湘教版（2019）必修 第二册2.1 两角和与差的三角函数课后练习题

这是一份湘教版（2019）必修 第二册2.1 两角和与差的三角函数课后练习题，共6页。

1．在△ABC中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，若A＝45°，B＝60°，a＝2，则b＝( )
A． eq \r(6) B． eq \r(2)
C． eq \r(3) D．2 eq \r(6)
2．在△ABC中，AC＝2，BC＝3，C＝60°，则△ABC的面积为( )
A． eq \f(3\r(3),2)B．3 eq \r(3)
C． eq \f(3,2) D．3
3．设△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝ eq \r(2)，c＝ eq \r(3)，C＝60°，则角B＝( )
A．45° B．30°
C．45°或135° D．30°或150°
4．已知△ABC中，a＝2 eq \r(3)，b＝6，A＝ eq \f(π,6)，角B等于( )
A． eq \f(π,3)B． eq \f(π,6)
C． eq \f(π,3)或 eq \f(2π,3) D． eq \f(π,6)或 eq \f(5π,6)
5．在锐角△ABC中，已知a＝3，c＝ eq \r(7)，C＝60°，则△ABC的面积为( )
A． eq \f(\r(3),2) B． eq \f(3\r(3),2)或 eq \f(3\r(3),4)
C． eq \f(3\r(3),2) D． eq \f(3\r(3),4)
6．(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.下列各组条件中使得△ABC有两个解的是( )
A．a＝2 eq \r(3)，b＝4，cs A＝－ eq \f(1,4)
B．a＝2 eq \r(3)，b＝8，cs A＝ eq \f(\r(13),4)
C．a＝ eq \r(15)，b＝4，A＝ eq \f(π,3)
D．a＝2 eq \r(3)，b＝4，A＝ eq \f(π,6)
7．在△ABC中，∠B＝ eq \f(π,4)，∠C＝ eq \f(π,3)，c＝ eq \f(\r(3),2)，则最长边长为________．
8．在△ABC中，若(sin A＋sin B)(sin A－sin B)＝sin2C，则△ABC的形状是________．
9．在△ABC中，A＝60°，sinB＝ eq \f(1,2)，a＝3，求三角形中其他边与角的大小．
10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a＝6，b＝14，B＝ eq \f(2π,3).
(1)求sin A的值；
(2)求△ABC的面积．
[提能力]
11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝2，c＝1，则C的范围是( )
A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))) B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))
C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2))) D． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6)))
12．(多选)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是( )
A．若A>B，则sin A>sin B
B．若A＝30°，b＝4，a＝3，则△ABC有两解
C．若△ABC为钝角三角形，则a2＋b2>c2
D．若A＝60°，a＝2，则△ABC面积的最大值为 eq \r(3)
13．在△ABC中，若满足C＝ eq \f(π,6)，c＝5，a＝x的三角形有两个，则实数x的取值范围为________．
14．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若C＝ eq \f(π,3)，a＝1，c＝ eq \r(3)，则sin A＝________；b＝________．
15．在①b＝4，②cs B＝－ eq \f(\r(5),5)，③(b2＋c2－a2)sin A＝ eq \r(3)bc cs A(A为锐角).这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求sin (A＋B)的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝ eq \r(2)，c＝ eq \r(10)，________？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
[培优生]
16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足 eq \r(3)c＝b(sin A＋ eq \r(3)cs A).
(1)求角B的大小；
(2)若a＋c＝2，求b的取值范围．
课时作业(十) 正弦定理(1)
1．解析：由eq \f(a,sinA)＝eq \f(b,sinB)得b＝eq \f(asinB,sinA)＝eq \f(2sin60°,sin45°)＝eq \r(6).
答案：A
2．解析：因为AC＝2，BC＝3，C＝60°，
所以△ABC的面积S＝eq \f(1,2)CB·CA·sinC＝eq \f(1,2)×3×2×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(3),2).
答案：A
3．解析：∵b＝eq \r(2)，c＝eq \r(3)，C＝60°，∴b由正弦定理eq \f(b,sinB)＝eq \f(c,sinC)，得sinB＝eq \f(bsinC,c)＝eq \f(\r(2)·\f(\r(3),2),\r(3))＝eq \f(\r(2),2)，
∴B＝45°.
答案：A
4．解析：由正弦定理得eq \f(a,sinA)＝eq \f(b,sinB)，即eq \f(2\r(3),\f(1,2))＝eq \f(6,sinB)，可得sinB＝eq \f(\r(3),2)，
因为b>a，所以B>A，且0答案：C
5．解析：由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcsC，即7＝9＋b2－3b，解得b＝1或b＝2，
若b＝1，则由b2＋c2－a2＝－1<0得A>90°，不合题意，
所以b＝2，S＝eq \f(1,2)absinC＝eq \f(1,2)×3×2×sin60°＝eq \f(3\r(3),2).
答案：C
6．解析：对于A，b>a，所以B>A，又csA＝－eq \f(1,4)<0，所以B>eq \f(π,2)，这与A＋B＋C＝π矛盾，所以△ABC无解；
对于B，因为csA＝eq \f(\r(13),4)，所以A为锐角，且sinA＝eq \f(\r(3),4)，则a＝bsinA，所以△ABC只有一解；
对于C，由正弦定理eq \f(a,sinA)＝eq \f(b,sinB)，可得sinB＝eq \f(2\r(5),5)>sineq \f(π,3)，又a对于D，由正弦定理eq \f(a,sinA)＝eq \f(b,sinB)，可得sinB＝eq \f(\r(3),3)>sineq \f(π,6).又a答案：CD
7．解析：在△ABC中，∠B＝eq \f(π,4)，∠C＝eq \f(π,3)，c＝eq \f(\r(3),2)，
则：∠A＝π－eq \f(π,4)－eq \f(π,3)＝eq \f(5π,12)，∴∠A>∠C>∠B，∴a>c>b，
利用正弦定理：eq \f(c,sin∠C)＝eq \f(a,sin∠A)，
解得：a＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4).
答案：eq \f(\r(6)＋\r(2),4)
8．解析：由已知得sin2A－sin2B＝sin2C，设△ABC的外接圆的半径为R，根据正弦定理知sinA＝eq \f(a,2R)，sinB＝eq \f(b,2R)，sinC＝eq \f(c,2R)，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2R)))eq \s\up12(2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,2R)))eq \s\up12(2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,2R)))eq \s\up12(2)，
即a2－b2＝c2，故b2＋c2＝a2.所以△ABC是直角三角形．
答案：直角三角形
9．解析：由sinB＝eq \f(1,2)且A＝60°，即0∴C＝90°，
由正弦定理eq \f(b,sinB)＝eq \f(c,sinC)＝eq \f(a,sinA)，
∴b＝eq \f(asinB,sinA)＝eq \f(3sin30°,sin60°)＝eq \r(3)，c＝eq \f(asinC,sinA)＝eq \f(3sin90°,sin60°)＝2eq \r(3).
10．解析：(1)在△ABC中，a＝6，b＝14，B＝eq \f(2π,3).
根据正弦定理eq \f(a,sinA)＝eq \f(b,sinB)，
所以sinA＝eq \f(asinB,b)＝eq \f(6×\f(\r(3),2),14)＝eq \f(3\r(3),14).
(2)由(1)得csA＝eq \r(1－sin2A)＝eq \f(13,14)，
则sinC＝sin (A＋B)＝eq \f(3\r(3),14)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＋eq \f(13,14)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(5\r(3),14)，
所以S△ABC＝eq \f(1,2)ab·sinC＝eq \f(1,2)×6×14×eq \f(5\r(3),14)＝15eq \r(3).
11．解析：∵c＝1<2＝a，∴C为锐角．
由正弦定理可得：eq \f(2,sinA)＝eq \f(1,sinC)，即sinC＝eq \f(1,2)sinA，因为sinA∈(0，1]
∴sinC∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))，
∴0∴角C的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6))).
答案：D
12．解析：若A>B，则a>b，由正弦定理可得eq \f(a,sinA)＝eq \f(b,sinB)，所以sinA>sinB，A选项正确；
bsinA＝4sin30°＝2，则bsinA所以△ABC有两解，B选项正确；
若△ABC为钝角三角形且C为钝角，则csC＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)<0，可得a2＋b2由余弦定理与基本不等式可得4＝a2＝b2＋c2－2bccsA＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，即bc≤4，当且仅当b＝c＝2时，等号成立，
所以S△ABC＝eq \f(1,2)bcsinA＝eq \f(\r(3),4)bc≤eq \r(3)，D选项正确．
答案：ABD
13．解析：由正弦定理得eq \f(a,sinA)＝eq \f(c,sinC)，得sinA＝eq \f(x,10).
因为满足条件的三角形有两个，所以sineq \f(π,6)答案：(5，10)
14．解析：∵C＝eq \f(π,3)，a＝1，c＝eq \r(3)，
∴由正弦定理得sinA＝eq \f(asinC,c)＝eq \f(1,2)，
由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcsC得3＝1＋b2－b，即b2－b－2＝0，
解得b＝2，或b＝－1(舍去)，
答案：eq \f(1,2) 2
15．解析：选择①：
在△ABC中，a＝eq \r(2)，c＝eq \r(10)，b＝4，
由余弦定理得csC＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(（\r(2)）2＋42－（\r(10)）2,2×\r(2)×4)＝eq \f(\r(2),2)，
因为C∈(0，π)，所以sinC＝eq \r(1－cs2C)＝eq \f(\r(2),2)，
在△ABC中，A＋B＝π－C，所以sin(A＋B)＝sinC＝eq \f(\r(2),2).
所以，若选择①，该三角形存在，且sin (A＋B)＝eq \f(\r(2),2).
选择②：
因为csB＝－eq \f(\r(5),5)，B∈(0，π)，所以sinB＝eq \r(1－cs2B)＝eq \f(2\r(5),5)，
因为a＝eq \r(2)，c＝eq \r(10)，csB＝－eq \f(\r(5),5)，
所以b2＝a2＋c2－2accsB＝(eq \r(2))2＋(eq \r(10))2－2×eq \r(2)×eq \r(10)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),5)))＝16，解得b＝4，
结合正弦定理eq \f(b,sinB)＝eq \f(c,sinC)，得到eq \f(4,\f(2\r(5),5))＝eq \f(\r(10),sinC)，解得sinC＝eq \f(\r(2),2)，
在△ABC中，A＋B＝π－C，所以sin (A＋B)＝sinC＝eq \f(\r(2),2).
所以，若选择②，该三角形存在，且sin (A＋B)＝eq \f(\r(2),2).
选择③：
因为(b2＋c2－a2)sinA＝eq \r(3)bccsA，所以2bccsAsinA＝eq \r(3)bccsA，
又A为锐角，所以csA≠0，
所以sinA＝eq \f(\r(3),2)，
由正弦定理eq \f(a,sinA)＝eq \f(c,sinC)，及a＝eq \r(2)，c＝eq \r(10)，得eq \f(\r(2),\f(\r(3),2))＝eq \f(\r(10),sinC)，解得sinC＝eq \f(\r(15),2)>1，该△ABC不存在．
所以，若选择③，该△ABC不存在．
16．解析：(1)由eq \r(3)c＝b(sinA＋eq \r(3)csA)
得：eq \r(3)sinC＝sinBsinA＋eq \r(3)sinBcsA，
∴eq \r(3)sin (A＋B)＝sinBsinA＋eq \r(3)sinBcsA，
∴eq \r(3)sinAcsB＋eq \r(3)csAsinB＝sinBsinA＋eq \r(3)sinBcsA，
所以eq \r(3)sinAcsB＝sinAsinB，
∴tanB＝eq \r(3)，∵B∈(0，π)，∴B＝eq \f(π,3).
(2)∵a＋c＝2，B＝eq \f(π,3)，
∴b2＝a2＋c2－2accsB
＝a2＋c2－ac
＝(a＋c)2－3ac＝4－3ac≥4－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋c,2)))eq \s\up12(2)＝1(当且仅a＝c时取等号)
又b∴b∈[1，2).