1专题08 新定义问题-备战2023-2024学年苏科版七年级数学上学期期末考试真题汇编

这是一份1专题08 新定义问题-备战2023-2024学年苏科版七年级数学上学期期末考试真题汇编，共19页。试卷主要包含了“新定义型专题”关键要把握两点，7B，用“*”定义一种运算，我们定义，阅读下列材料等内容，欢迎下载使用。
姓名：_________ 班级：_________ 学号：_________
关键知识点：
1．所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型．“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点．在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力。
2．“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．
一、单选题
1．已知：[x]表示不大于x的最大整数．例：[3．6]＝3，[﹣0．9]＝﹣1，现定义：{x}＝x﹣[x]，例：{1．6}＝1．6﹣[1．6]＝0．6，计算{4．9}﹣{﹣1．8}的结果为（ ）
A．6．7B．3．1C．1．1D．0．7
2．对一组数的一次操作变换记为，定义变换法则如下：；且规定，为大于1的整数．如：，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．用“*”定义一种运算：对任意的有理数x和y：x*y＝mx＋my＋1（m为常数），如：2*3＝2m＋3m＋1＝5m＋1，若1*2＝10，则（－1）*（－3）的值为（ ）
A．－7B．－5C．－13D．－11
4．我们定义：如果两个角的差的绝对值等90°，就可以称这两个角互为垂角，例如：∠1＝120°，∠2＝30°，|∠1﹣∠2|＝90°，则∠1和∠2互为垂角（本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角），如图，OC⊥AB于点O，OE⊥OD，图中所有互为垂角的角有（ ）
A．2对B．3对C．4对D．6对
二、填空题
5．定义运算a*b＝，若（m－1） * （m－3）＝1，则m的值为_________．
6．我们定义：，则______；______．
7．在数的学习中，我们会对其中一些具有某种特质的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等，现在我们来研究一种特殊的数——巧数．定义：若一个两位数恰好等于它的各位数字之和的4倍，则这个两位数称为巧数．若一个巧数的个位数字比十位数字大2，则这个巧数是______．
8．我们将圆形钟面的时针和分针看作是两条从圆心发出的射线，当时针和分针夹角180度时形成一条直线，这条直线刚好平分钟面，我们将这样的时刻称为“平衡时刻”，如图，6点整就是一个平衡时刻，请问从0时到24时共有_________个平衡时刻．
三、解答题
9．阅读下列材料：一般地，我们把按一定顺序排列的三个数x1，x2，x3，叫做数列x1，x2，x3，计算：|x1|，，，我们把计算结果的最小值称为数列x1，x2，x3的价值．例如，对于数列2，﹣1，3，因为|2|＝2，＝，＝．所以数列2，﹣1，3的价值为，改变这三个数的顺序按照上述方法可计算出其它数列的价值．比如，数列﹣1，2，3的价值为；数列3，﹣1，2的价值为1，通过计算，发现：对于“2，﹣1，3”这三个数，按照不同的排列顺序可得到不同的数列，这些数列的价值的最小值为．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）求数列﹣2，7，1的价值；
（2）由“﹣2，7，1”这三个数按照不同的顺序排列共有多少种不同的数列，写出这些数列，并求出它们的价值的最小值和最大值；
（3）将2，﹣7，a（a＞1）这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的价值的最小值为1，请直接写出a的值．
10．把几个数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：，我们称之为集合，其中每一个数称为该集合的元素，集合的元素互不相同．如果一个所有元素均为有理数的集合满足：当有理数x是集合的一个元素时，2017－x也必是这个集合的元素，这样的集合我们又称为黄金集合．例如，就是一个黄金集合．
（1）集合______黄金集合，集合______黄金集合；（填“是”或“不是”）
（2）若一个黄金集合中所有元素之和为整数M，且16133＜M＜16137，则该黄金集合中共有多少个元素？请说明你的理由．
11．如图，用若干个点摆成一组等边三角形点列，其中第个三角形的每一边上都有n个点，该图形中点的总数记为，我们把称为“三角形数”，并规定当时，“三角形数”．
（1）“三角形数”______________，______________；
（2）①某数学兴趣小组发现相邻两个“三角形数”的和有一定的规律：如．请猜想：______________；
②请用所学的知识说明①中猜想的正确性．
12．按照一定顺序排列的一列数称为数列，其中称为第一项，称为第二项，称为第三项，依此类推，称为第n项．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．如：数列1，3，5，7，…是等差数列，其中，公差．根据以上材料，解答下列问题：
（1）等差数列5，10，15．…的公差 ， ．
（2）如果一个数列是等差数列，且公差为d，则：，所以．由此可得： ；
（3）-405是不是等差数列的项？若是，是第几项？若不是，为什么？
13．把（其中、是常数，、是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”当时，“雅系二元一次方程”中的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当时，“雅系二元一次方程”化为，其“完美值”为．
（1）求“雅系二元一次方程”的“完美值”．
（2）是“雅系二元一次方程”的“完美值”，求的值．
（3）是否存在使“雅系二元一次方程”与（为常数）的“完美值”相同，若存在，求出的值及此时的“完美值”，若不存在，请说明理由．
14．如图1，点C在线段AB上，点C将线段AB分成两条不相等的线段AC，BC，如果较长线段BC是较短线段AC的π倍，即BC=πAC，则称点C是线段AB的一个圆周率点，此时，线段AC，BC称为互为圆周率伴侣线段．由此可知，一条线段AB的圆周率点有两个，一个在线段AB中点的左侧（如图中点C），另一个在线段AB中点的右侧．
（1）如图1，若AC=5，则AB=______；若点D是线段AB的不同于点C的圆周率点，则AC______BD（填“=”或“≠”）．
（2）如果线段AB=3+3π，点M是线段AB的圆周率点，则AM=______．
（3）如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动的滚动一周，该点到达点C的位置．若点M、N是线段OC的两个不同的圆周率点，求线段MN的长．
（4）如图3，将直径为1个单位长度的圆片上的某点与数轴上表示2的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动的滚动一周，该点到达点E的位置．若点D在射线OE上，且线段ED与以O、E、D中某两个点为端点的线段互为圆周率伴侣线段，请你直接写出点D所表示的数．
15．【阅读材料】
我们知道，“角”是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形．射线在单位时间内以固定的角度绕其端点沿某一方向旋转，经过不同的旋转时间都会形成不同的角．
在行程问题中，我们知道：运动路程＝运动速度×运动时间；
类似的，在旋转问题中，我们规定：旋转角度＝旋转角速度×旋转时间．
例如（如图），射线OM从射线OA出发，以每秒10°的旋转速度（称为“旋转角速度”）绕点逆时针旋转．旋转1秒得旋转角度∠MOA＝10°×1＝10°，旋转2秒得旋转角度∠MOA＝10°×2＝20°，……，旋转t秒得旋转角度∠MOA＝10°×t＝（10t）°．
【问题解决】
如图1，射线OA上有两点M、N．将射线OM以每秒10°的旋转角速度绕点O逆时针旋转（OM最多旋转9秒）；射线OM旋转3秒后，射线ON开始以每秒20°的旋转角速度绕点O逆时针旋转，如图2所示．设射线ON旋转时间为t秒．
（1）当t＝2时，∠MON＝_____°；
（2）当∠MON＝20°时，求t的值；
（3）如图3，OM、ON总是在某个角∠AOB的内部旋转，且当ON为∠AOB的三等分线时，OM恰好平分∠AOB，求∠AOB的度数．
16．对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以m（m≠0），再把所得数对应的点沿数轴向右平移n个单位长度，得到点P’，我们称P’为点P的“倍移点”．例如点P表示的数是1，当m=2，n=3时，那么倍移点P’表示的数是1×2+3=5．数轴上，点A，B，C，D的“倍移点”分别为A’， B’， C’，DC．
（1）当m=1/2，n=1时，若点A表示的数为－2，则点A’表示的数为____________；若点B’表示的数是3，则点B表示的数为____________；
（2）当n=4时，若点D表示的数为3，点DC表示的数为－5，则m的值为_____________；
（3）若线段A’ B’=5AB，请写出你能由此得到的结论，并说明理由。
参考答案
一、单选题
1．D
【分析】先根据已知求出{4．9}和{﹣1．8}的值，然后再进行计算即可．
【详解】解：由题意得：
{4．9}
＝4．9﹣[4．9]
＝4．9﹣4
＝0．9，
{﹣1．8}
＝﹣1．8﹣[﹣1．8]
＝﹣1．8﹣（﹣2）
＝0．2，
∴{4．9}﹣{﹣1．8}
＝0．9﹣0．2
＝0．7，
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较，有理数的减法，准确理解题意是解题的关键．
2．C
【分析】根据题目提供的变化规律，找到点的坐标的变化规律并按此规律求得的值即可．
【详解】解：P1（1，-1）=（0，2），
P2（1，-1）=P1（P1）=P1（0，2）=（2，-2），
P3（1，-1）=P1（P2）=P1（2，-2）=（0，4）=（0,22），
P4（1，-1）=P1（P3）=P1（0，4）=（4，-4），
P5（1，-1）=P1（P4）=P1（4，-4）=（0，8）=（0,23），
P6（1，-1）=P1（P5）=P1（0，8）=（8，-8），
…
当n为奇数时，Pn（1，-1）=（0，），
∴=（0, ）=（0，21011），
应该等于．
故选C．
【点睛】本题考查了数字的变化类问题，解题的关键是认真审题并从中找到正确的规律，并应用此规律解题．
3．D
【分析】根据新定义的运算，得出关于m的一元一次方程求解确定m=3，然后再代入新定义的运算求解即可．
【详解】解：∵x*y＝mx＋my＋1，1*2＝10，
∴m＋2m＋1=10，
解得m=3，
∴x*y＝3x＋3y＋1，
∴（－1）*（－3）=-3-9+1=-11，
故选：D．
【点睛】题目主要考查解一元一次方程，理解题目中新定义的运算方法是解题关键．
4．C
【分析】根据互为垂角的定义即可求解，以及OC⊥AB于点O，OE⊥OD，即可找到图中互为垂角的角．
【详解】解：∵OC⊥AB，OE⊥OD，
|∠EOB-∠DOB|=90°，|∠EOB-∠EOC|=90°，|∠AOD-∠COD|=90°，
|∠AOD-∠AOE|=90°；
所以互为垂角的角有4对：∠EOB与∠DOB，∠EOB与∠EOC，∠AOD与∠COD，∠AOD与∠AOE；
故选：C．
【点睛】本题考查角的和差，垂线的定义．能理解题中所给互为垂角的定义是解题关键．
二、填空题
5．1或4
【分析】判断m﹣1与m﹣3的大小，利用题中的新定义化简，计算即可求出m的值．
【详解】解：根据题中的新定义得：
∵m﹣3＜m﹣1，
∴已知等式化简得：（m﹣3）m﹣1＝1，
当m﹣3≠0，即m≠3时，m﹣1＝0，
解得：m＝1；
当m﹣3＝1，即m＝4时，满足题意；
当m﹣3＝﹣1，即m＝2时，不符合题意，
综上所示，m＝1或4．
故答案为：1或4．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
6．
【分析】根据定义把相应的值代入运算，再分析其中的规律，从而可以求解．
【详解】解：，
，，，，，，
，，
，
．
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子得出．
7．24
【分析】根据一个两位数恰等于它的各位数字之和的4倍，则这个两位数称为巧数，可以列出相应的方程，从而可以求得这个巧数．
【详解】解：设这个巧数的十位数字为x，则个位数字为x+2，
由题意可得，10x+（x+2）=4[x+（x+2）]，
解得x=2，
∴x+2=4，
∴这个巧数为24，
故答案为：24．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，求出相应的数据．
8．24
【分析】由题意易得每小时会出现一次时针与分针的夹角为180°的时刻，由此问题可求解．
【详解】解：∵每小时会出现一次时针与分针的夹角为180°的时刻，
∴24×1=24（次），
即从0时到24时共有24个平衡时刻；
故答案为24．
【点睛】本题主要考查钟面上的角度问题，熟练掌握钟面上的角度问题是解题的关键．
三、解答题
9．（1）2；（2）最小值是，最大值是2；（3）2或9
【分析】（1）根据新定义，即可求解；
（2）根据题意可得由“﹣2，7，1”这三个数按照不同的顺序排列的数列有6种，然后分别求出每个数列的价值，即可求解；
（3）根据题意可得或或，且a＞1，可得a＝5或9或2或8，然后根据这些数列的价值的最小值为1，即可求解．
（1）
解：∵|﹣2|＝2，，＝2，
∴数列﹣2，7，1的价值为2；
（2）
解：由“﹣2，7，1”这三个数按照不同的顺序排列的数列有6种，具体如下：
数列﹣2，7，1；
数列﹣2，1，7；
数列7，﹣2，1；
数列7，1，﹣2；
数列1，7，﹣2；
数列1，﹣2，7；
由（1）知数列﹣2，7，1的价值是2；
∵|﹣2|＝2，，，
∴数列﹣2，1，7的价值是；
同理可求：
数列7，﹣2，1的价值是2；
数列7，1，﹣2的价值是2；
数列1，7，﹣2的价值是1；
数列1，﹣2，7的价值是；
综上可知，这些数列的价值的最小值是，最大值是2；
（3）
解：若这些数列的价值的最小值为1，
则或或，且a＞1，
解得：a＝5或9或2或8，
当a＝5时，，
∴a＝5不符合，舍去；
当a＝8时，则，
∴a＝8，不符合，舍去；
综上，a的值为2或9．
【点睛】本题主要考查了绝对值的应用，理解新定义，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
10．（1）不是，是；（2）该集合共有16个元素．理由见解析
【分析】（1）根据定义，有理数2017是集合的元素时，2017－2017＝0也必是这个集合的元素，而0不在集合内，当2017－2018＝−1时可知，-1在集合内，则问题可解；
（2）根据题意可知黄金集合都是成对出现的，并且每2个对应元素的和为2017，然后通过估算即可解答本题．
（1）
解：根据题意可得，2017−2017=0，而集合{2017}中没有元素0，故{2017}不是黄金集合；
∵2017－2018＝−1，
∴集合是黄金集合．
故答案为：不是，是；
（2）
解：该集合共有16个元素．
理由：∵在黄金集合中，如果一个元素为a，则另一个元素为2017−a，
∴黄金集合中的元素一定是偶数个．
∵黄金集合中的每2个对应元素的和为：a＋2017－a＝2017，2017×8＝16136，2017×9＝18153，
又∵一个黄金集合所有元素之和为整数M，且16133＜M＜16137，
∴这个黄金集合中的元素个数为：8×2=16（个） ．
【点睛】本题在新定义的背景下，考查了有理数、整式的加减以及探究性问题，关键是明确什么是黄金集合，并根据定义解决问题．
11．（1）15，；（2）①；②见解析
【分析】（1）根据题目即可写出、；
（2）①根据规律即可猜想出结论；
②利用（1）中的表达式即可证明
【详解】（1）解：S1=1，
S2=1+2=3，
S3=1+2+3=6，
S4=1+2+3+4=10，
S5=1+2+3+4+5=15，
……
Sn=1+2+3+4+5+…+n=，
∴，；
故答案为：15，；
（2）解：①；
②∵
，
，
，
∴．
【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律．
12．（1）
（2）；
（3）-405不是不等差数列的项，理由见解析
【分析】（1）由等差数列定义可得等差数列的公差和的值；
（2）一个数列是等差数列，且公差为d，根据等差数列公式即可得结论（3）根据题意，可得，将代入求得n的值即可判断．
【详解】（1）解：由等差数列定义可知：
等差数列，
，
，
；
故答案为：
（2）如果一个数列是等差数列，且公差为d，
则：，
所以，
由此可得：；
故答案为：；
（3）根据题意，可知，那么就有，
若是等差数列的项，
则，
解得：，不是整数，
不是不等差数列的项．
【点睛】本题考查了规律型—数字的变化类，一元一次方程，解题的关键是理解等差数列的定义并运用．
13．（1）；（2）；（3）存在，，
【分析】（1）根据题意可得，解方程即可求得；
（2）根据题意可得，再把代入，解方程即可求得；
（3）根据题意可得，，即可分别解得，，可得，解方程即可求得n的值，据此即可解答．
【详解】（1）解：当时，
可化为
解得，；
（2）解：当时，
可化为，
把代入，解得；
（3）解：存在；
当时，
可化为，
解得，
当时，
可化为，
解得．
∵与（为常数）的“完美值”相同，
，
解得，
将代入得．
【点睛】本题考查了新定义运算，一元一次方程的解法，理解题意，得到相关方程是解决本题的关键．
14．（1），＝
（2）3或
（3）
（4）D点所表示的数是，，，
【分析】（1）根据线段之间的关系代入解答，再根据线段的长短比较即可；
（2）根据圆周率点的定义即可求解；
（3）由题意可知，C点表示的数是π＋1，设M点离O点近，且OM＝x，根据长度的等量关系列出方程求得x，进一步得到线段MN的长度；
（4）根据圆周率伴侣线段的定义可求D点所表示的数．
（1）
解：∵，，
∴，
∵点D、C都是线段AB的圆周率点且不重合，
∴，，
∴设，，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，＝；
（2）
解：∵线段，点M是线段AB的圆周率点，
∴或，
故答案为：3或；
（3）
解：由题意可知，C点表示的数是，M、N均为线段OC的圆周率点，不妨设M点离O点近，且，，解得，
∴．
（4）
解：设点D表示的数为x，
①如图1所示：
若，则，解得；
②如图2实施方案：
若，则，解得；
③如图3所示：
若，则，解得；
④如图4所示，
若，则，解得；
综上，D点所表示的数是，，，．
【点睛】本题主要考查了数轴和一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
15．（1）10；（2）1或5；（3）90°或180°
【分析】（1）求出当t＝2时，∠MOA的度数，∠NOA的度数，作差即可求出∠MON的度数；
（2）当OM与ON重合前，得到10（t+3）-20=20t；当OM与ON重合后，得到10（t+3）-20=20t，求解即可；
（3）①如图，当OM与ON重合前，设∠AON=x，则∠AOB=3x，∠AOM=1．5x，由∠AOM=1．5∠AON，列得，求出t得到答案；②如图，当OM与ON重合后，设∠BON=a，则∠AOB=3a，∠AOM=1．5a，∠AON=2a，由此得到∠AOM=∠AON，列方程解得t的值，求出，即可求出∠AOB的度数．
（1）
解：当t＝2时，∠MOA＝10°×（2+3）＝50°，∠NOA＝20°×2＝40°，
∴∠MON＝∠MOA-∠AON＝10°，
故答案为：10；
（2）
当OM与ON重合前，10（t+3）-20=20t，解得t=1；
当OM与ON重合后，10（t+3）-20=20t，解得t=5，
故t的值为1或5；
（3）
解：①如图，当OM与ON重合前，设∠AON=x，则∠AOB=3x，∠AOM=1．5x，
∴∠AOM=1．5∠AON，
∴，
解得t=1．5，
∴，
∴；
②如图，当OM与ON重合后，设∠BON=a，则∠AOB=3a，∠AOM=1．5a，∠AON=2a，
∴∠AOM=∠AON，
∴，
解得t=6，
∴=2a，
∴，
∴∠AOB=3a=180°；
∴∠AOB的度数为90°或180°．
【点睛】此题考查几何图形中角度的旋转，一元一次方程的应用，由题意画出图形，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
16．（1）0；4；（2）-3；（3）m=±5，见解析
【分析】（1）由-2×+1=0，即可得出对应点A'表示的数为0，设点B表示的数为x，x×+1=3，解得x=4；
（2）由题意得3m+4=-5，解得m=-3；
（3）设点A表示的数为a，点B表示的数为b，则点A′表示的数为am+n，点B′表示的数为bm+n，则|bm+n-am-n|=5|b-a|，解得m=±5．
【详解】解：（1）∵点A表示的数为-2，
∴-2×+1=0，
∴它的对应点A'表示的数为0，
设点B表示的数为x，
∵点B'表示的数是3，
∴x×+1=3，
解得：x=4，
故答案为：0，4；
（2）由题意得：3m+4=-5，解得：m=-3，
故答案为：-3；
（3）设点A表示的数为a，点B表示的数为b，
则点A′表示的数为am+n，点B′表示的数为bm+n，
∴|bm+n-am-n|=5|b-a|，
∴|m（b-a）|=5|b-a|，解得：m=±5，
∴若线段A'B'=5AB，m=±5．
【点睛】本题考查了新概念“倍移”、数轴、两点间的距离、绝对值等知识；熟练掌握数轴上两点间的距离是解题的关键。