湘教版（2019）必修 第二册2.1 两角和与差的三角函数当堂达标检测题

这是一份湘教版（2019）必修 第二册2.1 两角和与差的三角函数当堂达标检测题，共6页。

1．化简sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1( x＋\f(π,3)))＋sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＝( )
A．－sin x B．sin x
C．－cs x D．cs x
2．计算sin 43°cs 13°－cs 43°sin 13°的结果等于( )
A． eq \f(1,2) B． eq \f(\r(3),3)
C． eq \f(\r(2),2) D． eq \f(\r(3),2)
3．已知函数f(x)＝ eq \f(\r(3),2)sin x＋ eq \f(1,2)cs x，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)))＝( )
A． eq \f(\r(2),2) B． eq \f(\r(3),2)
C．1 D． eq \r(2)
4．黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体得比值等于较小部分与较大部分得比值，该比值为m＝ eq \f(\r(5)－1,2)≈0.618，这是公认的最能引起美感的比例．黄金分割比例得值还可以近似地表示为2sin 18°，则 eq \f(\r(3)sin 12°＋m,cs 12°)的近似值等于( )
A． eq \f(1,2) B．1
C．2 D． eq \r(3)
5．若锐角α，β满足cs α＝ eq \f(4,5)，cs (α＋β)＝ eq \f(3,5)，则sin β的值是( )
A． eq \f(17,25) B． eq \f(3,5)
C． eq \f(7,25) D． eq \f(1,5)
6．(多选)下列结论不正确的是( )
A． eq \f(\r(3),2)sin x＋ eq \f(1,2)cs x＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))
B．3 eq \r(15)sin x－3 eq \r(5)cs x＝6 eq \r(5)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))
C． eq \r(3)sin x－cs x＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))
D． eq \f(\r(2),6)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))＋ eq \f(\r(6),6)cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))＝ eq \f(\r(2),3)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－x))
7．sin 15°－cs 15°＝________．
8．若tan α＝3，α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝________．
9．求值：已知sin α＝－ eq \f(5,13)，α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，求sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))的值．
10．设α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，β∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，若cs α＝－ eq \f(1,2)，sin β＝－ eq \f(\r(3),2)，
(1)求sin (α＋β)的值．
(2)求sin (α－β)＋cs (α－β)的值．
[提能力]
11．已知sin α＝ eq \f(\r(5),5)，sin (α－β)＝－ eq \f(\r(10),10)，α，β均为锐角，则角β等于( )
A． eq \f(5π,12) B． eq \f(π,3)
C． eq \f(π,4) D． eq \f(π,6)
12．对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是( )
A．sin (α＋β)B．sin (α＋β)>cs α＋cs β
C．cs (α＋β)D．cs (α＋β)13．已知－ eq \f(π,2)<β<0<α< eq \f(π,2)，cs (α－β)＝ eq \f(3,5)，sin β＝－ eq \f(5,13)，则sin α＝________．
14．已知sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)π＋α))＝ eq \f(5,13)，cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝ eq \f(3,5)，且0<α< eq \f(π,4)<β< eq \f(3,4)π，则sin (α＋β)的值是________．
15．已知0<α< eq \f(π,2)， eq \f(3π,2)<β<2π，tan α＝ eq \f(1,3)，sin β＝－ eq \f(2\r(5),5).
(1)求cs (α－β)的值；
(2)求α＋β的值．
[培优生]
16．已知函数f(x)＝ eq \r(3)sin (ωx＋φ) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω＞0，－\f(π,2)≤φ＜\f(π,2)))的图象关于直线x＝ eq \f(π,3)对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值．
(2)若f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)))＝ eq \f(\r(3),4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＜α＜\f(2π,3)))，求cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2)))的值．
课时作业(十五) 两角和与差的正弦公式
1．解析：sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))
＝eq \f(1,2)sinx＋eq \f(\r(3),2)csx＋eq \f(1,2)sinx－eq \f(\r(3),2)csx
＝sinx.
答案：B
2．解析：sin43°cs13°－cs43°sin13°
＝sin (43°－13°)
＝sin30°
＝eq \f(1,2).
答案：A
3．解析：由题意，函数f(x)＝eq \f(\r(3),2)sinx＋eq \f(1,2)csx＝sinxcseq \f(π,6)＋csxsineq \f(π,6)＝sin (x＋eq \f(π,6))，
则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)＋\f(π,6)))＝sineq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2).
答案：A
4．解析：由题可得m＝2sin18°，
∴eq \f(\r(3)sin12°＋m,cs12°)＝eq \f(\r(3)sin12°＋2sin18°,cs12°)＝eq \f(\r(3)sin12°＋2sin（30°－12°）,cs12°)
＝eq \f(\r(3)sin12°＋2sin30°cs12°－2cs30°sin12°,cs12°)＝eq \f(cs12°,cs12°)＝1.
答案：B
5．解析：∵csα＝eq \f(4,5)，cs (α＋β)＝eq \f(3,5)，α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
∴0<α＋β∴sinβ＝sin [(α＋β)－α]
＝sin (α＋β)csα－cs (α＋β)sinα
＝eq \f(4,5)×eq \f(4,5)－eq \f(3,5)×eq \f(3,5)＝eq \f(7,25).
答案：C
6．解析：因为eq \f(\r(3),2)sinx＋eq \f(1,2)csx＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))，
3eq \r(15)sinx－3eq \r(5)csx＝6eq \r(5)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))，
eq \r(3)sinx－csx＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))，所以A、B、C都错．
答案：ABC
7．解析：sin15°－cs15°＝eq \r(2)(sin15°cs45°－cs15°sin45°)＝eq \r(2)sin (15°－45°)＝－eq \r(2)sin30°＝－eq \f(\r(2),2).
答案：－eq \f(\r(2),2)
8．解析：由tanα＝3，可得eq \f(sinα,csα)＝3.
又sin2α＋cs2α＝1，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
可得sinα＝eq \f(3\r(10),10)，csα＝eq \f(\r(10),10).
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)(sinα－csα)＝eq \f(\r(5),5).
答案：eq \f(\r(5),5)
9．解析：∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，∴csα<0，∴csα＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(12,13)，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝sinαcseq \f(π,3)＋csαsineq \f(π,3)＝－eq \f(5,13)×eq \f(1,2)－eq \f(12,13)×eq \f(\r(3),2)＝－eq \f(5＋12\r(3),26).
10．解析：(1)因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，csα＝－eq \f(1,2)，所以sinα＝eq \f(\r(3),2)，
因为β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，sinβ＝－eq \f(\r(3),2)，所以csβ＝eq \f(1,2).
所以sin (α＋β)＝sinαcsβ＋csαsinβ＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(1,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)))＝eq \f(\r(3),2).
(2)sin (α－β)＋cs (α－β)＝sinαcsβ－csαsinβ＋csαcsβ＋sinαsinβ
＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(1,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))×eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)))＝eq \f(\r(3),4)－eq \f(\r(3),4)－eq \f(1,4)－eq \f(3,4)＝－1.
11．解析：因为α，β均为锐角，所以－eq \f(π,2)<α－β又sin (α－β)＝－eq \f(\r(10),10)，所以cs (α－β)＝eq \f(3\r(10),10).又sinα＝eq \f(\r(5),5)，所以csα＝eq \f(2\r(5),5).
所以sinβ＝sin [α－(α－β)]＝sinαcs (α－β)－csαsin (α－β)
＝eq \f(\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)－eq \f(2\r(5),5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(10),10)))＝eq \f(\r(2),2).
所以β＝eq \f(π,4).
答案：C
12．解析：α，β为锐角，
对于选项A、D，sin (α＋β)＝sinαcsβ＋csαsinβ<1·sinα＋1·sinβ，
cs (α＋β)＝csαcsβ－sinαsinβ<1·csα＋1·csβ，故A、D正确；
对于选项B，取α＝β＝30°，得sin (α＋β)＝eq \f(\r(3),2)，csα＋csβ＝eq \r(3)，故B错误；
对于选项C，取α＝β＝0.0001°，易知cs (α＋β)≈1，而sinα＋sinβ≈0，故C错误．
答案：AD
13．解析：因为－eq \f(π,2)<β<0<α所以0<α－β<π，
因为cs (α－β)＝eq \f(3,5)，sinβ＝－eq \f(5,13)，所以sin (α－β)＝eq \f(4,5)，csβ＝eq \f(12,13)，
所以sinα＝sin (α－β＋β)＝sin (α－β)csβ＋cs (α－β)sinβ
＝eq \f(4,5)×eq \f(12,13)＋eq \f(3,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,13)))＝eq \f(33,65).
答案：eq \f(33,65)
14．解析：因sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)π＋α))＝eq \f(5,13)，即sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))))＝eq \f(5,13)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(5,13)
又0<α而cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(3,5)，eq \f(π,4)<β则有sin(α＋β)＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(12,13)×eq \f(3,5)＋eq \f(5,13)×eq \f(4,5)＝eq \f(56,65)，
所以sin (α＋β)的值是eq \f(56,65).
答案：eq \f(56,65)
15．解析：因为tanα＝eq \f(1,3)，所以eq \f(sinα,csα)＝eq \f(1,3)，又因为sin2α＋cs2α＝1，0<α所以sinα＝eq \f(\r(10),10)，csα＝eq \f(3\r(10),10)，因为sinβ＝－eq \f(2\r(5),5)，eq \f(3π,2)<β<2π，
所以csβ＝eq \r(1－sin2β)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(5),5)))\s\up12(2))＝eq \f(\r(5),5).
(1)cs(α－β)＝csαcsβ＋sinαsinβ＝eq \f(3\r(10),10)×eq \f(\r(5),5)＋eq \f(\r(10),10)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(5),5)))＝eq \f(\r(2),10).
(2)因为sin (α＋β)＝sinαcsβ＋csαsinβ＝eq \f(\r(10),10)×eq \f(\r(5),5)＋eq \f(3\r(10),10)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(5),5)))＝－eq \f(\r(2),2).
因为0<α16．解析：(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝eq \f(2π,T)＝2.
又因为f(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,3)对称，
所以2·eq \f(π,3)＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，
由－eq \f(π,2)≤φ＜eq \f(π,2)，得k＝0，
所以φ＝eq \f(π,2)－eq \f(2π,3)＝－eq \f(π,6).
(2)由(1)得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)))
＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2·\f(α,2)－\f(π,6)))＝eq \f(\r(3),4)，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝eq \f(1,4).
由eq \f(π,6)＜α＜eq \f(2π,3)得0＜α－eq \f(π,6)＜eq \f(π,2)，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6))))
＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))\s\up12(2))＝eq \f(\r(15),4).
因此cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2)))＝sinα
＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＋\f(π,6)))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))cseq \f(π,6)＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))sineq \f(π,6)
＝eq \f(1,4)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(\r(15),4)×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(3)＋\r(15),8).