江西省南昌市南昌县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

这是一份江西省南昌市南昌县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．下列图案中不是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．一元二次方程的一次项系数是（ ）
A．3xB．C．3D．
3．抛物线的顶点坐标是（ ）．
A．B．C．D．
4．已知三角形两边长分别为5和9，第三边长是方程的根，第三边长（ ）
A．1B．6C．8D．9
5．若a，b是方程的两个实数根，则的值是（ ）．
A．2021B．2022C．2023D．2024
6．如图，一段抛物线，记为抛物线，它与x轴交于点O，；将抛物线绕点旋转得抛物线，交x轴于点；将抛物线绕点旋转得抛物线，交x轴于点．…如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点在此“波浪线”上，则m的值为（ ）．
A．B．3C．D．4
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
7．若点与点关于原点对称，则__________．
8．如果将抛物线向左平移1个单位，再向下平移1个单位，那么所得到的新抛物线的表达式是__________．
9．已知点，在抛物线上，且，则__________．（填“”或“”或“”）
10．一个人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了__________人．
11．若二次函数的图象与x轴只有一个公共点，则__________．
12．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形是矩形，点A，C的坐标分别为，，点D以2个单位长度/s的速度从A出发沿A至O方向向终点O运动，点P以1个单位长度/s的速度从C出发沿C至B方向向终点B运动，当是以为一腰的等腰三角形时，点P的坐标为__________．
三、解答题（共5小题，满分30分，每小题6分）
13．解下列方程：
（1）；（2）．
14．如图，是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，若其与x轴一交点为，则由图象直接回答：
（1）方程的解是__________；
（2）当x__________时，y随x的增大而减小；
（3）当x满足________时，函数值大于0．
15．如图，在正方形中，点M是边上任意一点，请你仅用无刻度直尺、用连线的方法，分别在图（1）、图（2）中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）
（1）在图（1）中，在边上求作一点N，连接，使；
（2）在图（2）中，在边上求作一点Q，连接，使．
16．《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”．书中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、门宽、对角线的长各是多少（如图）？
17．如图所示，点D是等边内一点，，，，将绕点A逆时针旋转到的位置，求的周长．
四、解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）
18．某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
19．已知：的两边，的长是关于x的方程的两个实数根．
（1）当m为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若的长为2，那么的周长是多少？
20．将两个全等的和按图1方式摆放，其中，点E落在上，所在直线交直线于点F．
（1）求证：；
（2）若将图1中绕点B按顺时针方向旋转到图2位置，其他条件不变（如图2），请写出此时、与之间的数量关系，并加以证明．
五、解答题（共2小题，满分18分，每小题9分）
21．如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
（1）写出一个“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；
（3）若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求面积．
22．通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．
原题：如图①，点E，F分别在正方形的边，上，，连接，试猜想，，之间的数量关系．
（1）【思路梳理】把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，由，得，即点F，D，G共线，易证__________，故，，之间的数量关系为__________．
（2）【类比引申】
如图②，点E，F分别在正方形的边，的延长线上，．连接，试猜想，，之间的数量关系，并证明．
六、解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）
23．如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作直线轴于点D，交直线于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求线段的最大值；
（3）当时，求点P的坐标．
南昌县2023-2024学年度第一学期期中考试
九年级数学试题参考答案及评分标准
说明：1．除本参考答案外，其它正确解法可根据评分标准相应给分。
2．涉及计算或证明的题，允许合理省略非关键步骤。
3．以下解答中右端所注的分数，表示考生正确做到这步应得的累计分。
一、选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．C 2．D 3．B 4．C 5．A 6．A
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
7． 8． 9． 10．11 11．1
12．或（写对一个2分，对两个3分，错写酯情扣分）．
三、解答题（共5小题，满分30分，每小题6分）
13．（1）解： （2）
或 或
，； ，．
14．（1），
（2）
（3）或
15．解：（1）如图1，即为所作；
（2）如图2，则即为所作．
16．解：设对角线的长度为尺，则门高为尺，门宽为尺．
则有
解得（舍去），
则，
答：门高、门宽、对角线的长各是8尺、6尺、10尺．
17．为等边三角形，
，．
绕点逆时针旋转到的位置，
，，．
为等边三角形，
．
的周长．
四、解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）
18．解：（1）设，
将、代入，得：，
解得：，
则；
（2）设每天获取的利润为，
则
，
又，
．
时，随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值为．
答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元．
19．解：（1）四边形是菱形，
．
，即．
整理得：，
解得．
当时，原方程为，
解得：．
故当时，四边形是菱形，菱形的边长是0.5；
（2）把代入原方程得，．
把代入原方程得，则，
．
20．解：（1）如图1，连接．
．
，
（2），理由如下：
如图，连接．
由（1）知
五、解答题（共2小题，满分18分，每小题9分）
21．（1）解：当，，时（提示：直接找一组勾股数代入方程即可）
勾系一元二次方程为；
（2）证明：根据题意，得
即
勾系一元二次方程必有实数根；
（3）解：当时，有，即
，即
，
．
22．（1），
（2），理由如下：
在正方形中，，
如图，把绕点逆时针旋转至，可使与重合．
，，，．
点、、在一条直线上，
由旋转知，．
，
．
．
，
，
．
五、解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）
23．解：（1）由题知，且抛物线与轴交于，两点．
则抛物线解析式为，
（2）当时，，
，
设的解析式为：，
又，
，
解得：
即的解析式为：，
直线轴，
点、的横坐标相等，
设为，且，
，，
，
，
当时，有最大值，最大值为，
即最大值为4；
（3）过点作于点，如图，
，
，
，直线轴，，
四边形是矩形，
，
，，
在等腰中，有，
直线轴，
点的横坐标相等，
设为，且，
，
，
，，
，且，
解得，或者（舍去），
当时，
，
即点坐标为：．