江西省南昌市2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

这是一份江西省南昌市2023-2024学年九年级上学期期中数学试题，共8页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卷上．
1．斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，它是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，科学家在自然界中发现存在许多斐波那契螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于中心对称图形
的是（ ）
A．B．C．D．
2．抛物线与y轴的交点坐标是（ ）
A．B．C．D．
3．若关于x的一元二次方程无实数根，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．1B．C．3D．
5．如图，将绕点A顺时针旋转120°得到，若点C，B，在同一条直线，则的度数为（ ）
A．15°B．30°C．45°D．65°
6．对于抛物线和抛物线，下列结论错误的是（ ）
A．两条抛物线开口方向相反B．两条抛物线对称轴相同
C．两条抛物线一定有两个不同的交点D．两条抛物线关于直线y=c对称
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．若是关于x的方程的一个实数根，则______．
8．将抛物线向上平移2个单位，所得抛物线解析式为______．
9．已知点与点关于原点对称，则______．
10．《九章算术》中记载这样一个问题：今有户不知高、广，竿不知长短。横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？设门的对角线长为x尺，根据题意可列方程为______．
11．下表为二次函数自变量x与函数值y之间满足的数量关系，则时，______．
12．如图，在中，，，将AB绕点A逆时针旋转角得到AP，连接PC，PD．当为等腰三角形时，旋转角的度数为______．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（1）解方程：；
（2）写出抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标．
14．如图，抛物线与x轴交于点，点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）直接写出时，自变量x的取值范围．
15．如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜地（矩形ABCD），墙长为19米．设AB的长度为xm．
（1）填空：______m；______m．（用含x的式子填空）
（2）若矩形菜园的面积为100m，求x的值．
16．如图，在中，，，将绕点O逆时针旋转角得到，连接，．
（1）当时，求的长度；
（2）当时，求的度数．
17．如图，在四边形ABCD中，，，点E是AD的中点，连接AC．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图．
图1 图2
（1）在图1中，作出AC的中点F；
（2）在图2中，连接CE，作出，使得．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，延长CB到点G使得，连接AG．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
19．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．已知商品的进价为每件40元．
（1）若要该商品每星期的销售利润为6160元，同时又要顾客得到实惠，则每件商品应涨价多少元？
（2）若单纯从经济角度考虑，每件商品应涨价多少元才能使每星期的销售利润最大？最大利润为多少元？
20．二次函数的图象经过点．
（1）求a的值；
（2）若点，都在该抛物线上，且，，试比较，的大小关系，并说明理由；
（3）设点D为抛物线的顶点，在该抛物线上任取一点E（不与点D重合），过点D作x轴的平行线，过点E作y轴的平行线，两条直线交于点F，求的值．
五、解答题（本大题共1小题，共10分）
21．已知菱形ABCD中，，点P为菱形内部或边上一点．
（1）如图1，若点P在对角线BD上运动，以AP为边向右侧作等边，点E在菱形ABCD内部或边上，连接CE，直接写出BP与CE的数量关系；______；
（2）如图2，若点P在对角线BD上运动，以AP为边向右侧作等边，点E在菱形ABCD的外部，试写出线段BD，CE，PD之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若，点E，F分别在AP，BP上，且，连接AF，EF．已知，，求的值．
图1 图2 图3
2023—2024学年度第一学期期中测试卷
九年级（初三）数学参考答案及评分意见
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．B 2．C 3．A 4．D 5．B 6．C
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．1 8． 9．-1 10．
11．5 12．60°或120°或240°
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．解：（1）…2分
∴，．…3分
（2）开口方向：开口向下；对称轴：直线；顶点坐标：．……6分
14．解：（1）∵抛物线与x轴交于点，点，
∴解得∴．…3分
（2）或．…6分
15．解：（1）x；…2分
（2）根据题意可得：…3分
解得：，．…4分
若，则mm，∴舍去．…5分
若，则mm，∴．…6分
16．解：（1）∵，，∴，
由旋转可知，∴为等边三角形，
∴．…3分
（2）∵，，，∴，
∴，即…6分
17．（1）如图1，点F为AC的中点．…3分
（2）如图2，即为所求．…6分
图1 图2
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴，．
∵，∴．…3分
（2）∵，∴，．
∵，∴．∴．
∴．∴，∴．…8分
19．解：（1）设每件商品应涨价x元．
，…2分
解得：，，…3分
∵要顾客得到实惠，∴；
答：每件商品应涨价2元．…4分
（2）设每件商品应涨价x元，每星期的销售利润为y元．
…6分
∴当时，y最大，最大利润为6250元．
答：每件商品应涨价5元，最大利润为6250元．…8分
20．解：（1）∵二次函数的图象经过点，
∴，解得．…2分
（2）．…3分
∵，，∴，．
∴点B到对称轴的距离大于点C到对称轴的距离．
∵，∴．…5分
（3）由（1）可知，∴．
设，∴点F的坐标为．
∴，．
∴．…8分
五、解答题（本大题共1小题，共10分）
21．解：（1）．…2分
（2）．…3分
连接AC．
∵四边形ABCD为菱形，，
∴为等边三角形．∴．
∵，，∴．
∴．∴．…5分
（3）连接AC，CE，CF．
∵，
∴为等边三角形．∴．
∵，∴．∴，
∵，，∴．
∴，．
∵，∴．∴为等边三角形．
∵，∴为直角三角形．
∴．…10分x
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