专题4.7 指数函数与对数函数全章八类必考压轴题-2023-2024学年高一数学重点题型专项训练（人教A版必修第一册）

这是一份专题4.7 指数函数与对数函数全章八类必考压轴题-2023-2024学年高一数学重点题型专项训练（人教A版必修第一册），文件包含专题47指数函数与对数函数全章八类必考压轴题举一反三人教A版必修第一册原卷版docx、专题47指数函数与对数函数全章八类必考压轴题举一反三人教A版必修第一册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共32页， 欢迎下载使用。

考点1
指数式的化简
1．（2023秋·甘肃天水·高一校考开学考试）计算a−2b−3−3a−1b26a−3b−2的结果为（ ）
A．−2bB．−b2C．1D．b2
【解题思路】根据题意，由指数幂的运算，即可得到结果.
【解答过程】由题意可得，原式=−3a−3b−16a−3b−2=−12b−1=−b2.
故选：B.
2．（2023·全国·高一专题练习）计算2−12+(−4)02+12−1−(1−5)0，结果是（ ）
A．1B．22C．2D．2−12
【解题思路】根据给定条件，利用指数幂的运算及根式的意义计算作答.
【解答过程】2−12+(−4)02+12−1−(1−5)0=12+12+(2+1)−1=22.
故选：B.
3．（2023秋·高一课时练习）51160.5−21027−23−2−132的值是 2516 .
【解题思路】根据指数幂的运算求解.
【解答过程】由题意可得：51160.5−21027−23−2−132=9420.5−433−23−123
=94−43−2−18=178−916=2516.
故答案为：2516.
4．（2023·上海·高一专题练习）计算下列各式：
(1)2350+2−2×214−12−0.010.5；
(2)2790.5+0.1−2+21027−23−3π0+3748；
(3)254−3338+40.0625+0.06413−2.525−π0；
(4)a23b12−3a12b1313a16b56a>0,b>0.
【解题思路】由指数幂的运算规则，化简计算各式的值.
【解答过程】（1）原式=1+122×4912−10−212=1+14×23−110=1615.
（2）原式=25912+10−1−2+276423−3+3748 =53+100+916−3+3748 =100.
（3）原式=52−27813+40.54+0.4−1−1 =52−32+0.5+52−1 =3.
（4）原式=−9a23+12−16b12+13−56=−9a.
5．（2023·全国·高一专题练习）计算：
(1)a85⋅b−65−12⋅5a4÷5b3a>0,b>0；
(2)0.064−13−−720+−2−433+16−0.75+−0.0112.
【解题思路】运用指数幂的运算法则对（1）（2）进行求解即可.
【解答过程】（1）a85⋅b−65−12⋅5a4÷5b3=a−45⋅b35⋅a45b35=1；
（2）0.064−13−−720+−2−433+16−0.75+−0.0112=253−13−1+−2−4+24−0.75+0.1
=52−1+116+18+110=14380.
考点2
指数式的给条件求值问题
1．（2023·全国·高一专题练习）已知m12+m−12=4，则m32−m−32m12−m−12的值是（ ）
A．15B．12C．16D．25
【解题思路】利用分数指数幂的运算即可求出结果.
【解答过程】因为m12+m−12=4，
所以m+m−1=(m12+m12)2−2=16−2=14，
又由立方差公式，m32−m−32m12−m−12=(m12−m−12)(m+m12⋅m−12+m−1)m12−m−12=m+1+m−1=15，
故选：A．
2．（2023秋·全国·高二随堂练习）若00，且ab−a−b=−2，则ab+a−b的值为（ ）
A．22B．±22C．−22D．6
【解题思路】将已知等式条件两边平方可得a2b+a−2b=6，再将目标式平方结合指数幂的性质即可求值.
【解答过程】由题设，(ab−a−b)2=a2b−2+a−2b=4，即a2b+a−2b=6，
又(ab+a−b)2=a2b+2+a−2b=8，且ab+a−b>0，
所以ab+a−b=22.
故选：A.
3．（2023·全国·高一专题练习）已知a+1a=4，则a2+a−2= 194 .
【解题思路】将a+1a=4平方可得a+1a=14，再将该式平方可得答案.
【解答过程】由a+1a=4得(a+1a)2=16，即a+1a=14，
故(a+1a)2=196，所以a2+2+1a2=196，则a2+1a2=194，
即a2+a−2=194，
故答案为：194.
4．（2023·全国·高一专题练习）已知a=−827,b=1771，求a23+3a13b13+33b2a43−27a13b÷a133a−33b的值．
【解题思路】利用指数的定义、性质、运算法则直接求解．
【解答过程】因为a≠0,a−27b≠0，
∴ a23+3a13b13+(33b)2a43−27a13b÷a133a−33b
=a23+3a13b13+9b23a43−27a13b×a13−3b13a13
=a+3a23b13+9a13b23−3a23b13−9a13b23−27ba53−27a23b
=a−27ba23(a−27b)=1a23=1(−827)23=1(−23)2=94．
5．（2023·全国·高一专题练习）已知a12+a−12=3，求下列各式的值：
(1)a+a−1；
(2)a2+a−2−2a32+a−32−3．
【解题思路】（1）将a12+a−12=3两边平方，即可求得答案；
（2）将a+a−1=7两边平方，求得a2+a−2=47，再根据立方和公式求得a32+a−32的值，即可求得答案.
【解答过程】（1）将a12+a−12=3两边平方，得a+a−1+2=9，即a+a−1=7；
（2）将a+a−1=7两边平方，得a2+a−2+2=49，即a2+a−2=47；
a32+a−32=a123+a−123=a12+a−12a−a12⋅a−12+a−1
=3a+a−1−1=3×7−1=18,
所以a2+a−2−2a32+a−32−3=47−218−3=3．
考点3
带附加条件的指、对数问题
1．（2023秋·天津武清·高三校考阶段练习）已知2a=15,lg83=b，则2a−3b=（ ）
A．25B．5C．259D．53
【解题思路】先由对数公式把a,b化简，然后代入2a−3b即可求解.
【解答过程】由题意可得2a=15⇒a=lg215，b=lg83=lg233=13lg23，
所以a−3b=lg215−3×13lg23=lg215−lg23=lg2153=lg25，
所以2a−3b=2lg25=5.
故选：B.
2．（2023秋·重庆九龙坡·高一校考期末）设alg29=3，则3−2a=（ ）
A．116B．19C．18D．16
【解题思路】根据对数的运算性质及指数与对数的关系得到9a=8，即可得解.
【解答过程】由alg29=3可得lg29a=3，所以9a=23=8，
所以3−2a=9−a=19a=18.
故选：C.
3．（2023秋·辽宁·高三校联考开学考试）已知a,b满足lg92a−1=5−2a，2⋅3b−1+b=9，则b+4a=
11 ．
【解题思路】由对数的运算性质，化简得到lg32a−1=10−4a，设t=lg32a−1，得到2⋅3t+t=8，又由2⋅3b−1+b=9，得到2⋅3b−1+b−1=8，结合fx=2⋅3x+x的单调性，得到t=b−1，进而求得b+4a的值．
【解答过程】由lg92a−1=5−2a，可得2a−1>0，即a>12，
且lg92a−1=lg32a−1lg39=lg32a−12=5−2a，可得lg32a−1=10−4a，
设t=lg32a−1，则2a=3t+1，原式化为t=10−23t+1，即2⋅3t+t=8，
又由2⋅3b−1+b=9，可得2⋅3b−1+b−1=8，
令函数fx=2⋅3x+x，显然fx为增函数，所以t=b−1，
则2a=3t+1=3b−1+1=9−b2+1，所以b+4a=11．
故答案为：11.
4．（2023·全国·高一专题练习）（1）已知lg189=a，18b=5，求lg1845.（用a,b表示）
（2）已知lg94=a，9b=5，求lg3645.（用a,b表示）
【解题思路】（1）由指数式与对数式的关系可得lg185=b，结合对数运算公式化简即可；
（2）由指数与对数关系可得lg95=b，利用换底公式和对数运算公式化简可得结论.
【解答过程】（1）因为18b=5，所以lg185=b，
所以lg1845=lg189+lg185=a+b.
（2）因为9b=5，所以lg95=b，
所以lg3645=lg945lg36 =lg95×9lg94×9 =lg95+lg99lg94+lg99 =b+1a+1.
5．（2023·全国·高一专题练习）已知实数a，b满足3a=2，blg34=1．
(1)用a表示lg34−lg36；
(2)计算9a+9−a+4b+4−b的值．
【解题思路】根据对数的运算法则及性质求解即可.
【解答过程】（1）由题意可知a=lg32，
所以lg34−lg36=lg323=lg32−1=a−1．
（2）因为b=1lg34=lg43，
所以9a+9−a+4b+4−b=9lg32+9−lg32+4lg43+4−lg43=4+14+3+13=9112．
考点4
解指数不等式
1．（2023秋·内蒙古包头·高三统考开学考试）设函数f(x)=1,x≤0,3x,x>0,则满足f(2x)>f(x+1)的x的取值范围是（ ）
A．(−1,0)B．(1,+∞)C．(0,1)D．(−1,1)
【解题思路】分为x≤−1，−10三种情况讨论求解不等式即可.
【解答过程】当x≤−1时，x+1≤0,2x≤−2,fx+1=1,f2x=1，则f(2x)>f(x+1)不成立；
当−10,2x≤0,fx+1=3x+1,f2x=1，
由f(2x)>f(x+1)，得3x+1<1=30，得x<−1，与−1当x>0时，x+1>1,2x>0,fx+1=3x+1,f2x=32x，
由f(2x)>f(x+1)，得32x>3x+1，则2x>x+1，得x>1．
综上，满足f(2x)>f(x+1)的x的取值范围是(1,+∞)．
故选：B．
2．（2023·全国·高一专题练习）已知函数fx=ax（a>0且a≠1），若f−3A．−1,3B．−1,3
C．−∞,−1∪3,+∞D．−1,0)∪0,2∪(2,3
【解题思路】根据条件判断函数fx为偶函数，同时a>1，再利用单调性即可求出结果.
【解答过程】因为函数fx=ax定义域为R，且f−x=a−x=fx，
所以函数fx为偶函数，
则fx=fx，
因为f−3所以a>1，
所以fx2−2x≤f3可以转化为fx2−2x≤f3，
则x2−2x≤3，
所以−1≤x≤3，
故选：B.
3．（2023·全国·高一专题练习）不等式13x2+x≤19x+15的解集为 −∞,−5∪6,+∞ ．
【解题思路】先化为同底数的指数型函数，利用单调性可求答案.
【解答过程】原式可化为13x2+x≤132x+30，
因为y=13x为减函数，所以x2+x≥2x+30，即x2−x−30≥0，
解得x≥6或x≤−5，
所以原不等式的解集为−∞,−5∪6,+∞.
故答案为：−∞,−5∪6,+∞.
4．（2023·全国·高一专题练习）已知函数fx=a⋅bx的图像经过点A1,2，B2,4．
(1)求fx的解析式；
(2)解不等式fx2+3x>f4．
【解题思路】（1）把点A，B的坐标代入fx解析式，得到关于a，b的方程组，解出a，b的值，即可得到fx的解析式；
（2）根据函数fx的单调性可得x2+3x>4，进而求出x的取值范围．
【解答过程】（1）∵函数fx=a⋅bx的图像经过点A1,2，B2,4，
∴ab=2ab2=4，解得a=1b=2，
∴fx=2x；
（2）因为函数fx=2x在R上单调递增，
所以不等式fx2+3x>f4，等价于x2+3x>4，
解得x<−4或x>1，
即不等式的解集为{x|x<−4或x>1}．
5．（2023·全国·高一专题练习）已知函数fx=4x+m⋅2x，m∈R．
(1)若m=−3，解关于x的不等式fx>4；
(2)若函数y=fx+f−x的最小值为-4，求m的值．
【解题思路】（1）因式分解得到2x+12x−4>0，结合2x+1>0，得到2x−4>0，求出解集；
（2）变形得到y=gt=t2+m⋅t−2=t+m22−m24−2，t≥2，结合函数对称轴，分两种情况，由函数最小值列出方程，求出m的值.
【解答过程】（1）m=−3时，由fx=4x−3×2x>4得，
4x−3×2x−4>0，2x+12x−4>0，
因为2x+1>0，所以2x−4>0，解得x>2，
所以原不等式的解集为2,+∞．
（2）因为y=fx+f−x=4x+4−x+m⋅2x+2−x=2x+2−x2+m⋅2x+2−x−2，
令t=2x+2−x，因为2x>0，
所以t=2x+2−x≥22x⋅2−x=2，（当且仅当x=0时取得等号）
则y=gt=t2+m⋅t−2=t+m22−m24−2，t≥2，
①当−m2≤2，即m≥−4时，gt在2,+∞上单调递增，
当t=2，即x=0时，ymin=2m+2，
所以2m+2=−4，解得m=−3，符合题意；
②当−m2>2，即m<−4时，
gt在2,−m2上单调递减，在−m2,+∞上单调递增，
当t=−m2，ymin=−m24−2，
所以−m24−2=−4，解得m=±22，不合题意，舍去．
综上，m的值为-3．
考点5
指数型复合函数的应用
1．（2023·全国·高一专题练习）设函数fx=2xx−a在区间−1,0单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．−∞,−2B．−2,0
C．0,2D．2,+∞
【解题思路】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【解答过程】函数y=2x在R上单调递增，而函数fx=2xx−a在区间−1,0上单调递增，
则有函数y=x(x−a)=(x−a2)2−a24在区间−1,0上单调递增，因此a2≤−1，解得a≤−2，
所以a的取值范围是−∞,−2.
故选：A.
2．（2023·全国·高三专题练习）函数fx=2⋅3x−9x+5的最大值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【解题思路】设3x=t，t>0，则y=2⋅3x−9x+5=−t−12+6，根据二次函数性质得到最值.
【解答过程】设3x=t，t>0，则y=2⋅3x−9x+5=−t2+2t+5=−t−12+6，
当t=1，即x=0时，函数有最大值为6.
故选：C.
3．（2023秋·山西晋城·高三校考阶段练习）已知函数fx=3−x−3x，若f2a−1+f3a2>0，则实数a的取值范围是 −1,13 .
【解题思路】先得到函数的奇偶性和单调性，从而得到不等式，求出解集.
【解答过程】fx=3−x−3x定义域为R，且f−x=3x−3−x=−fx，
故fx=3−x−3x为奇函数，所以f2a−1>−f3a2=f−3a2，
又fx=3−x−3x在R上单调递减，
所以2a−1<−3a2，即3a2+2a−1<0，解得−1故答案为：−1,13.
4．（2023·全国·高一专题练习）已知函数f(x)=4x−a⋅2x+1+3(a∈R)．
(1)若f(x)≥0对x∈R恒成立，求a的取值范围；
(2)若函数f(x)的单调递增区间是[0,+∞)，求a的值．
【解题思路】（1）将不等式变形为2a≤2x+32x恒成立，借助于基本不等式求最值，即可求出a的范围；
（2）令t(x)=2x，结合复合函数的单调性可知y=t2−2at+3单调增区间是[1,+∞)，由二次函数的增减性即可求出a的取值.
【解答过程】（1）即4x−a⋅2x+1+3≥0对任意x∈R恒成立，
∴2a≤4x+32x=2x+32x恒成立，
又∵2x+32x≥22x×32x=23，当且仅当2x=32x，即x=lg23时“=”成立，
故所求a∈(−∞,3]．
（2）令t(x)=2x，则t(x)在[0,+∞)单调递增且t≥1，
又∵y=t2−2at+3图象开口向上，对称轴为t=a，
∵函数f(x)单调增区间是[0,+∞)，
∴y=t2−2at+3单调增区间是[1,+∞),∴t=a=1，
故a=1．
5．（2023·全国·高一专题练习）已知定义在R上的函数f(x)=m⋅4x−2x+1+1−m(m∈R)．
(1)当m=1时，求f(x)的值域；
(2)若函数f(x)在(1,+∞)上单调递增，求实数m的取值范围；
(3)若函数y=g(x)的定义域内存在x0，使得ga+x0+ga−x0=2b成立，则称g(x)为局部对称函数，其中(a,b)为函数g(x)的局部对称点．若(1,0)是f(x)的局部对称点，求实数m的取值范围．
【解题思路】（1）利用二次函数的性质求得fx的值域.
（2）利用换元法，对m进行分类讨论，结合二次函数的性质求得m的取值范围.
（3）由f1+x+f1−x=0分离参数m，利用换元法，结合二次函数的性质求得m的取值范围.
【解答过程】（1）当m=1时，f(x)=4x−2x+1=2x2−2⋅2x=2x−12−1，
由于2x>0，所以fx=2x−12−1≥−1，当2x=1,x=0时等号成立，
所以fx的值域为−1,+∞.
（2）依题意，函数f(x)在(1,+∞)上单调递增，
f(x)=m⋅4x−2x+1+1−m=m⋅2x2−2⋅2x+1−m，
当x>1时，令t=2x>2，则y=mt2−2t+1−m①，
当m=0时，y=−2t+1，在2,+∞上单调递减，
即fx在1,+∞上单调递减，不符合题意.
当m>0时，①的对称轴t=−−22m=1m>0，
要使fx在1,+∞上单调递增，则y=mt2−2t+1−m在2,+∞上单调递增，
所以m>01m≤2，解得m≥12.
当m<0时，①的对称轴t=−−22m=1m<0，
函数y=mt2−2t+1−m的开口向下，在区间1m,+∞上单调递减，不符合题意.
综上所述，m的取值范围是12,+∞.
（3）根据局部对称函数的定义可知，f1+x+f1−x=0，
即m⋅41+x−21+x+1+1−m+m⋅41−x−21−x+1+1−m=0，
4m⋅4x+4m⋅4−x−2m−4⋅2x−4⋅2−x+2=0，
2m⋅4x+2m⋅4−x−m−2⋅2x−2⋅2−x+1=0，
m=2⋅2x+2⋅2−x−12⋅4x+2⋅4−x−1，令s=2⋅2x+2⋅2−x−1≥22⋅2x⋅2⋅2−x−1=3，
当且仅当2⋅2x=2⋅2−x,x=0时等号成立，
则s2=4⋅4x+4⋅4−x+1+24−2⋅2x−2⋅2−x=4⋅4x+4⋅4−x+9−4⋅2x−4⋅2−x
=4⋅4x+4⋅4−x−2⋅2⋅2x+2⋅2−x−1+7=4⋅4x+4⋅4−x−2s+7，
所以2⋅4x+2⋅4−x−1=s2+2s−92，
则m=ss2+2s−92=2ss2+2s−9=2s−9s+2，
函数y=s−9s+2在区间3,+∞上单调递增，所以y=s−9s+2≥3−93+2=2，
所以m=2s−9s+2∈0,1，
所以m的取值范围是0,1.
考点6
解对数不等式
1．（2023·全国·高一专题练习）已知函数fx=lg23x−1，则使得2f(x)>f(x+2)成立的x的取值范围是（ ）
A．−53,+∞B．43,+∞
C．−∞,−13D．−13,+∞
【解题思路】应用对数运算性质及对应对数函数的单调性求解集即可.
【解答过程】由题设2lg2(3x−1)>lg2(3x+5)，即lg2(3x−1)2>lg2(3x+5)，
因为函数y=lg2x在(0,+∞)上单调递增，所以(3x−1)2>3x+53x−1>03x+5>0，解得x>43.
故选：B.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx=−x2+4x−3,x≤2lg2x,x>2，则不等式f2x−1<2的解集是（ ）
A．−∞,32B．2,52C．32,2D．−∞,52
【解题思路】作出函数fx的图象，利用图象判断函数的单调性，再由函数的单调性可得出结论.
【解答过程】作出函数fx的图象如图所示，
由图可知，函数fx在R上单调递增，
因为f4=lg24=2，
所以f(2x−1)<2等价于f(2x−1)即2x−1<4，解得x<52，
所以不等式f2x−1<2的解集是−∞,52．
故选：D．
3．（2023·全国·高一专题练习）不等式lg122x+3【解题思路】利用对数换底公式以及函数单调性即可解得不等式解集为65,3.
【解答过程】易知lg185x−63=lg1235x−63=lg125x−6，
由lg122x+3又函数lg12x在0,+∞为单调递减，
所以可得2x+3>05x−6>02x+3>5x−6，解得65故答案为：65,3.
4．（2023·全国·高一专题练习）解下列关于x的不等式．
(1)lg17x>lg17(4−x)；
(2)lga2x−5>lgax−1；
(3)lgx12>1．
【解题思路】（1）根据对数函数y=lg17x的单调性，列式求解；（2）讨论a>1和01和0【解答过程】（1）由题意可得x>04−x>0x<4−x
解得0所以原不等式的解集为x0（2）当a>1时，原不等式等价于2x−5>0x−1>02x−5>x−1，
解得x>4，
当00x−1>02x−5解得52综上所述，
当a>1时，原不等式的解集为xx>4；
当0（3）当x>1时，由lgx12>lgxx，可得x<12，此时无解；
当0lgxx，可得12综上，原不等式的解集为x125．（2023秋·河南新乡·高一校考期末）已知函数fx=lgaax−1(a>0,a≠1)
(1)当a=12时，求函数fx的定义域；
(2)当a>1时，求关于x的不等式fx【解题思路】（1）由12x−1>0可求得函数的定义域；
（2）求出函数的定义域，再判断出函数的单调性，然后利用函数的单调性解不等式.
【解答过程】（1）当a=12时，fx=lg1212x−1，故12x−1>0，解得x<0，
故函数fx的定义域为−∞,0；
（2）f(x)=lga(ax−1)(a>1)，由ax−1>0(a>1)，得x>0，
所以fx的定义域为0,+∞，
任取x1,x2∈(0,+∞)，且x1f(x2)−f(x1)=lga(ax2−1)−lga(ax1−1)，
因为x2>x1>0,a>1，所以ax2>ax1>1，
所以ax2−1>ax1−1>0，
因为a>1，所以lga(ax2−1)>lga(ax1−1)，
所以f(x2)−f(x1)>0，所以fx在0,+∞上的单调递增，
所以由fx0x<1，
解得0考点7
对数型复合函数的应用
1．（2023春·重庆江北·高二校考期中）已知函数fx=lnx+ln2−x，则下列选项错误的有（ ）
A．fx在0,2上单调递增B．fx在0,2上单调递减
C．fx存在最小值D．fx存在最大值
【解题思路】化简函数的解析式，求解函数的定义域，利用对数函数的性质，以及复合函数单调性的判断条件，逐项判断.
【解答过程】fx=lnx+ln2−x=lnx(2−x)=ln2x−x2，由x>02−x>0得0故函数fx=lnx+ln2−x的定义域为(0,2)；
令t=2x−x2，则y=lnt，二次函数t=2x−x2开口向下，其对称轴为直线x=1，
所以t=2x−x2在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以t=2x−x2∈0,1，
又函数y=lnt在t∈0,1上单调递增；
由复合函数的单调性，可得f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减；故A、B错误；
因为t∈0,1时，y=lnt∈−∞,0，即f(x)∈−∞,0，所以f(x)在(0,2)上的最大值为0，无最小值；
故C错误，D正确.
故选：D.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx=−x+lg2−x2+x，且fm+f2m−1>0，则实数m的取值范围是（ ）
A．−∞,13B．13,+∞
C．13,32D．−12,13
【解题思路】首先求出函数的定义域，即可判断函数的奇偶性与单调性，根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.
【解答过程】函数fx=−x+lg2−x2+x，则2−x2+x>0，即x−2x+2<0，解得−2所以fx的定义域为−2,2，且f−x=x+lg2+x2−x=−−x+lg2−x2+x=−fx，
所以fx为奇函数，
又函数y=2−x2+x=−x+2+42+x=−1+4x+2在−2,2上单调递减，
所以y=lg2−x2+x在−2,2上单调递减，则fx在−2,2上单调递减，
所以不等式fm+f2m−1>0，即fm>f1−2m，
等价于−2故选：D.
3．（2023·全国·高一专题练习）函数fx=lgaax2−4x+9在区间1,3上严格递增，则实数a的取值范围是 (13,23]∪[2,+∞) ．
【解题思路】运用复合函数的单调性分别研究当a>1与00在[1,3]恒成立，结合二次函数的单调性即可求得结果.
【解答过程】由题意知，a>0且a≠1，
令g(x)=ax2−4x+9，则其对称轴为x=42a=2a，
①当a>1时，由复合函数的单调性可知，g(x)在[1,3]上单调递增，且g(x)>0在[1,3]恒成立，
则a>12a≤1g(1)=a+5>0，解得a≥2，
②当00在[1,3]恒成立，
则00，解得13综述：a≥2或13故答案为：(13,23]∪[2,+∞).
4．（2023·全国·高一专题练习）已知函数fx=lgax+1x−1（a>0且a≠1）.
(1)求函数fx的定义域；
(2)若a=2，求函数y=f2x的值域；
(3)是否存在实数a，b，使得函数fx在区间b,32a上的值域为1,2，若存在，求a，b的值；若不存在，请说明理由.
【解题思路】（1）根据对数函数的性质求解函数的定义域；（2）首先变形f2x=lg21+22x−1，再根据函数的定义域求函数的值域；（3）由函数的定义域确定32a>b>1，讨论01两种情况讨论函数的单调性，再由函数的值域，列方程，即可求解.
【解答过程】（1）由x+1x−1>0，解得fx的定义域为−∞,−1∪1,+∞.
（2）当a=2时，fx=lg2x+1x−1，y=f2x=lg22x+12x−1=lg21+22x−1.
因为fx的定义域是−∞,−1∪1,+∞，所以2x>1，
所以22x−1∈0,+∞，1+22x−1∈1,+∞，
所以lg21+22x−1∈0,+∞，
所以，y=f2x的值域是0,+∞.
（3）因为函数fx在b,32a上的值域为1,2，又a>0，且a≠1，
由fx的定义域得b,32a⊆1,+∞，所以32a>b>1.
①当0所以fb=1f32a=2，即1+2b−1=a1+232a−1=a2，
因为b>1，所以1+2b−1>1，所以1+2b−1=a无解.
（或者因为32a>1，所以1+232a−1>1，所以1+232a−1=a2无解），
故此时不存在实数a，b满足题意.
②当a>1时，因为y=1+2x−1在1,+∞上单调递减，所以函数fx=lga1+2x−1在b,32a上单调递减，
所以f32a=1fb=2，即1+2b−1=a21+232a−1=a
解得a=2或a=−13（舍），b=53.
综上，存在实数a=2，b=53.
5．（2023秋·江西·高三校联考阶段练习）已知函数fx=lg19a−x2+bx，gx=m⋅4x−2x+2+3.
(1)若y=lggx的值域为R，求满足条件的整数m的值；
(2)若非常数函数fx是定义域为−2,2的奇函数，且∀x1∈1,2，∃x2∈−1,1，fx1−gx2>−12，求m的取值范围.
【解题思路】（1）根据函数y=lggx的值域为R，可得函数gx的值域包含0,+∞，再分m=0，m>0和m<0三种情况讨论，结合二次函数的性质即可得解；
（2）根据函数的奇偶性求出函数fx的解析式，再根据∀x1∈1,2，∃x2∈−1,1，fx1−gx2>−12，则只要fxmin+12>gxmin即可，求出函数fx的最小值，再从m分情况讨论，结合二次函数的性质求出gx的最小值即可.
【解答过程】（1）因为函数y=lggx的值域为R，
所以函数gx的值域包含0,+∞，
gx=m⋅4x−2x+2+3=m⋅2x2−4⋅2x+3，
当m=0时，gx=−2x+2+3，其值域为−∞,3，不满足条件，
当m≠0时，令t=2x,t∈0,+∞，
则函数y=mt2−4t+3的对称轴为t=2m，
当m>0时，ymin=m⋅2m2−4⋅2m+3=3−4m，
即gx的值域为3−4m,+∞，
所以3−4m≤0m>0，解得0当m<0时，2m<0，则函数y=mt2−4t+3的值域为−∞,3，
即函数gx的值域为−∞,3，不满足条件，
综上所述，0（2）因为函数fx是定义域为−2,2的奇函数，
所以f0=0f−1=−f1，
即lg19a2=0lg19a+12−b=−lg19a−12+b，解得a=2b=1或a=2b=−1，
由函数fx不是常数函数，所以a=2b=1，
经检验，符合题意，所以a=2b=1，
即fx=lg192−x2+x，
由∀x1∈1,2，∃x2∈−1,1，fx1−gx2>−12，
得∀x1∈1,2，∃x2∈−1,1，fx1+12>gx2，
只要fxmin+12>gxmin即可，
当x∈1,2时，2−x2+x=4−2+x2+x=42+x−1∈0,13，
所以函数fxmin=lg1913=12，
则fxmin+12=1，
gx=m⋅4x−2x+2+3=m⋅2x2−4⋅2x+3，
令n=2x，因为x∈−1,1，所以n∈12,2，
函数y=m⋅n2−4n+3,n∈12,2，
当m=0时，y=−4n+3,n∈12,2，
则n=2时，ymin=−5<1恒成立，符合题意；
当m≠0时，函数y=m⋅n2−4n+3,n∈12,2的对称轴为n=2m，
当m<0时，则n=2时，ymin=4m−5<0恒成立，符合题意；
当0<2m≤12，即m>4时，
则n=12时，ymin=14m+1，
所以m>414m+1<1，不等式组无解；
当2m≥2，即0则n=2时，ymin=4m−5<0恒成立，符合题意；
当12<2m<2，即1则n=2m时，ymin=−4m+3，
所以1综上所述，m的取值范围为−∞,2.
考点8
利用图象交点来处理函数零点（方程的根）问题
1．（2023秋·山东德州·高三校考开学考试）定义在R上的偶函数fx满足f2−x=fx+2，当x∈0,2时，fx=(e)x，若在区间x∈0,10内，函数gx=fx−mx−1,(m>0)有5个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A．e−110,e−16B．0,e5−110
C．e−111,e−16D．0,e−110
【解题思路】等价于y=fx与y=mx+1(m>0)的图象在x∈0,10有5个交点，利用已知可得fx是周期为4的函数，且图象关于x=2对称，画出fx的图象结合图象可得答案.
【解答过程】f2−x+2=f−x=fx+2+2=fx+4，
又fx是偶函数，所以f−x=fx，则fx+4=fx，
所以fx的周期为4，由f2−x=fx+2得fx的图象关于x=2对称，
当x∈0,2时，fx=ex，可得fx的大致图象如下，
若在区间x∈0,10内，函数gx=fx−mx−1(m>0)有5个零点，
等价于y=fx与y=mx+1(m>0)的图象在x∈0,10有5个交点，
结合图象，当x=10时y=fx与y=mx+1(m>0)的图象恰好有5个交点，
当m=0时y=fx与y=mx+1(m>0)的图象有3个交点，不符合题意，
可得A10,e，此时e=10m+1，可得m=e−110，
则实数m的取值范围是0,e−110.
故选：D.

2．（2023秋·江西宜春·高三校考开学考试）已知函数fx=32x+22−m−1,x≤−12x+2e−x−m,x>−1,若关于x的方程[f(x)]2−m2+3f(x)+m3−m2+3m=0有且仅有4个不同的实数根，则实数m的取值范围为（ ）
A．14,1B．−12,0C．0,14D．−12,1
【解题思路】令gx=fx+m，方程可化为g(x)=2m或g(x)=m2+3有四个不同实数根，借助导数研究gx的单调性与最值，数形结合即可判断m的取值范围．
【解答过程】设gx=fx+m=32x+22−1,x≤−12x+2e−x,x>−1，则f(x)=g(x)−m，
又[f(x)]2−m2+3f(x)+m3−m2+3m=fx−mfx−m2+m−3=0，
所以g(x)−2mg(x)−m2−3=0，则g(x)=2m或g(x)=m2+3．
①当x>−1时，g(x)=2(x+1)ex，求导得g′(x)=2ex−2(x+1)exe2x=−2xex．
当−10，即函数g(x)在(−1,0)上单调递增；
当x>0时，g′(x)<0，即函数g(x)在(0,+∞)上单调递减．
因为x>−1，所以x+1>0,ex>0⇒g(x)>0．
又g(0)=2，当x>−1且x→−1时，g(x)→0+；
当x→+∞时，g(x)→0+．
②当x≤−1时，g(x)=32(x+2)2−1，g(−1)=12，
根据以上信息，作出函数g(x)的大致图象如图所示．

观察图像可得：函数y=g(x)的图象与函数y=m2+3的图象仅有1个交点，
所以函数y=g(x)的图象与函数y=2m的图象有3个交点，
则12<2m<2⇒14故选：A.
3．（2023·全国·高一专题练习）已知函数fx=ln1−x,x<0x+1,x>0，若函数y=fx−a有两个零点x1,x2，且x1【解题思路】结合函数的性质得出a>1，建立方程用a表示x1,x2，结合二次函数的性质计算即可.
【解答过程】y=fx−a的零点等价于y=fx与y=a交点的横坐标，易知y=ln1−x在定义域上单调递减，结合一次函数性质可得如下函数图象，

故a>1，ln1−x1=a=x2+1⇒x1=1−ea,x2=a−1，
所以x1+12e2x2=12e2a−2−ea+1①，
令ea=t,a>1⇒t>e，则①=12e2t2−t+1，
由二次函数的性质可知当t=e2时取得最小值1−12e2，没有最大值，
故x1+12e2x2∈1−12e2,+∞.
故答案为：1−12e2,+∞.
4．（2023秋·黑龙江牡丹江·高三校考阶段练习）已知函数fx是定义在R上的奇函数，且当x>0时，fx=−x2+2x．
(1)求函数fx的解析式；
(2)若函数gx=fx+m在R上有三个零点，求m的取值范围．
【解题思路】（1）根据函数奇偶性以及x>0时的表达式，即可求出函数fx的解析式；
（2）利用（1）中的解析式可画出函数图象，由函数与方程的思想利用数形结合即可求得m的取值范围是−1,1．
【解答过程】（1）令x<0，则−x>0，又fx是定义在R上的奇函数，
所以可得fx=−f−x=−−−x2+2−x=x2+2x．
又f0=0，
故函数fx的解析式为fx=−x2+2x,x≥0,x2+2x,x<0.
（2）根据题意作出fx的图象如下图所示：

f−1=−1，f1=1，
若函数gx=fx+m在R上有三个零点，即方程fx+m=0有三个不等的实数根，
所以函数fx与y=−m有三个不同的交点，
由图可知当−1<−m<1，即−1故m的取值范围是−1,1．
5．（2023秋·安徽宣城·高一统考期末）已知函数fx对一切实数x,y∈R都有fx+y−fy=xx+2y−2成立，且f1=0.
(1)求f0的值和fx的解析式；
(2)若关于x的方程fax−2−3kax−2+2k=0(a>1)有三个不同的实数解，求实数k的取值范围.
【解题思路】（1）取x=1,y=0求出f0=1，令y=0得出fx；
（2）令t=ax−2(a>1)，由y=tx的图象以及题设条件确定当0【解答过程】（1）令x=1,y=0，则f1−f0=−1，得f0=1，
再令y=0，则fx−f0=xx−2，得fx=x2−2x+1；
（2）令t=ax−2(a>1)，则y=tx的图象如下，
则由fax−2−3kax−2+2k=0，得t2−3k+2t +2k+1=0*，
记方程*的根为t1､t2，当0原方程有三个不同的实数解，
令gt=t2−3k+2t+2k+1，
则g0=2k+1>0g2=1−4k<0或g0=2k+1>0g2=1−4k=00<3k+22<2或g0=2k+1=0g2=1−4k>00<3k+22<2，
解得k>14或k=14或k=−12，
所以实数k的取值范围为k∣k≥14或k=−12.