专题2.4 有理数新定义问题大题专练（培优强化30题）-2023-2024学年七年级数学上学期专题复习（苏科版）

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一．解答题（共30小题）
1．（2022春•锡山区期中）如果ac＝b，那么我们规定（a，b）＝c，例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定，填空：
（3，9）＝ ，（4，1）＝ ，（2，）＝ ；
（2）若记（3，4）＝a，（3，7）＝b，（3，28）＝c，求证：a+b＝c．
2．（2022春•梁溪区校级期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）；如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定，填空：
①（3，81）＝ ，（﹣2，﹣32）＝ ；
②若（x，）＝﹣3，则x＝ ．
（2）若（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，探究a，b，c之间的数量关系并说明理由．
3．（2022春•邗江区校级期中）阅读材料：如果10b＝n，那么b为n的“劳格数”，记为b＝d（n）．由定义可知：10b＝n与b＝d（n）表示b、n两个量之间的同一关系．如：102＝100，则d（100）＝2．
理解运用：
（1）根据“劳格数”的定义，填空：d（10﹣3）＝ ，d（1）＝ ；
（2）“劳格数”有如下运算性质：
若m、n为正数，则d（mn）＝d（m）+d（n），d（）＝d（m）﹣d（n）；根据运算性质，填空：＝ ；（a为正数）
（3）若d（2）＝0.3010，计算：d（4）、d（5）；
（4）若d（2）＝2m+n，d（4）＝3m+2n+p，d（8）＝6m+2n+p，请证明m＝n＝p．
4．（2022春•沭阳县校级月考）规定两数a、b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．
例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定，填空：（5，125）＝ ，（﹣2，4）＝ ，（﹣2，﹣8）＝ ；
（2）记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c，试说明：a+b＝c．
5．（2022春•邗江区校级月考）概念学习规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把a÷a÷a……÷a（n个a，a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．
（1）直接写出计算结果：2③＝ ，＝ ；
（2）将下列运算结果直接写成幂的形式：5⑥＝ ；＝ ；
（3）想一想：将一个非零有理数a的圈n（n≥3）次方写成幂的形式为 ；
（4）算一算：42×④．
6．（2022春•泰州月考）如果ac＝b，那么我们规定（a，b）＝c，例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定，填空：（3，27）＝ ，（4，4）＝ ，（2，16）＝ ；
（2）记（5，6）＝a，（5，7）＝b，（5，42）＝c．求证：a+b＝c．
7．（2020秋•海安市月考）已知M（1）＝﹣2，M（2）＝（﹣2）×（﹣2），M（3）＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…，（n为正整数）．
（1）求2M（2018）+M（2019）的值．
（2）猜想2M（n）与M（n+1）的关系并说明理由．
8．（2021秋•灌云县月考）如果xn＝y，那么我们记为：（x，y）＝n．例如32＝9，则（3，9）＝2．
（1）根据上述规定，填空：（2，8）＝ ，（2，）＝ ；
（2）若（4，a）＝2，（b，8）＝3，求（b，a）的值．
9．（2021秋•六合区期中）类比有理数的乘方，我们把求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．如2÷2÷2，记作2③，读作“2的圈3次方；（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”．
（1）直接写出计算结果：2③＝ ，（﹣）④＝ ；
（2）除方也可以转化为幂的形式，如2④＝2÷2÷2÷2＝2×××＝（）2．试将下列运算结果直接写成幂的形式（﹣3）④＝ ；（）⑩＝ ；aⓝ＝ ；
（3）计算：22×（﹣）④÷（﹣2）③﹣（﹣3）②．
10．（2022春•贾汪区校级月考）已知10×102＝1000＝103，
102×102＝10000＝104，
102×103＝100000＝105．
（1）猜想106×104＝ ，10m×10n＝ ．（m，n均为正整数）
（2）运用上述猜想计算下列式子：
①（1.5×104）×（1.2×105）；
②（﹣6.4×103）×（2×106）．
11．（2020秋•灌云县月考）请认真阅读下面材料
如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，即有指数式ab＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：
对数式：lgaN＝b
例如：
（1）因为指数式22＝4，所以以2为底，4的对数是2，对数式记作：lg24＝2
（2）因为指数式42＝16，所以以4为底，16的对数是2，对数式记作：lg416＝2
1．请根据上面阅读材料将下列指数式改为对数式：
（1）23＝8（2）32＝9
2．将下列对数式改为指数式
（1）lg21＝0（2）lg327＝3
3．计算：lg216
12．（2022•新华区校级一模）（1）将下列计算的结果直接写成幂的形式：
2÷2÷2＝（）1；2÷2÷2÷2＝ ；＝ ；
（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）＝ ；
（2）一般地，把n个a（a为有理数且a≠0，n为正整数）相除的结果记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．
计算：aⓝ＝＝ （其中a≠0，n为正整数）．
请你尝试用文字概括归纳aⓝ的运算结果：
一个非零有理数的圈n次方等于 ；
（3）计算：24÷（﹣）⑤+（﹣27）×3④．
13．（2022春•遂川县期末）观察下列运算过程：
22＝2×2＝4，；
，＝；…
（1）根据以上运算过程和结果，我们发现：22＝ ；（）2＝ ；
（2）仿照（1）中的规律，判断（）3与（）﹣3的大小关系；
（3）求（﹣）﹣4×（）4÷（）﹣3的值．
14．（2022春•攸县期末）如果10b＝n，那么b为n的劳格数，记为b＝d（n），由定义可知：10b＝n与b＝d（n）所表示的b，n两个量之间具有同一关系．
（1）根据劳格数的定义，计算d（10）和d（10﹣2）的值；
（2）若m，n为正数，则d（m•n）＝d（m）+d（n），d（）＝d（m）﹣d（n）．
根据运算性质，填空：＝ （a为正数）；
若d（2）＝0.3010，则d（4）＝ ，d（5）＝ ，d（0.08）＝ ．
（3）若表中与数x对应的劳格数d（x）有且仅有两个是错误的，请找出错误的劳格数，并将其改正过来．
15．（2022春•开州区期末）一个四位正整数的千位、百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c，d，如果a≤b≤c≤d，那么我们把这个四位正整数叫做顺次数，例如四位正整数1369：因为1＜3＜6＜9，所以1369叫做顺次数．
（1）四位正整数中，最大的“顺次数”是 ，最小的“顺次数”是 ；
（2）已知一个四位正整数的百位、个位上的数字分别是2、7，且这个四位正整数是“顺次数”，同时，这个四位正整数能被7整除，求这个四位正整数．
16．（2022春•阜宁县校级月考）规定：M（1）＝﹣2，M（2）＝（﹣2）×（﹣2），M（3）＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…M（n）＝．
（1）计算：M（5）+M（6）；
（2）求2×M（2021）+M（2022）的值；
（3）试说明：2×M（n）与M（n+1）互为相反数．
17．（2021秋•青岛期末）我们知道，正整数按照能否被2整除可以分成两类：正奇数和正偶数．受此启发，按照一个正整数被3除的余数把正整数分成三类：如果一个正整数被3除余数为1，则这个正整数属于A类，例如1，4，7等；如果一个正整数被3除余数为2，则这个正整数属于B类，例如2，5，8等；如果一个正整数能被3整除，则这个正整数属于C类，例如3，6，9等．
（1）2022属于 类（填A，B或C）；
（2）①从B类数中任取两个数，则它们的和属于 类（填A，B或C）；
②从A类数中任意取出2021个数，从B类数中任意取出2022个数，从C类数中任意取出k个数（k为正整数），把它们都加起来，则最后的结果属于 类（填A，B或C）；
（3）从A类数中任意取出m个数，从B类数中任意取出n个数（m，n为正整数），把它们都加起来，若最后的结果属于A类，则下列关于m，n的叙述正确的是 （填序号）．
①m属于A类；
②m+2n属于A类；
③m，n不属于同一类；
④|m﹣n|属于A类．
18．（2022•滦州市一模）观察下列两个等式：2﹣＝2×+1，5﹣＝5×+1，给出定义如下：我们称使等式a﹣b＝ab+1成立的一对有理数“a，b”为“共生有理数对”，记为（a，b），如：数对（2，），（5，）都是“共生有理数对”．
（1）通过计算判断数对（1，2）是不是“共生有理数对”；
（2）若（a，3）是“共生有理数对”，求a的值；
（3）若（m，n）是“共生有理数对”，则（﹣n，﹣m） “共生有理数对”（填“是”或“不是”）；
（4）如果（m，n）是“共生有理数对”（其中n≠1），直接用含n的式子表示m．
19．（2020秋•管城区期中）我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数a，我们把小于a的正的因数叫做a的真因数．如10的正因数有1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因数．把一个自然数a的所有真因数的和除以a，所得的商叫做a的“完美指标”．如10的“完美指标”是．一个自然数的“完美指标”越接近1，我们就说这个数越“完美”．如8的“完美指标”是，10的“完美指标”是，因为比更接近1，所以我们说8比10更完美．
（1）试计算6的“完美指标”．
（2）试计算7和9的“完美指标”．
（3）试找出15到20的自然数中，最“完美”的数．
20．（2018秋•渑池县期中）阅读理解并填空：
观察下列两个等式：
2﹣＝2×+1，5﹣＝5×+1．给出如下定义：
我们称能使等式a﹣b＝ab+1成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为（a，b），如数对（2，），（5，）都是“共生有理数对”．
（1）数对（﹣2，1），（3，）中是“共生有理数对”的是 ；
（2）若（m，n）是“共生有理数对”，则（﹣n，﹣m） “共生有理数对”（填“是”或“不是”）；
（3）若（a，3）是“共生有理数对”，则a的值为 ．
（4）请你再写出一对“共生有理数对” （注意不能与题目中已有的“共生有理数对”重复）．
21．（2019春•福鼎市期中）阅读理解：
在上学期的学习中，我们知道若an＝m，其中a是底数，n是指数，m称为幂，知道a和n可以求m．我们不妨思考：如果知道a，m，能否求n呢？对于an＝m，规定[a，m]＝n，例如：62＝36，所以[6，36]＝2．
（1）根据上述规定，填空：[3， ]＝4，[2，32]＝ ，
[﹣4，1]＝ ，[5，0.2]＝ ；
（2）记[5，x]＝4m，[5，y﹣3]＝4m+2，求y与x之间的关系式．
22．（2016春•丹阳市月考）阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22013的值．
解：设S＝1+2+22+23+24+…+22012+22013，将等式两边同时乘2得：
2S＝2+22+23+24+25+…+22013+22014
将下式减去上式得2S﹣S＝22014﹣1
即S＝22014﹣1
即1+2+22+23+24+…+22013＝22014﹣1
仿照此法计算：1+2+22+23+…+2100．
23．（2021秋•北京期中）对于有理数a，b，n，d，若|a﹣n|+|b﹣n|＝d，则称a和b关于n的“相对关系值”为d，例如，|2﹣1|+|3﹣1|＝3，则2和3关于1的“相对关系值”为3．
（1）﹣3和5关于1的“相对关系值”为 ；
（2）若a和2关于1的“相对关系值”为4，求a的值．
24．（2022春•洪泽区期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．
例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定，填空：（3，9）＝ ，（4，1）＝ ，（2，）＝ ．
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n，4n）＝（3，4），小明给出了如下的证明：
设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，所以3x＝4，即（3，4）＝x，所以（3n，4n）＝（3，4）．
请你用这种方法证明下面这个等式：（3，4）+（3，5）＝（3，20）．
25．（2019秋•崇川区校级期中）如果2b＝n，那么称b为n的布谷数，记为b＝g（n），如g（8）＝g（23）＝3．
（1）根据布谷数的定义填空：g（2）＝ ，g（32）＝ ．
（2）布谷数有如下运算性质：
若m，n为正数，则g（mn）＝g（m）+g（n），g（）＝g（m）﹣g（n）．
根据运算性质填空：＝ ，（a为正数）．
若g（7）＝2.807，则g（14）＝ ，g（）＝ ．
（3）下表中与数x对应的布谷数g（x）有且仅有两个是错误的，请指出错误的布谷数，要求说明你这样找的理由，并求出正确的答案（用含a，b的代数式表示）
26．（2021秋•高邮市期中）小聪是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识，脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如5÷5÷5，（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）等，类比有理数的乘方．小聪把5÷5÷5记作f（3，5），（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）记作f（4，﹣2）．
（1）直接写出计算结果，f（4，）＝ ，f（5，3）＝ ；
（2）关于“有理数的除方”下列说法正确的是 ．（填序号）
①f（6，3）＝f（3，6）；
②f（2，a）＝1（a≠0）；
③对于任何正整数n，都有f（n，﹣1）＝1；
④对于任何正整数n，都有f（2n，a）＜0（a＜0）．
（3）小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式f（n，a）（n为正整数，a≠0，n≥2），要求写出推导过程将结果写成幂的形式；（结果用含a，n的式子表示）
（4）请利用（3）问的推导公式计算：f（5，3）×f（4，）×f（5，﹣2）×f（6，）．
27．（2022春•邕宁区期末）材料：
一般地，n个相同的因数a相乘：．如23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为lg28（即lg28＝3）．
一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为lgab（即lgab＝n）．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为lg381（即lg381＝4）．
问题：
（1）计算以下各对数的值：lg24＝ ，lg216＝ ，lg264＝ ．
（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式为 lg24、lg216、lg264之间又满足怎样的关系式：
（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？lgaM+lgaN＝ （a＞且a≠1，M＞0，N＞0）．
28．（2022•东兴区校级二模）【概念学习】
现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”，一般地，把（a≠0）写作aⓝ，读作“a的圈n次方”．
【初步探究】
（1）直接写出计算结果：2③＝ ，（﹣）④＝ ；
（2）下列关于除方说法中，错误的是： ．
A：任何非零数的圈2次方都等于1
B：对于任何正整数n，1ⓝ＝1
C：3④＝4③
D：负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（3）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式：（﹣3）⑤＝ ，（）⑥＝ ．
（4）想一想：请把有理数a（a≠0）的圈n（n≥3）次方写成幂的形式为aⓝ＝ ．
（5）算一算：＝ ．
29．（2021秋•汉寿县期末）观察下列两个等式：，，给出定义如下：我们称使等式a﹣b＝ab+1成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为（a，b）．如数对，都是“共生有理数对”．
（1）判断数对（﹣2，1），中， 是“共生有理数对”；
（2）若（a，3）是“共生有理数对”，求a的值；
（3）若（m，n）是“共生有理数对”，则（﹣n，﹣m） （填写“是”或“不是”）“共生有理数对”，说明你的理由．
30．（2022春•南岸区校级期中）对于一个三位正整数n，如果n满足：它的百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于6，那么称这个数n为“文德数”，例如：n1＝936，因为9+3﹣6＝6，所以936是“文德数”；n2＝602，因为6+0﹣2＝4≠6，所以602不是“文德数”．
（1）判断666，785是否为“文德数”？并说明理由；
（2）若将一个“文德数”m的个位数的两倍放到百位，原来的百位数变成十位数，原来的十位数变成个位数，得到一个新的三位数s（例如：若m＝543，则s＝654），若s也是一个“文德数”，求满足条件的所有m的值．
x
1.5
3
5
6
8
9
12
27
d（x）
3a﹣b+c
2a﹣b
a+c
1+a﹣b﹣c
3﹣3a﹣3c
4a﹣2b
3﹣b﹣2c
6a﹣3b
x
3
6
9
27
g（x）
1﹣4a+2b
1﹣2a+b
2a﹣b
3a﹣2b
4a﹣2b
6a﹣3b