专题03 数轴动点压轴精选（3）新定义类-2023-2024学年七年级数学上册重难热点提升精讲与实战训练（人教版）

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1.学习运用分类思想：即把某一个问题，按某一个标准，分成不同情况讨论。
数轴分类一般根据点的位置：左，中，右。（或小于，等于，大于）
2.体会点、线、式解决动点问题（数轴动点万能公式）。
点：即某个点表示的数。（不知道时可以设字母表示）；
线：
两点之间的距离。可以用表示的数的差的绝对值表示(或大-小)。
公式表示:
设点A表示的数为 x1,点B表示的数为x2,则A、B两点之间的距离：
AB=x1−x2（不确定大小时）=x大−x小.知大小时
例:点A表示的数是6,点B表示的数是-3,则点A与点B之间的距离:
法一:大-小AB=6-(-3)=9
法二:差的绝对值(主要用于动点,无法确定两个点表示的数的大小关系时.)
AB=6−(−3)或A B=(−3)−6=9
中点公式：和的一半
公式表示，如图：
点A表示的数是x1,点B表示的数是x2,则点A与点B的中点C表示的数是x1+x22.
例：点A表示的数是6,点B表示的数是-3,则点A与点B的中点C表示的数是6+−32=32
式：根据题目要求，列出相关的代数式或等式。
3.动点表示方法：
巧记：左减右加--速度× 时间（t）
（1）向右移动:起始点+速度× 时间（t）
（2）向左移动: 起始点-速度× 时间（t）
例：点A表示的数是-1，点B表示的数是2.
若点A以每秒3个单位长度向右运动，则t秒后点A表示的数为-1-3t;
若点B以每秒2个单位长度向右运动，则t秒后点B表示的数为2+2t;
4.本专题研究的考试题型：
（1）会用代数式表示动点。
（2）会求两点的中点。
（3）数轴的折叠。
（4）两点之间的距离
（5）会用以上四类考点，解决新定义问题。
一、填空题
1．在数轴上,点P表示的数是a,点P1表示的数是11−a,我们称“点P1是点P的相关点”,已知数轴上A1的相关点为A2,点A2的相关点为A3,点A3的相关点为A4,这样依次得到点A1、A2、A3,A4,…,An若点A1在数轴表示的数是12,则点A2109在数轴上表示的数是 .
2．在数轴上有A，B两点，点A表示的数为−1，点B表示的数为b．对点A给出如下定义：当b≥0时，将点A向右移动2个单位长度，得到点P；当b<0时，将点A向左移动b个单位长度，得到点P．称点P为点A关于点B的“联动点”．当b=4时，点A关于点B的“联动点”P在数轴上表示的数为 ，当b=−2时，点A关于点B的“联动点”P在数轴上表示的数为 ；
3．数轴上三个点A、B、P，点A表示的数为-1，点B表示的数为1，若A、B、P三个点中，其中一点到另外两点的距离相等时，我们称这三个点为“和谐三点”则符合“和谐三点”的点P对应的数表示为 .
4．如图①，点C在线段AB上，图中有三条线段AB、AC和BC，在这三条线段中，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”，如图②，点A和B在数轴上表示的数分别是﹣10和26，点C是线段AB的巧点，则点C在数轴上表示的数为 ．
二、解答题
5．已知数轴上A，B，C三点，若点C在点A，B之间且CA=3CB，则称点C是A，B的突点．例如，图1中，点A，B，C，D表示的数分别为−3，1,0，−2，此时CA=3CB，DB=3DA，则点C是A，B的突点，点D是B，A的突点．
(1)如图2，数轴上点M，N表示的数分别为−3，，若点P是M,N的突点，则点P表示的数是______；若点Q是{N,M)的突点，则点Q表示的数是______；
(2)如图3，A，B为数轴上两点，它们表示的数分别为−50，10，若点A向数轴的负方向以每秒1个单位长度运动,，同时点B向数轴的正方向以每秒2个单位长度运动，假设运动时间为t秒，求使得原点O是A,B的突点的t值；若不存在，请说明理由．
6．已知在数轴上A，B两点对应数分别为﹣2，6．
(1)请画出数轴，并在数轴上标出点A、点B；
(2)若同一时间点M从点A出发以1个单位长度/秒的速度在数轴上向右运动，点N从点B出发以3个单位长度/秒的速度在数轴上向左运动，点P从原点出发以2个单位长度/秒的速度在数轴上运动．
①若点P向右运动，几秒后点P到点M、点N的距离相等？
②若点P到A的距离是点P到B的距离的三倍，我们就称点P是【A，B】的三倍点．当点P是【B，A】的三倍点时，求此时P对应的数．
7．对于平面内的两点M、N，若直线MN上存在点P，使得MP=12NP成立，则称
点P为点M、N的“和谐点”，但点P不是点N、M的“和谐点”.
(1)如图1，点A、B在直线l上，点C、D是线段AB的三等分点，则 是点A、B的“和谐点”（填“点C或“点D”）；
(2)如图2，已知点E、F、G在数轴上，点E表示数－2，点F表示数1，且点F是点E、G的“和谐点”，求点G表示的数；
(3)如图3，数轴上的点P表示数5，点M从原点O出发，以每秒3个单位的速度向左运动，点N从点P出发，以每秒10个单位的速度向左运动，点M、N同时出发.在M、N、P三点中，若点M是另两个点的“和谐点”，则OM= .
8．定义：A，B，C为数轴上三点，当点C在线段AB上时，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们称点C是A,B的美好点．例如：如图①，点A表示数-1，点B表示数2，点C表示数1，点D表示数0．点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是A,B的美好点；又如，点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是A,B的美好点，但点D是B,A的美好点．
如图②，M，N为数轴上两点，点M表示数-7，点N表示数2．
（1）①求M,N的美好点表示的数为__________．
②求N,M的美好点表示的数为_____________．
（2）数轴上有一个动点P从点M出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右运动．设点P运动的时间为t秒，当点P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点时，求t的值．
9．阅读理解：若A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的好点．
例如，如图1，点A表示的数为－1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的好点；
又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的好点，但点D是【B，A】的好点．
知识运用：
⑴ 如图1，点B是【D，C】的好点吗？ （填是或不是）；
⑵ 如图2，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为－40，点B所表示的数为20．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当t为何值时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点？
10．点A，B，C为数轴上的三点，如果点C在点A，B之间，且到点A的距离是点C到点B的距离的3倍，那么我们就称点C是{A，B}的奇妙点．例如，如图①，点A表示的数为－3，点B表示的数为1.表示0的点C到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点C是{A，B}的奇妙点；又如，表示－2的点D到点A的距离是1，到点B的距离是3，那么点D就不是{A，B}的奇点，但点D是{B，A}的奇妙点．
【知识运用】
如图②，M，N为数轴上的两点，点M所表示的数为－2，点N所表示的数为6.
(1)表示数_____的点是{M，N}的奇妙点；表示数______的点是{N，M}的奇妙点；
(2)若点P所表示的数为3，点P是{M，N}的奇妙点，则点M、N所表示的数可以是几？M=______，N=_____(写出一组即可)
(3)如图③，A，B为数轴上的两点，点A所表示的数为－10，点B所表示的数为50.现有一动点P从点A出发向右运动，点P运动到数轴上的什么位置时，P，A，B中恰有一个点为其余两点的奇妙点？
11．点A、B、C为数轴上三点，如果点C在A、B之间且到A的距离是点C到B的距离3倍，那么我们就称点C是A,B的奇点．
例如，点A表示的数为−3，点B表示的数为1．表示0的C点到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点C是A,B的奇点；又如，表示−2的点D到点A的距离是1，到点B的距离是3，那么点D就不是A,B的奇点，但点D是B,A的奇点．
（1）P、Q为数轴上两点，点P所表示的数为−5，点Q所表示的数为7．则数_______所表示的点是P,Q的奇点；数_______所表示的点是Q,P的奇点；
（2）M、N为数轴上两点，点M所表示的数为m，点N所表示的数为n，m12．对于数轴上的A,B,C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”.
例如数轴上点A,B,C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A, C的“联盟点”.
（1）若点A表示数-2, 点B表示的数2，下列各数−23，0，4，6所对应的点分别C1，C2 ，C3 ，C4，其中是点A,B的“联盟点”的是 ；
（2）点A表示数-10, 点B表示的数30，P在为数轴上一个动点：
①若点P在点B的左侧，且点P是点A, B的“联盟点”，求此时点P表示的数；
②若点P在点B的右侧，点P，A, B中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，写出此时点P表示的数 .
13．对于数轴上的点P，Q，给出如下定义：若点P到点Q的距离为d(d≥0)，则称d为点P到点Q的d追随值，记作d[PQ]．例如，在数轴上点P表示的数是2，点Q表示的数是5，则点P到点Q的d追随值为d[PQ]=3．
问题解决：
(1)点M，N都在数轴上，点M表示的数是1，且点N到点M的d追随值d[MN]=a(a≥0)，则点N表示的数是_____(用含a的代数式表示)；
(2)如图，点C表示的数是1，在数轴上有两个动点A，B都沿着正方向同时移动，其中A点的速度为每秒3个单位，B点的速度为每秒1个单位，点A从点C出发，点B表示的数是b，设运动时间为t(t>0)．
①当b=4时，问t为何值时，点A到点B的d追随值d[AB]=2；
②若014．.A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离的2倍，我们就称点C是【A，B】的和谐点.例如：图1中，点A表示的数为-1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1.那么点C是【A，B】的和谐点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的和谐点，但点D是【B，A】的和谐点
（1）若数轴上M，N两点所表示的数分别为m，n且m，n满足(m+2)2+n−4=0，请求
出【M，N】的和谐点表示的数；
（2）如图2，A，B在数轴上表乐的数分别为-40和20，现有一点P从点B出发向左运动
①若点P到达点A停止，则当P点运动多少个单位时P，A，B中恰有一个点为其余两点的和谐点？
②若点P到达点A后继续向左运动，是否存在使得P，A，B中恰有一个点为其余两点的和谐点的情况？若存在，请直接写出此时PB的距离，若不存在，请说明理由.

16．已知有理数a,b,c在数轴上对应的点分别为A,B,C，其中b是最小的正整数，a,c满足a+2+c−52=0．
（1）填空：a=__________，b=_____________，c=___________；
（2）现将点A，点B和点C分别以每秒4个单位长度，1个单位长度和1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒．
i）定义：已知M,N为数轴上任意两点，将数轴沿线段MN的中点Q进行折叠，点M与点N刚好重合，所以我们又称线段MN的中点Q为点M和点N的折点．
试问：当t为何值时，这三个点中恰好有一点为另外两点的折点？
ii）当点A在点C左侧时（不考虑点A与点B重合），是否存在一个常数m，使得2AC+m⋅AB的值在一定时间范围内不随t的改变而改变？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．