专题4.4 对数函数-2023-2024学年高一数学重点题型专项训练（人教A版必修第一册）

这是一份专题4.4 对数函数-2023-2024学年高一数学重点题型专项训练（人教A版必修第一册），文件包含专题44对数函数举一反三人教A版必修第一册原卷版docx、专题44对数函数举一反三人教A版必修第一册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc19283" 【题型1 对数函数的判定】 PAGEREF _Tc19283 \h 1
\l "_Tc8193" 【题型2 求对数函数的函数值或解析式】 PAGEREF _Tc8193 \h 3
\l "_Tc27752" 【题型3 对数（型）函数的定义域与值域】 PAGEREF _Tc27752 \h 4
\l "_Tc1229" 【题型4 对数式的大小比较】 PAGEREF _Tc1229 \h 6
\l "_Tc27653" 【题型5 解对数不等式】 PAGEREF _Tc27653 \h 8
\l "_Tc27034" 【题型6 对数函数的图象及应用】 PAGEREF _Tc27034 \h 10
\l "_Tc18900" 【题型7 对数型复合函数的应用】 PAGEREF _Tc18900 \h 13
\l "_Tc1578" 【题型8 对数函数的实际应用】 PAGEREF _Tc1578 \h 16
【知识点1 对数函数的概念】
1．对数函数的定义
(1)对数函数的定义：一般地，函数y= (a>0,且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0,+
).
(2)判断一个函数是对数函数的依据：
①形如y=；②底数a满足a>0，且a≠1；③真数是x；④定义域为(0,+).
例如:y=是对数函数，而y=(x+1)，y=都不是对数函数.
【题型1 对数函数的判定】
【例1】（2023·全国·高一专题练习）下列函数，其中为对数函数的是（ ）
A．y=lg12(−x)B．y=2lg4(1−x)C．y=lnxD．y=lg(a2+a)x
【解题思路】利用对数函数定义，逐项判断作答.
【解答过程】函数y=lg12(−x)，y=2lg4(1−x)的真数不是自变量，它们不是对数函数，AB不是；
函数y=lnx是对数函数，C是；
函数y=lg(a2+a)x的底数含有参数a，而a的值不能保证a2+a是不等于1的正数，D不是.
故选：C.
【变式1-1】（2023·全国·高一专题练习）下列函数是对数函数的是（ ）
A．y=lga(2x)B．y=lg10xC．y=lga(x2+x)D．y=lnx
【解题思路】根据对数函数的概念即得.
【解答过程】因为函数y=lgax(a>0且a≠1)为对数函数，
所以ABC均为对数型复合函数，而D是底数为自然常数的对数函数.
故选：D.
【变式1-2】（2023秋·高一课时练习）给出下列函数：
①y=lg23x2；②y=lg3(x−1)；③y=lg(x+1)x；④y=lgex.
其中是对数函数的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解题思路】根据对数函数的特征判断即可得答案.
【解答过程】①②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x；
③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数．
故选:A.
【变式1-3】（2023秋·高一课时练习）下列给出的函数:①y=lg5x+1 ;
②y=lgax2(a>0，且a≠1);
③y=lg(3-1)x;
④y=13lg3x;
⑤y=lgx3(x>0，且x≠1) ;
⑥y=lg2πx.其中是对数函数的为（ ）
A．③④⑤B．②④⑥C．①③⑤⑥D．③⑥
【解题思路】根据对数函数的解析式y=lgax(a>0, a≠1)来判断即可.
【解答过程】解:①y=lg5x+1,不满足单项式,不是对数函数;
②y=lgax2(a>0，且a≠1)中真数不是自变量,不是对数函数;
④y=13lg3x的系数不为1,不是对数函数;
⑤y=lgx3(x>0，且x≠1)中真数是常数，不是对数函数;
故只有③⑥是对数函数.
故选:D.
【题型2 求对数函数的函数值或解析式】
【例2】（2023秋·高一课时练习）若某对数函数的图象过点4,2，则该对数函数的解析式为（ ）
A．y=lg2xB．y=2lg4x
C．y=lg2x或y=2lg4xD．不确定
【解题思路】设函数为y=lgaxa>0,a≠1，再根据图象过点4,2可得2=lga4，即可解出a，得到该对数函数的解析式．
【解答过程】设函数为y=lgaxa>0,a≠1，依题可知，2=lga4，解得a=2，所以该对数函数的解析式为y=lg2x．
故选：A．
【变式2-1】（2023秋·高一课时练习）若函数f(x)=lgax+1 (a>0,a≠1)的图像过点(7,3)，则a的值为（ ）
A．2B．2C．22D．12
【解题思路】代入(7,3)到f(x)=lgax+1求解即可.
【解答过程】由题, 3=lga7+1⇒a3=8⇒a=2.
故选：B.
【变式2-2】（2023·全国·高一专题练习）若函数f(x)=a2−3a+3lgax是对数函数，则a的值是（ ）
A．1或2B．1
C．2D．a>0且a≠1
【解题思路】根据对数函数的定义即可得到方程，解出即可.
【解答过程】∵函数f(x)=a2−3a+3lgax是对数函数，
∴a2−3a+3=1，a>0且a≠1，
解得a=1或a=2，∴a=2，
故选：C．
【变式2-3】（2022·高一单元测试）已知f2x+1=lgx，则f(x)的解析式为（ ）
A．f(x)=lg2x+1B．f(x)=lg2x−1
C．f(x)=lg12x−1D．f(x)=lg12x+1
【解题思路】利用换元法，即可求得f(x)的解析式
【解答过程】令2x+1=t,(t>1)，则x=2t−1，
所以f(t)=lg2t−1(t>1)，
所以f(x)=lg2x−1(x>1).
故选：B.
【题型3 对数（型）函数的定义域与值域】
【例3】（2023·全国·高一专题练习）函数 y=2−xlg2x的定义域是（ ）
A．{x∣0B．{x∣0C．{x∣0D．{x∣0【解题思路】由题意列出不等式组解出即可.
【解答过程】由题意得2−x≥0x>0lg2x≠0，∴0故定义域为{x∣0故选：D.
【变式3-1】（2023秋·陕西汉中·高三校联考阶段练习）已知fx=lg2x⋅lg416x2，x∈12,8，则fx的值域为（ ）
A．−3,1B．−1,3
C．0,1D．−3,0
【解题思路】令lg2x=t，利用对数运算的性质与对数函数的单调性确定t的取值范围，再根据条件求新函数的值域.
【解答过程】令lg2x=t，则t∈−1,3，又lg416x2=lg416−lg4x2=2−lg2x，
所以原函数可变为y=t2−t=− t−12+1，t∈−1,3，
所以ymax=1，ymin=−3，所以fx的值域为−3,1.
故选：A.
【变式3-2】（2023秋·高一课时练习）下列各组函数中，定义域相同的一组是（ ）
A．y=ax与y=lgax a>0,且a≠1
B．y=2lnx与y=lnx2
C．y=lgx与y=lgx
D．y=x2与y=lgx2
【解题思路】求出相应函数的定义域即可判断.
【解答过程】y=ax的定义域为R，y=lgax的定义域为0,+∞，故A错误；
y=2lnx的定义域为0,+∞，y=lnx2的定义域为xx≠0，故B错误；
y=lgx的定义域为0,+∞，y=lgx的定义域为0,+∞，故C正确；
y=x2的定义域为R，y=lgx2的定义域为xx≠0，故D错误；
故选：C.
【变式3-3】（2023秋·山西朔州·高一校考期末）已知函数fx=lg2x8⋅lg28x，则函数fx的值域为（ ）
A．−9,0B．−9,+∞C．−∞,−9D．−12,0
【解题思路】根据对数的运算性质化简fx=lg2x2−9，从而得出值域．
【解答过程】fx=lg2x−3lg2x+3=lg2x2−9．
故fx的值域为−9,+∞．
故选：B．
【知识点2 对数函数的图象与性质】
1．对数函数的图象与性质
对数函数y= (a>0,且a≠1,x>0)的图象和性质如下表所示：
2．底数a对对数函数图象的影响
(1)底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”.
当a>1时，对数函数的图象“上升”;
当0(2)函数y=与y= (a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称.
(3)底数的大小决定了图象相对位置的高低：
无论是a>1还是0①上下比较：在直线x=1的右侧,a>1时,a越大,图象越靠近x轴;0②左右比较：比较图象与直线y=1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大.
3．反函数
比较幂值大小的方法：
【题型4 对数式的大小比较】
【例4】（2023秋·天津武清·高三校考阶段练习）设a=lg0.20.3,b=lg23,c=21.2，则a,b,c的大小关系为（ ）.
A．a【解题思路】根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性比较大小作答.
【解答过程】依题意，a=lg0.20.3<，1=lg22而c=21.2>21=2，所以a故选：A.
【变式4-1】（2023秋·江西·高三校联考阶段练习）设a=2lg32，b=lg23，c=43，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A．a>b>cB．c>b>aC．a>c>bD．b>c>a
【解题思路】将各数都同乘以3，将3c作为中间量，再通过对数运算与对数函数单调性比较大小即可.
【解答过程】∵3a=6lg32=lg3643b=3lg23=lg227>lg216=4，又3c=4，
∴3a<3c<3b，即b>c>a.
故选：D.
【变式4-2】（2023·全国·高一专题练习）已知x=2lg43，y=lg916，z=lg54，则x，y，z的大小关系为（ ）
A．y>x>zB．z>x>y
C．x>y>zD．y>z>x
【解题思路】利用对数运算法则以及对数函数单调性可限定出x，y，z的取自范围，即可得出结论.
【解答过程】根据题意可得x=2lg223=lg23，y=lg3242=lg34，z=lg54
利用对数函数单调性可知x=lg23=lg29>lg28=lg2232=32，即x>32；
又1=lg33而z=lg54综上可得x>y>z.
故选：C.
【变式4-3】（2023秋·四川广安·高三校考阶段练习）已知函数fx为R上的偶函数，且对任意x1，x2∈(0,+∞)且x1≠x2，均有x1−x2fx1−fx2<0成立，若a=f32，b=flg213，c=flg32，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．b【解题思路】根据题意可得fx的单调性，再结合对称性判断即可.
【解答过程】因为fx对任意x1，x2∈(0,+∞)且x1≠x2，均有x1−x2fx1−fx2<0成立，故fx在0,+∞上单调递减.
又fx为R上的偶函数，故a=f32，b=flg213=f−lg23=flg23，c=flg32，
且lg32<32=lg2232=lg28即lg32<32f32>flg23，
故c>a>b.
故选：A.
【题型5 解对数不等式】
【例5】（2023秋·河南新乡·高一校考期末）已知函数fx=lgaax−1(a>0,a≠1)
(1)当a=12时，求函数fx的定义域；
(2)当a>1时，求关于x的不等式fx【解题思路】（1）由12x−1>0可求得函数的定义域，
（2）求出函数的定义域，再判断出函数的单调性，然后利用函数的单调性解不等式
【解答过程】（1）当a=12时，fx=lg1212x−1，故12x−1>0，解得x<0，
故函数fx的定义域为−∞,0；
（2）f(x)=lga(ax−1)(a>1)，由ax−1>0(a>1)，得x>0，
所以fx的定义域为x∈0,+∞，
任取x1,x2∈(0,+∞)，且x1f(x2)−f(x1)=lga(ax2−1)−lga(ax1−1)，
因为x2>x1>0,a>1，所以ax2>ax1>1，
所以ax2−1>ax1−1>0，
因为a>1，所以lga(ax2−1)>lga(ax1−1)，
所以f(x2)−f(x1)>0，
所以fx在0,+∞上的单调递增，
所以由fx0x<1，
解得0【变式5-1】（2023·全国·高一专题练习）解下列关于x的不等式．
(1)lg17x>lg17(4−x)；
(2)lga2x−5>lgax−1；
(3)lgx12>1．
【解题思路】（1）根据对数函数y=lg17x的单调性，列式求解；（2）讨论a>1和01和0【解答过程】（1）由题意可得x>04−x>0x<4−x
解得0所以原不等式的解集为x0（2）当a>1时，原不等式等价于2x−5>0x−1>02x−5>x−1，
解得x>4，
当00x−1>02x−5解得52综上所述，
当a>1时，原不等式的解集为xx>4；
当0（3）当x>1时，由lgx12>lgxx，可得x<12，此时无解；
当0lgxx，可得12综上，原不等式的解集为x12【变式5-2】（2023秋·高一课时练习）求解不等式
(1)求满足不等式lg3x<1的x的取值范围；
(2)已知lg0.72x【解题思路】结合对数函数的定义域和单调性，即可求解不等式.
【解答过程】（1）∵lg3x<1=lg33，且函数y=lg3x在0,+∞上为增函数，
∴x满足的条件为x>0x<3，即0∴x的取值范围是x0（2）∵函数y=lg0.7x在0,+∞上为减函数，
∴由lg0.72x0x−1>02x>x−1，解得x>1，
∴x的取值范围是xx>1．
【变式5-3】（2023秋·山西朔州·高三校考阶段练习）已知指数函数fx=b2+4b−4ax(b>0)的图象过点12,2．
(1)求a,b的值；
(2)求关于x的不等式lga3−2x>lgax−1的解集．
【解题思路】（1）由指数函数的概念列式求解，
（2）由对数函数的单调性转化后求解．
【解答过程】（1）由题知指数函数fx，则b2+4b−4=1，得b=1或b=−5，又∵b>0,∴b=1，
图象经过12,2，则f12=a12=2，解得a=2；
（2）∵a=2，以2为底的对数函数在其定义域内是单调递增的，
∴满足条件3−2x>0,x−1>0,3−2x>x−1,⇒x<32,x>1,x<43,，
∴不等式的解集为1,43．
【题型6 对数函数的图象及应用】
【例6】（2023·全国·高一专题练习）函数y=1−ax与y=lgax（其中a>1）的图象只可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】判断函数的单调性，结合各选项中图象，即可判断出答案.
【解答过程】对于A，因为a>1，故y=1−ax为R上的减函数，其图象应下降，A错误；
对于B，a>1时，y=1−ax为R上的减函数，y=lgax为(0,+∞)上增函数，图象符合题意；
对于C，a>1时，y=lgax为(0,+∞)上增函数，图象错误；
对于D，a>1时，y=lgax为(0,+∞)上增函数，图象错误；
故选：B.
【变式6-1】（2023·全国·高一专题练习）如图（1）（2）（3）（4）中，不属于函数y=lg15x，y=lg17x，y=lg5x的一个是（ ）
A．（1）B．（2）C．（3）D．（4）
【解题思路】根据对数函数的性质判断即可.
【解答过程】因为lg1715∴（3）是y=lg17x，（4）是y=lg15x，又y=lg15x=−lg5x与y=lg5x关于x轴对称，
∴（1）是y=lg5x．
故选：B．
【变式6-2】（2023·高一课时练习）已知图中曲线C1，C2，C3，C4分别是函数y=lga1x，y=lga2x，y=lga3x，y=lga4x的图像，则a1，a2，a3，a4的大小关系是（ ）
A．a4C．a2【解题思路】利用对数的性质lgaa=1结合图像判断.
【解答过程】由对数的性质lgaa=1有：lga1a1=1，lga2a2=1，lga3a3=1，lga4a4=1
结合图像有：
a2>a1>a4>a3 ，故A，C，D错误.
故选：B.
【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）如图，直线x=m(m>1)依次与曲线y=lgax、y=lgbx及x轴相交于点A、点B及点C，若B是线段AC的中点，则（ ）
A．12a−1
C．12a
【解题思路】根据函数图像的位置关系，写出各点的坐标，再根据题中几何关系列关于a，b的等式进而求解出参数b的取值范围.
【解答过程】根据题意，A，B，C三点的坐标分别为A(m,lgam)，B(m,lgbm)，C(m,0)(m>1)
又B是线段AC的中点，即AB=BC，所以lgam−lgbm=lgbm−0，
计算得：lgam=2lgbm=2lgamlgab，所以lgab=2，故b=a2，
又由图知，a，b∈(1,+∞)，b−(2a−1)=a2−2a+1=(a−1)2>0，所以b>2a−1
选项B正确，选项ACD错误
故选：B.
【题型7 对数型复合函数的应用】
【例7】（2023秋·安徽淮北·高一校考期末）已知函数fx=lg2x2+ax+3−2.
(1)若a=2，求函数fx的值域
(2)若函数fx在1,+∞上单调递增，求a的取值范围
【解题思路】（1）根据二次函数的性质及对数函数的性质，即可求解；
（2）根据复合函数单调性结合条件可得−a2≤1且12+1×a+3≥0，进而即得.
【解答过程】（1）由题知fx=lg2x2+2x+3−2，
∵x2+2x+3=x+12+2≥2，
∴fx=lg2x2+2x+3−2≥lg22−2=−1，
即函数fx的值域为−1,+∞；
（2）因为函数fx在1,+∞上单调递增，又函数y=lg2x在定义域上单调递增，
所以u=x2+ax+3在1,+∞上单调递增，且u>0在1,+∞上恒成立，
所以−a2≤1且12+1×a+3≥0，
解得a≥−2，即a的取值范围为a≥−2.
【变式7-1】（2023秋·江苏盐城·高一校考期末）已知函数fx=lg1−xx+1.
(1)求不等式ffx+flg2>0的解集；
(2)函数gx=3−axa>0,a≠1，若存在x1,x2∈0,1，使得fx1=gx2成立，求实数a的取值范围.
【解题思路】（1）求得f(x)的定义域和值域及函数的单调性，得110<1−xx+1<12，解不等式即可得到所求范围；
（2）求得当0≤x<1时，f(x)的值域；以及讨论a>1，0【解答过程】（1）由1−xx+1>0，可得−1又f−x=lg1+x1−x=−lg1−x1+x=−fx，即fx为奇函数.
又fx=lg1−xx+1=lg−x+1+2x+1=lg−1+2x+1，
函数y=−1+2x+1在−1,1上单调递减，值域为0,+∞.
由复合函数的单调性质知fx在−1,1上单调递减，且fx的值域为R，
不等式ffx+flg2>0，转化为ffx>−flg2，
因为fx为奇函数，所以ffx>−flg2=f−lg2，
因为fx在−1,1上单调递减，所以−1即−1即x+110<1−x则原不等式的解集为13,911.
（2）因为存在x1,x2∈0,1，使得fx1=gx2成立，
所以x∈0,1时，fx的值域与gx的值域有交集.
因为fx=lg−1+2x+1在0,1上是减函数，f0=1，
所以fx的值域为−∞,0，
当a>1时，gx=3−ax在0,1上单调递减，故gx的值域为3−a,2，
所以3−a<0即a>3，
当0综上所述，实数a的取值范围为3,+∞.
【变式7-2】（2023春·重庆九龙坡·高一校考阶段练习）已知a∈R，函数fx=lg2x2−3x+a.
(1)若函数fx的图象经过点3,1，求不等式fx<1的解集；
(2)设a>2，若对任意t∈3,4，函数fx在区间t,t+1上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围.
【解题思路】（1）将点3,1代入fx=lg2x2−3x+a可求出a，然后根据函数的单调性即得；
（2）由复合函数的单调性知fx=lg2x2−3x+a在区间t,t+1上单调递增，进而得到最大值与最小值，再由题可得a≥−t2+5t−2对任意t∈3,4恒成立，构造新函数，求最值可得出答案.
【解答过程】（1）由题可得f3=lg232−3×3+a=1，解得a=2，
即fx=lg2x2−3x+2
由fx=lg2x2−3x+2<1=lg22，可得x2−3x+2>0x2−3x+2<2，
解得0所以不等式fx<1的解集为{x∣0（2）因为fx=lg2x2−3x+a是复合函数，设px=x2−3x+a，fx=lg2p(x)，
因为t∈3,4，px=x2−3x+a在区间t,t+1单调递增，fx=lg2p(x)单调递增，
故函数fx在区间t,t+1上单调递增，
又a>2，所以px=x2−3x+a>32−9+a=a>0，
所以f(x)max=ft+1,f(x)min=ft，
由题意，ft+1−ft≤1，即lg2(t+1)2−3t+1+a≤lg22t2−3t+a，对任意t∈3,4恒成立，
故(t+1)2−3t+1+a≤2t2−3t+a，对任意t∈3,4恒成立，
整理得：a≥−t2+5t−2，
令gt=−t2+5t−2，t∈3,4，只需g(t)max≤a即可，
因为gt=−t2+5t−2的对称轴为t=52，图象是开口向下的抛物线，
故gt=−t2+5t−2在t∈3,4上单调递减，
故g(t)max=g3=4，
所以a≥4，即a的取值范围是4,+∞.
【变式7-3】（2023秋·湖南长沙·高一统考期末）已知fx=lga1−x1+x（a>0，且a≠1）.
(1)求函数fx的定义域；
(2)当x∈−t,t（其中t∈−1,1，且t为常数）时，fx是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由；
(3)当a>1时，求满足不等式fx−2+f4−3x≥0的实数x的取值范围.
【解题思路】(1)根据真数大于零解不等式即可求定义域；
(2)讨论函数的单调性即可求最小值；
(3)利用函数的奇偶性单调性解不等式.
【解答过程】（1）由1−x1+x>0可得1−x>01+x>0或1−x<01+x<0，
解得−1（2）设−1∵−10，1+x11+x2>0，∴1−x11+x1>1−x21+x2，
①当a>1时fx1>fx2，则fx在−1,1上是减函数，又t∈−1,1，
∴x∈−t,t时，fx有最小值，且最小值为ft=lga1−t1+t；
②当0∴x∈−t,t时，fx无最小值.
（3）由于fx的定义域为−1,1，定义域关于原点对称，
且f−x=lga1+x1−x=lga1−x1+x−1=−fx，所以函数fx为奇函数.
由（2）可知，当a>1时，函数fx为减函数，由此，不等式fx−2+f4−3x≥0等价于fx−2≥−f(4−3x)=f3x−4，
即有x−2≤3x−4−1所以x的取值范围是1,53.
【题型8 对数函数的实际应用】
【例8】（2023·高一单元测试）中国的5G技术世界领先，其数学原理之一便是著名的香农公式：C=Wlg21+SN.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C（单位：bit/s）取决于信道宽度W（单位：HZ）､信道内信号的平均功率S（单位：dB）、信道内部的高斯噪声功率N（单位：dB）的大小，其中SN叫做信噪比，按照香农公式，若信道宽度W变为原来2倍，而将信噪比SN从1000提升至4000，则C大约增加了（ ）（附：lg2≈0.3）
A．110%B．120%C．130%D．140%
【解题思路】利用对数减法与换底公式可求得结果.
【解答过程】当SN=1000时，C=Wlg21001；
当SN=40000时，信道宽度W变为原来2倍，C=2Wlg24001.
因为2Wlg24001−Wlg21001Wlg21001=2lg24001lg21001−1≈4+2lg21000lg21000−1=4lg10002+1=43lg2+1≈1.4.
故选：D.
【变式8-1】（2023·高一单元测试）人们常用里氏震级Me表示地震的强度，ES表示地震释放出的能量，其关系式可以简单地表示为Me=23lgEs−4.8，2021年1月4日四川省乐山市犍为县发生里氏4.2级地震，2021年9月16日四川省泸州市泸县发生里氏6.0级地震，则后者释放的能量大约为前者的（ ）倍．(参考数据：100.3~2.00,100.7=5.01)
A．180B．270C．500D．720
【解题思路】设前者、后者的里氏震级分别为Me′、Me′′，前者、后者释放出的能量分别为E′、E″，根据已知关系式列式相减，利用对数运算法则可得．
【解答过程】设前者、后者的里氏震级分别为Me′、Me′′，前者、后者释放出的能量分别为E′、E″，则其满足关系Me′=23lgEs′−4.8和Me′′=23lgEs′′−4.8，
两式作差可以得到Me′′−Me′=23lgEs′′−23lgEs′,，
即Es′′Es′=102.7，所以Es′′Es′=102.7=103÷100.3≈500，
故选：C．
【变式8-2】（2023秋·高一课时练习）《千字文》是我国传统的启蒙读物，相传是南北朝时期梁武帝命人从王羲之的书法作品中选取1000个不重复的汉字，让周兴嗣编纂而成的，全文为四字句，对仗工整，条理清晰，文采斐然．已知将1000个不同汉字任意排列，大约有4.02×102567种方法，设这个数为N，则lgN的整数部分为（ ）
A．2566B．2567C．2568D．2569
【解题思路】由题意，得到lgN=lg4.02×102567，结合对数的运算性质，即可判定，得到答案.
【解答过程】由题可知，lgN=lg4.02×102567=2567+lg4.02．
因为1<4.02<10，所以0所以lgN的整数部分为2567．
故选：B.
【变式8-3】（2023秋·高一课时练习）我国的5G通信技术领先世界，5G技术的数学原理之一是著名的香农（Shannn）公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率C的公式C=W⋅lg21+SN，其中W是信道带宽（赫兹），S是信道内所传信号的平均功率（瓦），N是信道内部的高斯噪声功率（瓦），其中SN叫做信噪比．根据此公式，在不改变W的前提下，将信噪比从99提升至λ，使得C大约增加了60%，则λ的值大约为（ ）（参考数据：100.2≈1.58）
A．1559B．3943C．1579D．2512
【解题思路】由题意可得λ的方程，再由对数的运算性质求解即可．
【解答过程】由题意得：Wlg21+λ−Wlg21+99Wlg21+99≈60%，
则lg21+λlg2100≈1.6，1+λ≈1001.6=103.2=103⋅100.2≈1580，
∴λ≈1579.
故选：C.0a>1
图象
性质
定义域
值域
R
过定点
(1,0)
单调性
在上是减函数
在上是增函数
函数值的
变化范围
当00
当0当x=1时，y=0
当x=1时，y=0
当x>1时，y<0
当x>1时，y>0
定义
一般地，指数函数y=(a>0且a≠1)与对数函数y=(a>0且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换
性质
函数y=f(x)的定义域、值域分别为它的反函数y=的值域、定义域
互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称