江西省南昌市十校联考2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（解析版）

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2.本卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，写在试卷上的答案无效．
一、选择题（6小题，每小题3分，共18分）
1. 下列交通标志是中心对称图形的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：选项B、C、D中的图形都不是中心对称图形，
选项A中的图形是中心对称图形，
故选：A．
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
2. 下列方程中，是一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．
【详解】解：A：满足一元二次方程的定义，符合题意；
B：含有两个未知数，不符合题意；
C：未知数的最高次数是１，不符合题意；
D：是分式方程，不符合题意；
故选：A
【点睛】本题考查一元二次方程的定义．熟记相关结论即可．
3. 4月23日是世界读书日，据有关部门统计，某市2021年人均纸质阅读量约为4本，2023年人均纸质阅读量约为本，设人均纸质阅读量年均增长率为，则根据题意可列方程（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据2021年人均阅读量1+年均增长率2023年人均阅读量列出方程即可．
【详解】解：设人均纸质阅读量年均增长率为，
由题意可得：，
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．
4. 已知是半径为6的圆的一条弦，则的长不可能是（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 14
【答案】D
【解析】
【分析】根据直径是圆中最长的弦进行求解即可．
【详解】解：∵是半径为6的圆的一条弦，
∴，
∴四个选项中，只有D选项符合题意，
故选D．
【点睛】本题主要考查了圆的基本概念，熟知直径是圆内最长的弦是解题的关键．
5. 若点关于原点对称的点在第二象限，则m的取值范围为（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出对应点，进而利用第二象限点的坐标特点得出答案．
【详解】解：点关于原点的对称点为，
∵在第二象限，
∴，
解得，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的坐标以及解一元一次不等式组，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．
6. 如图，已知抛物线与轴交于点，对称轴为直线．则下列结论：①；②；③函数的最大值为；④若关于的方程有两个相等的实数根，则．正确的个数为（ ）

A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线的位置和对称轴可以判断出，，的正负，对①进行判断，根据对称轴公式对②进行判断，设抛物线的解析式为，当时，值最大对③进行判断，把方程转化成一元二次方程 ，利用判别式等于零求解判断④即可．
【详解】解：抛物线开口方向向下，
，
抛物线交轴正半轴，
，
抛物线对称轴位于轴正半轴，
，
，
，故①正确；
抛物线的对称轴为，
，
，故②正确；
抛物线的对称轴为，与轴的一个交点为，
抛物线与轴的另一个交点为，
设抛物线的解析式为，
当时，值最大，最大值为，故③正确；
方程有两个相等的实数根，
有两个相等的实数根，
，，
，
（舍去）或，故④错误，
故选：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，根的判别式，二次函数的最值问题，通过函数图像判断出，，的正负，找到函数与坐标轴的交点是解答本题的关键．
二、填空题（6小题，每小题3分，共18分）
7. 如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作圆弧，则圆心的坐标是________．

【答案】
【解析】
【分析】运用垂径定理的推论作图确定圆心位置，写出坐标即可．
【详解】解：分别作的垂直平分线，交于点P，点P即为圆心，
由图知，圆心P的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查垂径定理的推论，掌握作圆中弦的垂直平分线必过圆心值解题的关键．
8. 如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为______ 度

【答案】60
【解析】
【分析】观察图形可得，图形由六个形状相同的部分组成，从而能计算出旋转角度．
【详解】解：图形可看作由一个基本图形每次旋转，旋转次所组成，故最小旋转角为．
故答案为：．
【点睛】本题考查旋转对称图形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
9. 将抛物线先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的表达式 _____．
【答案】
【解析】
【分析】根据平移规律“左加右减，上加下减”写出新抛物线解析式．
【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的表达式为，即．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
10. 如图，将边长为的正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，则图中阴影部分的面积为__________．

【答案】##
【解析】
【分析】如图连接，根据得到，再结合面积公式求解即可得到答案；
【详解】解：连接，
∵边长为的正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，
∴，，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
【点睛】本题考查勾股定理，正方形的性质及三角形全等的判定与性质，解题的关键是得到．
11. 如图，二次函数的图象与一次函数的图象的交点A、B的坐标分别为、，当时，x的取值范围是______．

【答案】或
【解析】
【分析】根据两函数的图象和、的坐标得出即可．
【详解】解：因为二次函数的图象与一次函数的图象的交点A、B的坐标分别为、，
所以当时，x的取值范围是或．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式、二次函数与一次函数的图象和性质等知识点，能根据图象得出正确的信息是解题关键．
12. 在平面直角坐标系中，坐标原点为O，的顶点A，B的坐标分别为，，将绕点O按顺时针方向旋转一定角度，使旋转后的（不与重合）的边与的边所在直线的夹角（锐角）为，连接，则此时的长度是__________．
【答案】或或3
【解析】
【分析】由A，B的坐标分别为，，可得，，则，，如图，当点在第二象限时，，，证明是等边三角形，则；当点在的正半轴上时，；当点在第四象限时，是直角三角形，，，则，即，解得，．
【详解】解：∵A，B的坐标分别为，，
∴，，
∴，
∴，
如图，
当点在第二象限时，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴；
当点在的正半轴上时，；
当点在第四象限时，是直角三角形，，，
∴，即，解得，，
综上所述，的长度是或或3，
故答案为；或或3．
【点睛】本题考查了正切，等边三角形的判定与性质，旋转的性质．解题的关键在于分情况讨论．
三、解答题（共5题，每题6分，共30分）
13. 解方程：；
【答案】，
【解析】
【分析】利用配方法求解即可．
【详解】解：，
，
，即，
，
，．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
14. 已知二次函数．
（1）将二次函数的解析式化为的形式．
（2）二次函数图像的对称轴是直线______、顶点坐标是______．
【答案】（1）
（2）、
【解析】
【分析】(1)根据配方法的基本步骤进行配方化简即可．
(2)根据抛物线顶点式的解析式特点计算即可．
【小问1详解】
．
【小问2详解】
∵，
∴对称轴为直线，顶点坐标为，
故答案为：、．
【点睛】本题考查了化抛物线的一般式为顶点式，确定对称轴，顶点坐标，熟练掌握配方法是解题的关键．
15. 如图，二次函数的图象的对称轴为直线l，且与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图．（保留作图痕迹）
（1）作出点C关于对称轴l的对称点D．
（2）在抛物线对称轴l上作点P，使的值最大．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】
【分析】（1）连接BC交y轴于点E，连接AE并延长与抛物线的交点即为所求点；
（2）连接AC并延长与对称轴的交点即为所求点．
【详解】解：（1）如图所示：
（2）如图所示：
．
【点睛】本题考查了作对称点和求对短路径，掌握作对称点和画最短路径的方法是解答本题的关键．
16. 如图，，交于点，，是半径，且于点．

（1）求证：．
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）5
【解析】
【分析】（1）由垂径定理得，根据等腰三角形的性质可得，再根据线段的和差关系可得结论；
（2）连接，结合垂径定理和勾股定理列方程求解即可．
【小问1详解】
证明：，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：如图，连接，

设的半径是r，
，
，
，
的半径是5．
【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
17. 如图，在中，点E在边上，，将线段绕A点旋转到的位置，使得，连接，与交于点G．

（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】(1)由旋转的性质可得,利用证明，根据全等三角形的对应边相等即可得出；
(2)根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出,那么.由,得出，再根据三角形外角的性质即可求出.
【小问1详解】
∵将线段绕点旋转到的位置，
∴，
∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵,，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴的度数为.
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，证明是解题的关键.
四、解答题（共3题，每题8分，共24分）
18. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若，是一元二次方程两个根，且，求m的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式大于0建立不等式求解即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系结合（1）中m的范围解答即可．
【小问1详解】
解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：；
【小问2详解】
∵，是一元二次方程的两个根，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，属于常考题型，利用根的判别式和根与系数的关系构建关于m的不等式和方程是解题的关键．
19. 如图，一小球M从斜坡上的O点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一都分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画，若小球到达的最高的点坐标为，解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）在斜坡上的B点有一棵树，B点的横坐标为2，树高为4，小球M能否飞过这棵树？
【答案】（1）
（2）小球M能飞过这棵树
【解析】
【分析】（1）设抛物线的解析式为，将顶点坐标和代入即可进行解答；
（2）先求出点B的纵坐标和当小球M在点B正上方时M的纵坐标，再比较树顶端离地面的高度和小球M离地面的高度即可．
【小问1详解】
解：设抛物线的解析式为，
∵抛物线最高点坐标为，
∴抛物线的解析式为，
由图可知，抛物线经过，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为．
【小问2详解】
把代入得：，
∴，即点B到x轴的距离为1，
∵树高为4，
∴树顶端的高度为，
把代入，
∵，
∴小球M能飞过这棵树．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题题意，找出等量关系，列出函数表达式．
20. 某商店经销甲、乙两种商品，现有如下信息：
信息1：甲、乙两种商品的进货单价之和是3元；
信息2：甲商品零售单价比进货单价多1元，乙商品零售单价比进货单价的2倍少1元；
信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了12元．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求甲、乙两种商品的零售单价：
（2）该商店平均每天卖出甲乙两种商品各件，经调查发现，甲种商品零售单价每降元，甲种商品每天可多销售件，商店决定把甲种商品的零售单价下降m（）元．在不考虑其他因素的条件下，当m为多少时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为元？
【答案】（1）甲、乙零售单价分别为2元和3元
（2）当m定为元才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润共元
【解析】
【分析】（1）设甲种商品的进货单价为x元、乙种商品的进货单价为y元，根据“甲、乙两种商品的进货单价之和是3元，按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了12元”列出方程组，解方程组即可得到答案；
（2）根据“商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为元”列出方程，解方程即可得到答案．
【小问1详解】
解：设甲种商品的进货单价为x元、乙种商品的进货单价为y元，
根据题意可得：
解得：
答：甲、乙零售单价分别为2元和3元
【小问2详解】
根据题意得出：，
即．
解得或（舍去），
答：当m定为元才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润共元．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用、二元一次方程组的应用，读懂题意，正确列出方程和方程组是解题的关键．
五、解答题（共2题，每题9分，共18分）
21. 如图，在中，，点P为内一点，连接，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接

（1）用等式表示与的数量关系，并证明；
（2）当时，
①直接写出的度数为_______；
②若M为的中点，连接，依题意补全图形，用等式表示与的数量关系，并证明．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用 证明 , 即可得出答案;
（2） ①由三角形内角和定理知 ，再利用角度之间的转化和等量代换可得 ，即可解答；
② 延长 到 ，使 ，连接 、， 得出四边形 为平行四边形，则 且 ， 再利用 证明 ，得 ，即可解答；
小问1详解】
，
证明： ∵，
∴，
∵将线段绕点C顺时针旋转 得到 ，
【小问2详解】
①当 时，
则 ，
∵，
∴，
∵，
∴，
又 ∵，
∴；
故答案为；
②，理由如下：
延长 到 ，使 ，连接 、，

∵ 为 的中点，
∴，
∴四边形 为平行四边形，
∴ 且 ，
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质， 全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，利用倍长中线构造平行四边形是解题的关键
22. 如图为2022年10月的日历表，在其中用一个方框圈出4个数（如图中虚框所示），设这4个数从小到大依次为a，b，c，d．

（1）若用含有a的式子分别表示出b，c，d，其结果应为：______；________；________；
（2）按这种方法所圈出的四个数中，的最大值为 _________；
（3）嘉嘉说：“按这种方法可以圈出四个数，使得的值为135．”淇淇说：“按这种方法可以圈出四个数，使最小数a与最大数d的乘积为84．”请你运用一元二次方程的相关知识分别说明二人的说法是否正确．
【答案】（1）；；
（2）552 （3）嘉嘉的说法错误,淇淇的说法正确，见解析
【解析】
【分析】（1）观察日历表，即可用含a的代数式表示出b，c，d；
（2）观察日历表，可找出a的最大值，将其代入中，即可求出结论；
（3）嘉嘉的说法错误，根据的值为135，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a值，结合日历表，可得出嘉嘉的说法错误；淇淇的说法正确，根据为84，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a值，结合日历表，即可得出淇淇的说法正确．
【小问1详解】
根据题意得：．
故答案为：；；．
【小问2详解】
观察日历表，可知：a的最大值为23，
∴ab的最大值为．
故答案为：552．
【小问3详解】
嘉嘉的说法错误，理由如下：
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
∵10月8日为周六，不符合题意，
∴嘉嘉的说法错误；
淇淇说法正确，理由如下：
根据题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），
∵10月6日为周四，符合题意，
∴淇淇的说法正确．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
六、解答题（本大题共12分）
23. 如图，抛物线交轴于点、(点在点的左侧)，与轴交于点，点、的坐标分别为，，对称轴交轴于，点为抛物线顶点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点是直线下方抛物线上一点，且．求的坐标；
（3）为抛物线对称轴上一点，是否存在以、、为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2），
（3）或或或
【解析】
【分析】（1）由点、点的坐标和对称轴的值列出方程组，即可求出抛物线解析式．
（2）由抛物线解析式可求出顶点的坐标，进而求出和的面积，由面积可推出的边上的高，求出到距离等于的直线解析式，联立直线解析式和抛物线解析式，即可求出点的坐标．
（3）若是等腰三角形，通过作图画两圆一线来确定点的位置，再根据半径的长度及勾股定理求出点的坐标．
【小问1详解】
解：将点，点代入抛物线解析式，由对称轴，
得
解得，
抛物线解析式为：．
【小问2详解】
将代入抛物线解析式得：，
顶点
，
，
设直线解析式为：，
将点，点代入，
得
解得，
直线的解析式为：
如图，设直线与对称轴的交点为，将代入
点，
，
，
设中边上的高为，则，
如图，设在直线下方的轴上有一点到的距离为，且，
，，
是等腰直角三角形
，
点在过点与直线平行的直线上，
即将直线向下平移个单位长度即可得到直线，
直线的解析式为：
联立，
解得：或
点的坐标为，．
【小问3详解】
点与点关于对称轴对称，点，
点，
①如图，连接，以点为圆心，的长为半径画圆，与对称轴的交点即为所求点，此时，为等腰三角形．
由图知：点位于点上方时，、、三点共线，所以此点舍去；
点位于点下方时，点与点重合，此时点的坐标为．

②如图，以点为圆心，的长为半径画圆，与对称轴的交点即为所求点，此时，
为等腰三角形．
在中，，，
此时点的坐标为或．

③如图，作线段的垂直平分线，与交于点，与轴交于点，与对称轴的交点即为所求点，此时，为等腰三角形．
连接， 为线段的垂直平分线，
，点为中点，
，，由中点坐标公式得点
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
点
设直线的解析式为：，
将，代入解析式，
得，
解得，
直线解析式为：
将代入直线解析式得：，
此时点．

综上所述：点Ｍ的坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查求二次函数解析式、二次函数因动点产生的三角形面积问题、因动点产生的等腰三角形问题，求出到底边的距离等于高的直线解析式，利用画“两圆一线”构造等腰三角形是解题的关键．