江西省南昌市2023-2024学年八年级上学期期中数学试题

这是一份江西省南昌市2023-2024学年八年级上学期期中数学试题，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
说明：本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟。
一、选择题（本大题6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）
1．2023年暑假期间，国家高度重视预防溺水安全工作，要求各级各类学校积极落实防溺水安全教育，以下与防溺水相关的标志中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，是线段的垂直平分线，为直线上的一点，已知线段，则线段的长度为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．我国的纸伞工艺十分巧妙，如图，伞圈能沿着伞柄滑动，伞不论张开还是缩拢，伞柄始终平分同一平面内所成的角，为了证明这个结论，我们的依据是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在Rt中，是角平分线，，则的面积为（ ）
A．5 B． C． D．
6．如图，在Rt中，，以的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．在平面直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标为______________．
8．分解因式：______________．
9．如图所示，已知是上的一点，，请再添加一个条件：______________，使得．
10．已知：，则______________．
11．如图，等腰三角形的底边长为4，面积是14，腰的垂直平分线分别交于点，若点为底边的中点．点为线段上一动点，则的周长的最小值为______________．
11．已知中，如果过顶点的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为的关于点的二分割线．如图1，Rt中，显然直线是的关于点的二分割线．在图2的中，，若直线是的关于点的二分割线，则的度数是______________．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（1）计算：
（2）如图，点在一条直线上，，．求证：．
14．先化简，再求值：，其中．
15．如图所示，的顶点分别为．
（1）画出关于直线（平行于轴且该直线上的点的横坐标均为2）对称的图形，则的坐标分别为（______________），（______________），（______________）；
（2）求的面积．
16．如果，那么我们规定，例如：因为，所以．
（1）【理解】根据上述规定，填空：______________，______________；
（2）【应用】若，试求之间的等量关系．
17．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成作图．
（1）在图1中，作边上的中线；
（2）在图2中，作边上的高．
四、（本大题3小题，每小题8分，共24分）
18．为了测量一幢高楼的高，在旗杆与楼之间选定一点．测得旗杆顶的视线与地面的夹角，测楼顶的视线与地面的夹角，量得点到楼底距离与旗杆高度相等，等于8米，量得旗杆与楼之间距离为米，求楼高是多少米？
19．如图，甲长方形的两边长分别为，面积为；乙长方形的两边长分别为．面积为（其中为正整数）．
（1）现有一正方形，其周长与图中的甲长方形周长相等，试探究：该正方形面积与图中的甲长方形面积的差（即）是一个常数，求出这个常数；
（2）试比较与的大小．
20．如图：已知等边中，是的中点，是延长线上的一点，且，垂足为．
（1）试问和有何数量关系？并证明之；
（2）求证：是的中点．
五、（本大题2小题，每小题9分，共18分）
21．图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2中的阴影部分的正方形的周长等于______________；
（2）观察图2，请直接写出下列三个代数式之间的等量关系；
（3）运用你所得到的公式，计算：若为实数，且，试求的值；
（4）如图3，点是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．
22．课本再现：如图，一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等，我们把这种图形的变换叫全等变换．
生活体验：（1）数学作图工具中有一个三角尺是等腰直角三角形，它的两个锐角相等，都是______________．
问题解决：（2）如图1，在等腰直角三角形中，为边上的一点（不与点重合），连接，把绕点顺时针旋转后，得到，点与点恰好重合，连接．
①填空：______________；______________．
②若，求的度数．
结论猜想：（3）如图1，如果是直线上的一点（不与点重合），其他条件不变，请猜想与的数量关系，并直接写出猜想结论．
六、（本大题共12分）
23．【探究发现】
（1）如图1，中，，点为的中点，分别为边上两点，若满足，则之间满足的数量关系是______________．
【类比应用】
（2）如图2，中，，点为的中点，分别为边上两点，若满足，试探究之间满足的数量关系，并说明理由．
【拓展延伸】
（3）在中，，点为的中点，分别为直线上两点，若满足，请直接写出的长．
南昌市2023—2024学年第一学期期中形成性测试
八年级（初二）数学试卷
参考答案
一．选择题（共6小题）
1.D 2.B． 3.C． 4.B 5.B 6.C
二．填空题（共6小题）
7．（﹣2，5）．8． ． 9. ∠BAP=∠CAP或∠APB=∠APC或AP平分∠BAC(答案不唯一) ．10. 12 11. 9． 12. 140°或90°或40°
三．解答题
13．（1）计算：解：（1）y4+（y2）4÷y4﹣（﹣y2）2
＝y4+y8÷y4﹣y4＝y4+y4﹣y4＝y4；……………………3分
（2）证明：∵BE=CF
∴BE+EC=CF+EC
即BC=EF……………………1分
在△ABC和△EDF中，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴AB=DE……………………3分
14.解：原式…………………1分
…………………3分
…………………4分
将代入上式得，原式…………………6分
15.，，，则为所求作的三角形，…………………4分
如图所示：
…………………6分
16.解：（1）23＝8，（2，8）＝3，
，（2，4）＝2，
故答案为：3；2；……………………2分
（2）证明：∵（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c，
∴4a＝12，4b＝5，4c＝60，∴4a×4b＝60，
∴4a×4b＝4c，∴a+b＝c；………………6分
17.
即中线BH为所求 ………………3分

即高BD为所求 ………………6分
18.，，，
，………………2分
在和中，
，
∴（ASA），………………5分
，
米，米，………………7分
（米)，
答：楼高是25米．………………8分
19.解：（1）图中的甲长方形周长为2（m+7+m+1）4＝4m+16，
∴该正方形边长为m+4，
∴S﹣S1＝（m+4）（m+4）﹣（m+1）（m+7）=(m2+8m+16) -（m2+8m+7）＝9，
∴该正方形面积S与图中的甲长方形面积S1的差是一个常数9；……………4分
（2）S1＝（m+1）（m+7）＝m2+8m+7，S2＝（m+2）（m+4））＝m2+6m+8，
S1﹣S2＝（m2+8m+7）﹣（m2+6m+8）＝2m﹣1，
∵m为正整数，∴2m﹣1＞0，∴S1＞S2.……………………8分
20.（1）DM和DE有何数量关系为：DE=2DM
证明：∵三角形ABC是等边△ABC，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，
又∵CE＝CD，∴∠E＝∠CDE，
又∵∠ACB＝∠E+∠CDE，∴∠E=∠ACB＝30°；
又∵∠DME=90°∴DE=2DM………………………4分
（2）证明：连接BD，∵等边△ABC中，D是AC的中点，
∴∠DBC=∠ABC＝30°
由（1）知∠E＝30°
∴∠DBC＝∠E＝30°∴DB＝DE
又∵DM⊥BC
∴M是BE的中点．………………………8分
21.（1）阴影部分的正方形边长为a-b，故周长为4(a-b)=4a-4b；
故答案：4a-4b；………………………1分
（2）大正方形面积可以看作四个矩形面积加阴影面积，
故可表示为：4ab+(a-b)2，大正方形边长为a+b，
故面积也可表达为：(a+b)2，
因此(a+b)2=(a-b)2+4ab；
故答案为:(a+b)2=(a-b)2+4ab；………………………3分
（3）由(2)知：(m+n)2=(m-n)2+4mn；………………………4分
已知m-n=4，mn=-3；
所以(m+n)2=42+4×(-3)=16-12=4；
所以m+n=2或一2；………………………6分
（4）设AC=a，BC=b；
因为AB=8，S1+S2=26；
所以a+b=8，a2+b2=26；
因为(a+b)2=a2+b2+2ab，
所以64=26+2ab，解得ab=19，
由题意：∠ACF=90°，
所以S阴影=ab=，
故答案为：．………………………9分
22.解：（1）∵三角形的内角和为180°，等腰直角三角形的两个锐角相等，
∴它的两个锐角都是；
故答案为：．………………………1分
（2）①根据旋转可得，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
故答案为：．………………………3分
②∵等腰直角三角形中，，
∴，
∵，
∴
∵
∴
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴………………………7分
（3）当在上时，

∵，
∵
∴
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴
即；………………………8分
当在的延长线上时，如图所示，

∵，
∵
∴
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴
即；
当在的延长线上，如图所示，

∵，
∵
∴
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴
即；………………………9分
综上所述，或．
23.（1）
如图1，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠C＝45°，
∵D为BC中点，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝45°，AD＝BD＝CD，
∴∠ADB＝∠ADF+∠BDF＝90°，
∵∠EDF＝∠ADE+∠ADF＝90°，
∴∠BDF＝∠ADE，
∵BD＝AD，∠B＝∠CAD＝45°，
∴△BDF≌△ADE（ASA），
∴BF＝AE，
∴AB＝AF+BF＝AF+AE；
故答案为：AB＝AF+AE；………………………2分
（2）
AE+AF＝AB．理由是：………………………4分
如图2，作AG=AD，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为BC的中点，
∴∠BAD＝∠CAD＝60°，AD⊥BC
又∵AG=AD
∴△AGD为等边三角形
∴DG＝AG＝AD
∴∠GDA＝∠BAD＝60°，即∠GDF+∠FDA＝60°，
又∵∠FAD+∠ADE＝∠FDE＝60°，
∴∠GDF＝∠ADE，
在和中，
，
∴（ASA）
∴GF＝AE，
∵AD⊥BC，∠BAD=60°
∴∠B=90°-60°=30°
又∵∠AGD=60°
∴∠GDB=∠AGD-∠B=60°-30°=30°
∴BG=GD
又∵GD=AG
∴AG=BG
∴AG＝AB＝AF+FG＝AE+AF，
∴AE+AF＝AB；………………………8分
（3）
当点E在线段AC上时，如图3，作AH=AD
同理可得△ADH为等边三角形
当AB＝AC＝5，CE＝1，∠EDF＝60°时，
AE＝4，此时F在BA的延长线上，
∴∠DAF=180-∠BAD=180°-60°=120°
∠DHC=180-∠AHD=180°-60°=120°
∴∠FAD=∠CHD=120°
同（2）可得：△ADF≌△HDE （ASA），
∴AF＝HE，
同（2）可得：DH=HC，AH=DH
∴AH=HC
∵AH＝CH＝AC＝，CE＝1，
∴，
当点E在AC延长线上时，如图4，
同理可得：；
综上：AF的长为或．………………………12分