2024版新教材高中数学第三章函数的概念与性质单元素养水平监测新人教A版必修第一册

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第三章　单元素养水平监测(时间：120分钟　满分：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．函数f(x)＝eq \r(2x－1)＋eq \f(1,x－2)的定义域为(　　)A．[eq \f(1,2)，＋∞) B．(－∞，2)∪(2，＋∞)C．[eq \f(1,2)，2)∪(2，＋∞) D．(2，＋∞)2．∀x∈R，[x]表示不超过x的最大整数，十八世纪，函数y＝[x]被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”，则[4.8]－[－3.5]＝(　　)A．0B．1C．7D．83．已知幂函数f(x)的图象过点(2，8)，则f(x)(　　)A．是奇函数，在(0，＋∞)上是减函数B．是偶函数，在(0，＋∞)上是减函数C．是奇函数，在(－∞，0)上是增函数D．是偶函数，在(－∞，0)上是减函数4．函数y＝eq \f(2x,x2＋1)的图象大致为(　　)5．函数y＝x2－2|x|＋1的单调递增区间是(　　)A．(－1，0) B．(－1，0)和(1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－∞，－1)和(0，1)6．已知定义在R上的偶函数f(x)在(0，＋∞)单调递减，则(　　)A．f(2)0,－1，x<0))11．对于定义在R上的函数f(x)，下列说法正确的是(　　)A．若f(x)是奇函数，则f(x－1)的图象关于点(1，0)对称B．若对x∈R，有f(x＋1)＝f(x－1)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称C．若函数f(x＋1)的图象关于直线x＝－1对称，则f(x)为偶函数D．若f(x＋1)＋f(x－1)＝2，则f(x)的图象关于点(1，1)对称12．已知函数f(x)的定义域为A，若对任意x∈A，存在正数M，使得|f(x)|≤M成立，则称函数f(x)是定义在A上的“有界函数”．则下列函数是“有界函数”的是(　　)A．f(x)＝eq \f(3＋x,4－x)B．f(x)＝eq \r(1－x2)C．f(x)＝eq \f(5,x2－2x＋2)D．f(x)＝|x|＋eq \r(4－|x|)三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．f(eq \r(x)＋1)＝x－1，则f(x)＝________．14．已知奇函数f(x)在区间[2，8]上单调递减，且在区间[2，8]上的最大值为3，最小值为－3，则2f(－8)＋f(－2)＝________．15．某在校大学生提前创业，想开一家服装专卖店，经过预算，店面装修费为10000元，每天需要房租水电等费用100元，受营销方法、经营信誉度等因素的影响，专卖店销售总收入P与店面经营天数x的关系是P(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(300x－\f(1,2)x2，0≤x<300,45000，x≥300))，则总利润最大时店面经营天数是________．16．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋3mx，x≤1,xm＋1，x>1))(1)当m＝1时，不等式f(x)－3>0的解集为________；(2)若f(x)是定义在R上的增函数，则实数m的取值范围为________．四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题10分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2－2x.(1)求函数f(x)(x∈R)的解析式；(2)作出函数f(x)(x∈R)的图象，并根据图象写出函数f(x)的单调区间．18．(本小题12分)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4，6].(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)若f(x)在区间[－4，6]上是单调函数，求实数a的取值范围．19．(本小题12分)已知函数f(x)＝eq \f(x2＋4,x).(1)证明f(x)在区间(0，2]上单调递减；(2)已知a>0，f(x)在[a，1]上的值域是[b，eq \f(37,3)]，求a，b的值．20．(本小题12分)已知函数f(x)＝eq \f(ax＋b,x2＋1)是定义在(－1，1)上的奇函数，且f(eq \f(1,2))＝eq \f(2,5).(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在(－1，1)上的单调性，并用定义证明．21．(本小题12分)已知某电子公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元，设该公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为R(x)万美元，且R(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(400－6x，040，且x∈N*，))(1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万部)的函数解析式(利润＝销售收入－成本)；(2)当年产量为多少万部时，该公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．22．(本小题12分)已知函数f(x)的定义域为R，对任意实数x，y，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2.当x>0时，f(x)<－2，f(1)＝－6.(1)求f(0)，f(－1)的值；(2)判断函数f(x)的单调性并加以证明；(3)解不等式f(x2)－f(x＋eq \f(7,4))>4.第三章　单元素养水平监测1．解析：要使函数有意义，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1≥0,x－2≠0))，解得x≥eq \f(1,2)且x≠2，所以定义域为[eq \f(1,2)，2)∪(2，＋∞).故选C.答案：C2．解析：由题意可知[4.8]－[－3.5]＝4－(－4)＝8.故选D.答案：D3．解析：设幂函数解析式为f(x)＝xα，因为幂函数f(x)的图象过点(2，8)，∴f(2)＝2α＝8，解得α＝3，则f(x)＝x3，∴f(x)是奇函数，在R上单调递增．故选C.答案：C4．解析：设y＝f(x)＝eq \f(2x,x2＋1)，易知定义域为R，关于原点对称，因为f(－x)＝eq \f(－2x,（－x）2＋1)＝－eq \f(2x,x2＋1)＝－f(x)，所以该函数是奇函数，其图象关于原点对称，因此排除选项B、C.当x≥0时，f(x)＝eq \f(2x,x2＋1)≥0，当x<0时，f(x)＝eq \f(2x,x2＋1)<0，因此排除选项D.故选A.答案：A5．解析：y＝x2－2|x|＋1＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x－1）2，x≥0,（x＋1）2，x<0))，作出其图象如图所示：由图象可知，函数的增区间为(－1，0)和(1，＋∞).故选B.答案：B6．解析：由函数为偶函数，在(0，＋∞)单调递减，则f(－3)＝f(3)，f(－4)＝f(4)，f(4)800) ，则400×5%＋(x－800)×15%＝65，解得x＝1100(元)，则此顾客实际所付金额为1100－65＝1035元．故选C.答案：C8．解析：由题意得f(x)在(－∞，0)上单调递增，且f(－1)＝f(1)＝0，因为f(x2－3x＋3)≥0，所以－1≤x2－3x＋3≤1，解得1≤x≤2，所以不等式f(x2－3x＋3)≥0的解集是[1，2].故选A.答案：A9．解析：对选项A：y＝2x是奇函数，错误；对选项B：y＝f(x)＝x2＋1，f(－x)＝(－x)2＋1＝f(x)，函数是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，正确；对选项C：y＝g(x)＝|x|，g(－x)＝|－x|＝|x|＝g(x)，函数为偶函数，当x∈(0，＋∞)时，g(x)＝x单调递增，正确；对选项D：y＝h(x)＝|eq \f(1,x)－x|，h(1)＝0，h(eq \f(1,2))＝eq \f(3,2)，h(1)0,－1，x<0))与g(x)定义域和对应法则都相同，为同一函数．故选ACD.答案：ACD11．解析：对A，f(x)是奇函数，故图象关于原点对称，将f(x)的图象向右平移1个单位得f(x－1)的图象，故f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，故A正确；对B，若对x∈R，有f(x＋1)＝f(x－1)，得f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是一个周期为2的周期函数，不能说明其图象关于直线x＝1对称，故B错误；对C，若函数f(x＋1)的图象关于直线x＝－1对称，则f(x)的图象关于y轴对称，故为偶函数，故C正确；对D，由f(x＋1)＋f(x－1)＝2得f(1)＋f(－1)＝2，f(2)＋f(0)＝2，f(3)＋f(1)＝2，f(4)＋f(2)＝2，…，f(x)的图象不关于(1，1)对称，故D错误.故选AC.答案：AC12．解析：对于A，f(x)＝eq \f(3＋x,4－x)＝eq \f(－（4－x）＋7,4－x)＝－1＋eq \f(7,4－x)，由于eq \f(7,4－x)≠0，所以f(x)≠－1，所以|f(x)|∈[0，＋∞)，故不存在正数M，使得|f(x)|≤M成立．对于B，令u＝1－x2，则u∈[0，1]，f(x)＝eq \r(u)，所以f(x)∈[0，1]，故存在正数1，使得|f(x)|≤1成立．对于C，令u＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，则f(x)＝eq \f(5,u)，易得u≥1.所以01))，由f(x)－3>0得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋3x－3>0,x≤1))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x－\f(3,2)）2＋\f(3,4)<0,x≤1))⇒x无解，或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1－3>0,x>1))⇒x>2.故所求解集为(2，＋∞)；(2)f(x)是定义在R上的增函数等价于g(x)＝－x2＋3mx，x≤1单调递增，h(x)＝xm＋1，x>1单调递增，且g(1)≤h(1)，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(3m,2)≥1,m>0,－1＋3m≤1m＋1))⇒eq \f(2,3)≤m≤1，故实数m的取值范围为[eq \f(2,3)，1].答案：(1)(2，＋∞)　(2)[eq \f(2,3)，1]17．解析：(1)设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x，∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝x2＋2x，∴f(x)＝－x2－2x，∴f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x≥0,－x2－2x，x<0)).(2)图象如图所示：由图可知f(x)的单调区间有(－∞，－1)，(－1，1)，(1，＋∞)，单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，单调递减区间为(－1，1).18．解析：(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，∴f(x)在[－4，2]上单凋递减，在[2，6]上单调递增，∴f(x)min＝f(2)＝－1，f(x)max＝f(－4)＝(－4)2－4×(－4)＋3＝35.(2)f(x)＝x2＋2ax＋3＝(x＋a)2＋3－a2，∴要使f(x)在[－4，6]上为单调函数，只需－a≤－4或－a≥6，解得a≥4或a≤－6.∴实数a的取值范围为(－∞，－6]∪[4，＋∞).19．解析：(1)证明：∀x1，x2∈(0，2]，且x10，即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在区间(0，2]上单调递减．(2)由(1)可知，f(x)在[a，1]上单调递减且040时，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－eq \f(40000,x)－16x＋7360，∴W＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－6x2＋384x－40，040，且x∈N*)).(2)①当040时，W＝－eq \f(40000,x)－16x＋7360＝－(eq \f(40000,x)＋16x)＋7360≤－2eq \r(\f(40000,x)·16x)＋7360＝5760，当且仅当eq \f(40000,x)＝16x，即x＝50时，等号成立，即当x＝50时，Wmax＝5760<6104，综上所述，当x＝32时，W取得最大值为6104万美元，即当年产量为32万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大，最大利润为6104万美元．22．解析：(1)令x＝y＝0，得f(0)＝2f(0)＋2，即f(0)＝－2.令x＝1，y＝－1，得f(0)＝f(1)＋f(－1)＋2，即f(－1)＝f(0)－f(1)－2＝2.(2)函数f(x)是减函数，证明如下：∀x1，x2∈R，当x10，则f(x2－x1)<－2，f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]＝f(x1)＋f(x2－x1)＋2f(x2)，所以函数f(x)是减函数．(3)f(－1)＝2，所以f(x2)>f(x＋eq \f(7,4))＋f(－1)＋2，即f(x2)>f(x＋eq \f(3,4))，因为函数f(x)是减函数，不等式可化为x2