专题3.5 函数性质及其应用大题专项训练-2023-2024学年高一数学重点题型专项训练（人教A版必修第一册）

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姓名：___________班级：___________考号：___________
题型一
利用函数的性质求解析式
1．（2023春·甘肃白银·高二校考期末）若定义在R上的奇函数fx满足f2−x=fx，当x∈0,1时，fx=x2−2x．
(1)求f2021的值；
(2)当x∈3,4时，求函数fx的表达式．
2．（2023春·浙江宁波·高二校考期中）设f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)=x2−2−x.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若“x=3”是“f(2x−t)>12”的充分条件，求实数t的取值范围.
3．（2023·高一课时练习）已知f(x)=x+ax2+bx+1(−1≤x≤1)为奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)试判断f(x)的单调性；
(3)试求f(x)的值域．
4．（2023·高一课时练习）已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2−x.
(1)求f(x)的解析式：
(2)若方程f(x)=k有3个不同的解，求k的取值范围.
5．（2023·全国·高三对口高考）设fx是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有fx+2=−fx．当x∈0,2时，fx=2x−x2．
(1)求证：fx是周期函数；
(2)当x∈2,4时，求fx的解析式；
(3)计算f0+f1+f2+⋯+f2011．
题型二
利用函数的性质求最值
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)对于任意x,y∈R，总有f(x)+f(y)=f(x+y)，且x>0时，f(x)<0.
(1)求证：f(x)在R上是奇函数；
(2)求证：f(x)在R上是减函数；
(3)若f(1)=−23，求f(x)在区间[−3,3]上的最大值和最小值.
7．（2023·全国·高一假期作业）已知函数y=ax2−2ax+1+ba>0.
(1)若a=b=1，求y在t,t+1上的最大值；
(2)若函数在区间2,4上的最大值为9，最小值为1，求实数a，b的值.
8．（2023春·安徽合肥·高一校考阶段练习）已知函数y=fxx∈R是偶函数．当x≥0时，fx=x2−2x．
(1)求函数fx的解析式；
(2)设gx=−fx+1，求gx在区间a,a+2上的最大值，其中a>−1．
9．（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）已知函数f(x)=x2+ax+1.
(1)当a>2时，判断f(x)在R上的单调性；
(2)记f(x)在R上的最小值为g(a)，写出g(a)的表达式并求g(a)的最大值.
10．（2023春·江苏南京·高二校考阶段练习）已知函数y=fx是定义在R上的周期函数，周期为5，函数y=fx(−1≤x≤1)是奇函数，又知y=fx在[0,1]上是一次函数，在1,4上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值−5，
(1)求f1+f4的值；
(2)求y=fx，x∈[1,4]上的解析式；
(3)求y=fx在[4,9]上的解析式，并求函数y=fx的最大值与最小值．
题型三
利用函数的性质比较大小
11．（2023·高一课时练习）已知函数f(x)在[1,+∞)上为增函数，对任意x∈R均满足：①f(1+x)=f(1−x)，②x1<0, x2>0且x1+x2<−2．试比较f−x1与f−x2的大小关系．
12．（2022·全国·高一专题练习）定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f(mn)=f(m)+f(n)(m，n>0)，且当x>1时，f(x)>0．
(1)求证：f(x)在(0,+∞)上是增函数；
(2)若f(2)=1 ，解不等式f(x+2)−f(2x)>2；
(3)比较f(m+n2)与f(m)+f(n)2的大小．
13．（2022秋·海南海口·高一校考期中）函数f(x)=x2+2x(x>0).
(1)判断并用定义证明函数f（x）在（0，1）上的单调性；
(2)若x2>x1>0，x1+x2=2，求证：fx1>fx2；
(3)若fx1=fx2，且x1≠x2，求证：x1+x2>2.
14．（2022秋·福建福州·高一校联考期中）已知函数f(x)=x2+2x．
(1)求f(1)，f(2)的值；
(2)设a＞b＞1，试比较f（a），f（b）的大小，并说明理由；
(3)若关于x的不等式f(x−1)≥2(x−1)+2x−1+m恒成立，求实数m的取值范围．
15．（2022·高一课时练习）定义在(0,+∞)上的函数f(x)，满足f(mn)=f(m)+f(n)(m,n>0)，且当x>1时，f(x)>0.
（1）求f(1)的值.
（2）求证：fmn=f(m)−f(n).
（3）求证：f(x)在(0,+∞)上是增函数.
（4）若f(2)=1，解不等式f(x+2)−f(2x)>2.
（5）比较fm+n2与f(m)+f(n)2的大小.
题型四
利用函数的单调性、奇偶性解不等式
16．（2022秋·重庆·高一校联考期中）已知函数fx是定义在−3,3上的奇函数，当0(1)求f−1．
(2)求函数fx的解析式．
(3)若f3a+1+f2a−1>0，求实数a的取值范围．
17．（2023·全国·高三专题练习）已知y=fx是定义在区间−2,2上的偶函数，其部分图像如图所示．
(1)求f−1的值；
(2)补全y=fx的图像，并写出不等式fx≥1的解集．
18．（2023秋·黑龙江佳木斯·高一校考期末）已知函数fx=ax+bx2+1是定义在−1,1上的奇函数，且f12=−25.
(1)求函数fx的解析式；
(2)判断fx的单调性，并证明你的结论；
(3)解不等式ft−1+ft<0.
19．（2022秋·黑龙江七台河·高一校考期中）定义在−1,1上的函数fx满足：对任意的x,y∈−1,1，都有fx+fy=fx+y1+xy，当x∈−1,0，fx>0．
(1)求证：函数fx是奇函数；
(2)求证：fx在−1,1上是减函数；
(3)解不等式：fx+1+f11−x>0；
20．（2023秋·四川成都·高一校考期末）定义在区间D=xx≠0上的函数fx,对∀a,b∈D都有fab=fa+fb,且当x>1时,fx>0.
(1)判断fx的奇偶性,并证明;
(2)判断fx在0,+∞上的单调性,并证明;
(3)若f2=3,求满足不等式f3m+2+fm−1−3<0的实数m的取值范围.
题型五
利用函数的性质解决恒成立问题
21．（2023·黑龙江佳木斯·校考模拟预测）已知fx=ax2+bx+c4+x2是定义在[－2，2]上的函数，若满足fx+f−x=0且f(1)=15．
(1)求fx的解析式；
(2)设函数gx=x2−2mx+4m∈R，若对任意x1,x2∈1,2，都有gx222．（2023春·贵州黔东南·高一校考阶段练习）已知函数fx是定义在R上的奇函数，当x≥0时，fx=ax2+x+a−1.
(1)求函数fx的解析式.
(2)若对任意的t∈0,2，fm+t+f2t2−3t>0恒成立，求m的取值范围.
23．（2023秋·江苏扬州·高一校考阶段练习）已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，且当x⩾0时，f(x)=−x2+ax.
(1)当a=−2时，求f(x)的解析式；
(2)若函数f(x)在[0,+∞)上单调递减．
(i)求a的取值范围；
(ii)实数m∈−5,−2，f(m−1)+f(m2+t)<0恒成立，求实数t的取值范围．
24．（2023春·湖北宜昌·高一校考阶段练习）已知函数f(x)=x2+2x+ax．
(1)若g(x)=f(x)−2，判断g(x)的奇偶性（不用证明）．
(2)当a=12时，先用定义法证明函数f(x)在1,+∞上单调递增，再求函数f(x)在1,+∞上的最小值．
(3)若对任意x∈1,+∞，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围．
25．（2023春·浙江宁波·高二校考期中）已知fx=ax2+bx+c4+x2是定义在−2,2上的函数，若满足fx+f−x=0且f1=15.
(1)求fx的解析式；
(2)判断函数fx在−2,2上的单调性（不用证明），并求使f2t+1+ft2−1<0成立的实数t的取值范围；
(3)设函数g(x)=x2−2mx+4(m∈R)，若对任意x1,x2∈[1,2]，都有g(x2)题型六
利用函数的性质解决有解问题
26．（2022秋·湖北荆州·高一校联考期末）定义域为[−2，2]的奇函数fx满足，当x∈0,2时，fx=x2−x,x∈0,1,x−1,x∈1,2.
(1)求fx的值域；
(2)若x∈−2,0时,fx≥t2−2有解，求实数t的取值范围.
27．（2023·全国·高一专题练习）已知函数y=fx的表达式fx=x+mx+2（m为实数）．
(1)函数y=fx在区间2,+∞上是严格增函数，试用函数单调性的定义求实数m的取值范围；
(2)设m<0，若不等式fx≤kx在x∈12,1上有解，求k的取值范围．
28．（2023春·上海宝山·高一校考阶段练习）已知定义域为R的函数f(x)=1−2x2x+1+a是奇函数．
(1)求a的值；
(2)判断f(x)的单调性，并证明；
(3)若关于m的不等式f−2m2+3m−4+fm2−2mt≤0在m∈[1,3]上有解，求实数t的取值范围．
29．（2022秋·山东泰安·高一统考期中）已知函数fx是定义在实数集R上的偶函数，当x≤0时，fx=x2−x+1.
(1)当x>0时，解不等式2x2+3−k2x+1−k≤fx≤kx+1+1(k∈R)；
(2)不等式fx2+1−mx2+1−m≥0在0,5上有解，求实数m的取值范围.
30．（2022秋·山东青岛·高一校考期中）已知函数f(x)对任意m，n∈R，总有fm+n=fm+fn成立，且对任意实数x>0，总有fx>0．
(1)求f0，并分析判断f(x)在R上的单调性；
(2)若∀x∈(1,+∞)，不等式fa−3x+f4x−13x−1−x≥0总有解，求实数a的取值范围．