这一圈外面还有3×2=6圈，所以最外圈有4+6×8=52人，然后根据等差数列公式即可求出总人数．
【解答】解：相邻的内外圈相差：2×4=8（人）
因为28÷8=3…4（人），所以最后一圈是男生有4人，这一圈外面还有3×2=6圈，
所以最外圈有：4+6×8=52（人）
（4+52）×（6+1）÷2
=56×7×2
=196（人）
故答案为196．
【点评】本题考查了方阵问题与等差数列问题的综合应用，本题关键是求出最内层的人数，然后再根据等差数列公式解答即可．
11．某小学三年级的部分学生排成一个实心正方形方阵，最外面3层有学生72人，这个方阵共有学生 81 人．
【分析】因为方阵中，从外向内每边的人数依次减少2人，所以依次相差：2×4=8人，8×2=16人，假设3层人数都和最外层人数相等，共有学生72+8+16=96人，所以最外层的人数是：96÷3=32人，则每边的人数是：32÷4+1=9人，然后根据“实心方阵：总人数=每边人数×每边人数”解答即可．
【解答】解：（72+2×4+2×4×2）÷3÷4+1
=96÷3÷4+1
=32÷4+1
=9（人）
9×9=81（人）
答：这个方阵共有学生 81人．
故答案为：81．
【点评】此题考查了方阵问题，关键是明确方阵问题的结构特征，以及公式总点数=每边点数×每边点数；每边人数=四周人数÷4+1的灵活应用．
12．为纪念中国人民抗日战争暨反法西斯战争胜利70周年，2015年9月3日在天安门广场举行了盛大的阅兵式．受阅部队中有10个英模部队方队，已知每个英模部队方队有14排，每排25人．那么，受阅的10个英模方队共有 3500 人．
【分析】每个英模部队方队有14排，每排25人，每个方队就有14个25人，用25乘上14求出每个方队的人数，再乘10，即可求出10个方队一共有多少人．
【解答】解：25×14×10
=350×10
=3500（人）
答：受阅的10个英模方队共有 3500人．
故答案为：3500．
【点评】本题考查了乘法的意义：求几个几是多少，用乘法求解．
13．一个四层的空心方阵，如果最外层人数是最内层人数的2倍，那么，这个空心方阵一共有 144 个人．
【分析】在方阵问题中，相邻的里外两层每边的人数相差2人，所以四层的空心方阵最外层每边人数比最内层每边人数多：2×（4﹣1）=6人，一共多6×4=24人，根据差倍公式可得最内层人数是：24÷（2﹣1）=24人，则最外层人数是：24×2=48人，最外层每边的人数是：（48+4）÷4=13人，然后再根据“空心方阵的总人数=（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4”解答即可．
【解答】解：最外层比最内层多：2×（4﹣1）×4
=6×4
=24（人）
最内层人数是：24÷（2﹣1）=24（人）
最外层人数是：24×2=48（人）
最外层每边的人数是：（48+4）÷4=13（人）
总人数是：（13﹣4）×4×4
=9×16
=144（人）
答：这个空心方阵一共有 144个人．
故答案为：144．
【点评】本题考查了方阵问题，关键是明确方阵问题的结构特点，难点是根据差倍公式求得最内层人数；方阵问题相关的知识点是：四周的人数=（每边的人数﹣1）×4，每边的人数=四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数=每边的人数×每边的人数，空心方阵的总人数=（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2=实面积数，层数=（最外层每边的人数﹣内层每边的人数）÷2+1．
14．用同一规格的瓷砖铺一块正方形地面，铺的要求如图所示，正方形地面的两条对角线都用黑色，其余地方铺白色，而且黑色的瓷砖用了1001块，那么白色的瓷砖共用了 250000 块．
【分析】一条对角线上的块数等于正方形边长上的块数，由于两条对角线上的中心共用一块，所以，正方形边长上的块数是（1001+1）÷2=501块，利用实心方阵总点数=每边点数×每边点数，先求得黑白瓷砖的总块数为501×501=251001块，然后用总块数减去黑色的瓷砖即为白色的瓷砖，据此解答即可．
【解答】解：每条边上的瓷砖块数为：（1001+1）÷2=501（块）
黑白色瓷砖之和为：501×501=251001（块），
所以白色瓷砖的块数为：251001﹣1001=250000（块）
答：白色的瓷砖共用了250000块．
故答案为：250000．
【点评】此题考查了利用实心方阵问题解决实际问题的灵活应用，这里抓住对角线上的块数之和得出每边点数是解决此类问题的关键．
15．有一队学生排成一个空心方阵，最外层是52人，最内层是28人，这队学生有 160 人．
【分析】此题为空心方阵问题，每相邻的两层相差8人，已知最外层有52人，最内层有28人，则方阵的层数：（52﹣28）÷8+l=4（层）；最外层每边的人数52÷4+1=14人，共52人，由此根据“空心方阵的总人数=（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，”即可求出这个方阵的总人数．
【解答】解：方阵的层数：（52﹣28）÷8+l
=3+1
=4（层）；
最外层每边的人数：52÷4+1
=13+1
=14（人）；
总人数：（14﹣4）×4×4
=10×16
=160（人）；
答：这一队学生共有160人．
故答案为：160．
【点评】本题关键是求出方阵的层数和每边的人数；方阵问题相关的知识点是：四周的人数=（每边的人数﹣1）×4，每边的人数=四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数=每边的人数×每边的人数，空心方阵的总人数=（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2=实面积数．
16．同学们排成一个方阵进行广播操表演．小海的位置从前、从后、从左、从右数都是第5个，参加广播操表演的共有 81 人．
【分析】小海的前后左右都是第5个，包括他自己在内，每行每列都是5+5﹣1=9人；这个方队组成的是一个实心方阵，是一个正方形，最外层每条边上都有9个人，根据实心方阵的总点数=每边点数×每边点数，即可解答问题．
【解答】解：根据题干分析可得：
5+5﹣1=9（人）
9×9=81（人）
答：参加广播操表演的共有81人．
故答案为：81．
【点评】此题考查了在实际问题中公式实心方阵的总点数=每边点数×每边点数的灵活应用．
17．何何有一些棋子．她把这些棋子摆成了一个三层空心方阵，还多出50枚棋子．于是她继续在三层空心方阵外面又摆了一层，变成一个四层空心方阵，此时还多出2枚棋子．那么，何何一共有 146 枚棋子．
【分析】摆成了一个三层空心方阵，还多出50枚棋子，又摆成了一个四层空心方阵，此时还多出2枚棋子．说明第四层有50﹣2=48枚棋子，那么根据“每边的枚数=四周的枚数÷4+1”可得：最外层每边棋子的枚数是48÷4+1=13枚，任何再根据“空心方阵的总点数=（最外层每边的点数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4”，代入数据解答即可．
【解答】解：第四层有：50﹣2=48（枚）
最外层每边棋子的枚数是：48÷4+1=13（枚）
四层空心方阵总数是：（13﹣4）×4×4=144（枚）
何何一共有：144+2=146（枚）
答：何何一共有 146枚棋子．
故答案为：146．
【点评】本题考查了方阵问题，关键是明确方阵问题的结构特点，关键是求得最外层棋子数；方阵问题相关的知识点是：四周的人数=（每边的人数﹣1）×4，每边的人数=四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数=每边的人数×每边的人数，空心方阵的总人数=（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2=实面积数，层数=（最外层每边的人数﹣内层每边的人数）÷2+1．
18．体操表演者排成每一横行和每一竖列中的人数相同的方阵，每个方阵最外一圈有16人，若四个这样的方阵恰好可以并成一个大方阵，则大方阵的最外一圈有 36 人．
【分析】由于四个顶点上的人属于相邻的两个边公共的人，所以每边的人数是：16÷4+1=5（人），因此每个方阵共有学生5×5=25（人），四个这样的方阵恰好可以并成一个大方阵，则大方阵的总人数为25×4=100（人），因为100=10×10，所以每行就有10人，最外圈的人数就是10×4﹣4=36（人）．据此解答．
【解答】解：16÷4+1=5（人）
5×5=25（人）
25×4=100（人）
10×4﹣4=36（人）
答：大方阵的最外一圈有36人．
故答案为：36．
【点评】本题关键是求出每边的人数；方阵问题相关的知识点是：四周的人数=（每边的人数﹣1）×4，每边的人数=四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数=每边的人数×每边的人数，空心方阵的总人数=（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2=实面积数．
19．学校大楼前摆放了一个方阵花坛．这个花坛的最外层每边各摆了10盆花，那么这个花坛最外层共摆了 36 盆花．
【分析】这个方阵花坛的最外层每边有花盆10盆，可以看做每边点数为10的方阵问题，根据最外层四周的总点数=每边点数×4﹣4，即可解决问题．
【解答】解：10×4﹣4
=40﹣4
=36（盆），
答：最外层一共摆了36盆．
故答案为：36．
【点评】此题考查了空心方阵问题中：最外层四周的总点数=每边点数×4﹣4的灵活应用．
20．在一次运动会的开幕式上，有一大一小两个方阵合并成一个15行15列的方阵．则原来的大方阵有 144 人，小方阵有 81 人．
【分析】根据“总点数=每边点数×每边点数”可以求出总人数：15×15=225人，然后把225拆分为两个完全平方数即可．
【解答】解：15×15=225（人）
225=122+92=144+81
所以，原来的大方阵有 144人，小方阵有 81人．
故答案为：144；81．
【点评】此题主要考查方阵问题中：总点数=每边点数×每边点数的计算应用．
21．在学而思组织的一次“师生趣味运动会”上，老师和学生组成了一个四层的空心方阵．从外向里数，第一层都是男生，第二层都是女生，第三层都是男生，第四层都是老师．如果老师的人数只有女生的一半，那么，这个空心方阵一共有 112 人．
【分析】方阵问题中，只要本圈多于1人，那么下一圈将比本圈多8人，故知女生比老师多16人，又老师的人数只有女生的一半，这是一个简单的差倍问题，故可得老师有16人，求出各圈人数，即可得出结论．
【解答】解：方阵问题中，只要本圈多于1人，那么下一圈将比本圈多8人，故知女生比老师多16人，又老师的人数只有女生的一半，这是一个简单的差倍问题，故可得老师有16人，
所以最内圈16人，4圈人数从内到外分别有16人，24人，32人，40人，
所以这个空心方阵共有16+24+32+40=112人，
故答案为112．
【点评】本题考查方阵问题，考查学生分析解决问题的能力，考查简单的差倍问题，求出最内圈16人是关键．
22．十一届“走美”参加决赛的三年级学生排成正方形方阵，剩余15人，至少再增加18人才能组成一个更大的正方形方阵，三年级有 271 人参加十一届“走美”决赛．
【分析】方阵至少增加一行一列可以变成一个更大的正方形方阵，那么新方阵最外层增加一行一列，增加了15+18=33人，所以原来的方阵最外层每边有（33﹣1）÷2=16人，原来的总人数是16×16+15=271人；据此解答即可．
【解答】解：15+18=33（人）
（33﹣1）÷2
=32÷2
=16（人）
16×16+15
=256+15
=271（人）
答：三年级有 271人参加十一届“走美”决赛．
故答案为：271．
【点评】本题考查了方阵问题的结构特征，难点是求出原来的方阵最外层每边的人数．
23．如图：40个点组成一个两层的中空方阵，请去掉两个点，并用直线将其余的点连成两个大小相同的正方形．
【分析】可以去掉最外层相对的两个角上的点，然后用直线将其余的点连成两个大小相同的正方形；据此解答即可．
【解答】解：
【点评】解答本题关键结合图形的特征，确定在什么地方去掉两个点．
24．所有被抓住的小春香们排成了一个长方形的队列，小春香的本体发现她的前面有14只小春香，后面有26只小春香，从左往右数，她是第17只，从右往左数，她是第23只，请问，这里的小春香一共有 1599 只．
【分析】根据前面有14只小春香，后面有26只小春香，可得一共有14+26+1=41行，根据从左往右数，她是第17只，从右往左数，她是第23只，可得一共有17+23﹣1=39列，据此利用列数×行数即可解答问题．
【解答】解：（14+26+1）×（17+23﹣1）
=41×39
=1599（只）
答：小春香一共有1599只．
故答案为：1599．
【点评】解答此题的关键是求出这个长方形队伍的行数与列数．
25．一群解放军战士排成一个三层空心方阵多出9人，如果在空心部分再增 加一层，还差7人，这群战士共有 105 人．
【分析】由题意可知，增加的一层需要9+7=16人，设此层每边为A人，可得16=（A﹣4）×4×4，求得A=5，则最外层人数为5+3×2=11人，所以总数=（11﹣3）×3×4+9=105人，据此解答．
【解答】解：设此层每边为A人，由题意可得：
16=（A﹣4）×4×4，
16A=80，
A=5，
则最外层人数为5+3×2=11人，
总人数：（11﹣3）×3×4+9，
=8×3×4+9，
=105（人），
答：这群战士共有105人．
故答案为：105．
【点评】此题考查了空心方阵问题，明确最外层的人数及层数是解答的关键．
26．48名学生做游戏，大家围成一个正方形，每边人数相等，四个顶点都有人，每边各有 13 名学生．
【分析】把48名学生看作48个点，利用空心方阵的最外围每边点数=（最外层四周点数+4）÷4，即可解决问题．
【解答】解：（48+4）÷4，
=52÷4，
=13（人）；
答：每边各有13名学生．
故答案为：13．
【点评】此题考查了空心方阵中每边点数=（四周点数+4）÷4这个公式的灵活应用．
27．36人站成一个正方形队伍，最外层有 20 人．
【分析】36人站成一个正方形队伍，因为36=6×6，所以每行、每列都是6人，每个顶点处的人数在每条边上重复相加，所以最外层人数=每边人数×4﹣4，由此即可解答．
【解答】解：因为36=6×6，所以每行、每列都是6人，
6×4﹣4=20（人）
答：最外层有20人．
故答案为：20．
【点评】解决本题先找出36是哪个数的平方，从而得出方阵每边的人数，再根据最外层人数=每边人数×4﹣4进行求解．
28．有士兵若干人，排成实心长方阵不足17人，若长、宽各少1人就余12人，已知长比宽多6人，那么士兵有 199 人．
【分析】设长x人 那么宽有x﹣6人，那么原来总人数就可以表示为：x（x﹣6）﹣17人；后来长、宽各减少1人后分别是：（x﹣1）人，（x﹣6﹣1）人，总人数又可以表示为：（x﹣1）（x﹣6﹣1）+12人，根据总人数不变，列出方程出长的人数，进而求出宽的人数和总人数．
【解答】解：设长x人，那么宽有x﹣6人，由题意得：
x（x﹣6）﹣17=（x﹣1）（x﹣6﹣1）+12，
x2﹣6x=x2﹣8x+7+29，
2x=36，
x=18；
士兵人数：18×（18﹣6）﹣17，
=18×12﹣17，
=216﹣17，
=199（人）；
答：士兵有199人．
故答案为：199．
【点评】解决本题关键是根据方阵的总人数=长的人数×宽的人数，找出等量关系，再结合其它条件列出方程．
29．游行队伍中，手持鲜花的少先队员在一辆彩车四周围成了一个空心方阵，最外面每边 13人，最内层每边7 人，那么彩车周围的少先队员有 144 人．
【分析】先算出中空边长数：7﹣2=5（人），然后根据公式“外层边长数2﹣中空边长数2=实面积数”代入数据求出总人数，列式为：132﹣52=144（人）；据此解答
【解答】解：根据分析可得，
7﹣2=5（人），
132﹣52
=169﹣25，
=144（人）；
答：彩车周围的少先队员有144人．
故答案为：144．
【点评】本题关键是求出中空每边的人数；方阵问题相关的知识点是：外层边长数2﹣中空边长数2=实面积数或空心方阵的总人数=（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4．
30．有学生若干人，如果排成实心方阵，则不足14人；如果每边少排1人，就余41人，那么学生一共有 770 人．
【分析】如果每边少排1人，就相当于原来减少两个边的人数，根据盈亏问题可以求出原来两个边的人数：14+41=55人，那么原来方阵每个边的人数是：（55+1）÷2=28（人）；再根据中实方阵的总人数=每边的人数×每边的人数，求出总人数，列式为：28×28=784（人），然后减去14人，就是实有人数．
【解答】解：根据分析可得，
（14+41+1）÷2=28（人）；
28×28﹣14，
=784﹣14，
=770（人），
答：学生一共有770人．
故答案为：770．
【点评】本题关键是求出原来每边的人数；方阵问题相关的知识点是：四周的人数=（每边的人数﹣1）×4，每边的人数=四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数=每边的人数×每边的人数．
31．今有棋子若干枚，它们恰好可以排成一个外层每边10枚棋子的4层空心方阵，那么这些棋子的总数是多少？最外层共有棋子 36 枚．
【分析】根据公式“空心方阵的总人数=（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，”求出这个方阵的总数；外层每边10枚，一共是10×4=40枚棋子，但是4个角上都多算了一次，再减去4就是最外层的棋子数．
【解答】解：
（10﹣4）×4×4，
=6×4×4，
=96（枚）；
10×4﹣4，
=40﹣4，
=36（枚）；
答：那么这些棋子的总数是96枚，最外层共有棋子36枚．
故答案为：36．
【点评】本题考查了方阵问题，相关的知识点是：空心方阵的总人数=（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，或外层边长数2﹣中空边长数2=实面积数．
32．有一体育馆，地面想要铺瓷砖，排成空心方阵，外层每边26块，内层每边20块，一共使用了 352 块．
【分析】此题为空心方阵问题，每相邻的两层相差8块，最外层一共有26×4﹣4=100块，最内层一共有20×4﹣4=76块；（100﹣76）÷8=3个间隔，所以这是一个4层的中空方阵，则中间的2层分别是：76+8=84块；84+8=92块，由此即可求出这个方阵中一共使用了多少块．
【解答】解：最外层一共有：26×4﹣4=100（块），
最内层一共有：20×4﹣4=76（块），
（100﹣76）÷8=3个间隔，所以这是一个4层的中空方阵，
则中间的2层分别是：76+8=84（块），84+8=92（块），
所以方阵中一共有：100+92+84+76=352（块）；
答：这个空心方阵一共使用了352块．
故答案为：352．
【点评】此题关键是根据实心方阵每边点数特点得出每一层中总点数相差8的规律，再结合题意得出答案．
33．运动会入场式要求运动员排成9行9列的正方形方阵．如果去掉2行2列，每个方阵减少 32 名运动员．
【分析】9行9列，共有9×9=81人，如果去掉2行2列，还剩9﹣2=7行，9﹣2=7列，还剩7×7=49（人），然后用总人数减去剩下的人数就是减少的人数．
【解答】解：9﹣2=7（人），
9×9=81（人），
7×7=49（人），
81﹣49=32（人）；
答：每个方阵减少 32名运动员．
【点评】本题关键是求出去掉2行2列的列数和行数（即每列的人数和列数）．
34．888个同学排成一个方阵做操．从前面往后数，小明是第15个；从左面往右数，小明是第30个．那么从后面往前数，小明是第 10 个．
【分析】888=8×3×37 由小明的位置来看，方阵的长大于30，宽大于15，所以方阵的长为37，宽为8×3=24 那么从后往前数24﹣15+1=10，即从后往前数，小明是第10个，据此即可解答问题．
【解答】解：888=8×3×37 由小明的位置来看，方阵的长大于30，宽大于15，
所以方阵的长为37，宽为8×3=24，
那么从后往前数24﹣15+1=10，
即从后往前数，小明是第10个．
答：从后面往前数，小明是第 10个．
故答案为：10．
【点评】此题主要考查分解质因数在实际生活中的灵活应用，较复杂．
35．三（1）班同学们在体育活动课上，老师把同学们排成一个正方形的队伍，无论从前、后、左、右来数，小华都是第3个，那么三（1）班参加体育活动课共有 25 人．
【分析】因为从前、后、左、右数，小华都是第3个，所以每行都有：3×2﹣1=5人，由此利用方阵问题中：总人数=每边人数×每边人数，即可解答．
【解答】解：每边人数是：3×2﹣1=5（人），
共有：5×5=25（人），
答：三（1）班参加体育活动课共有25人．
故答案为：25．
【点评】此题考查了方阵问题中总点数=每边点数×每边点数的灵活应用，关键是根据行、列排列特点求出每边人数．
36．一个8行n列的阵列队伍，如果排成若干个15行15列的方阵，还余下3人，一人举旗，2人护旗．则n最小等于 141 ．
【分析】根据题干分析可得，这个方阵的人数是8的倍数，一个小方阵有15×15=225人，设有k个方阵，那么8n=225k+3，则225k+3应该是8的倍数，考虑除以8的余数，k最小为5，n最小为141．
【解答】解：设有k个方阵，那么8n=225k+3，
当k=1时，225+3=228，不是8的倍数；不符合题意；
当k=2时，225×2+3=453，不是8的倍数，不符合题意；
当k=3时，225×3+3=678，不是8的倍数，不符合题意；
当k=4时，225×4+3=903，不是8的倍数，不符合题意；
当k=5时，225×5+3=1128，是1128÷8=141；
答：k最小为5时，n最小为141．
故答案为：141．
【点评】根据题干得出这个方阵的总人数是8的倍数，
37．同学们排练团体操，排成一个实心方阵，中间实心方阵是女同学，外面三层是男同学，最外两层又是女同学，已知方阵中男同学是132人，则女同学有 192 人．
【分析】相邻两层人数相差8人，由里向外每层人数形成一个等差数列．根据这个规律求解．
【解答】解：
男生中间一层的人数是：132÷3=44（人），
所以男生外面的女生第一层人数是44+16=60（人），第二层人数是60+8=68（人），共有60+68=128（人）
男生内部的女生人数依次是：44﹣16=28（人）28﹣8=20（人）20﹣8=12（人）12﹣8=4（人），共有28+20+12+4=64（人）
这个方阵中共有女生128+64=192（人）
故填192
【点评】这题的解题关键是找出相邻两层之间的关系．
38．一些棋子被摆成了一个四层的空心方阵（如图是一个四层空心方阵的示意图）．后来小林又添入28个棋子，这些棋子恰好变成了一个五层的空心方阵（不能移动原来的棋子），那么最开始最少有 112 个棋子．
【分析】空心方阵有两种，每一层的边长为偶数（如上图），由内往外，每层的个数分别是4、12、20、28、36、44、52、…
还有一种每一层的边长为奇数，由内往外每层的个数分别是8、16、24、32、40、48…
由于原来的棋子不动，所以所加的棋子的位置只能是内部和外围，顺着这样的思路去思考．
【解答】解：
通过对比数据和尝试，可以得到下图，棋子红色的为后来添加的28个棋子．
所以原来的棋子是16+24+32+40=112（个）
【点评】这题的解题关键是找出所放棋子的位置是外部和内部如何去放，可以通过尝试调整得到结果．
39．小朋友在操场上做操，小俊站在左边第3行、右边第8行；假如从前往后数小俊是第6个，从后往前数小俊是第7个．如果每行的人数相同，那么一共有 120 个小朋友在做操．
【分析】小俊站在左起第3行，右起第8行；可以得到总行数3+8﹣1；从前面数是第6个，从后边数是第7个，可以求出每一行的人数：6+7﹣1；如果每行的人数一样多，要求共有多少个小朋友在做操，用乘法得解．
【解答】解：（7+6﹣1）×（3+8﹣1），
=12×10，
=120（个）；
答：一共有120个小朋友在做操．
故答案为：120．
【点评】注意：左右数数时，小俊自己占了一行，行数和要减去1；前后数数时，同理也要减去1．
40．11112222个棋子排成一个大的长方阵，每个横行的棋子数比每一直行的棋子数多一个．这个长方阵每一横行有棋子 3334 个．
【分析】长方形方阵的点数=长上的点数×宽上的点数，据此把11112222分解质因数得出相邻两个自然数的乘积即可．
【解答】解：11112222
=1111×10002
=1111×3×3334
=3333×3334
所以，这个长方阵每一横行有棋子3334个．
故答案为：3334．
【点评】本题关键是理解方阵的特点，然后结合分解质因数解答即可．
41．在相连的四个边长为20米的正方形花圃边上（包括中间边），每隔2米种上月季花，且每个交错点上都要种上一株，则一共要种 117 株．
【分析】先求出两头不种树时，每20米的边上种树的株数；再由图和题意得出共有12条边长是20米的边长，由此求出共种树的株数，再加上交错点种树的株数就是要求的答案．
【解答】解：每20米的边上种树（两头不种树），
20÷2﹣1=9（株），
共有12条边长，共种树9×12=108（株），
有9个交错点，一共种树108+9=117（株），
故答案为117．
【点评】求出两头不种树时，每20米的边上种树的株数是解答本题的关键；注意不要忘记加交错点种树的棵数．
42．一个长方形队列，如果增加一横行和一竖行，就要增加13人，这个长方形的队列原来最少有 35 人．
【分析】因为增加一横行和一竖行，就要增加13人，则围成的长方形方阵的另外的两条邻边上的人数就是13﹣2=11人，则最外层一共有13+11=24人，又因为，每相邻两层的总人数之差是8人，则第二层就是24﹣8=16人，第三层就是16﹣8=8人，据此把这三层的人数加起来，再减去增加的13人即可解答问题．
【解答】解：如果增加一横行和一竖行，就要增加13人，
则可得出此时最外层总人数是13﹣2+13=24（人）
则第二层就是就是24﹣8=16（人）
第三层就是16﹣8=8（人）
所以24+16+8﹣13
=48﹣13
=35（人）
答：这个长方形的队列原来最少有 35人．
故答案为：35．
【点评】解答此题的关键是明确实心方阵中，每相邻的两层的总人数相差8．
43．100位同学都面向主席台，排成l0行10列的方阵．小明在方阵中，他的正左方有2位同学，正前方有4位同学．若整个方阵的同学向右转，则小明的正左方有 4 位同学，正前方有 7 位同学．
【分析】根据题意，并结合方位可知：小明的正左方有2位同学，正前方有4位同学，那么他的正右方有7个同学，正后方有5个同学；现在小明向右转，转动之后他现在的正左方是原来的正前方，现在的正前方是原来的正右方；由此解答即可．
【解答】解：小明的正左方有2位同学，正前方有4位同学．那么他的正右方有7个同学，正后方有5个同学．现在小明向右转，转动之后他现在的正左方是原来的正前方有4个同学，现在的正前方是原来的正右方有7个同学；
故答案为：4，7．
【点评】明确小明向右转，转动之后他现在的正左方是原来的正前方，现在的正前方是原来的正右方，是解答此题的关键．
44．某小学三年级学生排成一个实心正方形方阵，最外面一层有学生40人，这个方阵共有学生 121 人．
【分析】由于四个顶点上的人属于相邻的两个边公共的人，所以每边的人数是：40÷4+1=11（人），因此这个方阵共有学生11×11=121（人），据此解答．
【解答】解：40÷4+1=11（人），
11×11=121（人）；
答：这个方阵共有学生121人．
故答案为：121．
【点评】本题关键是求出每边的人数；方阵问题相关的知识点是：四周的人数=（每边的人数﹣1）×4，每边的人数=四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数=每边的人数×每边的人数，空心方阵的总人数=（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2=实面积数．
三．解答题（共6小题）
45．艺术节上，同学们用64盆花排出一个两层空心方阵，后来又决定在外面增加一层成为三层方阵，至少需要多少盆花？
【分析】由于方阵相邻两层每边相差2盆，共相差8盆，所以用（64+8）÷2可求得两层空心方阵的最外层有多少盆，再加上8盆就是在外面增加一层需要的盆数．
【解答】解：（64+8）÷2+8
=72÷2+8
=36+8
=44（盆）
答：至少需要44盆花．
【点评】方阵问题相关的知识点是：四周的人数=（每边的人数﹣1）×4，每边的人数=四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数=每边的人数×每边的人数，空心方阵的总人数=（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2=实面积数．
46．一队战士排成一个三层空心方阵多出16人，如果在空心部分再增加一层又缺28人，这队战士共有多少人？
【分析】由题意可知，增加的一层需要16+28=44人，设此层每边为A人，可得44=（A﹣1）×4，求得A=12，则最外层人数为12+3×2=18人，因为空心方阵的总人数=（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，据此解答．
【解答】解：设此增加的层每边为A人，由题意可得：
16+28=（A﹣1）×4
44=4A=4
4A=48
A=12
则最外层每边人数为12+3×2=18人，
总人数：（18﹣3）×3×4+16
=15×12+16
=180+16
=196（人）
答：这队战士共有196人．
【点评】本题关键是求出现在每边的人数；方阵问题相关的知识点是：四周的人数=（每边的人数﹣1）×4，每边的人数=四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数=每边的人数×每边的人数，空心方阵的总人数=（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2=实面积数．
47．有若干名学生，恰好组成一个八列长方形方阵．如果在队列中再增加120人或从队列中减去120人，都能组成一个方形方阵，那么原长方形方阵中有多少名学生呢？
【分析】可设原有战士8n人，8n+120=a2，8n﹣120=b2，则存在a2﹣b2=240，根据奇偶性相同，即可求得a、b的值，进一步求得n的值．
【解答】解：设原有战士8n人，8n+120=a2，8n﹣120=b2，
则存在a2﹣b2=240，
即（a+b）（a﹣b）=240．但a+b与a﹣b的奇偶性相同，且a、b都为偶数，
故a+b=120，a﹣b=2，于是a=61，b=59（不合题意舍去）；
a+b=60，a﹣b=4，于是a=32，b=28，则8x=904．因为904﹣120=784，784为28的平方，即28行28列，与题意不符，即不是在原8列的方阵中减去120，而是减去120再排成队列，所以904不符条件，应舍去；
a+b=40，a﹣b=6，于是a=23，b=17（不合题意舍去）；
a+b=30，a﹣b=8，于是a=19，b=11（不合题意舍去）；
a+b=24，a﹣b=10，于是a=17，b=7（不合题意舍去）；
a+b=20，a﹣b=12，于是a=16，b=4，则8x=136；
a+b=16，a﹣b=15，于是a=15.5，b=0.5（不合题意舍去）．
故原长方形队列共有136名战士．
【点评】本题考查了完全平方数在实际生活中的应用，考查了因式分解法求值的应用，考查了奇偶性的判定．
48．在一个正方形的池塘四边上种树，每边种10棵（四个角上都种一棵），四边一共种了多少棵？
【分析】四周植树时，如果每个角处都植树，那么正好围成了一个空心方阵，此时四周点数之和=每边点数×4﹣4，由此即可解答．
【解答】解：10×4﹣4
=40﹣4
=36（棵）
答：四边一共种了36棵．
【点评】此题考查空心方阵中：四周点数=每边点数×4﹣4的灵活应用．
49．明明用棋子摆了一个五层图形，每两层棋子的个数相差5，最内层用了18个棋子，问一共用了多少个棋子？
【分析】因为每两层棋子的个数相差5，一共是5层，所以相差的总数为：5+5×2+5×3+5×4，再求出5个18是多少，最后相加即可．
【解答】解：18×5+（5+5×2+5×3+5×4），
=90+50，
=140（个），
答：一共用了140个棋子．
【点评】关键是理解题意，先求出相差棋子的个数，再求出5个18是多少，进而解决问题．
50．为了迎接3.15，光明社区居委会打算从林场采购一些小树苗．居委会李大妈发现，林场的一些小树苗排成一个三层的空心方阵，最里层每条边有6棵树．李大妈将这些小树苗全部买下来，发动小区居民将这些树苗种在小区南边的一条马路上，这条马路长400米，只在马路的一侧种树，并且两头都种，每隔5米种一棵．那么，最后还剩多少棵小树苗？
【分析】由题意知，这是一个三层空心方阵，最里层每条边有6棵树，因为每相邻的两层之间每边上都是相差2棵树，所以最外层每边有6+2+2=10棵树，根据方阵问题中：空心方阵的总人数=（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4即可求得树苗的总棵数；再根据两头都种的植树问题，用间隔数+1求得在马路的一侧种树需要的棵数，最后二者相减就是还剩的棵数；据此解答即可．
【解答】解：最外层每边有6+2+2=10棵树，
树苗总数：（10﹣3）×3×4=84（棵），
马路植树的棵数：400÷5+1=81（棵），
还剩：84﹣81=3（棵），
答：最后还剩3棵小树苗．
【点评】此题综合考查了方阵问题和植树问题，求得树苗总数是关键．题号
一
二
三
总分
得分
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得 分
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得 分
评卷人
得 分
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