数学必修 第二册2.1 两角和与差的三角函数课后复习题

这是一份数学必修 第二册2.1 两角和与差的三角函数课后复习题，共6页。

1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝2b，则( )
A．sin A＝2sin B B．sin B＝2sin A
C．cs A＝2cs B D．cs B＝2cs A
2．在△ABC中，a＝2，A＝45°，B＝30°，则b的值及△ABC外接圆的半径分别为( )
A． eq \r(2)，2 eq \r(2) B． eq \r(2)， eq \r(2)
C．2 eq \r(2)， eq \r(2) D．2 eq \r(2)，2 eq \r(2)
3．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，BC＝2 eq \r(3)，则△ABC的面积为( )
A． eq \r(3) B．4
C．2 eq \r(3) D．4 eq \r(5)
4．在△ABC中，已知a＝2b cs C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
5．在△ABC中，角A，B，C满足sinA∶sin B∶sin C＝2∶3∶ eq \r(7)，则角C＝( )
A． eq \f(π,6) B． eq \f(π,4)
C． eq \f(π,3) D． eq \f(π,2)
6．(多选)在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，以下能独立说明△ABC为等腰三角形的是( )
A．sin A＝sin BB．sin 2A＝sin 2B
C． eq \f(a,cs A)＝ eq \f(b,cs B) D． eq \f(a,sin A)＝ eq \f(b,sin B)
7．△ABC中，边a，b，c的对角分别是A，B，C，若b＝2a sin B，则角A＝________．
8．边长为2的等边△ABC的外接圆的面积________．
9．在△ABC中，若sin A∶sin C＝5∶2，B＝60°，S△ABC＝90 eq \r(3)，求边a、c.
10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cs C(a cs B＋b cs A)＝c.
(1)求C；
(2)若c＝ eq \r(15)，a＋b＝6，求△ABC的面积．
[提能力]
11．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且a－b cs C＝ eq \r(3)b sin C，△ABC的外接圆半径为2.则b＝( )
A． eq \r(3) B．2
C．2 eq \r(3) D．4
12．(多选)在△ABC中，AB＝2，sin B＝2sin A，则( )
A．当C＝ eq \f(π,3)时，BC＝ eq \f(2\r(3),3)
B．△ABC不可能是直角三角形
C．A的最大值为 eq \f(π,3)
D．△ABC面积的最大值为 eq \f(4,3)
13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 eq \f(a－b,a－c)＝ eq \f(sin C,sin A＋sin B)，则B＝________．
14．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝ eq \f(π,3)，a＝ eq \r(7)，b＝3，则c＝________；△ABC外接圆的面积是________．
15．在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a cs B－b cs A＝c－b.
(1)求A；
(2)若a＝ eq \r(3)，△ABC的面积为 eq \f(\r(3),16)(4b2＋c2)，求△ABC的周长．
[培优生]
16．记△ABC是内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，BD sin ∠ABC＝a sin C.
(1)证明：BD＝b；
(2)若AD＝2DC，求cs ∠ABC.
课时作业(十一) 正弦定理(2)
1．解析：由a＝2b，得sinA＝2sinB.
答案：A
2．解析：在△ABC中，a＝2，A＝45°，B＝30°，
可得b＝eq \f(asinB,sinA)＝eq \f(2×\f(1,2),\f(\r(2),2))＝eq \r(2)，
设△ABC的外接圆的半径为R，
可得2R＝eq \f(a,sinA)＝eq \f(2,\f(\r(2),2))＝2eq \r(2)，即有R＝eq \r(2).
答案：B
3．解析：由余弦定理可知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cs60°，
12＝4＋AC2－2AC，解得：AC＝4，
所以S△ABC＝eq \f(1,2)×AB×AC×sin60°＝2eq \r(3).
答案：C
4．解析：∵a＝2bcsC，
则sinA＝2sinBcsC，sin (B＋C)＝2sinBcsC，
∴sin (B－C)＝0，∴B＝C.
∴sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，
∴△ABC为等腰直角三角形．
答案：B
5．解析：∵sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶eq \r(7)，由正弦定理可得a∶b∶c＝2∶3∶eq \r(7)，
设a＝2k，b＝3k，c＝eq \r(7)k，
由余弦定理可得csC＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(4k2＋9k2－7k2,2×2k×3k)＝eq \f(1,2)，
∵0答案：C
6．解析：根据正弦定理可得eq \f(a,sinA)＝eq \f(b,sinB)，因为sinA＝sinB则a＝b，故A正确；
在三角形中，sin2A＝sin2B，则2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝eq \f(π,2)，三角形为等腰三角形或直角三角形，不能确定三角形为等腰三角形，故B错误；
eq \f(a,csA)＝eq \f(b,csB)⇔eq \f(sinA,csA)＝eq \f(sinB,csB)⇔sinAcsB－csAsinB＝0⇔sin (A－B)＝0⇔A＝B，故C正确；
eq \f(a,sinA)＝eq \f(b,sinB)⇔eq \f(sinA,sinA)＝eq \f(sinB,sinB)⇔1＝1，恒成立，无法证明是等腰三角形，故D错误．
答案：AC
7．解析：在△ABC中，由正弦定理得：sinB＝2sinAsinB，
∵0°又0°答案：30°或150°
8．解析：设△ABC的外接圆半径为R，
由正弦定理得：eq \f(2,sin60°)＝2R，
解得R＝eq \f(2\r(3),3)，
所以外接圆的面积是S＝πR2＝eq \f(4π,3).
答案：eq \f(4π,3)
9．解析：由sinA∶sinC＝5∶2得a∶c＝5∶2，设a＝5k，c＝2k，
所以eq \f(1,2)×5k×2k×eq \f(\r(3),2)＝90eq \r(3)，所以k＝6，
所以a＝30，c＝12.
10．解析：(1)2csC(acsB＋bcsA)＝c由正弦定理得：
2csC(sinA·csB＋sinB·csA)＝sinC，
即2csC·sin (A＋B)＝sinC.
∵A＋B＋C＝π，
A，B，C∈(0，π)，∴sin (A＋B)＝sinC>0，
∴2csC＝1，csC＝eq \f(1,2).
∵C∈(0，π)，∴C＝eq \f(π,3).
(2)由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2ab·csC，
得15＝a2＋b2－2ab·eq \f(1,2)，即(a＋b)2－3ab＝15，
∴62－3ab＝15，∴ab＝7，
∴S＝eq \f(1,2)ab·sinC＝eq \f(\r(3),4)ab＝eq \f(7\r(3),4).
11．解析：根据正弦定理知sinA－sinBcsC＝eq \r(3)sinBsinC，
又因为sinA＝sin (B＋C)，
所以csBsinC＝eq \r(3)sinBsinC，又C∈(0，π)，所以sinC>0，
所以csB＝eq \r(3)sinB，
即tanB＝eq \f(\r(3),3)，所以B＝30°，
由正弦定理可得eq \f(b,sin30°)＝4，解得b＝2.
答案：B
12．解析：在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.由sinB＝2sinA，可得b＝2a，又c2＝a2＋b2－2a·bcsC，当C＝eq \f(π,3)时，4＝a2＋4a2－2×a·2acseq \f(π,3)，解得a＝eq \f(2\r(3),3)，A正确；
当C＝eq \f(π,3)时，a＝eq \f(2\r(3),3)，b＝eq \f(4\r(3),3)，满足b2＝a2＋c2，△ABC为直角三角形，B错误；csA＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(3a,8)＋eq \f(1,2a)≥eq \f(\r(3),2)，当且仅当a＝eq \f(2\r(3),3)时等号成立，所以A的最大值为eq \f(π,6)，C错误；
csC＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(5a2－4,4a2)，设S△ABC＝S，
S2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)absinC))2＝eq \f(1,4)a2(2a)2sin2C＝a4(1－cs2C)＝a4eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5a2－4,4a2)))\s\up12(2)))
＝eq \f(1,16)(－9a4＋40a2－16)＝－eq \f(9,16)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a2－\f(20,9)))eq \s\up12(2)＋eq \f(16,9)，当a2＝eq \f(20,9)时，S取最大值，且最大值为eq \f(4,3)，D正确．
答案：AD
13．解析：在△ABC中，由正弦定理可得，eq \f(sinC,sinA＋sinB)＝eq \f(c,a＋b)，
又由题知eq \f(a－b,a－c)＝eq \f(sinC,sinA＋sinB)，所以eq \f(a－b,a－c)＝eq \f(c,a＋b)，
整理得，b2＝a2＋c2－ac，
在△ABC中，由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accsB，
所以csB＝eq \f(1,2)，又B∈(0，π)，所以B＝eq \f(π,3).
答案：eq \f(π,3)
14．解析：在△ABC中，由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccsA，
把A＝eq \f(π,3)，a＝eq \r(7)，b＝3代入整理得，c2－3c＋2＝0，
解得c＝1或c＝2.
在△ABC中，由正弦定理得，eq \f(a,sinA)＝2R，其中R为△ABC外接圆半径．
所以R＝eq \f(a,2sinA)＝eq \f(\r(21),3)，
故△ABC外接圆的面积是πR2＝π×eq \f(21,9)＝eq \f(7,3)π.
答案：1或2 eq \f(7π,3)
15．解析：(1)由正弦定理知，已知条件可化为sinAcsB－sinBcsA＝sinC－sinB，
又在△ABC中sinC＝sin (A＋B)＝sinAcsB＋csAsinB，
所以2csAsinB＝sinB，因为sinB≠0，所以csA＝eq \f(1,2)，
又因为A∈(0，π)，所以A＝eq \f(π,3).
(2)因为S＝eq \f(\r(3),16)(c2＋4b2)＝eq \f(1,2)bcsinA＝eq \f(\r(3),4)bc，
所以c2＋4b2＝4bc，得c＝2b，
由a2＝b2＋c2－2bccsA知，3＝b2＋c2－bc，
所以c＝2，b＝1，
所以△ABC的周长为3＋eq \r(3).
16．解析：
(1)证明：由题设，BD＝eq \f(asinC,sin∠ABC)，由正弦定理知：eq \f(c,sinC)＝eq \f(b,sin∠ABC)，即eq \f(sinC,sin∠ABC)＝eq \f(c,b)，
∴BD＝eq \f(ac,b)，又b2＝ac，
∴BD＝b.
(2)由题意知：BD＝b，AD＝eq \f(2b,3)，DC＝eq \f(b,3)，
∴cs∠ADB＝eq \f(b2＋\f(4b2,9)－c2,2b·\f(2b,3))＝eq \f(\f(13b2,9)－c2,\f(4b2,3))，
同理cs∠CDB＝eq \f(b2＋\f(b2,9)－a2,2b·\f(b,3))＝eq \f(\f(10b2,9)－a2,\f(2b2,3))，
∵∠ADB＝π－∠CDB，
∴eq \f(\f(13b2,9)－c2,\f(4b2,3))＝eq \f(a2－\f(10b2,9),\f(2b2,3))，整理得2a2＋c2＝eq \f(11b2,3)，又b2＝ac，
∴2a2＋eq \f(b4,a2)＝eq \f(11b2,3)，整理得6a4－11a2b2＋3b4＝0，解得eq \f(a2,b2)＝eq \f(1,3)或eq \f(a2,b2)＝eq \f(3,2)，
由余弦定理知：cs∠ABC＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(4,3)－eq \f(a2,2b2)，
当eq \f(a2,b2)＝eq \f(1,3)时，cs∠ABC＝eq \f(7,6)>1不合题意；当eq \f(a2,b2)＝eq \f(3,2)时，cs∠ABC＝eq \f(7,12)；
综上，cs∠ABC＝eq \f(7,12).