专题03 期中小题狂做 压轴大题精选20道-2023-2024学年七年级数学上册重难热点提升精讲与实战训练（人教版）

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一、解答题
1．我们知道x的几何意义是数轴上表示x的点与原点之间的距离；2−1的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离．

(1)x−4的几何意义是数轴上表示x的点与表示______的点之间的距离，x+1的几何意义是数轴上表示x的点与表示______的点之间的距离；
(2)利用绝对值的几何意义求满足等式x−1=3的x的值．
(3)请你借助数轴，利用绝对值的几何意义找出所有符合条件的整数x，使得x+1+x−3=4，这样的整数是__________________．
(4)由以上探索猜想x+8+x−3+x−6是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由．
【答案】(1)4，−1
(2)4或−2
(3)−1，0，1，2，3
(4)有，14
【详解】（1）解：x−4表示数轴上表示x的点与表示4的点之间的距离，
x+1=x−−1，
x+1表示数轴上表示x的点与表示−1的点之间的距离；
（2）x−1=3表示数轴上与表示1的点之间的距离为3的点，
∴x的值为1+3=4或1−3=−2；
（3）x+1+x−3=4表示数轴上与−1和3的距离之和为4的点，
由图可知：这样的整数是−1，0，1，2，3；

（4）x+8+x−3+x−6表示数轴上的点与−8、3和6的距离之和，
当x=3时，x+8+x−3+x−6的值最小，且为6−−8=14．

2．已知数轴上A，B，C三个点表示的数分别是a，b，c，且满足a+12+b+6+c−92=0，动点P、Q都从点A出发，且点P以每秒1个单位长度的速度向终点C移动.
(1)直接写出a= ，b= ，c= ；
(2)若M为PA的中点，N为PB的中点，试判断在P点运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化，请说明理由；
(3)当点P运动到点B时，点Q再从点A出发，以每秒3个单位长度的速度在A，C之间往返运动，直至P点停止运动，Q点也停止运动.当P点开始运动后的第 秒时，P，Q两点之间的距离为2.
【答案】(1)−12，−6，9
(2)在P点运动的过程中，线段MN的长度不发生变化，恒为3
(3)点Q运动的第8，10，14.5，15.5秒，P，Q两点之间的距离为2
【详解】（1）∵a+12+b+6+c−92=0，
∴a+12=0，b+6=0，c−92=0，
∴a=−12，b=−6，c=9，
故答案为：，−12，−6，9；
（2）不变，理由如下：
设点P表示的数为x，
∵M为PA的中点，N为PB的中点，
∴点M表示的数为：−12+x−−122=x−122，点N表示的数为：x+−6−x2=x−62，
∴MN=x−62−x−122=3，
即在P点运动的过程中，线段MN的长度不发生变化，恒为3；
（3）运动特点为：点P运动到点B时，点Q再从点A出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，点Q再从点A出发，以每秒3个单位长度的速度在A，C之间往返运动，
∵AB=−6−−12=6，BC=9−−6=15，AC=9−−12=21，
∴点P从点B运动至点C的时间为：9−(−6)1=15s，点P从点A运动至点B的时间为：12−61=6s，
点Q从点A运动至点C的时间为：9−(−12)3=7s，
即可知点Q的运动情况为：先是由A运动到C点，再由C点运动到A点，在由A点继续出发运动1s，即Q点在A与C之间运动了一个来回，
∴可将P，Q两点距离为2的情况分为以下2种情况讨论，
设点P从点B运动ts后，P，Q两点距离为2，
∴BP=t，即点P表示的数为：−6+t，PQ=2，
①当点Q由A运动到C点时，
此时点Q表示的数为：−12+3t，
∵PQ=2，
∴PQ=−6+t−−12+3t=2，即6−2t=2，
解得：t=2，或者t=4，
∴点P运动的时间为：t+6，即时间为8秒或者10秒，
∴P点开始运动后的第8秒或者10秒，P，Q两点之间的距离为2；
②当点Q由C运动到A点时，
此时点Q表示的数为：9−3t−7=30−3t，
∵PQ=2，
∴PQ=−6+t−30−3t=2，即36−4t=2，
解得：t=8.5，或者t=9.5，
∴点P运动的时间为：t+6，即时间为14.5秒或者15.5秒，
∴P点开始运动后的第14.5秒或者15.5秒，P，Q两点之间的距离为2；
综上，当点Q运动的第8，10，14.5，15.5秒，P，Q两点之间的距离为2．
3．对于数轴上的两点P，Q给由如下定义：P，Q两点到原点O的距离之差的绝对值称为P，Q两点的“绝对距离”，记为∥POQ∥．例如，P，Q两点表示的数如图（1）所示， 则POQ=PO−QO=3−1=2．
(1)A，B两点表示的数如图（2）所示．
①求A，B两点的“绝对距离”；
②若点C为数轴上一点（不与点O重合），且||AOB||=2||AOC||，求点C表示的数；
(2)点M，N为数轴上的两点．（点M在点N左侧）且MN=2，||MON||=1， 请直接写出点M表示的为___________．
【答案】(1)①2；②2或−2；
(2)−32或−12
【详解】（1）①AOB=AO−BO=1−3=2；
②∵AOB=2，||AOB||=2||AOC||，
∴||AOC||=1，
∴|AO−CO|=1，
∴1−CO=1或CO−1=1，
解得：CO=0或2，
∵C点不与O点重合，
∴点C表示的数为2或−2；
（2）由题可知||MON||=|MO−NO|=1，
∴MO−NO=1或NO−MO=1．
∵点M在点N左侧，
故可分类讨论：①当M，N都在原点的左侧时，
∴MO−NO=1．
∵MN=2，
∴MO−NO=1≠MN=2，
∴此情况不存在；
②当M，N都在原点的右侧时，
∵MN=2，
∴NO−MO=1≠MN=2，
∴此情况不存在；
③当M点在原点的左侧，N点在原点的右侧时，
∵MN=2，
∴MO+NO=2．
∵MO−NO=1或NO−MO=1，
∴MO=32或MO=12，
∴点M表示的数为−32或−12．
故答案为：−32或−12．
4．已知：a是最大的负整数，且a、b满足|c-7|+(2a+b)2=0，请回答问题：
（1）请直接写出a、b、c的值：a =_____，b =_____，c =_____；
（2）数a、b、c所对应的点分别为A、B、C，已知数轴上两点间的距离为这两点所表示的数的差的绝对值（或用这两点所表示的数中较大的数减去较小的数），若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB，试计算此时BC-AB的值；
（3）在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，则经过t秒钟时，请问：BC-AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由，若不变，请求其值．
【答案】（1）-1，2，7；（2）2；（3）BC-AB的值不随着时间t的变化而改变，其值为2
【详解】解：（1）∵a是最大的负整数，
∴a=-1，
∵|c-7|+（2a+b）2=0，
∴c-7=0，2a+b=0，
∴b=2，c=7．
故答案为：-1，2，7；
（2）BC-AB
=（7-2）-（2+1）
=5-3
=2．
故此时BC-AB的值是2；
（3）BC-AB的值不随着时间t的变化而改变，其值为2．理由如下：
t秒时，点A对应的数为-1-t，点B对应的数为2t+2，点C对应的数为5t+7．
∴BC=（5t+7）-（2t+2）=3t+5，AB=（2t+2）-（-1-t）=3t+3，
∴BC-AB=（3t+5）-（3t+3）=2，
∴BC-AB的值不随着时间t的变化而改变，其值为2．
5．【阅读材料】数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示．这样能够运用数形结合的方法解决一些问题，例如，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用这两个数的差的绝对值表示；
在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为|3−1|=2；
在数轴上，有理数5与−2对应的两点之间的距离为|5−(−2)|=7；
在数轴上，有理数−2与3对应的两点之间的距离为|−2−3|=5；
在数轴上，有理数−8与−5对应的两点之间的距离为|−8−(−5)|=3；……
如图1，在数轴上有理数a对应的点为点A，有理数b对应的点为点B,A,B两点之间的距离表为|a−b|或|b−a|，记为|AB|=|a−b|=|b−a|．
【解决问题】
（1）数轴上有理数−10与−5对应的两点之间的距离等于______，数轴上有理数x与−5对应的两点之间的距离用含x的式子表示为______，若数轴上有理数x与−5对应的两点A,B之间的距离|AB|=2，则x等于_______．
【拓展探究】
（2）如图2，点M,N,P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为点−2，动点P表示的数为x．
①若点P在点M,N两点之间，则|PM|+|PN|=______；
②若|PM|=2|PN|，即点P到点M的距离等于点P到点N的距离的2倍，求x的值．
【答案】（1）5，x+5，x=−3或x=−7（2）①6②x=−8或x=0
【详解】解：（1）由阅读材料可知：
①数轴上有理数−10与−5对应的两点之间的距离为−10−−5=5
②数轴上有理数x与−5对应的两点之间的距离用含x的式子表示为x−−5=x+5
③∵|AB|=2
∴x+5=2
∴x+5=2，x+5=−2
∴x=−3或x=−7；
（2）①∵点M、N、P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为点−2，动点P表示的数为x，点P在点M、N两点之间
∴|PM|+|PN|=MN=4−−2=6；
②∵|PM|=2|PN|
∴x−4=2x+2
I．当点P在点N左侧时，如图：
∴4−x=2−x−2
∴x=−8
II．当点P在点M、N之间时，如图：
∴4−x=2x+2
∴x=0
III．当点P在点M右侧时
∴x−4=2x+2
∴x=−8（不合题意舍去）
∴综上所述，x=−8或x=0．
故答案是：（1）5，x+5，x=−3或x=−7（2）①6②x=−8或x=0
6．已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n满足：|m﹣12|+（n+3）2＝0
（1）则m＝ ，n＝ ；
（2）①情境：有一个玩具火车AB如图所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B所对应的数为m，当点B移动到点A时，点A所对应的数为n．则玩具火车的长为 个单位长度：
②应用：一天，小明问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了!”小明心想：奶奶的年龄到底是多少岁呢？聪明的你能帮小明求出来吗？
（3）在（2）①的条件下，当火车AB以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点P和点Q从N、M出发，分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向左和向右运动．记火车AB运动后对应的位置为A′B′．是否存在常数k使得3PQ﹣kB′A的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出k和这个定值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）m＝12，n＝﹣3；（2）①5；②应64岁；（3）k＝6，15
【详解】解：（1）∵|m﹣12|+（n+3）2＝0，
∴m﹣12＝0，n+3＝0，
∴m＝12，n＝﹣3；
故答案为12，﹣3；
（2）①由题意得：3AB＝m﹣n，
∴AB＝m−n3＝5，
∴玩具火车的长为：5个单位长度，
故答案为5；
②能帮小明求出来，设小明今年x岁，奶奶今年y岁，
根据题意可得方程组为：y−x=x+40y−x=116−y ，
解得：x=12y=64 ，
答：奶奶今年64岁；
（3）由题意可得PQ＝（12+3t）﹣（﹣3﹣t）＝15+4t，B'A＝5+2t，
∵3PQ﹣kB′A＝3（15+4t）﹣k（5+2t）＝45﹣5k+（12﹣2k）t，且3PQ﹣kB′A的值与它们的运动时间无关，
∴12﹣2k＝0，
∴k＝6
∴3PQ﹣kB′A＝45﹣30＝15
7．已知a，b，c在数轴上的位置如下图，且|a|＜|c|．
(1)abc 0，c＋a 0，c－b 0(请用“＜”，“＞”填空)；
(2)化简：|a－b|－2|b＋c|＋|c－a|．
【答案】（1）＞；＜；＜（2）2a+b+c
【详解】解：（1）由数轴得：a>0,b