专题2.4 有理数新定义问题大题专练（培优强化30题）-2023-2024学年七年级数学上学期高效复习秘籍（苏科版）

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1．（2022春•锡山区期中）如果ac＝b，那么我们规定（a，b）＝c，例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定，填空：
（3，9）＝ 2 ，（4，1）＝ 0 ，（2，）＝ ﹣3 ；
（2）若记（3，4）＝a，（3，7）＝b，（3，28）＝c，求证：a+b＝c．
【分析】（1）根据有理数的乘方和新定义即可得出答案；
（2）由题意得：3a＝4，3b＝7，3c＝28，根据4×7＝28，得到3a×3b＝3c，根据同底数幂的乘法法则得到3a+b＝3c，从而得出结论．
【解答】解：（1）∵32＝9，40＝1，2﹣3＝，
故答案为：2；0；﹣3；
（2）证明：由题意得：3a＝4，3b＝7，3c＝28，
因为4×7＝28，
所以3a×3b＝3c，
所以3a+b＝3c，
所以a+b＝c．
2．（2022春•梁溪区校级期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）；如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定，填空：
①（3，81）＝ 4 ，（﹣2，﹣32）＝ 5 ；
②若（x，）＝﹣3，则x＝ 2 ．
（2）若（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，探究a，b，c之间的数量关系并说明理由．
【分析】（1）①根据有理数的乘方及新定义计算；
②根据新定义和负整数指数幂计算；
（2）根据题意得：4a＝5，4b＝6，4c＝30，根据5×6＝30列出等式即可得出答案．
【解答】解：（1）①∵34＝81，
∴（3，81）＝4，
∵（﹣2）5＝﹣32，
∴（﹣2，﹣32）＝5，
故答案为：4，5；
（2）根据题意得：x﹣3＝，
∴＝，
∴x＝2，
故答案为：2；
（3）a+b＝c，理由如下：
根据题意得：4a＝5，4b＝6，4c＝30，
∵5×6＝30，
∴4a•4b＝4c，
∴4a+b＝4c，
∴a+b＝c．
3．（2022春•邗江区校级期中）阅读材料：如果10b＝n，那么b为n的“劳格数”，记为b＝d（n）．由定义可知：10b＝n与b＝d（n）表示b、n两个量之间的同一关系．如：102＝100，则d（100）＝2．
理解运用：
（1）根据“劳格数”的定义，填空：d（10﹣3）＝ ﹣3 ，d（1）＝ 0 ；
（2）“劳格数”有如下运算性质：
若m、n为正数，则d（mn）＝d（m）+d（n），d（）＝d（m）﹣d（n）；根据运算性质，填空：＝ 3 ；（a为正数）
（3）若d（2）＝0.3010，计算：d（4）、d（5）；
（4）若d（2）＝2m+n，d（4）＝3m+2n+p，d（8）＝6m+2n+p，请证明m＝n＝p．
【分析】（1）根据新定义及法则进行运算即可；
（2）根据新定义运算法则运算即可；
（3）根据新定义运算法则运算即可；
（4）根据新定义运算法则分别运算即可．
【解答】解：（1）∵10b＝10﹣3，
∴b＝﹣3，
∴d（10﹣3）＝﹣3，
∵10b＝1＝100，
∴b＝0，
∴d（1）＝d（100）＝0，
（2）
＝
＝
＝
＝3；
（3）∵d（2）＝0.310，
∴d（4）
＝d（2×2）
＝d（2）+d（2）
＝2d（2）
＝2×0.3010
＝0.6020，
d（5）
＝d（）
＝d（10）﹣d（2）
＝1﹣0.3010
＝0.6990；
（4）∵d（2）＝2m+n，
∴d（4）
＝d（2×2）
＝d（2）+d（2）
＝2d（2）
＝2（2m+n）
＝4m+2n，
d（8）
＝d（2×2×2）
＝d（2）+d（2）+d（2）
＝3d（2）
＝3（2m+n）
＝6m+3n
∵d（4）＝3m+2n+p，d（8）＝6m+2n+p，
∴
∴m＝n＝p，
故答案为：（1）﹣3，0；
（2）3；
（3）0.6020，0.6990；
（4）证明见解析．
4．（2022春•沭阳县校级月考）规定两数a、b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．
例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定，填空：（5，125）＝ 3 ，（﹣2，4）＝ 2 ，（﹣2，﹣8）＝ 3 ；
（2）记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c，试说明：a+b＝c．
【分析】（1）根据新定义运算法则即可求出答案．
（2）先根据新定义运算可知3a＝5，3b＝6，3c＝30，然后根据同底数幂的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（1）∵53＝125，
∴（5，125）＝3，
∵（﹣2）2＝4，
∴（﹣2，4）＝2，
∵（﹣2）3＝﹣8，
∴（﹣2，﹣8）＝3，
故答案为：3，2，3．
（2）∵（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c，
∴3a＝5，3b＝6，3c＝30，
∵5×6＝30，
∴3a×3b＝3c，
∴3a+b＝3c，
∴a+b＝c．
5．（2022春•邗江区校级月考）概念学习规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把a÷a÷a……÷a（n个a，a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．
（1）直接写出计算结果：2③＝ ，＝ ﹣8 ；
（2）将下列运算结果直接写成幂的形式：5⑥＝ ；＝ 28 ；
（3）想一想：将一个非零有理数a的圈n（n≥3）次方写成幂的形式为 ；
（4）算一算：42×④．
【分析】根据新定义内容列出算式，然后将除法转化为乘法，再根据乘法和乘方的运算法则进行化简计算．
【解答】解：（1）2③＝2÷2÷2＝；＝（）÷（）÷（）÷（）÷（）＝﹣8；
（2）5⑥＝5÷5÷5÷5÷5÷5＝；＝28；
（3）aⓝ＝a÷a÷a……÷a＝；
（4）原式＝16×9＝144．
6．（2022春•泰州月考）如果ac＝b，那么我们规定（a，b）＝c，例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定，填空：（3，27）＝ 3 ，（4，4）＝ 1 ，（2，16）＝ 4 ；
（2）记（5，6）＝a，（5，7）＝b，（5，42）＝c．求证：a+b＝c．
【分析】（1）根据规定的两数之间的运算法则解答；
（2）根据积的乘方法则，结合定义进行计算．
【解答】解：（1）∵33＝27，
∴（3，27）＝3；
∵41＝4，
∴（4，4）＝1；
∵24＝16，
∴（2，16）＝4；
（2）∵（5，6）＝a，（5，7）＝b，（5，42）＝c，
∴5a＝6，5b＝7，5c＝42，
∵5a•5b＝5（a+b）＝6×7＝42＝5c，
∴a+b＝c．
7．（2020秋•海安市月考）已知M（1）＝﹣2，M（2）＝（﹣2）×（﹣2），M（3）＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…，（n为正整数）．
（1）求2M（2018）+M（2019）的值．
（2）猜想2M（n）与M（n+1）的关系并说明理由．
【分析】（1）根据已知算式即可进行计算；
（2）结合（1）将算式变形即可说明2M（n）与M（n+1）互为相反数．
【解答】解：（1）2M（2018）+M（2019）
＝2×（﹣2）2018+（﹣2）2019
＝2×22018+（﹣2）2019
＝22019+（﹣2）2019
＝0；
（2）2M（n）与M（n+1）互为相反数，理由如下：
因为2M（n）＝2×（﹣2）n＝﹣（﹣2）×（﹣2）n＝﹣（﹣2）n+1，M（n+1）＝（﹣2）n+1，
所以2M（n）＝﹣M（n+1），
所以2M（n）与M（n+1）互为相反数．
8．（2021秋•灌云县月考）如果xn＝y，那么我们记为：（x，y）＝n．例如32＝9，则（3，9）＝2．
（1）根据上述规定，填空：（2，8）＝ 3 ，（2，）＝ ﹣2 ；
（2）若（4，a）＝2，（b，8）＝3，求（b，a）的值．
【分析】（1）这个定义括号内第一个数为底数，第二个数为幂，结果为指数，根据有理数的乘方及负整数指数幂的计算即可；
（2）根据定义先求出a，b的值，再求（b，a）的值．
【解答】解：（1）因为23＝8，
所以（2，8）＝3；
因为2﹣2＝，
所以（2，）＝﹣2．
故答案为：3，﹣2；
（2）根据题意得a＝42＝16，b3＝8，
所以b＝2，
所以（b，a）＝（2，16），
因为24＝16，
所以（2，16）＝4．
答：（b，a）的值为4．
9．（2021秋•六合区期中）类比有理数的乘方，我们把求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．如2÷2÷2，记作2③，读作“2的圈3次方；（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”．
（1）直接写出计算结果：2③＝ ，（﹣）④＝ 4 ；
（2）除方也可以转化为幂的形式，如2④＝2÷2÷2÷2＝2×××＝（）2．试将下列运算结果直接写成幂的形式（﹣3）④＝ （）2 ；（）⑩＝ 28 ；aⓝ＝ （）n﹣2 ；
（3）计算：22×（﹣）④÷（﹣2）③﹣（﹣3）②．
【分析】（1）根据除方的定义计算即可；
（2）把除法转化为乘法即可得出答案；
（3）根据除方的定义计算即可．
【解答】解：（1）2÷2÷2＝，
（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）＝1×（﹣2）×（﹣2）＝4，
故答案为：，4；
（2）（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）＝1×（﹣）×（﹣）＝（）2，
÷÷＝1×2×2×2×2×2×2×2×2＝28，
＝1×＝（）n﹣2，
故答案为：，28，；
（3）原式＝
＝4×9×（﹣2）﹣1
＝﹣72﹣1
＝﹣73．
10．（2022春•贾汪区校级月考）已知10×102＝1000＝103，
102×102＝10000＝104，
102×103＝100000＝105．
（1）猜想106×104＝ 1010 ，10m×10n＝ 10m+n ．（m，n均为正整数）
（2）运用上述猜想计算下列式子：
①（1.5×104）×（1.2×105）；
②（﹣6.4×103）×（2×106）．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：（1）106×104＝1010，10m×10n＝10m+n；
故答案为：1010；10m+n；
（2）①（1.5×104）×（1.2×105）＝（1.5×1.2）×（104×105）＝1.8×109；
②（﹣6.4×103）×（2×106）＝（﹣6.4×2）×（103×106）＝﹣12.8×109＝﹣1.28×1010．
11．（2020秋•灌云县月考）请认真阅读下面材料
如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，即有指数式ab＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：
对数式：lgaN＝b
例如：
（1）因为指数式22＝4，所以以2为底，4的对数是2，对数式记作：lg24＝2
（2）因为指数式42＝16，所以以4为底，16的对数是2，对数式记作：lg416＝2
1．请根据上面阅读材料将下列指数式改为对数式：
（1）23＝8（2）32＝9
2．将下列对数式改为指数式
（1）lg21＝0（2）lg327＝3
3．计算：lg216
【分析】由阅读材料，根据有理数的乘方的意义可求解．
【解答】解：1．（1）由材料可得：lg28＝3；（2）lg39＝2；
2．（1）20＝1（2）33＝27；
3．∵24＝16，∴lg216＝4．
12．（2022•新华区校级一模）（1）将下列计算的结果直接写成幂的形式：
2÷2÷2＝（）1；2÷2÷2÷2＝ （）2 ；＝ 33 ；
（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）＝ （﹣）4 ；
（2）一般地，把n个a（a为有理数且a≠0，n为正整数）相除的结果记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．
计算：aⓝ＝＝ （）n﹣2 （其中a≠0，n为正整数）．
请你尝试用文字概括归纳aⓝ的运算结果：
一个非零有理数的圈n次方等于 它的倒数的（n﹣2）次方 ；
（3）计算：24÷（﹣）⑤+（﹣27）×3④．
【分析】（1）根据除方的定义计算即可；
（2）把除法转化为乘法即可得出答案；
（3）根据新定义计算即可．
【解答】解：（1）2÷2÷2÷2＝2×＝（）2，
＝＝33，
（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）＝（﹣5）×（﹣）×（﹣）×（﹣）×（﹣）×（﹣）＝（﹣）4，
故答案为：（）2，33，（﹣）4；
（2）根据除法法则aⓝ＝＝（）n﹣2（其中a≠0，n为正整数）．
用文字概括归纳aⓝ的运算结果：
一个非零有理数的圈n次方等于它的倒数的（n﹣2）次方；
故答案为：（）n﹣2，它的倒数的（n﹣2）次方．
（3）原式＝24÷（−2）3+（−27）×（）2
＝24÷（﹣8）+（﹣27）×
＝﹣3﹣3
＝﹣6．
13．（2022春•遂川县期末）观察下列运算过程：
22＝2×2＝4，；
，＝；…
（1）根据以上运算过程和结果，我们发现：22＝ ；（）2＝ ；
（2）仿照（1）中的规律，判断（）3与（）﹣3的大小关系；
（3）求（﹣）﹣4×（）4÷（）﹣3的值．
【分析】（1）观察计算过程即可得出结论；
（2）利用题干中的方法解答即可得出结论；
（3）利用以上的解题规律进行运算即可．
【解答】解：（1）∵22＝2×2＝4，，
∴；
∵，＝，
∴，
故答案为：；；
（2）（）3＝（）﹣3，理由：
∵＝＝，
＝＝，
∴（）3＝（）﹣3．
（3）原式＝×÷23
＝×
＝16×
＝2．
14．（2022春•攸县期末）如果10b＝n，那么b为n的劳格数，记为b＝d（n），由定义可知：10b＝n与b＝d（n）所表示的b，n两个量之间具有同一关系．
（1）根据劳格数的定义，计算d（10）和d（10﹣2）的值；
（2）若m，n为正数，则d（m•n）＝d（m）+d（n），d（）＝d（m）﹣d（n）．
根据运算性质，填空：＝ 3 （a为正数）；
若d（2）＝0.3010，则d（4）＝ 0.6020 ，d（5）＝ 0.6990 ，d（0.08）＝ ﹣1.0970； ．
（3）若表中与数x对应的劳格数d（x）有且仅有两个是错误的，请找出错误的劳格数，并将其改正过来．
【分析】（1）根据新定义计算即可；
（2）根据新定义计算即可；
（3）根据新定义判断即可．
【解答】解：（1）d（10）＝1，d（10﹣2）＝﹣2，
（2）∵d（a3）
＝d（a2•a）
＝d（a2）+d（a）
＝d（a•a）+d（a）
＝d（a）+d（a）+d（a）
＝3d（a），
∴＝＝3，
∵d（2）＝0.3010，
又∵d（10）＝1，
∴d（4）
＝d（2×2）
＝d（2）+d（2）
＝2d（2）
＝0.6020；
d（5）
＝d（）
＝d（10）﹣d（2）
＝1﹣0.3010
＝0.6990；
d（0.08）
＝d（8×10﹣2）
＝d（8）+d（10﹣2）
＝3d（2）+（﹣2）
＝0.9030﹣2
＝﹣1.0970；
故答案为：3，0.6020，0.6990，﹣1.0970；
（3）若d（3）≠2a﹣b，则d（9）＝2d（3）≠4a﹣2b，d（27）＝3d（3）≠6a﹣3b即有三个劳格数错误由题设矛盾，故d（3）＝2a﹣b；
若d（5）≠a+c，则d（2）＝1﹣d（5）≠1﹣a﹣c，d（8）＝3d（2）≠3﹣3a﹣3c，
d（6）＝d（2）+d（3）≠1+a﹣b﹣c即有三个劳格数错误与题设矛盾，
故d（5）＝a+c；
综上所述d（1.5）与d（12）两个值是错误的．应该更正为：d（1.5）＝d（3）﹣d（2）＝3a﹣b+c﹣1，d（12）＝d（3）+2d（2）＝2﹣b﹣2c．
15．（2022春•开州区期末）一个四位正整数的千位、百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c，d，如果a≤b≤c≤d，那么我们把这个四位正整数叫做顺次数，例如四位正整数1369：因为1＜3＜6＜9，所以1369叫做顺次数．
（1）四位正整数中，最大的“顺次数”是 9999 ，最小的“顺次数”是 1111 ；
（2）已知一个四位正整数的百位、个位上的数字分别是2、7，且这个四位正整数是“顺次数”，同时，这个四位正整数能被7整除，求这个四位正整数．
【分析】（1）根据“顺次数”的概念分析最大数和最小数；
（2）根据“顺次数”的概念千位上的数字是1或2，然后分情况分析求解．
【解答】解：（1）根据题意a≤b≤c≤d，
∴四位正整数中，最大的“顺次数”是9999，最小的“顺次数”是1111，
故答案为：9999；1111；
（2）根据题意a≤b≤c≤d，且一个四位顺次数的百位、个位上的数字分别是2、7，
∴这个“顺次数”的千位是1或2，
①当a＝1时，这个顺次数可能是1227，1237，1247，1257，1267，1277；
其中，只有1267是7的倍数；
②当a＝2时，这个顺次数可能是2227，2237，2247，2257，2267，2277；
其中，只有2247是7的倍数；
∴这个四位正整数是1267或2247．
16．（2022春•阜宁县校级月考）规定：M（1）＝﹣2，M（2）＝（﹣2）×（﹣2），M（3）＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…M（n）＝．
（1）计算：M（5）+M（6）；
（2）求2×M（2021）+M（2022）的值；
（3）试说明：2×M（n）与M（n+1）互为相反数．
【分析】（1）根据新定义的法则及有理数乘法的法则进行计算即可；
（2）根据新定义的法则进行计算，即可得出结果；
（3）根据新定义的法则分别计算2×M（n）与M（n+1），即可得出结果．
【解答】解：（1）M （5）+M （6）
＝（﹣2）5+（﹣2）6
＝﹣32+64
＝32；
（2）2M（2021）+M （2022）
＝2×（﹣2）202l+（﹣2）2022
＝2×（﹣22021）+22022
＝﹣22022+22022
＝0；
（3）2M（ n ）＝2×（﹣2）n＝﹣（﹣2）×（﹣2）n＝﹣（﹣2）n+1，
M （ n+1）＝（﹣2）n+1，
∵﹣（﹣2）n+1与（﹣2）n+1 互为相反数，
∴2M（ n ）与 M （ n+1）互为相反数．
17．（2021秋•青岛期末）我们知道，正整数按照能否被2整除可以分成两类：正奇数和正偶数．受此启发，按照一个正整数被3除的余数把正整数分成三类：如果一个正整数被3除余数为1，则这个正整数属于A类，例如1，4，7等；如果一个正整数被3除余数为2，则这个正整数属于B类，例如2，5，8等；如果一个正整数能被3整除，则这个正整数属于C类，例如3，6，9等．
（1）2022属于 C 类（填A，B或C）；
（2）①从B类数中任取两个数，则它们的和属于 A 类（填A，B或C）；
②从A类数中任意取出2021个数，从B类数中任意取出2022个数，从C类数中任意取出k个数（k为正整数），把它们都加起来，则最后的结果属于 B 类（填A，B或C）；
（3）从A类数中任意取出m个数，从B类数中任意取出n个数（m，n为正整数），把它们都加起来，若最后的结果属于A类，则下列关于m，n的叙述正确的是 ②③ （填序号）．
①m属于A类；
②m+2n属于A类；
③m，n不属于同一类；
④|m﹣n|属于A类．
【分析】（1）由2022÷3＝674，可知2022属于C类；
（2）①设B类的两个数为3m+2，3n+2，则（3m+2）+（3n+2）被3除余数为1，由此可求解；
②设这2021个数的和3a+2021，设这2022个数的和为3b+2022×2＝3b+4044，设这k个数的和为3c，则有3a+2021+3b+4044+3c＝3（a+b+c）+6065，再由 6065÷3＝2021…2，即可求解；
（3）设这m个数的和为3x+m，设这n个数的和为3y+2n，则有3x+m+3y+n＝3（x+y）+m+2n，由题意可知m+2n被3除余数为1，再由此分三类当n属于A类，m属于B类；当n属于B类，m属于C类；当n属于C类，m属于A类，结合选项依次判断即可．
【解答】解：（1）∵2022÷3＝674，
∴2022属于C类，
故答案为：C；
（2）①设B类的两个数为3m+2，3n+2，
∴3m+2+3n+3＝3（m+n）+4＝3（m+n+1）+1，
∴（3m+2）+（3n+2）被3除余数为1，
∴从B类数中任取两个数，则它们的和属于A类，
故答案为：A；
②∵从A类数中任意取出2021个数，
∴设这2021个数的和3a+2021，
∵从B类数中任意取出2022个数，
∴设这2022个数的和为3b+2022×2＝3b+4044，
∵从C类数中任意取出k个数（k为正整数），
∴设这k个数的和为3c，
∴3a+2021+3b+4044+3c＝3（a+b+c）+6065，
∴6065÷3＝2021…2，
∴3（a+b+c）+6065被3除余数为2，
∴结果属于B类，
故答案为：B；
（3）从A类数中任意取出m个数，
设这m个数的和为3x+m，
从B类数中任意取出n个数，
设这n个数的和为3y+2n，
∴3x+m+3y+n＝3（x+y）+m+2n，
∵最后的结果属于A类，
∴m+2n被3除余数为1，
∴m+2n属于A类，
故②正确；
当n属于A类时，m属于B类，故①不正确；
当n属于A类，m属于B类；当n属于B类，m属于C类；当n属于C类，m属于A类，故③正确；
当n属于B类，m属于C类时，|m﹣n|＝|3x﹣3y﹣2|＝|3（x﹣y）﹣2|属于B类；故④不正确；
故②③正确，
故选：②③．
18．（2022•滦州市一模）观察下列两个等式：2﹣＝2×+1，5﹣＝5×+1，给出定义如下：我们称使等式a﹣b＝ab+1成立的一对有理数“a，b”为“共生有理数对”，记为（a，b），如：数对（2，），（5，）都是“共生有理数对”．
（1）通过计算判断数对（1，2）是不是“共生有理数对”；
（2）若（a，3）是“共生有理数对”，求a的值；
（3）若（m，n）是“共生有理数对”，则（﹣n，﹣m） 是 “共生有理数对”（填“是”或“不是”）；
（4）如果（m，n）是“共生有理数对”（其中n≠1），直接用含n的式子表示m．
【分析】（1）根据共生有理数对的定义判断即可；
（2）根据共生有理数对的定义列方程求解；
（3）根据共生有理数对的定义对（﹣n，﹣m）变形即可判断；
（4）根据共生有理数对的定义得到m，n的方程，变形即可．
【解答】解：（1）∵1﹣2＝﹣1，1×2+1＝3，
∴1﹣2≠1×2+1，
∴（1，2）不是共生有理数对；
（2）由题意，得a﹣3＝3a+1，
解得a＝﹣2；
（3）∵（m，n）是共生有理数对，
∴m﹣n＝mn+1，
∴﹣n﹣（﹣m）＝m﹣n＝mn+1，
∴（﹣n，﹣m）是共生有理数对；
故答案为：是．
（4））∵（m，n）是共生有理数对，
∴m﹣n＝mn+1，
∴m（1﹣n）＝1+n，
∴．
19．（2020秋•管城区期中）我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数a，我们把小于a的正的因数叫做a的真因数．如10的正因数有1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因数．把一个自然数a的所有真因数的和除以a，所得的商叫做a的“完美指标”．如10的“完美指标”是．一个自然数的“完美指标”越接近1，我们就说这个数越“完美”．如8的“完美指标”是，10的“完美指标”是，因为比更接近1，所以我们说8比10更完美．
（1）试计算6的“完美指标”．
（2）试计算7和9的“完美指标”．
（3）试找出15到20的自然数中，最“完美”的数．
【分析】（1）根据题意即可求解；
（2）根据题意把一个自然数a的所有正因数的和除以a，即可求解；
（3）根据题意一个自然数的“完美指标”越接近1，就说这个数越“完美”即可求解．
【解答】解：（1）6的正因数有1、2、3、6，其中1、2、3是6的真因数，
完美指标为（1+2+3）÷6＝1．
故6的“完美指标”为1；
（2）7的正因数有1、7，其中1是7的真因数，
完美指标为1÷7＝，
9的真因数有1、3、9，其中1、3是9的真因数，
完美指标为（1+3）÷9＝
故7的“完美指标”为，9的“完美指标”为；
（3）16的正因数有1、2、4、8、16，其中1、2、4、8是16的真因数，
完美指标为（1+2+4+8）÷16＝≈0.94；
18的正因数有1、2、3、6、9、18，其中1、2、3、6、9是18的真因数，
完美指标为（1+2+3+6+9）÷18＝≈1.17，
因为16的完美指标最接近1，
所以15到20的自然数中，最“完美”的数是16．
20．（2018秋•渑池县期中）阅读理解并填空：
观察下列两个等式：
2﹣＝2×+1，5﹣＝5×+1．给出如下定义：
我们称能使等式a﹣b＝ab+1成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为（a，b），如数对（2，），（5，）都是“共生有理数对”．
（1）数对（﹣2，1），（3，）中是“共生有理数对”的是 （3，） ；
（2）若（m，n）是“共生有理数对”，则（﹣n，﹣m） 是 “共生有理数对”（填“是”或“不是”）；
（3）若（a，3）是“共生有理数对”，则a的值为 ﹣2 ．
（4）请你再写出一对“共生有理数对” （﹣3，2） （注意不能与题目中已有的“共生有理数对”重复）．
【分析】（1）根据共生有理数对的定义判断即可；
（2）根据共生有理数对的定义对（﹣n，﹣m）变形即可判断；
（3）根据共生有理数对的定义列方程求解；
（4）根据共生有理数对的定义即可求解．
【解答】解：（1）∵﹣2﹣1＝﹣3，﹣2×1+1＝﹣1，
∴﹣2﹣1≠﹣2×1+1，
∴（﹣2，1）不是共生有理数对；
∵3﹣＝2，3×+1＝2，
∴3﹣＝3×+1，
∴（3，）是共生有理数对．
故答案为：（3，）；
（2）∵（m，n）是共生有理数对，
∴m﹣n＝mn+1，
∴﹣n﹣（﹣m）＝m﹣n＝mn+1，
∴（﹣n，﹣m）是共生有理数对．
故答案为：是；
（3）由题意得a﹣3＝3a+1，
解得a＝﹣2．
故答案为：﹣2；
（4）“共生有理数对”有（﹣3，2）．
故答案为：（﹣3，2）．
21．（2019春•福鼎市期中）阅读理解：
在上学期的学习中，我们知道若an＝m，其中a是底数，n是指数，m称为幂，知道a和n可以求m．我们不妨思考：如果知道a，m，能否求n呢？对于an＝m，规定[a，m]＝n，例如：62＝36，所以[6，36]＝2．
（1）根据上述规定，填空：[3， 81 ]＝4，[2，32]＝ 5 ，
[﹣4，1]＝ 0 ，[5，0.2]＝ ﹣1 ；
（2）记[5，x]＝4m，[5，y﹣3]＝4m+2，求y与x之间的关系式．
【分析】（1）根据乘方、零指数幂、负整数指数幂的性质和新规定求解即可；（2）根据新规定列式整理即可．
【解答】解：（1）∵34＝81，
25＝32，
（﹣4）0＝1，
5﹣1＝＝0.2，
∴[3，81]＝4，
[2，32]＝5，
[4，1]＝0，
[5，0.2]＝﹣1；
故答案为：81，5，0，﹣1；
（2）由题意得：x＝54m，y﹣3＝54m+2，
∴y﹣3＝54m×52＝25x，即y＝25x+3．
22．（2016春•丹阳市月考）阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22013的值．
解：设S＝1+2+22+23+24+…+22012+22013，将等式两边同时乘2得：
2S＝2+22+23+24+25+…+22013+22014
将下式减去上式得2S﹣S＝22014﹣1
即S＝22014﹣1
即1+2+22+23+24+…+22013＝22014﹣1
仿照此法计算：1+2+22+23+…+2100．
【分析】设S＝1+2+22+23+24+…+2100，两边乘2后得到关系式，与已知等式相减，变形即可求出所求式子的值．
【解答】解：（1）设S＝1+2+22+23+24+…+2100，
将等式两边同时乘2得：2S＝2+22+23+24+…+210+2101，
将下式减去上式得：2S﹣S＝2101﹣1，即S＝2101﹣1，
则1+2+22+23+24+…+2100＝2101﹣1．
23．（2021秋•北京期中）对于有理数a，b，n，d，若|a﹣n|+|b﹣n|＝d，则称a和b关于n的“相对关系值”为d，例如，|2﹣1|+|3﹣1|＝3，则2和3关于1的“相对关系值”为3．
（1）﹣3和5关于1的“相对关系值”为 8 ；
（2）若a和2关于1的“相对关系值”为4，求a的值．
【分析】（1）根据“相对关系值”的定义直接列式计算即可；
（2）根据“相对关系值”的定义列出关于a的方程，解方程即可．
【解答】解：（1）由题意得，|﹣3﹣1|+|5﹣1|＝8．
故答案为8；
（2）由题意得，|a﹣1|+|2﹣1|＝4，
解得，a＝4或﹣2．
24．（2022春•洪泽区期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．
例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定，填空：（3，9）＝ 2 ，（4，1）＝ 0 ，（2，）＝ ﹣3 ．
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n，4n）＝（3，4），小明给出了如下的证明：
设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，所以3x＝4，即（3，4）＝x，所以（3n，4n）＝（3，4）．
请你用这种方法证明下面这个等式：（3，4）+（3，5）＝（3，20）．
【分析】（1）根据定义直接可得（3，9）＝2，（4，1）＝0，（2，）＝﹣3；
（2）设（3，4）＝x，（3，5）＝y，则3x＝4，3y＝5，所以3x+y＝3x•3y，＝20，从而求解．
【解答】（1）解：因为32＝9，所以（3，9）＝2；
因为40＝1，所以（4，1）＝0；
因为2﹣3＝，所以（2，）＝﹣3．
故答案为：2，0，﹣3；
（2）证明：设（3，4）＝x，（3，5）＝y，
则3x＝4，3y＝5，
所以3x+y＝3x•3y＝4×5＝20，
所以（3，20）＝x+y，
所以（3，4）+（3，5）＝（3，20）．
25．（2019秋•崇川区校级期中）如果2b＝n，那么称b为n的布谷数，记为b＝g（n），如g（8）＝g（23）＝3．
（1）根据布谷数的定义填空：g（2）＝ 1 ，g（32）＝ 5 ．
（2）布谷数有如下运算性质：
若m，n为正数，则g（mn）＝g（m）+g（n），g（）＝g（m）﹣g（n）．
根据运算性质填空：＝ 4 ，（a为正数）．
若g（7）＝2.807，则g（14）＝ 3.807 ，g（）＝ 0.807 ．
（3）下表中与数x对应的布谷数g（x）有且仅有两个是错误的，请指出错误的布谷数，要求说明你这样找的理由，并求出正确的答案（用含a，b的代数式表示）
【分析】（1）g（32）＝g（25）＝5；g（32）＝g（25）＝5；
（2）＝＝＝4，g（14）＝g（2×7）＝g（2）+g（7），g（）＝g（7）﹣g（4）；
（3）g（）＝g（3）﹣4，g（）＝1﹣g（3），g（6）＝g（2）+g（3）＝1+g（3），g（9）＝2g（3），g（27）＝3g（3），当g（3）正确时，有且仅有两个是错误；
【解答】解：（1）g（2）＝g（21）＝1，
g（32）＝g（25）＝5；
故答案为1，5；
（2）＝＝＝4，
g（14）＝g（2×7）＝g（2）+g（7），
∵g（7）＝2.807，g（2）＝1，
∴g（14）＝3.807；
g（）＝g（7）﹣g（4），
g（4）＝g（22）＝2，
∴g（）＝g（7）﹣g（4）＝2.807﹣2＝0.807；
故答案为4，3.807，0.807；
（3）g（）＝g（3）﹣4，
g（）＝1﹣g（3），
g（6）＝g（2）+g（3）＝1+g（3），
g（9）＝2g（3），
g（27）＝3g（3），
从表中可以得到g（3）＝2a﹣b，
∴g（）和g（6）错误，
∴g（）＝2a﹣b﹣4，g（6）＝1+2a﹣b；
26．（2021秋•高邮市期中）小聪是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识，脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如5÷5÷5，（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）等，类比有理数的乘方．小聪把5÷5÷5记作f（3，5），（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）记作f（4，﹣2）．
（1）直接写出计算结果，f（4，）＝ 4 ，f（5，3）＝ ；
（2）关于“有理数的除方”下列说法正确的是 ② ．（填序号）
①f（6，3）＝f（3，6）；
②f（2，a）＝1（a≠0）；
③对于任何正整数n，都有f（n，﹣1）＝1；
④对于任何正整数n，都有f（2n，a）＜0（a＜0）．
（3）小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式f（n，a）（n为正整数，a≠0，n≥2），要求写出推导过程将结果写成幂的形式；（结果用含a，n的式子表示）
（4）请利用（3）问的推导公式计算：f（5，3）×f（4，）×f（5，﹣2）×f（6，）．
【分析】（1）根据题意计算即可；
（2）①分别计算f（6，3）和f（3，6）的结果进行比较即可；
②根据题意计算即可判断；
③分为n为偶数和奇数两种情况分别计算即可判断；
④2n为偶数，偶数个a相除，结果应为正；
（3）推导f（n，a）（n为正整数，a≠0，n≥2），按照题目中的做法推到即可；
（4）按照上题的推导式可以将算式中的每一部分表示出来再计算．
【解答】解：（1）f（4，）＝÷÷÷＝4，
f（5，3）＝3÷3÷3÷3÷3＝；
故答案为：4； ．
（2）①f（6，3）＝3÷3÷3÷3÷3÷3＝，f（3，6）＝6÷6÷6＝，
∴f（6，3）≠f（3，6），故错误；
②f（2，a）＝a÷a＝1（a≠0），故正确；
③对于任何正整数n，当n为奇数时，f（n，﹣1）＝﹣1；当n为偶数时，f（n，﹣1）＝1．故错误；
④对于任何正整数n，2n为偶数，所以都有f（2n，a）＞0，而不是f（2n，a）＜0（a＜0），故错误；
故答案为：②．
（3）公式f（n，a）＝a÷a÷a÷a÷…÷a÷a＝1÷（an﹣2）＝（）n﹣2（n为正整数，a≠0，n≥2）．
（4）f（5，3）×f（4，）×f（5，﹣2）×f（6，）
＝×9×（﹣）×16
＝﹣．
27．（2022春•邕宁区期末）材料：
一般地，n个相同的因数a相乘：．如23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为lg28（即lg28＝3）．
一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为lgab（即lgab＝n）．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为lg381（即lg381＝4）．
问题：
（1）计算以下各对数的值：lg24＝ 2 ，lg216＝ 4 ，lg264＝ 6 ．
（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式为 4×16＝64 lg24、lg216、lg264之间又满足怎样的关系式： lg24+lg216＝lg264
（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？lgaM+lgaN＝ MN （a＞且a≠1，M＞0，N＞0）．
【分析】（1）根据对数的定义求解；
（2）认真观察，不难找到规律：4×16＝64，lg24+lg216＝lg264；
（3）由特殊到一般，得出结论：lgaM+lgaN＝lgaMN．
【解答】解：（1）lg24＝2，lg216＝4，lg264＝6，
故答案为：2、4、6；
（2）4×16＝64，lg24+lg216＝lg264，
故答案为：4×16＝64，lg24+lg216＝lg264；
（3）lgaM+lgaN＝lgaMN，
故答案为：MN．
28．（2022•东兴区校级二模）【概念学习】
现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”，一般地，把（a≠0）写作aⓝ，读作“a的圈n次方”．
【初步探究】
（1）直接写出计算结果：2③＝ ，（﹣）④＝ 4 ；
（2）下列关于除方说法中，错误的是： C ．
A：任何非零数的圈2次方都等于1
B：对于任何正整数n，1ⓝ＝1
C：3④＝4③
D：负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（3）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式：（﹣3）⑤＝ （﹣）3 ，（）⑥＝ 54 ．
（4）想一想：请把有理数a（a≠0）的圈n（n≥3）次方写成幂的形式为aⓝ＝ （）n﹣2． ．
（5）算一算：＝ ﹣2 ．
【分析】（1）根据规定运算，直接计算即可；
（2）根据圈n次方的意义，计算判断得结论；
（3）根据题例的规定，直接写成幂的形式即可；
（4）根据圈n次方的规定和（3）的结果，综合可得结论；
（5）先把圈n次方转化成幂的形式，利用有理数的混合运算，计算求值即可．
【解答】解：（1）2③＝2÷2÷2＝1÷2＝，
（﹣）④＝（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）＝1×2×2＝4；
故答案为：，4；
（2）∵3④＝3÷3÷3÷3＝，4③＝4÷4÷4＝，
∴3④≠4③．
故选：C．
（3）（﹣3）⑤＝（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）＝1×（﹣）×（﹣）×（﹣）＝（﹣）3，
（）⑥＝（）÷（）÷（）÷（）÷（）÷（）＝1×5×5×5×5＝54；
故答案为：（﹣）3，54；
（4）（4）a÷a÷a÷…÷a＝a×××…×＝（）n﹣2．
故答案为：（）n﹣2．
（5）原式＝＝122÷32×（）4﹣34÷33
＝24×32÷32×（）4﹣3
＝1﹣3
＝﹣2．
故答案为：﹣2．
29．（2021秋•汉寿县期末）观察下列两个等式：，，给出定义如下：我们称使等式a﹣b＝ab+1成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为（a，b）．如数对，都是“共生有理数对”．
（1）判断数对（﹣2，1），中， 是“共生有理数对”；
（2）若（a，3）是“共生有理数对”，求a的值；
（3）若（m，n）是“共生有理数对”，则（﹣n，﹣m） 是 （填写“是”或“不是”）“共生有理数对”，说明你的理由．
【分析】（1）先判断，然后根据题目中的新定义，可以判断（﹣2，1），是否为“共生有理数对“；
（2）根据新定义可得关于a的一元一次方程，再解方程即可；
（3）根据共生有理数对的定义对（﹣n，﹣m）变形即可判断．
【解答】解：（1）（﹣2，1）不是“共生有理数对“，（3，）是“共生有理数对“，
理由：∵﹣2﹣1＝﹣3，﹣2×1+1＝﹣2+1＝﹣1，
∴（﹣2，1）不是“共生有理数对“，
∵3﹣，3×+1＝，
∴（3，）是“共生有理数对”；
故答案为：；
（2）由题意，得a﹣3＝3a+1，
解得：a＝﹣2；
（3）是，
理由：∵m﹣n＝mn+1，
∴﹣n﹣（﹣m）＝﹣n+m＝mn+1＝（﹣n）（﹣m）+1，
∴（﹣n，﹣m）是共生有理数对．
故答案为：是．
30．（2022春•南岸区校级期中）对于一个三位正整数n，如果n满足：它的百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于6，那么称这个数n为“文德数”，例如：n1＝936，因为9+3﹣6＝6，所以936是“文德数”；n2＝602，因为6+0﹣2＝4≠6，所以602不是“文德数”．
（1）判断666，785是否为“文德数”？并说明理由；
（2）若将一个“文德数”m的个位数的两倍放到百位，原来的百位数变成十位数，原来的十位数变成个位数，得到一个新的三位数s（例如：若m＝543，则s＝654），若s也是一个“文德数”，求满足条件的所有m的值．
【分析】（1）理解题目所给的概念，并用概念进行计算即可得出答案；
（2）设m的百位数为a，十位数为b，个位数为c，则s的百位数为2c，十位数为a，个位数为b，根据题意可得方程组，可得2a+c＝12，因为m为正整数，分类讨论，①c＝0，②c＝2，③c＝4，④c＝6，⑤c＝8时，即可求出b，c的值，根据题意判断即可得出答案．
【解答】解：（1）因为6+6﹣6＝6，
所以666是“文德数”，
因为7+8﹣5＝10≠6，
所以785不是“文德数”；
（2）设m的百位数为a，十位数为b，个位数为c，
则s的百位数为2c，十位数为a，个位数为b，
根据题意可得，
，
则2a+c＝12，
因为m为正整数，
①当c＝0时，a＝6，b＝0，m＝600，s＝60，
因为s＝60不是“文德数”，所以m＝600不满足题意；
②当c＝2时，a＝5，b＝3，m＝532，s＝453，
因为4+5﹣3＝6，所以s＝453是“文德数”，
故m＝532满足题意；
③当c＝4时，a＝4，b＝6，m＝464，s＝846，
因为8+4﹣6＝6，所以s＝846是“文德数”，
故m＝464满足题意；
④当c＝6时，a＝3，b＝9，m＝396．s＝1239，
因为s＝1239不是“文德数”，所以m＝396不满足题意；
⑤当c＝8时，a＝2，b＝12，m＝2128不是“文德数”．
综上所述：满足条件的m的值为：532，464．
x
1.5
3
5
6
8
9
12
27
d（x）
3a﹣b+c
2a﹣b
a+c
1+a﹣b﹣c
3﹣3a﹣3c
4a﹣2b
3﹣b﹣2c
6a﹣3b
x
3
6
9
27
g（x）
1﹣4a+2b
1﹣2a+b
2a﹣b
3a﹣2b
4a﹣2b
6a﹣3b