冀教版八年级上册数学第十三章全等三角形（A卷-）含解析答案

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第十三章全等三角形（A卷-）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

评卷人
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一、单选题
1．下列命题的逆命题是真命题的为（  　  ）．
A．如果，，则 B．直角都相等
C．两直线平行，同位角相等 D．若，则
2．下列图形：①两个正方形；②底边相等的两个等腰三角形；③每边都是2cm的两个三角形；④半径都是1.5cm的两个圆．其中是一对全等图形的有（     ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
3．如图，DABC≌DDCB，若AC＝7，BE﹦5，则DE的长为(    )

A．2 B．3 C．4 D．5
4．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是(   )

A．全等三角形的定义 B．SSS C．ASA D．AAS
5．如图，某地需要开辟一条隧道，隧道AB的长度无法直接测量，李师傅设计了一个方案．补充内容不正确的是（   ）
（1）在地上取一个可以直接到达点A和点B的点C；
（2）连接BC并延长到E，使得 △ ；
（3）连接AC并延长到D，使得 ▽ ；
（4）连接 ○ 并测量出它的长度，即为AB的长；
（5）上述方案的依据是 ◇ ．

A．△代表 B．▽代表
C．○代表DE D．◇代表SSS
6．如图，△ABC中，AB＝AC，BD＝CE，BE＝CF，若∠A＝50°，则∠DEF的度数是（    ）

A．60° B．65° C．70° D．75°
7．在△ABC中，D是AC上一点，利用尺规在AB上作出一点E，使得，则符合要求的作图痕迹是（    ）
A． B． C． D．
8．如图，在四边形中，与交于，，，下列结论不一定成立的是（    ）

A．平分 B．垂直平分
C． D．
9．将两个斜边长相等的直角三角形纸片如图放置，其中∠ACB＝∠CED＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°．现把△DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1，点D，E的对应点分别为E1，D1，连接D1B，则∠E1D1B的度数是（　　）

A．15° B．30° C．45° D．60°
10．如图，∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，CB＝CD，则∠B与∠ADC满足的数量关系为（　　）

A．∠B＝∠ADC B．2∠B＝∠ADC
C．∠B+∠ADC＝180° D．∠B+∠ADC＝90°

评卷人
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二、填空题
11．命题“若，则”，能说明它是假命题的反例是 ， ．
12．如图，已知，，，则 度．

13．把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC．固定住短木棍AB，转动长木棍AC，得到△ABD，这个实验说明了：有两边和其中一边的对角分别相等的两个三边形 全等．

14．如图，点B、F、C、E在一条直线上，ABED， AB=DE，要使△ABC≌△DEF，可以添加的一个条件是： ．

15．如图1，在△ABC中，D是AB边上的一点，小明用尺规作图，做法如下：如图2，①以B为圆心，任意长为半径作弧，交BA于F、交BC于G；②以D为圆心，BF为半径作弧，交DA于M；③以M为圆心，FG为半径作弧，两弧相交于N；④过点D作射线DN交AC于点E．若∠ADE＝52°，∠C＝78°，则∠A的度数是 度．

16．如图, 在 中, ．点 在直线 上, 动点 从 点出发 沿 的路径向终点 运动; 动点 从 点出发沿 路径向终点 运动．点 和 点 分别以每秒 和 的运动速度同时开始运动, 其中一点到达终点时另一点也停 止运动, 分别过点 和 作 直线 于 直线 于 ．当点 运动时间为 秒时, 与 全等．


评卷人
得分



三、解答题
17．如图，，，，求证：．









18．如图，是格点三角形（顶点在网格线的交点上），请在下列每个方格纸上按要求画一个与全等的格点三角形．

(1)在图①中所画三角形与有一条公共边；
(2)在图②中所画三角形与有一个公共角；
(3)在图③中所画三角形与△有且只有一个公共顶点．








19．如图，有下列三个条件：①DE//BC；②；③．

(1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来；
(2)你所写出的命题都是真命题吗？若是，请你就其中的一个真命题给出推理过程；若不是，请你对其中的假命题举出一个反例（温馨提示：）








20．如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，AC与BD交于点F，AB＝6，BC＝3，∠C＝55°，∠D＝25°．
（1）求AE的长度；
（2）求∠AED的度数．









21．如图1，已知中，，，、分别与过点的直线垂直，且垂足分别为E，D．

(1)猜想线段AD、、三者之间的数量关系，并给予证明．
(2)如图2，当过点C的直线绕点旋转到的内部，其他条件不变，如图2所示，
①线段AD、、三者之间的数量关系是否发生改变？若改变，请直接写出三者之间的数量关系，若不改变，请说明理由；
②若，时，求的长．








22．如图（1），AB=10，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=7，点P在线段AB上以每秒3个单位长度的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t秒．

(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1秒时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由；
(2)在（1）的前提条件下，判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，并说明理由；
(3)如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB=∠DBA=70°”，其他条件不变，设点Q的运动速度为x个单位长度/秒，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，直接写出相应的x的值；若不存在，请说明理由．









评卷人
得分



四、作图题
23．如图，已知凸五边形中，，为其对角线，，

(1)如图，若，在五边形的外部，作，（不写作法，只保留作图痕迹），并说明点，，三点在同一直线上；
(2)如图，若，，且，求证：平分．

参考答案：
1．C
【分析】先写出每个命题的逆命题，再进行判断即可．
【详解】解；A、如果a＞0，b＞0，则a+b＞0；逆命题是：如果a+b＞0，则a＞0，b＞0，是假命题；
B、直角都相等的逆命题是相等的角是直角，是假命题；
C、两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题；
D、若a=6，则|a|=|6|的逆命题是若|a|=|6|，则a=6，是假命题．
故选：C．
【点睛】此题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
2．B
【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形，结合各项说法作出判断即可．
【详解】解：①两个正方形，但不一定全等，
②底边相等的两个等腰三角形，但不一定全等，
③每边都是2cm的两个三角形，是两个全等的等边三角形，
④半径都是1.5cm的两个圆是全等形，
其中是一对全等图形的有2个，
故选B
【点睛】本题考查了全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形，熟练掌握基本图形的性质是解题关键．
3．A
【分析】由题意易得AC=DB=7，然后问题可求解．
【详解】解：∵DABC≌DDCB，AC＝7，
∴AC=DB=7，
∵BE﹦5，
∴DE=DB-BE=2，
故选A．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
4．B
【分析】连接NC，MC，根据SSS证△ONC≌△OMC，即可推出答案．
【详解】解：连接NC，MC，

在△ONC和△OMC中
∵，
∴△ONC≌△OMC（SSS），
∴∠AOC＝∠BOC，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键．
5．D
【分析】根据全等三角形的判定进行分析即可．
【详解】解：（1）在地上取一个可以直接到达点A和点B的点C；
（2）连接BC并延长到E，使得CE=BC；故A项正确，
（3）连接AC并延长到D，使得CD=CA；故B项正确，
（4）连接DE并测量出它的长度，即为AB的长；故C项正确，
（5）上述方案的依据是SAS．故D项错误，
故选；D．
【点睛】本题主要靠查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
6．B
【分析】首先证明△DBE≌△ECF，进而得到∠EFC＝∠DEB，再根据三角形内角和计算出∠CFE＋∠FEC的度数，进而得到∠DEB＋∠FEC的度数，然后可算出∠DEF的度数．
【详解】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△DBE和△ECF中，，
∴△DBE≌△ECF（SAS），
∴∠EFC＝∠DEB，
∵∠A＝50°，
∴∠C＝（180°−50°）÷2＝65°，
∴∠CFE＋∠FEC＝180°−65°＝115°，
∴∠DEB＋∠FEC＝115°，
∴∠DEF＝180°−115°＝65°，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，关键是掌握三角形内角和是180°．
7．D
【分析】以DA为边、点D为顶点在△ABC内部作一个角等于∠B，角的另一边与AB的交点即为所求作的点．
【详解】解：∵∠A=∠A，∠AED=∠C，
∴∠ADE=∠B，
∴只需要作∠ADE=∠B即可满足∠AED=∠C，
∴只有D选项符合题意，
故选D．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，尺规作图—作与已知角相等的角，熟知三角形内角和定理和基本尺规作图方法是解题的关键．
8．D
【分析】先根据已知条件得出△ABC≌△ADC，再逐一判断各个选项即可
【详解】在△ABC和△ADC中AB=AD，CB=CD，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠BAC=∠DAC，
∴AC平分∠BAD，
故A选项正确，不符合题意；
∵AB=AD，AC平分∠BAD，
∴AC垂直平分BD，
故B选项正确，不符合题意；
∵AC垂直平分BD，
∴BE=DE，∠BEC=∠DEC=，
又∵CE=CE，
∴△BEC≌△DEC，
故C选项正确，不符合题意；
由已知条件不能得出AB=BD，
∴D选项不一定成立，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题老查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
9．A
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠DCE＝60°，旋转的性质可得∠BCE1＝15°，然后求出∠BCD1＝45°，从而得到∠BCD1＝∠A，利用“边角边”证明△ABC和△D1CB全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BD1C＝∠ABC＝45°，再根据∠E1D1B＝∠BD1C﹣∠CD1E1计算即可得解．连接AD1，根据题意证明△AD1B为等腰直角三角形，求出∠OD1B＝45°，即可解决问题．
【详解】解：连接BD1，

∵∠CED＝90°，∠D＝30°，
∴∠DCE＝60°，
∵△DCE绕点C顺时针旋转15°，
∴∠BCE1＝15°，
∴∠BCD1＝60°﹣15°＝45°，
∴∠BCD1＝∠A，
在△ABC和△D1CB中，
，
∴△ABC≌△D1CB（SAS），
∴∠BD1C＝∠ABC＝45°，
∴∠E1D1B＝∠BD1C﹣∠CD1E1＝45°﹣30°＝15°．
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并求出△ABC和△D1CB全等是解题的关键．
10．C
【分析】由题意在射线AD上截取AE=AB，连接CE，根据SAS不难证得△ABC≌△AEC，从而得BC=EC，∠B=∠AEC，可求得CD=CE，得∠CDE=∠CED，证得∠B=∠CDE，即可得出结果．
【详解】解：在射线AD上截取AE＝AB，连接CE，如图所示：

∵∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠EAC，
在△ABC与△AEC中，
，
∴△ABC≌△AEC（SAS），
∴BC＝EC，∠B＝∠AEC，
∵CB＝CD，
∴CD＝CE，
∴∠CDE＝∠CED，
∴∠B＝∠CDE，
∵∠ADC+∠CDE＝180°，
∴∠ADC+∠B＝180°．
故选：C．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是作出适当的辅助线AE，CE．
11． -2 1（答案不唯一）
【分析】根据举反例的方法找到a，b满足a2＞b2，但是不满足a＞b即可．
【详解】解：当a=-2，b=1时，a2＞b2，但是a＜b，
故答案为：-2，1．
【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解判断一个命题是假命题的时候可以举出反例．
12．50
【分析】根据全等三角形的性质得出∠B＝∠C＝20°，根据三角形的外角的性质求出即可．
【详解】解：∵△ABE≌△ACD，∠C＝20°，
∴∠B＝∠C＝20°，
∵∠A＝30°，
∴∠BEC＝∠A+∠B＝30°+20°＝50°，
故答案为：50．
【点睛】此题主要考查全等三角形的性质，解题的关键是熟知全等三角形的性质．
13．不一定
【分析】在△ABC和△ABD中，AB为公共边，AC=AD，∠ACB=∠ADB，锐角三角形△ABC与钝角△ABD不全等，从而说明有两边和其中一边的对角分别相等的两个三边形不能确定全等．
【详解】当AD=AC，∠ADB=∠ACB时，
在△ABC和△ABD中，AB为公共边，AC=AD，∠ACB=∠ADB，
而△ABC与△ABD不全等，
∴有两边和其中一边的对角分别相等的两个三边形不一定全等．
故答案为：不一定．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．
14．∠A=∠D(答案不唯一）
【分析】根据平行线的性质可得∠B=∠E，又因为AB=DE，然后再利用全等三角形的判定方法即可解答．
【详解】解：∵ABED，
∴∠B=∠E，
∵AB=DE，
可添加的一个条件∠A=∠D，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
故答案为：∠A=∠D(答案不唯一)．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
15．50
【分析】作图可知，根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：由作图可知，
，
，
，
故答案为：50．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，作一个角等于已知角，掌握基本作图是解题的关键．
16．2或6/6或2
【分析】对点P和点Q是否重合进行分类讨论，通过证明全等即可得到结果；
【详解】解：如图1所示：

与全等，
，
，
解得∶；
如图2所示：

点与点重合，
与全等，
，
解得∶；
故答案为∶或．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确分析计算是解题的关键．
17．见解析
【分析】根据，可得，进而根据SAS证明即可．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
在与中，
，
（SAS）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
18．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析

【分析】（1）根据题意以及网格的特点根据轴对称画出图形即可；
（2）根据题意以及网格的特点根据轴对称画出图形即可；
（3）根据题意以及网格的特点画出图形即可．
【详解】（1）如图①所示，△ABD即为所求；
（2）如图②所示，△DEC即为所求；
（3）如图③所示，△AED即为所求，

【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
19．(1)一共能组成三个命题，见解析
(2)都是真命题，推理见解析

【分析】（1）（1）根据两条件一结论组成命题，可得答案；
（2）根据平行线的性质，可判定①②，根据平行线的判定，可判定③，即可
【详解】（1）解：一共能组成三个命题：
①如果DE//BC，，那么；
②如果DE//BC，，那么；
③如果，，那么DE//BC ；
（2）解：都是真命题，
如果DE//BC，，那么，
理由如下：∵DE//BC，
∴，
∵，
∴．
如果DE//BC，，那么；
理由如下：∵DE//BC，
∴，，
∵，
∴；
如果，，那么DE//BC ；
理由如下：∵，
∴∠B+∠C=180°-∠BAC，
∵∠1+∠2+∠BAC=180°，
∴∠1+∠2=180°-∠BAC，
∴∠B+∠C=∠1+∠2，
∵，，
∴∠B=∠1，
∴DE//BC ．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，判断命题的真假，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
20．（1）；（2）．
【分析】（1）先根据全等三角形的性质可得，再根据线段的和差即可得；
（2）先根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质即可得．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的对应角和对应边相等是解题关键．
21．(1)，证明见解析
(2)①发生改变，；②1.3

【分析】（1）证明，可得，CD＝BE， 即可求解；
（2）①证明，可得，CD＝BE， 即可求解；②由①可得，从而得到，即可求解．
【详解】（1）解：，  理由如下：
∵、分别与过点的直线垂直，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
，
，CD＝BE，
∵ DE＝EC＋CD，   
；
（2）解：①发生改变．
∵、分别与过点的直线垂直，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
，
，CD＝BE，
∵ DE＝CE-CD，    
∴；
②由①知：，
∴，
∴BE的长为1.3.
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等角的余角相等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
22．(1)全等，理由见解析
(2)PC⊥PQ，理由见解析
(3)存在，x=3个单位长度/秒或x=个单位长度/秒

【分析】（1）结论：△ACP与△BPQ全等，根据SAS证明三角形全等即可；
（2）结论：PC⊥PQ，利用全等三角形的性质解决问题即可；
（3）分两种情形，利用全等三角形的性质构建方程即可解决问题．
【详解】（1）解：△ACP与△BPQ全等，理由如下：
当t=1时，AP=BQ=3，
∵AB=10，
∴BP=AB﹣AP=10﹣3=7，
∵AC=BP=7，
∴BP=AC，
又∵∠A=∠B=90°，
在△ACP和△BPQ中，
，
∴△ACP≌△BPQ（SAS）；
（2）解：PC⊥PQ，理由如下：
∵△ACP≌△BPQ，
∴∠ACP=∠BPQ，
∴∠APC＋∠BPQ=∠APC＋∠ACP=90°，
∴∠CPQ=90°，
即PC⊥PQ；
（3）解：当t=1秒，x=3个单位长度/秒或t=秒，x=个单位长度/秒时，△ACP与△BPQ全等，理由如下：
根据题意得，AP=3t，BP=10﹣3t，BQ=xt，
①若△ACP≌△BPQ，
则AC=BP=7，AP=BQ，
∴10﹣3t=7，
解得：t=1（秒），则x=3（个单位长度/秒）；
②若△ACP≌△BQP，
则AC=BQ=7，AP=BP，
则3t=×10=5，解得，t=（秒），
∴xt=7，解得，x=（个单位长度/秒）；
故当t=1秒，x=3个单位长度/秒或t=秒，x=个单位长度/秒时，△ACP与△BPQ全等．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，一元一次方程等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
23．(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）作出图形，由，及，可得出，即可证得，点在同一直线上；
（2）延长到，使得，连接.证明，可得结论．
【详解】（1）解：如图作，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，点在同一直线上，
（2）延长到，使得，连接，

∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
即平分.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.