冀教版八年级上册数学第十三章全等三角形（B卷）含解析答案

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第十三章全等三角形（B卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

评卷人
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一、单选题
1．下列命题中，假命题是（    ）
A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行
C．对顶角相等 D．相等的角是对顶角
2．下列四个图形中，有两个全等的图形，它们是（    ）

A．①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④
3．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的可以为（    ）
A． B． C．1 D．2
4．如图所示，已知AB＝AE，∠B＝∠E，再添一个条件仍不能证明△ABC≌△AEF的是（　　）

A．∠EAB＝∠FAC B．AC＝AF C．BC＝EF D．∠ACB＝∠AFE
5．如图，已知△ACE≌△DFB，下列结论中正确的个数是（　　）
①AC=DB；②AB=DC；③∠1=∠2；④AE∥DF；⑤S△ACE=S△DFB；⑥BC=AE；⑦BF∥EC．

A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
6．如图，已知OF平分，于D点，于E点，F是OF上的另一点，连接DF、EF．判断图中有几对全等三角形（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4
7．下面是黑板上出示的尺规作图题，需要回答横线上符号代表的内容
如图，已知，
求作：的角平分线．
作法如下：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交 ☺ 于点；②分别以点 ⊕ 为圆心，大于 ♡ 的长为半径画弧，两弧在 U 内部交于点；③画射线，即为所求．

A．☺表示 B．⊕表示、 C．♡表示 D．U表示
8．如图，在中，，点为上的点，连接，点在外，连接AE，BE，使得，，过点作交点，若，，则（    ）

A．49° B．59° C．41° D．51°
9．如图，中，，点M为BA延长线上一点，∠ABC的平分线BE和∠CAM的平分线AD相交于点P，分别交AC和BC的延长线于E、D两点．过P作交AC的延长线于点H，交BC的延长线于点F，连接AF，交DH于点G，则下列结论：①；②；③，其中正确的是（    ）

A．① B．①② C．①②③ D．②③
10．如图，点C在线段上，于点于点，且，点P从点A开始以的速度沿向终点C运动，同时点Q以的速度从点E开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点P到达终点时，同时停止运动．过分别作的垂线，垂足分别为．设运动的时间为，当以三点为顶点的三角形与全等时，t的值为（    ）s．

A．1 B．1或2 C．1或 D．1或或

评卷人
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二、填空题
11．把命题“角平分线上任意一点到角的两边距离相等”改写出逆命题是 ．
12．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明△DOC≌△的依据是 ．

13．如图,长方形纸片的长为8，宽为6，从长方形纸片中剪去两个全等的小长方形卡片，那么余下的两块阴影部分的周长之和是 ．

14．如图，已知∠MAB是锐角，，，．点C是射线AM上的一个动点．利用图形画图说明命题“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是假命题．你画图时，BC长可选取的范围是 cm．若的形状、大小是唯一确定的，则BC的取值范围是 ．

15．如图，点A，C，D，E在Rt△MON的边上，∠MON＝90°，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD．BH⊥ON于点H，DF⊥ON于点F，OE＝a，BH＝b，DF＝c，图中阴影部分的面积为 （用含a，b，c的代数式表示）．
  
16．如图，在正方形中，，延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒的速度沿向终点运动．设点的运动时间为秒，当和全等时，的值为 ．


评卷人
得分



三、解答题
17．真假命题的思考.
一天，老师在黑板上写下了下列三个命题：
①垂直于同一条直线的两条直线平行；
②若，则
③若和的两边所在直线分别平行，则.
小明和小丽对话如下，
小明：“命题①是真命题，好像可以证明.”
小丽：“命题①是假命题，好像少了一些条件.”
（1）结合小明和小丽的对话，谈谈你的观点.如果你认为是真命题，请证明：如果你认为是假命题，请增加一个适当的条件，使之成真命题.
（2）请在命题②、命题③中选一个，如果你认为它是真命题，请证明：如果你认为它是假命题，请举出反例.








18．已知：如图，∠BAC=∠DAM，AB=AN，AD=AM，求证：∠B=∠ANM．









19．如图，小明和小华住在同一个小区不同单元楼，他们想要测量小明家所在单元楼的高度，首先他们在两栋单元楼之间选定一点E，然后小华在自己家阳台C处测得E处的俯角为，小明站在E处测得楼顶A的仰角为，发现与互余，过点F作于点G，已知米，米，米，点B、E、D在一条直线上，，试求单元楼的高．（注：与互余）．









20．如图，已知点D是射线OA上一点且

(1)过点E作OA的平行线EF；
(2)若，求的度数．








21．工人师傅经常利用角尺平分一个任意角．如图所示，是一个任意角，在边OA，边OB上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，这时过角尺顶点P的射线OP就是的平分线．

(1)证明：OP平分；
(2)在（1）的条件下，请你在射线OP上任取一点Q，作，试判断线段QC与线段QD的数量关系并证明．








22．如图①，在中，，，点，分别在边，上，且．则．现将绕点顺时针方向旋转，旋转角．如图②，连接，．

(1)如图②，请直接写出与的数量关系．
(2)将旋转至如图③所示位置时，判断与的数量关系和位置关系，并加以证明．









评卷人
得分



四、计算题
23．观察理解：
如图，中，，，直线过点，点，在直线同侧，，，垂足分别为，，由此可得：，所以，又因为，所以，所以，又因为，所以≌（AAS）；

(1)理解应用：如图，，且，，且利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积______；
(2)类比探究：如图，中，，，将斜边绕点逆时针旋转至，连接，则的面积为______；
(3)拓展提升：如图，点，在的边、上，点，在内部的射线上，、分别是、的外角，已知：，求证：；
(4)拓展应用：如图，在中，，点在边上，，点、在线段上，若的面积为，则与的面积之和为______．

参考答案：
1．D
【分析】根据对顶角、平行线的性质和判定判断即可．
【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，是真命题；
B、同位角相等，两直线平行，是真命题；
C、对顶角相等，是真命题；
D、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题；
故选：D．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
2．B
【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．
【详解】解：①和③可以完全重合，因此全等的图形是①和③．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等图形的概念．
3．A
【分析】先比较大小,确定满足条件的数,再代入计算判断即可
【详解】∵2,1件都不符合条n＜1，
∴C,D 都不符合题意；
当n=-2时，满足-2＜1，但是，
故A符合题意；
当n=时，满足＜1，但是，
故B符合题意；
故选A
【点睛】本题考查了举反例解题，准确从条件，结论两个角度去判断解题是解题的关键．
4．B
【分析】根据全等三角形的判定进行逐项分析即可．
【详解】A.∵∠EAB＝∠FAC，∴∠CAB＝∠FAE，两角及夹边对应相等能判断两三角形全等，故该选项不符合题意；    
B. AC＝AF，两边及一边对角对应相等不能判断两三角形全等，故该选项符合题意；    
C. BC＝EF，两边及夹角对应相等能判断两三角形全等，故该选项不符合题意；    
D. ∠ACB＝∠AFE，两角及其中一角的对边对应相等能判断两三角形全等，故该选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的方法SSS，SAS，ASA，AAS是解题关键．
5．C
【分析】根据全等三角形的性质判断即可．
【详解】解：∵△ACE≌△DFB，
∴AC=DB，①正确；
∠ECA=∠DBF，∠A=∠D，，⑤正确；
∵AB+BC=CD+BC，
∴AB=CD ②正确；
∵∠ECA=∠DBF，
∴BF∥EC，⑦正确；
∠1=∠2，③正确；
∵∠A=∠D，
∴AE∥DF，④正确．
BC与AE，不是对应边，也没有办法证明二者相等，⑥不正确．
故选C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．
6．C
【分析】根据角平分线的定义、垂直的性质，可得，，由全等三角形的判定（角边角）可得；根据全等三角形的性质可得，，由全等三角形的判定（边角边）得出；利用全等三角形的性质及，可得，，，根据全等三角形的判定（角边角）得出．
【详解】OF平分，，，
，．

．
，．
．

．
．

．
共有3对全等三角形．
故选：C．
【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质的理解与运用能力．涉及以下知识点：角平分线分得的两个角相等，都等于该角的一半；全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL；两全等三角形的对应边相等，对应角相等．明确全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
7．D
【分析】根据角平分线的尺规作图的做法即可求解.
【详解】尺规作∠AOB的平分线的作法：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交 OB于点；②分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点；③画射线，即为所求．
所以☺表示BC，⊕表示M、N，♡表示，U表示∠AOB.
故选：D
【点睛】本题考查的是尺规作图-作角平分线，掌握角平分线的作法及作图语言是关键.
8．C
【分析】先证明△ABE≌△BCD，可得∠BAE=∠CBD，再利用直角三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：在△ABE和△BCD中，
，
∴△ABE≌△BCD（SAS），
∴∠BAE=∠CBD，
∵∠BAE=21°，∠C=28°，
∴∠CBD=21°，
∴∠BDF=∠CBD+∠C=21°+28°=49°，
∵BF⊥AC，
∴∠BFD=90°，
∴∠FBD=90°-∠BDF=90°-49°=41°．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，判断出△ABE≌△BCD是解本题的关键．
9．C
【分析】①根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和与角平分线的定义表示出∠CAP，再根据角平分线的定义 然后利用三角形的内角和定理整理即可得解；②③先根据直角的关系求出，然后利用角角边证明△AHP与△FDP全等，根据全等三角形对应边相等可得，对应角相等可得 然后利用平角的关系求出 ，再利用角角边证明△ABP与△FBP全等，然后根据全等三角形对应边相等得到，从而得解；
【详解】解：①∵BE是∠ABC的平分线，AD是∠CAM的平分线，
∴
在△ABP中,


，故①正确；
∵
∴，
∴∠AHP=∠FDP，
∵PF⊥AD，
∴，
在△AHP与△FDP中，

∴△AHP≌△FDP(AAS)，
∴DF=AH，
∵AD为∠BAC的外角平分线，∠PFD=∠HAP，
∴
又∵
∴∠PAE=∠PFD，
∵∠ABC的角平分线，
∴∠ABP=∠FBP，
在△ABP与△FBP中，

∴△ABP≌△FBP(AAS)，
∴AB=BF，AP=PF故②正确；
∵BD=DF+BF，
∴BD=AH+AB，
∴BD−AH=AB，故③正确；
综上所述①②③正确．
故选：C．
【点睛】本题考查直角三角形的性质, 角平分线的定义，垂线，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
10．C
【分析】需要分三种情况讨论，根据全等三角形的判定和性质结合建立一元一次方程可求解．
【详解】解：当点在上，点在上时，
以，，为顶点的三角形与全等，
，
，
，
当点在上，点第一次从点返回时，
以，，为顶点的三角形与全等，
，
，
，
综上所述：的值为1或．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，一元一次方程，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质．
11．到角两边距离相等的点在角的平分线上
【分析】根据互逆命题的关系，将题设与结论互换即可写出逆命题．
【详解】解：“角平分线上任意一点到角的两边距离相等”的逆命题为“到角两边距离相等的点在角的平分线上” ．
故答案为：到角两边距离相等的点在角的平分线上．
【点睛】本题考查互逆命题，正确判断出命题的题设和结论是解题关键．
12．SSS
【分析】1.以O为圆心，任意长为半径用圆规画弧，分别交OA、OB于点C、D；
2.任意画一点，画射线，以为圆心，OC长为半径画弧E，交于点；
3.以为圆心，CD长为半径画弧，交弧E于点；
4.过点画射线B'，∠B'就是与∠AOB相等的角．

则通过作图我们可以得到OC＝，OD＝，CD＝，从而可以利用SSS判定其全等．
【详解】解：OC＝，OD＝，CD＝，从而可以利用SSS判定其全等
故答案为：SSS．
【点睛】本题考查了尺规作一个角等于已知角，熟练掌握作图方法，然后根据作图方法得出全等三角形的判定方法是解本题的关键．
13．24
【分析】设两个全等的小长方形卡片的长为a，宽为b，先用含a、b的代数式分别表示出两个阴影长方形的周长，再相加即得结果．
【详解】解：设两个全等的小长方形卡片的长为a，宽为b，
则左边的阴影长方形的周长=2(a+6－b)=12+2a－2b，
右边的阴影长方形的周长=2(b+6－a)=12+2b－2a，
∴两块阴影部分的周长之和=(12+2a－2b)+( 12+2b－2a)=24．
故答案为：24．

【点睛】本题考查了全等图形的概念和整式的加减运算，正确表示出两个阴影长方形的周长是解题的关键．
14． 或
【分析】当以B为圆心，BC为半径画弧，弧与AM有两个交点时，就符合题意；当BC=BN=1时，三角形是唯一的；当以B为圆心的圆画弧与AM有一个交点时即半径大于AB=2时也是符合题意的．
【详解】如图，当以B为圆心，BC为半径画弧，弧与AM有两个交点时，就符合题意，
此时；
故答案为：；
当BC=BN=1时，三角形是唯一的；
当以B为圆心的圆画弧与AM有一个交点时即半径大于AB=2时也是符合题意的．

故答案为：或．
【点睛】本题考查了三角形的存在个数，熟练掌握三角形的基本作图是解题的关键．
15．
【分析】易证△AEO≌△BAH，△BCH≌△CDF，可得AO＝BH＝b，AH＝EO＝a，CH＝DF＝c，BH＝CF＝b，即可求得梯形DEOF的面积和△AEO，△ABH，△BCH，△CDF的面积，即可解题．
【详解】解：∵∠EAO＋∠BAH＝90°，∠EAO＋∠AEO＝90°，
∴∠BAH＝∠AEO，
∵在△AEO和△BAH中， ，
∴△AEO≌△BAH（AAS），
同理△BCH≌△CDF（AAS），
∴AO＝BH＝b，AH＝EO＝a，CH＝DF＝c，BH＝CF＝b，
∵S梯形DEOF＝（EO＋DF）•OF＝（a＋c）（a＋2b＋c），
S△AEO＝S△ABH＝AO•OE＝ab，
S△BCH＝S△CDF＝CH•BH＝bc，
∴阴影部分的面积为：（a＋c）（a＋2b＋c）−2×ab−2×bc＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和全等三角形对应边相等的性质，本题中证得△AEO≌△BAH，△BCH≌△CDF是解题的关键．
16．2或7/7或2
【分析】分点在和上两种情况讨论．当点在上时，如图，当时，有，当点在上时，当时，有，从而可得答案．
【详解】解：∵正方形ABCD,
∴
是直角三角形，
为直角三角形，
点只能在上或者上，
当点在上时，如图，当时，有，

，
，
，
当点在上时，则当时，有，

，
故答案为：2或7．
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质，关键是要考虑到点的两种情况，牢记三角形全等的性质是解本题的关键．
17．（1）见解析   （2）见解析
【分析】是假命题，②是假命题，③是假命题；
【详解】解：（1）命题①为假命题，可增加“在同一平面内”这一条件，可使该命题成为真命题，
即：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行；
（2）命题②为假命题，举反例如下：当，时，，但.
命题③为假命题，举反例如下：
和的两边所在直线分别平行，如图，但.

【点睛】本题考查了命题的相关知识；熟练掌握命题的定义及涉及到的相关知识是解题的关键
18．证明见解析.
【分析】要证明∠B=∠ANM，只要证明△BAD≌△NAM即可，根据∠BAC=∠DAM，可以得到∠BAD=∠NAM，然后再根据题目中的条件即可证明△BAD≌△NAM，本题得以解决．
【详解】证明：∵∠BAC=∠DAM，∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAM=∠DAC+∠NAM，
∴∠BAD=∠NAM．
在△BAD和△NAM中，∵AB=AN，∠BAD=∠NAM，AD=AM，
∴△BAD≌△NAM（SAS），
∴∠B=∠ANM．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，根据题目条件选择适当的判定定理是关键.
19．39米
【分析】根据题意得出，，FG=CD，然后利用全等三角形的判定和性质求解即可．
【详解】解：由图可得，
∴，
∵FG⊥AB，CD⊥BD，
∴，
∵BE=CD，FG=BE，
∴FG=CD，
在与中，

∴，
∴（米），
∴（米），
答：单元楼的高为39米．
【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，理解题意，熟练掌握运用全等三角形的判定和性质是解题关键．
20．(1)见解析
(2)40°

【分析】（1）利用尺规基本作图-作一个角等于已知角，在OC一上，作∠CEF=∠AOB即可；
（2）利用平行线的性质求出，再利用求解即可．
【详解】（1）解：以点O为圆心任意为半径画弧，交OA、OB于M、N，半径不变，以点E为圆心画弧，交EC于占P，再以点P为圆心MN长为半径画弧形，与前弧相交于F，过EF作直线即可．
如图所示，直线EF就是所要求作的直线，

∵OM=ON= EP=EF，MN=PF，
∴△OMN≌△EFP（SSS），
∴∠PEF=∠NOM，
∴OAEF．
（2）解：，

．
，
．
【点睛】本题考查作平行线，平行线的判定与性质，熟练掌握尺规基本作图-作一个角等于已知角，平行线的判定与性质是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)，证明见解析

【分析】（1）由SSS可得△OPM≌△OPN，再根据全等三角形的性质证得OP平分∠AOB；
（2）先证，再证，从而证得，最后可得结果．
【详解】（1）证明：在和中

，
，
即OP平分．
（2）证明：，
，
由（1）知OP平分，
，
和内角和都是
，  
由，
得，  
．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．(1)
(2)且，理由见解析

【分析】（1）利用SAS证明△ACE≌△ABD，可得结论；
（2）设BD与CE的交点为O，同理利用SAS证明△ACE≌△ABD，得∠ACE=∠ABD，CE=BD，则∠CAB=∠COB=90°．
【详解】（1），
，
即，
在和中，
，
，
；
（2）且．理由如下：
由旋转可知：，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，，
设BD与CE相交于点O，

由可得：，
∴，
∴，
∴，
∴且；
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质等知识，证明是解题的关键．
23．(1)200
(2)32
(3)见解析
(4)18

【分析】（1）由题意可得：≌，≌，利用全等三角形的性质得出，，，，则可得出答案；
（2）过作于，构造全等三角形解决问题即可；
（3）证明≌，可得结论；
（4）由全等三角形的性质可得出答案．
【详解】（1），，，，
由观察理解得：≌，≌，
，，，，



=200．
故答案为：200．
（2）如图3，过作于，

由旋转得：，
∵,
由（1）可知≌，
，
．
故答案为：32．
（3）如图4中，

，，，,
，，
在和中，
，
≌，
，，
．
（4）如图5中，

的面积为，，
的面积是：，
由图4中证出≌，
与的面积之和等于与的面积之和，即等于的面积是18，
故答案为：18．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．