物理选择性必修 第二册第一章 安培力与洛伦兹力4 质谱仪与回旋加速器精品综合训练题

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一、质谱仪
1．构造：主要构件有加速电场、偏转磁场和照相底片．
2．运动过程(如图)
(1)加速：带电粒子经过电压为U的加速电场加速，qU＝eq \f(1,2)mv2.由此可得v＝eq \r(\f(2qU,m)).
(2)偏转：垂直进入磁感应强度为B的匀强磁场中，做匀速圆周运动，r＝eq \f(mv,qB)，可得r＝eq \f(1,B)eq \r(\f(2mU,q)).
3．分析：从粒子打在底片D上的位置可以测出圆周的半径r，进而可以算出粒子的比荷．
4．应用：可以测定带电粒子的质量和分析同位素．
二、回旋加速器
1.回旋加速器的构造：两个D形盒．两D形盒接交流电源，D形盒处于垂直于D形盒的匀强磁场中，如图．
2．工作原理
(1)电场的特点及作用
特点：两个D形盒之间的窄缝区域存在周期性变化的电场．
作用：带电粒子经过该区域时被加速．
(2)磁场的特点及作用
特点：D形盒处于与盒面垂直的匀强磁场中．
作用：带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，从而改变运动方向，半个圆周后再次进入电场．
判断下列说法的正误．
(1)质谱仪工作时，在电场和磁场确定的情况下，同一带电粒子在磁场中的半径相同．( √ )
(2)因不同原子的质量不同，所以同位素在质谱仪中的轨迹半径不同．( √ )
(3)回旋加速器加速电场的周期可以不等于粒子的回旋周期．( × )
(4)回旋加速器中带电粒子的动能来自磁场．( × )
一、质谱仪
导学探究
如图所示为质谱仪原理示意图．设粒子质量为m、电荷量为q，加速电场电压为U，偏转磁场的磁感应强度为B，粒子从容器A下方的小孔S1飘入加速电场，其初速度几乎为0.则粒子进入磁场时的速度是多大？打在底片上的位置到S3的距离多大？
答案 由动能定理知qU＝eq \f(1,2)mv2，则粒子进入磁场时的速度大小为v＝eq \r(\f(2qU,m))，由于粒子在磁场中运动的轨迹半径为r＝eq \f(mv,qB)＝eq \f(1,B)eq \r(\f(2mU,q))，所以打在底片上的位置到S3的距离为eq \f(2,B)eq \r(\f(2mU,q)).
知识深化
1．带电粒子运动分析
(1)加速电场加速：根据动能定理，qU＝eq \f(1,2)mv2.
(2)匀强磁场偏转：洛伦兹力提供向心力，qvB＝eq \f(mv2,r).
(3)结论：r＝eq \f(1,B)eq \r(\f(2mU,q))，测出半径r，可以算出粒子的比荷eq \f(q,m).
2．质谱仪区分同位素：由qU＝eq \f(1,2)mv2和qvB＝meq \f(v2,r)可求得r＝eq \f(1,B)eq \r(\f(2mU,q)).同位素的电荷量q相同，质量m不同，在质谱仪照相底片上显示的位置就不同，故能据此区分同位素．
例1 (2018·全国卷Ⅲ)如图，从离子源产生的甲、乙两种离子，由静止经加速电压U加速后在纸面内水平向右运动，自M点垂直于磁场边界射入匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场左边界竖直．已知甲种离子射入磁场的速度大小为v1，并在磁场边界的N点射出；乙种离子在MN的中点射出；MN长为l.不计重力影响和离子间的相互作用．求：
(1)磁场的磁感应强度大小；
(2)甲、乙两种离子的比荷之比．
答案 (1)eq \f(4U,lv1) (2)1∶4
解析 (1)设甲种离子所带电荷量为q1，质量为m1，在磁场中做匀速圆周运动的半径为R1，磁场的磁感应强度大小为B，由动能定理有q1U＝eq \f(1,2)m1v12①
由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有q1v1B＝m1eq \f(v12,R1)②
由几何关系知2R1＝l③
由①②③式得，磁场的磁感应强度大小为B＝eq \f(4U,lv1).④
(2)设乙种离子所带电荷量为q2，质量为m2，射入磁场的速度为v2，在磁场中做匀速圆周运动的半径为R2.同理有q2U＝eq \f(1,2)m2v22⑤
q2v2B＝m2eq \f(v22,R2)⑥
由几何关系知2R2＝eq \f(l,2)⑦
由①②③⑤⑥⑦式得，甲、乙两种离子的比荷之比为eq \f(q1,m1)∶eq \f(q2,m2)＝1∶4.
针对训练 质谱仪是一种测定带电粒子质量和分析同位素的重要工具，它的构造原理如图所示．离子源S0产生的各种不同正离子束(初速度可看作零)，经加速电场(加速电场极板间的距离为d、电势差为U)加速，然后垂直进入磁感应强度为B的有界匀强磁场中做匀速圆周运动，最后到达记录它的照相底片P上．设离子在P上的位置与入口处S1之间的距离为x.
(1)求该离子的比荷；
(2)若离子源产生的是带电荷量为q、质量为m1和m2的同位素离子(m1>m2)，它们分别到达照相底片的P1、P2位置(图中未画出)，求P1、P2间的距离Δx.
答案 (1)eq \f(8U,B2x2) (2)eq \f(2\r(2qU),Bq)(eq \r(m1)－eq \r(m2))
解析 (1)设该离子的质量为m，带电荷量为q0，离子在电场中加速，由动能定理得q0U＝eq \f(1,2)mv2
离子在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得
q0vB＝meq \f(v2,r)，其中r＝eq \f(x,2)
解得eq \f(q0,m)＝eq \f(8U,B2x2).
(2)设质量为m1的离子在磁场中的运动半径是r1，质量为m2的离子在磁场中的运动半径是r2，由(1)中分析得r1＝eq \f(\r(2qUm1),Bq)，r2＝eq \f(\r(2qUm2),Bq)
故P1、P2间的距离
Δx＝2(r1－r2)＝eq \f(2\r(2qU),Bq)(eq \r(m1)－eq \r(m2))．
二、回旋加速器
导学探究
回旋加速器两D形盒之间有窄缝，中心附近放置粒子源(如质子、氘核或α粒子源)，D形盒间接上交流电源，在狭缝中形成一个交变电场．D形盒上有垂直盒面的匀强磁场(如图所示)．

(1)回旋加速器中磁场和电场分别起什么作用？对交流电源的周期有什么要求？在一个周期内加速几次？
(2)带电粒子获得的最大动能由哪些因素决定？如何提高粒子的最大动能？
答案 (1)磁场的作用是使带电粒子回旋，电场的作用是使带电粒子加速．交流电源的周期应等于带电粒子在磁场中运动的周期．一个周期内加速两次．
(2)当带电粒子速度最大时，其运动半径也最大，即rm＝eq \f(mvm,Bq)，可得Ekm＝eq \f(q2B2rm2,2m)，所以要提高带电粒子的最大动能，则应尽可能增大磁感应强度B和D形盒的半径rm.
知识深化
1．粒子被加速的条件
交变电场的周期等于粒子在磁场中运动的周期．
2．粒子最终的能量
粒子速度最大时的半径等于D形盒的半径，即rm＝R，rm＝eq \f(mvm,qB)，则粒子的最大动能Ekm＝eq \f(q2B2R2,2m).
3．提高粒子最终能量的措施：由Ekm＝eq \f(q2B2R2,2m)可知，应增大磁感应强度B和D形盒的半径R.
4．粒子被加速次数的计算：粒子在回旋加速器中被加速的次数n＝eq \f(Ekm,qU)(U是加速电压的大小)．
5．粒子在回旋加速器中运动的时间：在电场中运动的时间为t1，在磁场中运动的时间为t2＝eq \f(n,2)·T＝eq \f(nπm,qB)(n为加速次数)，总时间为t＝t1＋t2，因为t1≪t2，一般认为在回旋加速器中运动的时间近似等于t2.
例2 (多选)1930年物理学家劳伦斯提出回旋加速器的理论，1932年首次研制成功．如图所示为两个半径为R的中空半圆金属盒D1、D2置于真空中，金属盒D1、D2间接有电压为U的交流电为粒子加速，金属盒D1圆心O处粒子源产生的粒子初速度为零．匀强磁场垂直两盒面，磁感应强度大小为B，粒子运动过程不考虑相对论效应和重力的影响，忽略粒子在两金属盒之间运动的时间，下列说法正确的是( )
A．交流电的周期和粒子在磁场中运动的周期相同
B．加速电压U越大，粒子最终射出D形盒时的动能就越大
C．粒子最终射出D形盒时的动能与加速电压U无关
D．粒子第一次加速后和第二次加速后速度之比是1∶eq \r(2)
答案 ACD
解析 为了保证每次带电粒子经过狭缝时均被加速，使其能量不断提高，要在狭缝处加一个与粒子运动的周期一致的交流电，A正确；粒子射出时圆周运动半径为R，有：qvmB＝eq \f(mvm2,R)，解得最大速度为：vm＝eq \f(qBR,m)，所以最大动能为：Ekm＝eq \f(1,2)mvm2＝eq \f(q2B2R2,2m)，与加速电压U无关，B错误，C正确；第一次加速：qU＝eq \f(1,2)mv12，解得：v1＝eq \r(\f(2qU,m))，第二次加速：qU＝eq \f(1,2)mv22－eq \f(1,2)mv12，解得：v2＝2eq \r(\f(qU,m))，所以粒子第一次加速后和第二次加速后速度之比是：v1∶v2＝1∶eq \r(2)，D正确．
例3 如图所示是回旋加速器的工作原理图，两个半径为R的中空半圆金属盒D1、D2间窄缝宽为d，两金属电极间接有高频电压U，中心O处粒子源产生质量为m、电荷量为q的粒子，匀强磁场垂直两盒面，粒子在磁场中做匀速圆周运动，设粒子在匀强磁场中运行的总时间为t，则下列说法正确的是( )
A．粒子的比荷eq \f(q,m)越小，时间t越大
B．加速电压U越大，时间t越大
C．磁感应强度B越大，时间t越大
D．窄缝宽度d越大，时间t越大
答案 C
解析 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得Bqv＝meq \f(v2,r)，且粒子运动的最大半径为R，则带电粒子获得的最大动能为Ekm＝eq \f(q2B2R2,2m)；设加速次数为n，则nqU＝Ekm，粒子每加速一次后，在磁场中运动半个周期，且T＝eq \f(2πm,qB)，则粒子在匀强磁场中运行的总时间t＝eq \f(n,2)T＝eq \f(nπm,qB)，联立得t＝eq \f(πBR2,2U)，故C正确，A、B、D错误．
考点一 质谱仪
1.1922年，英国科学家阿斯顿因质谱仪的发明、同位素和质谱的研究荣获了诺贝尔化学奖．质谱仪的两大重要组成部分是加速电场和偏转磁场．如图所示为质谱仪的原理图，设想有一个静止的带电粒子P(不计重力)，经电压为U的加速电场加速后，垂直进入磁感应强度为B的匀强磁场中，最后打到底片上的D点．设OD＝x，则在下列图像中能正确反映x2与U之间函数关系的是( )
答案 A
解析 粒子在加速电场中根据动能定理有qU＝eq \f(1,2)mv2，得v＝eq \r(\f(2qU,m)).粒子在磁场中偏转，洛伦兹力提供向心力，则qvB＝meq \f(v2,R)，得轨道半径R＝eq \f(1,B)eq \r(\f(2mU,q))，则x＝2R＝eq \f(2,B)eq \r(\f(2mU,q))，知x2∝U，故A正确，B、C、D错误．
2.(多选)如图是质谱仪的工作原理示意图，带电粒子经加速电场加速后，进入速度选择器．速度选择器内相互正交的匀强磁场和匀强电场的磁感应强度和电场强度分别为B和E.平板S上有可让粒子通过的狭缝P和记录粒子位置的胶片A1A2.平板S下方有磁感应强度为B0的匀强磁场．下列表述正确的是( )
A．质谱仪是分析同位素的重要工具
B．速度选择器中的磁场方向垂直纸面向内
C．能通过狭缝P的带电粒子的速率等于eq \f(E,B)
D．粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝P，粒子的比荷越小
答案 AC
解析 粒子打在胶片上的位置到狭缝的距离即其做匀速圆周运动的直径D＝eq \f(2mv,qB0)，可见D越小，则粒子的比荷越大，因此利用该装置可以分析同位素，A正确，D错误．粒子在题图中的电场中加速，说明粒子带正电，其通过速度选择器时，静电力与洛伦兹力平衡，则洛伦兹力方向应水平向左，由左手定则知，磁场的方向应垂直纸面向外，B错误．由 Eq＝Bqv可知，v＝eq \f(E,B)，C正确．
3.(多选)质谱仪是一种测定带电粒子质量和分析同位素的重要工具，它的构造原理如图所示．离子源S产生的各种不同正离子束(初速度可看作为零)，经加速电场加速后垂直进入有界匀强磁场，到达记录它的照相底片P上．设离子在P上的位置与进入磁场处之间的距离为x，可以判断( )
A．若离子束是同位素，则x越大，离子质量越大
B．若离子束是同位素，则x越大，离子质量越小
C．只要x相同，则离子的比荷一定相等
D．只要x相同，则离子质量一定相等
答案 AC
解析 根据动能定理，有qU＝eq \f(1,2)mv2，得v＝eq \r(\f(2qU,m))；由qvB＝eq \f(mv2,r)，得r＝eq \f(mv,qB)＝eq \f(1,B)eq \r(\f(2mU,q))，则x＝2r＝eq \f(2,B)eq \r(\f(2mU,q)).若离子束是同位素，q相同，x越大对应的离子质量越大，故A正确，B错误；由x＝2r＝eq \f(2,B)eq \r(\f(2mU,q))知，只要x相同，对应的离子的比荷一定相等，但质量不一定相等，故C正确，D错误．
考点二 回旋加速器
4．(多选)回旋加速器是加速带电粒子的装置，其核心部分是分别与高频交流电源相连接的两个D形金属盒，两盒间的狭缝中形成周期性变化的电场，使粒子在通过狭缝时都能得到加速，两D形金属盒处于垂直于盒底面的匀强磁场中，如图所示，要增大带电粒子射出时的动能，粒子重力不计，下列说法正确的是( )
A．增大交流电源的电压
B．增大磁感应强度
C．减小狭缝间的距离
D．增大D形盒的半径
答案 BD
解析 由qvB＝meq \f(v2,R)，解得v＝eq \f(qBR,m)，则动能Ek＝eq \f(1,2)mv2＝eq \f(q2B2R2,2m)，可知动能与加速电压和狭缝间的距离无关，与磁感应强度大小和D形盒的半径有关，增大磁感应强度或D形盒的半径，可以增加粒子射出时的动能，故B、D正确．
5.(多选)回旋加速器的工作原理如图所示，真空容器D形盒放在与盒面垂直的匀强磁场中，且磁感应强度B保持不变．两盒间狭缝间距很小，粒子从粒子源A处(D形盒圆心)进入加速电场(初速度近似为零)．D形盒半径为R，粒子质量为m、电荷量为＋q，加速器接电压为U的高频交流电源．若不考虑相对论效应、粒子所受重力和带电粒子穿过狭缝的时间．下列论述正确的是( )
A．交流电源的频率可以任意调节不受其他条件的限制
B．加速氘核(eq \\al(2,1)H)和氦核(eq \\al(4,2)He)两次所接高频电源的频率不相同
C．加速氘核(eq \\al(2,1)H)和氦核(eq \\al(4,2)He)它们的最大速度相同
D．增大U，粒子在D形盒内运动的总时间t减少
答案 CD
解析 根据回旋加速器的原理，每转一周粒子被加速两次，交流电完成一次周期性变化，洛伦兹力提供粒子做圆周运动所需向心力，由牛顿第二定律得qvB＝meq \f(v2,r)，粒子做圆周运动的周期T＝eq \f(2πr,v)＝eq \f(2πm,qB)，交流电源的频率f＝eq \f(1,T)＝eq \f(qB,2πm)，可知交流电源的频率不可以任意调节，故A错误；加速氘核(eq \\al(2,1)H)和氦核(eq \\al(4,2)He)时，圆周运动的频率f＝eq \f(qB,2πm)，因氘核和氦核的比荷相同，故两次所接高频电源的频率相同，故B错误；粒子加速后的最大轨道半径等于D形盒的半径，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得qvmB＝meq \f(vm2,R)，解得粒子的最大运动速度vm＝eq \f(qBR,m)，故加速氘核(eq \\al(2,1)H)和氦核(eq \\al(4,2)He)它们的最大速度相等，故C正确；粒子完成一次圆周运动被电场加速2次，由动能定理得2nqU＝Ekm，在D形盒磁场内运动的时间：t＝nT，即t＝eq \f(πBR2,2U)，可见U越大，t越小，故D正确．
6.(多选)如图所示，a、b、c、d为4个正粒子，电荷量相等均为q，同时沿图示方向进入速度选择器后，a粒子射向P1板，b粒子射向P2板，c、d两粒子通过速度选择器后，进入另一磁感应强度为B2的磁场，分别打在A1和A2两点，A1和A2两点相距Δx.已知速度选择器两板间电压为U，两板间距离为l，板间磁感应强度为B1，则下列判断正确的是( )
A．粒子a、b、c、d的速度关系是va＜vc＝vd＜vb
B．粒子a、b、c、d的速度关系是va＞vc＝vd＞vb
C．粒子c、d的质量关系是mc＞md
D．粒子c、d的质量差Δm＝eq \f(B1B2lqΔx,2U)
答案 AD
7．如图甲所示是用来加速带电粒子的回旋加速器的示意图，其核心部分是两个D形金属盒，在加速带电粒子时，两金属盒置于匀强磁场中，两盒分别与高频电源相连．带电粒子在磁场中运动的动能Ek随时间t的变化规律如图乙所示，忽略带电粒子在电场中的加速时间，则下列判断正确的是( )
A．在Ek－t图像中应有t4－t3B．加速电压越大，粒子最后获得的动能就越大
C．粒子加速次数越多，粒子最大动能一定越大
D．要想粒子获得的最大动能增大，可增加D形盒的半径
答案 D
解析 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期与速度大小无关，因此，在Ek－t图中应有t4－t3＝t3－t2＝t2－t1，故A错误；粒子获得的最大动能与加速电压无关，加速电压越小，粒子加速次数就越多，由粒子做圆周运动的半径r＝eq \f(mv,qB)＝eq \f(\r(2mEk),qB)，可知Ek＝eq \f(q2B2r2,2m)，即粒子获得的最大动能取决于D形盒的半径，当轨道半径r与D形盒半径R相等时就不能继续加速，故B、C错误，D正确．
8.(多选)如图所示为某种质谱仪的工作原理示意图．此质谱仪由以下几部分构成：粒子源N；P、Q间的加速电场；静电分析器；磁感应强度为B的有界匀强磁场，方向垂直纸面向外；胶片M.若静电分析器通道中心线半径为R，通道内的均匀辐射电场在中心线处的电场强度大小为E.由粒子源发出一质量为m、电荷量为q的正离子(初速度为零，重力不计)，经加速电场加速后，垂直电场强度方向进入静电分析器，在静电分析器中，离子沿中心线做匀速圆周运动，而后由S点沿着既垂直于静电分析器的左边界，又垂直于磁场的方向射入磁场中，最终打到胶片上的某点．下列说法中正确的是( )
A．P、Q间加速电压为eq \f(1,2)ER
B．离子在磁场中运动的半径为eq \r(\f(mER,q))
C．若一质量为4m、电荷量为q的正离子加速后进入静电分析器，离子不能从S点射出
D．若一群离子经过上述过程打在胶片上同一点，则这些离子具有相同的比荷
答案 AD
解析 离子在加速电场中加速，根据动能定理，
有qU＝eq \f(1,2)mv2，①
离子在静电分析器电场中的偏转过程，电场力提供向心力，根据牛顿第二定律，有qE＝meq \f(v2,R)，
②
离子在磁场中的偏转过程，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律，有qvB＝meq \f(v2,r)，③
由①②解得U＝eq \f(1,2)ER，④
由②③解得r＝eq \f(m,qB)eq \r(\f(qER,m))＝eq \f(1,B)eq \r(\f(mER,q))，⑤
由④式可知，只要满足R＝eq \f(2U,E)，所有离子都可以从静电分析器通过；因r＝eq \f(1,B)eq \r(\f(mER,q))，故打到胶片上同一点的粒子的比荷一定相等，故A、D正确，B、C错误．
9.(2021·绵阳市江油中学高二月考)美国物理学家劳伦斯于1932年发明的回旋加速器，利用带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的特点，使粒子在较小的空间范围内经过电场的多次加速获得较大的能量．如图所示为一种改进后的回旋加速器示意图，其中盒缝间的加速电场的电场强度大小恒定，且被限制在A、C板间，带电粒子从P0处由静止释放，并沿电场线方向射入加速电场，经加速后再进入D形盒中的匀强磁场中做匀速圆周运动．对于这种改进后的回旋加速器，下列说法正确的是( )
A．带电粒子每运动半周被加速一次
B．P1P2＝P2P3
C．粒子能获得的最大速度与D形盒的尺寸有关
D．A、C板间的加速电场的方向需要做周期性的变化
答案 C
解析 带电粒子只有经过A、C板间时才被加速，即带电粒子每运动一周被加速一次，A、C板间的加速电场的方向不需要做周期性的变化，故A、D错误；根据带电粒子的轨道半径r＝eq \f(mv,qB)，则P1P2＝2(r2－r1)＝eq \f(2mv2－v1,qB)，同理P2P3＝eq \f(2mv3－v2,qB)，因为每转一圈被加速一次，设A、C板间的距离为d，根据v2－v02＝2ad知每转一圈，粒子速度的变化量不等，且v3－v2P2P3，故B错误；当粒子从D形盒中射出时，速度最大，设D形盒的半径为R，则有R＝eq \f(mvmax,qB)，得vmax＝eq \f(qBR,m)，则粒子获得的最大速度与D形盒的尺寸有关，故C正确．
10．一台质谱仪的工作原理如图所示，电荷量均为＋q、质量不同的离子飘入电压为U0的加速电场，其初速度几乎为零．这些离子经加速后通过狭缝O沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为B的匀强磁场，最后打在底片上，已知放置底片的区域MN＝L，且OM＝L.某次测量发现MN中左侧eq \f(2,3)区域MQ损坏，检测不到离子，但右侧eq \f(1,3)区域QN仍能正常检测到离子．在适当调节加速电压后，原本打在MQ的离子即可在QN检测到．
(1)求原本打在MN中点P的离子的质量m；
(2)为使原本打在P的离子能打在QN区域，求加速电压U的调节范围．
答案 见解析
解析 (1)离子在加速电场中加速，
则有qU0＝eq \f(1,2)mv2
在磁场中做匀速圆周运动，则有qvB＝meq \f(v2,r0)
联立解得r0＝eq \f(1,B)eq \r(\f(2mU0,q))
当离子打在P点时，r0＝eq \f(3,4)L，
解得m＝eq \f(9qB2L2,32U0).
(2)由qU＝eq \f(1,2)mv2，qvB＝eq \f(mv2,r)，
得r＝eq \f(1,B)eq \r(\f(2mU,q))＝eq \r(\f(9L2U,16U0))，
故U＝eq \f(16U0r2,9L2)，
离子打在Q点时，r＝eq \f(5,6)L，U＝eq \f(100U0,81)
离子打在N点时，r＝L，U＝eq \f(16U0,9)
则电压的调节范围为eq \f(100U0,81)≤U≤eq \f(16U0,9).