湘教版（2019）必修 第二册第2章 三角恒等变换2.1 两角和与差的三角函数课时作业

这是一份湘教版（2019）必修 第二册第2章 三角恒等变换2.1 两角和与差的三角函数课时作业，共5页。
1．在△ABC中，BC＝3，AC＝6，∠C＝120°，则边长AB为( )
A．3 eq \r(7) B．3 eq \r(3)
C．3 eq \r(5＋2\r(3)) D．3 eq \r(5－2\r(3))
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝ eq \f(π,3)，a＝3，b＝ eq \r(3)，则c＝( )
A． eq \r(3) B．3－ eq \r(3)
C．3 D．2 eq \r(3)
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b2＋c2＝a2－ eq \r(3)bc，则角A的大小为( )
A． eq \f(π,6) B． eq \f(2π,3)
C． eq \f(π,3) D． eq \f(5π,6)
4．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a∶c＝2∶ eq \r(3)，B＝30°，则角C的大小是( )
A．75° B．45°
C．30° D．60°
5．已知△ABC内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，a＝b cs C，则△ABC形状一定是( )
A．等腰直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．直角三角形
6．(多选)在△ABC中， eq \(AB,\s\up6(→))＝c， eq \(BC,\s\up6(→))＝a， eq \(CA,\s\up6(→))＝b在下列说法中，正确的有( )
A．若a·b>0，则△ABC为锐角三角形
B．若a·b＝0，则△ABC为钝角三角形
C．若a·b＝c·b，则△ABC为等腰三角形
D．若 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋c－b))· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋b－c))＝0，则△ABC为直角三角形
7．在△ABC中，B＝30°，AB＝15，BC＝5 eq \r(3)，则AC＝________．
8．a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边．已知a2＋ eq \f(1,7)bc＝b2＋c2，则cs A＝________．
9．在△ABC中，已知sin C＝ eq \f(1,2)，a＝2 eq \r(3)，b＝2，求边c.
10．已知a，b，c是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，a＝4 eq \r(3)，b＝6，cs A＝－ eq \f(1,3).
(1)求c；
(2)求cs 2B的值．
[提能力]
11．在△ABC中，若a＝8，b＝7，cs C＝ eq \f(13,14)，则最大角的余弦值是( )
A．－ eq \f(1,5) B．－ eq \f(1,6)
C．－ eq \f(1,7) D．－ eq \f(1,8)
12．(多选)下列命题中，正确的是( )
A．若a，b，c是三角形三边，且a2＋b2－c2>0，则C是锐角
B．在△ABC中，若a2B＋C
C．在△ABC中，若4sin A cs A＝0，则△ABC一定是直角三角形
D．任何三角形的三边之比不可能是1∶2∶3
13．在△ABC中，设边a，b，c所对的角为A，B，C，若cs A＝ eq \f(1,2)，a＝ eq \r(6)，则bc的最大值为________．
14．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2 eq \r(3)x＋2＝0的两根，2cs (A＋B)＝1.
(1)角C的度数为________；
(2)AB的长为________．
15．在△ABC中，∠A＝60°，AB＝6，AC＝3，点D在BC边上，
(1)求BC边的长；
(2)若AD＝BD，求AD的长．
[培优生]
16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),3)，\r(2)))，a＝1，且ab cs C＋c cs B＝bc，求cs A的取值范围．
课时作业(九) 余弦定理
1．解析：由已知AB＝eq \r(AC2＋BC2－2AC·BCcs120°)＝eq \r(62＋32－2×6×3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))))＝3eq \r(7).
答案：A
2．解析：因为A＝eq \f(π,3)，a＝3，b＝eq \r(3)，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccsA，
即9＝3＋c2－2c×eq \r(3)×cseq \f(π,3)＝3＋c2－eq \r(3)c，∴c2－eq \r(3)c－6＝0，
∴c＝2eq \r(3)或c＝－eq \r(3)(舍).
答案：D
3．解析：在△ABC中，因b2＋c2＝a2－eq \r(3)bc，
由余弦定理得csA＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(a2－\r(3)bc－a2,2bc)＝－eq \f(\r(3),2)，而0B>C，
因此csA＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(49＋9－64,2×7×3)＝－eq \f(1,7).
答案：C
12．解析：对于A：由余弦定理可得csC＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)>0，又C∈(0，π)，所以C∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
所以角C是锐角，故A正确；
对于B：由余弦定理可得csA＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)>0，又A∈(0，π)，所以A∈(0，eq \f(π,2))，
所以角A是锐角，所以B＋C>eq \f(π,2)>A，故B错误；
对于C：因为4sinAcsA＝0，A∈(0，π)，所以sinA≠0，
所以csA＝0，则A＝eq \f(π,2)，所以△ABC一定是直角三角形，故C正确；
对于D：若三角形三边之比是1∶2∶3，不妨设三边为a，2a，3a，则两短边之和为3a，不满足三角形两边之和大于第三边，故任何三角形的三边之比不可能是1∶2∶3，故D正确．
答案：ACD
13．解析：根据题意，在△ABC中，若csA＝eq \f(1,2)，a＝eq \r(6)，则a2＝b2＋c2－2bccsA，即b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝6，又由(b＋c)2≥4bc，则有4bc－3bc＝bc≤6，即bc的最大值为6.
答案：6
14．解析：(1)∵csC＝cs [π－(A＋B)]＝－cs (A＋B)＝－eq \f(1,2)，且C∈(0，π)，∴C＝eq \f(2π,3).
(2)∵a，b是方程x2－2eq \r(3)x＋2＝0的两根，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋b＝2\r(3)，,ab＝2，))
∴AB2＝b2＋a2－2abcseq \f(2π,3)＝(a＋b)2－ab＝10，
∴AB＝eq \r(10).
答案：eq \f(2π,3) eq \r(10)
15．解析：(1)BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcs∠CAB＝32＋62－2×3×6×cs60°＝27，
∴BC＝eq \r(27)＝3eq \r(3).
(2)在△ABC和△ABD中
csB＝eq \f(BC2＋AB2－AC2,2BC·AB)＝eq \f(BD2＋AB2－AD2,2AB·BD)，
∴eq \f(27＋62－32,2×3\r(3)×6)＝eq \f(62,2×6×BD)，
解BD＝2eq \r(3)，∴AD＝2eq \r(3).
16．解析：由abcsC＋ccsB＝bc及a＝1得bcsC＋ccsB＝b，
由余弦定理可得b·eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＋c·eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝b,
解得a＝bc，即bc＝1，
又由余弦定理可知csA＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(\f(1,c2)＋c2－1,2)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,c2)＋c2－1)).
∵c∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),3)，\r(2)))，令feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝x＋eq \f(1,x)，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,9)，2))，
易知函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,9)，1))上单调递减，在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，2))上单调递增，
∴2≤feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))≤eq \f(5,2)，
则2≤eq \f(1,c2)＋c2≤eq \f(5,2)，∴1≤eq \f(1,c2)＋c2－1≤eq \f(3,2)，
∴csA∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,4))).