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专题5.3 诱导公式-2023-2024学年高一数学重点题型专项训练（人教A版必修第一册）
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这是一份专题5.3 诱导公式-2023-2024学年高一数学重点题型专项训练（人教A版必修第一册），文件包含专题53诱导公式举一反三人教A版必修第一册原卷版docx、专题53诱导公式举一反三人教A版必修第一册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共17页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc27695" 【题型1 三角函数的诱导公式】 PAGEREF _Tc27695 \h 2
\l "_Tc23877" 【题型2 三角函数的化简、求值——诱导公式】 PAGEREF _Tc23877 \h 3
\l "_Tc19618" 【题型3 三角函数恒等式的证明——诱导公式】 PAGEREF _Tc19618 \h 5
\l "_Tc30044" 【题型4 诱导公式的综合应用】 PAGEREF _Tc30044 \h 6
\l "_Tc6828" 【题型5 诱导公式在三角形中的应用】 PAGEREF _Tc6828 \h 7
【知识点1 诱导公式】
1．诱导公式
(1)诱导公式
(2)诱导公式的作用
2．一组重要公式
(1)(n∈Z).
①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z).
②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有
(k∈Z).
(2) (n∈Z).
①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z).
②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有
(k∈Z).
类似地，有：
(3)(n∈Z).
(4)(n∈Z).
【题型1 三角函数的诱导公式】
【例1】（2023秋·山西·高三校联考阶段练习）cs5555°=（ ）
A．cs65°B．sin65°C．−cs65°D．−sin65°
【解题思路】利用诱导公式（公式一中csα+k⋅2π=csαk∈Z、公式六中csπ2+α=−sinα）运算即可得解.
【解答过程】由题意可得：cs5555°=cs360°×15+155°=cs155°=cs90°+65°=−sin65°，
故选：D.
【变式1-1】（2023·贵州遵义·统考模拟预测）若csπ4+α=13，则sinπ4−α=（ ）
A．223B．−223C．13D．−13
【解题思路】以π4+α为整体，结合诱导公式运算求解.
【解答过程】由题意可得：sinπ4−α=sinπ2−π4+α=csπ4+α=13.
故选：C.
【变式1-2】（2023秋·四川绵阳·高三校考阶段练习）已知sinθ+π6=12，则csθ+2π3=（ ）
A．−32B．32C．12D．−12
【解题思路】以θ+π6为整体，利用诱导公式运算求解.
【解答过程】由题意可得：csθ+2π3=csθ+π6+π2=−sinθ+π6=−12.
故选：D.
【变式1-3】（2023秋·重庆荣昌·高三校考阶段练习）下列化简正确的是（ ）
A．tanπ+1=−tan1B．sin−αtan360∘−α=csα
C．sinπ−αcsπ+α=tanαD．csπ−αtan−π−αsin2π−α=1
【解题思路】应用诱导公式以及同角三角函数的基本关系对四个选项验证即可.
【解答过程】对于A，由诱导公式得，tanπ+1=tan1，故A错误；
对于B，sin−αtan360∘−α=−sinα−tanα=sinαsinαcsa=csα，故B正确；
对于C，sinπ−αcsπ+α=sinα−csα=−tanα，故C错误；
对于D，csπ−αtan−π−αsin2π−α=−csα−tanα−sinα=−csα⋅sinαcsαsinα=−1，故D错误.
故选：B.
【题型2 三角函数的化简、求值——诱导公式】
【例2】（2023·全国·高一随堂练习）化简：
(1)1−2sin3−πcs3−π；
(2)1−2sin190°cs190°cs170°+1−cs2170°．
【解题思路】（1）（2）根据诱导公式结合同角三角函数的关系计算得到答案.
【解答过程】（1）1−2sin3−πcs3−π=sin23+cs23−2sin3cs3=sin3−cs32
=sin3−cs3，
sin3>0，cs3<0，故sin3−cs3>0，
故1−2sin3−πcs3−π=sin3−cs3.
（2）1−2sin190°cs190°cs170°+1−cs2170°=sin190°−cs190°2cs170°+sin2170°=sin190°−cs190°cs170°+sin170°
=−sin10°+cs10°−cs10°+sin10°=−sin10°+cs10°−cs10°+sin10°=−1.
【变式2-1】（2023·全国·高一课堂例题）求下列各值.
(1)sin120°；
(2)cs135°；
(3)cs(−19π4).
【解题思路】利用诱导公式求得正确答案.
【解答过程】（1）sin120°=sin(90°+30°)=cs30°=32.
（2）cs135°=cs90°+45°= −sin45°=−22.
（3）cs(−19π4)=cs19π4=cs(3π4+4π)=cs3π4 =cs(π2+π4)=−sinπ4=−22.
【变式2-2】（2023秋·北京·高三校考开学考试）已知sinα=255，α∈π2,π，求tanα+π+sin5π2+αcs5π2−α的值.
【解题思路】根据三角函数的基本关系式，求得csα=−55，得到tanα=−2，结合诱导公式，即可求解.
【解答过程】因为sinα=255>0且α∈π2,π，且α为第二象限角，
所以csα=−1−sin2α=−55，可得tanα=sinαcsα=−2，
又由tanα+π+sin5π2+αcs5π2−α=tanα+csαsinα=−2−12=−52.
【变式2-3】（2023秋·辽宁大连·高三校考阶段练习）已知fa=sin2π−acsπ2−acsa−3π2tanπ+a．
(1)若fa=−12，且a∈0,π，求a的值；
(2)若fa+π3=14，求sin22π3−a+sinπ6−a的值．
【解题思路】（1）先利用诱导公式化简，然后解三角方程可得；
（2）依题意可得csa+π3=14，然后利用诱导公式和平方关系可得.
【解答过程】（1）fa=sin2π−acsπ2−acsa−3π2tanπ+a=−sina⋅sina−sina⋅sinacsa=csa，
因为fa=−12，所以csa=−12，
又a∈0,π，所以a=2π3．
（2）由（1）知fa+π3=csa+π3，
因为fa+π3=14，所以csa+π3=14，
令x=a+π3，则csx=14，a=x−π3，
所以sin22π3−a+sinπ6−a
=sin2π−x+sinπ2−x
=sin2x+csx=1−cs2x+csx=1916.
【题型3 三角函数恒等式的证明——诱导公式】
【例3】（2023·高一课时练习）求证：sin2π−αcsπ+αcsπ2+αcs11π2−αcsπ−αsin3π−αsin−π−αsin9π2+α=−tanα．
【解题思路】利用三角函数的诱导公式和同角三角函数基本关系式证明.
【解答过程】左边=−sinα⋅−csα−sinα−sinα−csα⋅sinα⋅sinα⋅csα=–tanα=右边，
∴等式成立．
【变式3-1】（2023秋·全国·高一随堂练习）设tanα+8π7=m.求证：sinα+15π7+3csα−13π7sin−α+20π7−csα+22π7=m+3m+1.
【解题思路】由题意从所求式子的左边出发，把tanα+8π7=m作为一个整体代入，再利用同角三角函数间基本关系进行化简即可证得右边.
【解答过程】证明：左边=sinπ+α+8π7+3csα+8π7−3πsin4π−α+8π7−cs2π+α+8π7 =−sinα+8π7−3csα+8π7−sinα+8π7−csα+8π7 =tanα+8π7+3tanα+8π7+1
把tanα+8π7=m代入，得原式=m+3m+1=右边，故原等式成立.
【变式3-2】（2022·高一课时练习）求证：2sin(θ−3π2)cs(θ+π2)−11−2sin2θ=tan(9π+θ)+1tan(π+θ)−1.
【解题思路】左边由诱导公式平方关系化简变形，右边用诱导公式，商数关系化简变形可证．
【解答过程】左边=−2csθ⋅sinθ−1sin2θ+cs2θ−2sin2θ=−(sinθ+csθ)2(csθ+sinθ)(csθ−sinθ)=sinθ+csθsinθ−csθ，
右边=tan(8π+π+θ)+1tan(π+θ)−1=tan(π+θ)+1tan(π+θ)−1=tanθ+1tanθ−1=sinθcsθ+1sinθcsθ−1=sinθ+csθsinθ−csθ，
所以等式成立.
【变式3-3】（2023·高一课时练习）已知A、B、C是△ABC的三个内角，求证；
（1）cs(2A+B+C)+csA=0；
（2）tanA+B4+tan3π+C4=0.
【解题思路】(1)根据2A+B+C=π+A，结合诱导公式即可证明；
(2)根据A+B4=π−C4=π−3π+C4，结合诱导公式即可证明.
【解答过程】(1)cs(2A+B+C)+csA =cs[(A+B+C)+A]+csA=cs(π+A)+csA
=−csA+csA =0.
(2)tanA+B4+tan3π+C4 =tanπ−C4+tan3π+C4=tanπ−3π+C4+ tan3π+C4
=−tan3π+C4+tan3π+C4=0.
【题型4 诱导公式的综合应用】
【例4】（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）已知角α终边上一点P−2,3，则cs π2+αsin π+αcs π−αsin 3π+α的值为（ ）
A．32B．−32C．23D．−23
【解题思路】由任意角三角函数的定义求出tanα，再由诱导公式化简代入即可得出答案.
【解答过程】因为角α终边上一点P−2,3，所以tanα=−32
csπ2+αsinπ+αcsπ−αsin3π+α=−sinα⋅−sinα−csα⋅−sinα=tanα=−32.
故选：B.
【变式4-1】（2023春·江西抚州·高一统考期末）设a=cs35π，b=sin−95π，c=tan−34π，则（ ）
A．a>b>cB．b>c>aC．c>b>aD．c>a>b
【解题思路】根据三角函数的性质和诱导公式，分别求得a<0,0【解答过程】由b=sin−95π=−sin95π=−sin(−π5)=sinπ5=cs3π10，可得0又由a=cs35π<0，c=tan−34π=−tan3π4=1，
所以c>a>b.
故选：C.
【变式4-2】（2023秋·江西·高三校联考阶段练习）已知函数fx=ax−2+2（a>0且a≠1）的图像过定点P，且角α的始边与x轴的正半轴重合，终边过点P，则cs11π2−αsin9π2+αsin2−π−α等于（ ）
A．−23B．23C．32D．−32
【解题思路】先化简所要求的式子，又由于f2=a2−2+2=a0+2=1+2=3，所以fx=ax−2+2过定点P2,3，进一步结合题意可以求出与α有关的三角函数值，最终代入求值即可.
【解答过程】cs11π2−αsin9π2+αsin2−π−α=cs6π−α+π2sin4π+α+π2−sinα+π2=cs−α+π2sinα+π2sin2π+α
又因为cs−α+π2=csα+π2=−sinα，sinα+π2=csα，sin2π+α=sin2α，
故原式=−sinα⋅csαsin2α=−1tanα;又fx=ax−2+2过定点P2,3,所以tanα=32，代入原式得原式=−1tanα=−23.
故选：A.
【变式4-3】（2023·全国·高一专题练习）如图，在平面直角坐标系内，角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P135,45，若线段OPn−1绕点O逆时针旋转π4得OPn（n≥2，n∈N），则点P2023的纵坐标为（ ）
A．−45B．−35C．35D．45
【解题思路】根据三角函数的定义求出sinα，csα，设点P2023为角β的终边与单位圆的交点，依题意可得β=α+2022×π4，利用诱导公式求出sinβ的值，即可得解.
【解答过程】因为角α的终边与单位圆交于点P135,45，所以sinα=45，csα=35，
设点P2023为角β的终边与单位圆的交点，则β=α+2022×π4，
所以sinβ=sinα+2022×π4=sinα+1011π2=−csα=−35，
所以点P2023的纵坐标为−35.
故选：B.
【题型5 诱导公式在三角形中的应用】
【例5】（2023春·四川成都·高一校联考期中）在△ABC中，下列关系式正确的是（ ）
A．sinA+B2=sinC2B．csA+B2=csC2
C．tanA+B=tanCD．sinA+B=sinC
【解题思路】根据三角形内角和为π，结合诱导公式依次判断每个选项得到答案.
【解答过程】对选项A：sinA+B2=sinπ−C2=sinπ2−C2=csC2，错误；
对选项B：csA+B2=csπ−C2=csπ2−C2=sinC2，错误；
对选项C：tanA+B=tanπ−C=−tanC，错误；
对选项D：sinA+B=sinπ−C=sinC，正确；
故选：D.
【变式5-1】（2023春·山东德州·高一校考阶段练习）在△ABC中，已知sinA−π4=−55，则csA+π4=（ ）
A．55B．±55C．−55D．255
【解题思路】由A+π4=π2+A−π4结合诱导公式求解即可.
【解答过程】csA+π4=csπ2+A−π4=−sinA−π4=55.
故选：A.
【变式5-2】（2023春·河南周口·高一校考阶段练习）已知角A、B、C为△ABC的三个内角，若sinA+B−C2=sinA−B+C2，则△ABC一定是（ ）
A．等腰直角三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等腰或直角三角形
【解题思路】根据诱导公式以及内角和定理得出B=C，从而判断三角形的形状.
【解答过程】由sinA+B−C2=sinA−B+C2可得sinπ−2C2=sinπ−2B2，sinπ2−C=sinπ2−B，csC=csB，即B=C，故该三角形一定为等腰三角形.
故选：C.
【变式5-3】（2023·高一课时练习）如图，在Rt△ABC中，点M是斜边AB的中点，点N在边BC上，且MN⊥AB，MN= 3，CN=1，则sinA=（ ）
A．23B．33C．63D．73
【解题思路】设出BN=x，利用sinA=csB列出方程，求出x，进而求出答案.
【解答过程】因为MN⊥AB，点M是斜边AB的中点，
设BN=x，则BC=x+1，
由勾股定理得：BM=AM=x2−3，
因为在Rt△ABC中，∠C=90°，
所以sinA=BCAB=1+x2x2−3，
而csB=BMNB=x2−3x，因为sinA=csB，
所以1+x2x2−3=x2−3x，解得：x=3或−2（舍去），
所以sinA=426=63
故选：C.公式
一
二
三
四
五
六
七
八
角
正弦
余弦
正切
余切
口诀
函数名不变，符号看象限.
函数名改变，符号看象限.
诱导公式
作用
公式一
将任意角转化为0～2π的角求值
公式二
将0～2π的角转化为0~π的角求值
公式三
将负角转化为正角求值
公式四
将π2～π的角转化为0～π2的角求值
公式五
实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化
公式六
实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc27695" 【题型1 三角函数的诱导公式】 PAGEREF _Tc27695 \h 2
\l "_Tc23877" 【题型2 三角函数的化简、求值——诱导公式】 PAGEREF _Tc23877 \h 3
\l "_Tc19618" 【题型3 三角函数恒等式的证明——诱导公式】 PAGEREF _Tc19618 \h 5
\l "_Tc30044" 【题型4 诱导公式的综合应用】 PAGEREF _Tc30044 \h 6
\l "_Tc6828" 【题型5 诱导公式在三角形中的应用】 PAGEREF _Tc6828 \h 7
【知识点1 诱导公式】
1．诱导公式
(1)诱导公式
(2)诱导公式的作用
2．一组重要公式
(1)(n∈Z).
①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z).
②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有
(k∈Z).
(2) (n∈Z).
①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z).
②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有
(k∈Z).
类似地，有：
(3)(n∈Z).
(4)(n∈Z).
【题型1 三角函数的诱导公式】
【例1】（2023秋·山西·高三校联考阶段练习）cs5555°=（ ）
A．cs65°B．sin65°C．−cs65°D．−sin65°
【解题思路】利用诱导公式（公式一中csα+k⋅2π=csαk∈Z、公式六中csπ2+α=−sinα）运算即可得解.
【解答过程】由题意可得：cs5555°=cs360°×15+155°=cs155°=cs90°+65°=−sin65°，
故选：D.
【变式1-1】（2023·贵州遵义·统考模拟预测）若csπ4+α=13，则sinπ4−α=（ ）
A．223B．−223C．13D．−13
【解题思路】以π4+α为整体，结合诱导公式运算求解.
【解答过程】由题意可得：sinπ4−α=sinπ2−π4+α=csπ4+α=13.
故选：C.
【变式1-2】（2023秋·四川绵阳·高三校考阶段练习）已知sinθ+π6=12，则csθ+2π3=（ ）
A．−32B．32C．12D．−12
【解题思路】以θ+π6为整体，利用诱导公式运算求解.
【解答过程】由题意可得：csθ+2π3=csθ+π6+π2=−sinθ+π6=−12.
故选：D.
【变式1-3】（2023秋·重庆荣昌·高三校考阶段练习）下列化简正确的是（ ）
A．tanπ+1=−tan1B．sin−αtan360∘−α=csα
C．sinπ−αcsπ+α=tanαD．csπ−αtan−π−αsin2π−α=1
【解题思路】应用诱导公式以及同角三角函数的基本关系对四个选项验证即可.
【解答过程】对于A，由诱导公式得，tanπ+1=tan1，故A错误；
对于B，sin−αtan360∘−α=−sinα−tanα=sinαsinαcsa=csα，故B正确；
对于C，sinπ−αcsπ+α=sinα−csα=−tanα，故C错误；
对于D，csπ−αtan−π−αsin2π−α=−csα−tanα−sinα=−csα⋅sinαcsαsinα=−1，故D错误.
故选：B.
【题型2 三角函数的化简、求值——诱导公式】
【例2】（2023·全国·高一随堂练习）化简：
(1)1−2sin3−πcs3−π；
(2)1−2sin190°cs190°cs170°+1−cs2170°．
【解题思路】（1）（2）根据诱导公式结合同角三角函数的关系计算得到答案.
【解答过程】（1）1−2sin3−πcs3−π=sin23+cs23−2sin3cs3=sin3−cs32
=sin3−cs3，
sin3>0，cs3<0，故sin3−cs3>0，
故1−2sin3−πcs3−π=sin3−cs3.
（2）1−2sin190°cs190°cs170°+1−cs2170°=sin190°−cs190°2cs170°+sin2170°=sin190°−cs190°cs170°+sin170°
=−sin10°+cs10°−cs10°+sin10°=−sin10°+cs10°−cs10°+sin10°=−1.
【变式2-1】（2023·全国·高一课堂例题）求下列各值.
(1)sin120°；
(2)cs135°；
(3)cs(−19π4).
【解题思路】利用诱导公式求得正确答案.
【解答过程】（1）sin120°=sin(90°+30°)=cs30°=32.
（2）cs135°=cs90°+45°= −sin45°=−22.
（3）cs(−19π4)=cs19π4=cs(3π4+4π)=cs3π4 =cs(π2+π4)=−sinπ4=−22.
【变式2-2】（2023秋·北京·高三校考开学考试）已知sinα=255，α∈π2,π，求tanα+π+sin5π2+αcs5π2−α的值.
【解题思路】根据三角函数的基本关系式，求得csα=−55，得到tanα=−2，结合诱导公式，即可求解.
【解答过程】因为sinα=255>0且α∈π2,π，且α为第二象限角，
所以csα=−1−sin2α=−55，可得tanα=sinαcsα=−2，
又由tanα+π+sin5π2+αcs5π2−α=tanα+csαsinα=−2−12=−52.
【变式2-3】（2023秋·辽宁大连·高三校考阶段练习）已知fa=sin2π−acsπ2−acsa−3π2tanπ+a．
(1)若fa=−12，且a∈0,π，求a的值；
(2)若fa+π3=14，求sin22π3−a+sinπ6−a的值．
【解题思路】（1）先利用诱导公式化简，然后解三角方程可得；
（2）依题意可得csa+π3=14，然后利用诱导公式和平方关系可得.
【解答过程】（1）fa=sin2π−acsπ2−acsa−3π2tanπ+a=−sina⋅sina−sina⋅sinacsa=csa，
因为fa=−12，所以csa=−12，
又a∈0,π，所以a=2π3．
（2）由（1）知fa+π3=csa+π3，
因为fa+π3=14，所以csa+π3=14，
令x=a+π3，则csx=14，a=x−π3，
所以sin22π3−a+sinπ6−a
=sin2π−x+sinπ2−x
=sin2x+csx=1−cs2x+csx=1916.
【题型3 三角函数恒等式的证明——诱导公式】
【例3】（2023·高一课时练习）求证：sin2π−αcsπ+αcsπ2+αcs11π2−αcsπ−αsin3π−αsin−π−αsin9π2+α=−tanα．
【解题思路】利用三角函数的诱导公式和同角三角函数基本关系式证明.
【解答过程】左边=−sinα⋅−csα−sinα−sinα−csα⋅sinα⋅sinα⋅csα=–tanα=右边，
∴等式成立．
【变式3-1】（2023秋·全国·高一随堂练习）设tanα+8π7=m.求证：sinα+15π7+3csα−13π7sin−α+20π7−csα+22π7=m+3m+1.
【解题思路】由题意从所求式子的左边出发，把tanα+8π7=m作为一个整体代入，再利用同角三角函数间基本关系进行化简即可证得右边.
【解答过程】证明：左边=sinπ+α+8π7+3csα+8π7−3πsin4π−α+8π7−cs2π+α+8π7 =−sinα+8π7−3csα+8π7−sinα+8π7−csα+8π7 =tanα+8π7+3tanα+8π7+1
把tanα+8π7=m代入，得原式=m+3m+1=右边，故原等式成立.
【变式3-2】（2022·高一课时练习）求证：2sin(θ−3π2)cs(θ+π2)−11−2sin2θ=tan(9π+θ)+1tan(π+θ)−1.
【解题思路】左边由诱导公式平方关系化简变形，右边用诱导公式，商数关系化简变形可证．
【解答过程】左边=−2csθ⋅sinθ−1sin2θ+cs2θ−2sin2θ=−(sinθ+csθ)2(csθ+sinθ)(csθ−sinθ)=sinθ+csθsinθ−csθ，
右边=tan(8π+π+θ)+1tan(π+θ)−1=tan(π+θ)+1tan(π+θ)−1=tanθ+1tanθ−1=sinθcsθ+1sinθcsθ−1=sinθ+csθsinθ−csθ，
所以等式成立.
【变式3-3】（2023·高一课时练习）已知A、B、C是△ABC的三个内角，求证；
（1）cs(2A+B+C)+csA=0；
（2）tanA+B4+tan3π+C4=0.
【解题思路】(1)根据2A+B+C=π+A，结合诱导公式即可证明；
(2)根据A+B4=π−C4=π−3π+C4，结合诱导公式即可证明.
【解答过程】(1)cs(2A+B+C)+csA =cs[(A+B+C)+A]+csA=cs(π+A)+csA
=−csA+csA =0.
(2)tanA+B4+tan3π+C4 =tanπ−C4+tan3π+C4=tanπ−3π+C4+ tan3π+C4
=−tan3π+C4+tan3π+C4=0.
【题型4 诱导公式的综合应用】
【例4】（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）已知角α终边上一点P−2,3，则cs π2+αsin π+αcs π−αsin 3π+α的值为（ ）
A．32B．−32C．23D．−23
【解题思路】由任意角三角函数的定义求出tanα，再由诱导公式化简代入即可得出答案.
【解答过程】因为角α终边上一点P−2,3，所以tanα=−32
csπ2+αsinπ+αcsπ−αsin3π+α=−sinα⋅−sinα−csα⋅−sinα=tanα=−32.
故选：B.
【变式4-1】（2023春·江西抚州·高一统考期末）设a=cs35π，b=sin−95π，c=tan−34π，则（ ）
A．a>b>cB．b>c>aC．c>b>aD．c>a>b
【解题思路】根据三角函数的性质和诱导公式，分别求得a<0,0
所以c>a>b.
故选：C.
【变式4-2】（2023秋·江西·高三校联考阶段练习）已知函数fx=ax−2+2（a>0且a≠1）的图像过定点P，且角α的始边与x轴的正半轴重合，终边过点P，则cs11π2−αsin9π2+αsin2−π−α等于（ ）
A．−23B．23C．32D．−32
【解题思路】先化简所要求的式子，又由于f2=a2−2+2=a0+2=1+2=3，所以fx=ax−2+2过定点P2,3，进一步结合题意可以求出与α有关的三角函数值，最终代入求值即可.
【解答过程】cs11π2−αsin9π2+αsin2−π−α=cs6π−α+π2sin4π+α+π2−sinα+π2=cs−α+π2sinα+π2sin2π+α
又因为cs−α+π2=csα+π2=−sinα，sinα+π2=csα，sin2π+α=sin2α，
故原式=−sinα⋅csαsin2α=−1tanα;又fx=ax−2+2过定点P2,3,所以tanα=32，代入原式得原式=−1tanα=−23.
故选：A.
【变式4-3】（2023·全国·高一专题练习）如图，在平面直角坐标系内，角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P135,45，若线段OPn−1绕点O逆时针旋转π4得OPn（n≥2，n∈N），则点P2023的纵坐标为（ ）
A．−45B．−35C．35D．45
【解题思路】根据三角函数的定义求出sinα，csα，设点P2023为角β的终边与单位圆的交点，依题意可得β=α+2022×π4，利用诱导公式求出sinβ的值，即可得解.
【解答过程】因为角α的终边与单位圆交于点P135,45，所以sinα=45，csα=35，
设点P2023为角β的终边与单位圆的交点，则β=α+2022×π4，
所以sinβ=sinα+2022×π4=sinα+1011π2=−csα=−35，
所以点P2023的纵坐标为−35.
故选：B.
【题型5 诱导公式在三角形中的应用】
【例5】（2023春·四川成都·高一校联考期中）在△ABC中，下列关系式正确的是（ ）
A．sinA+B2=sinC2B．csA+B2=csC2
C．tanA+B=tanCD．sinA+B=sinC
【解题思路】根据三角形内角和为π，结合诱导公式依次判断每个选项得到答案.
【解答过程】对选项A：sinA+B2=sinπ−C2=sinπ2−C2=csC2，错误；
对选项B：csA+B2=csπ−C2=csπ2−C2=sinC2，错误；
对选项C：tanA+B=tanπ−C=−tanC，错误；
对选项D：sinA+B=sinπ−C=sinC，正确；
故选：D.
【变式5-1】（2023春·山东德州·高一校考阶段练习）在△ABC中，已知sinA−π4=−55，则csA+π4=（ ）
A．55B．±55C．−55D．255
【解题思路】由A+π4=π2+A−π4结合诱导公式求解即可.
【解答过程】csA+π4=csπ2+A−π4=−sinA−π4=55.
故选：A.
【变式5-2】（2023春·河南周口·高一校考阶段练习）已知角A、B、C为△ABC的三个内角，若sinA+B−C2=sinA−B+C2，则△ABC一定是（ ）
A．等腰直角三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等腰或直角三角形
【解题思路】根据诱导公式以及内角和定理得出B=C，从而判断三角形的形状.
【解答过程】由sinA+B−C2=sinA−B+C2可得sinπ−2C2=sinπ−2B2，sinπ2−C=sinπ2−B，csC=csB，即B=C，故该三角形一定为等腰三角形.
故选：C.
【变式5-3】（2023·高一课时练习）如图，在Rt△ABC中，点M是斜边AB的中点，点N在边BC上，且MN⊥AB，MN= 3，CN=1，则sinA=（ ）
A．23B．33C．63D．73
【解题思路】设出BN=x，利用sinA=csB列出方程，求出x，进而求出答案.
【解答过程】因为MN⊥AB，点M是斜边AB的中点，
设BN=x，则BC=x+1，
由勾股定理得：BM=AM=x2−3，
因为在Rt△ABC中，∠C=90°，
所以sinA=BCAB=1+x2x2−3，
而csB=BMNB=x2−3x，因为sinA=csB，
所以1+x2x2−3=x2−3x，解得：x=3或−2（舍去），
所以sinA=426=63
故选：C.公式
一
二
三
四
五
六
七
八
角
正弦
余弦
正切
余切
口诀
函数名不变，符号看象限.
函数名改变，符号看象限.
诱导公式
作用
公式一
将任意角转化为0～2π的角求值
公式二
将0～2π的角转化为0~π的角求值
公式三
将负角转化为正角求值
公式四
将π2～π的角转化为0～π2的角求值
公式五
实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化
公式六
实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化
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