人教版 (2019)必修 第二册3 向心加速度巩固练习

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合格考训练
1．(多选)关于向心加速度，以下说法中正确的是( ABD )
A．向心加速度的方向始终与速度方向垂直
B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
C．物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
D．物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
解析：向心加速度的方向沿半径指向圆心，速度方向则沿圆周的切线方向，所以向心加速度的方向始终与速度方向垂直，只改变线速度的方向，选项A、B正确；物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心，选项D正确；物体做变速圆周运动时，物体的加速度的方向不指向圆心，选项C错误。
2．(多选)如图所示的齿轮传动装置中右轮半径为2r，a为它边缘上的一点。左侧为一轮轴，小轮的半径为r，b为它边缘上的一点，大轮的半径为4r，c为它边缘上的一点。若传动中齿轮不打滑，则( BD )
A．b点与c点的线速度大小相等
B．a点与b点的线速度大小相等
C．a点与b点的向心加速度大小之比为1∶4
D．a点与c点的向心加速度大小之比为1∶8
解析：由于b、c点所在的两轮共轴转动，角速度相等，根据v＝Rω知，c点的线速度大小大于b点的线速度大小，故A错误；a、b点所在的两轮靠摩擦传动，两轮边缘上各点的线速度大小相等，则a点的线速度大小等于b点的线速度大小，故B正确；a、b点的线速度大小相等，做圆周运动的半径比为2∶1，根据a＝eq \f(v2,R)，知a、b点的向心加速度大小之比为1∶2，故C错误；b、c点的角速度相等，根据a＝Rω2，知b、c点的向心加速度大小之比为1∶4，所以a、c点的向心加速度大小之比为1∶8，故D正确。
3．(多选)汽车后备厢盖一般都配有可伸缩的液压杆，如图甲所示，其示意图如图乙所示，可伸缩液压杆一端固定于厢内O′点，另一端固定于后盖上A点，B为后盖上一点，后盖可绕过O点的固定铰链转动，在合上后备厢盖的过程中( CD )
A．A点相对O′点做圆周运动
B．A点与B点相对于O点转动的线速度大小相等
C．A点与B点相对于O点转动的角速度大小相等
D．A点相对于O点转动的向心加速度小于B点相对于O点转动的向心加速度
解析：在合上后备厢盖的过程中，O′A的长度是变化的，因此A点相对O′点不是做圆周运动，选项A错误；A点与B点都绕O点做圆周运动，相同的时间内绕O点转过的角度相同，即A点与B点相对O点转动的角速度相等，但是OB大于OA，根据v＝rω，可知B点相对于O点转动的线速度大，故选项B错误，C正确；根据向心加速度公式an＝rω2，可知B点相对O点转动的向心加速度大于A点相对O点转动的向心加速度，故选项D正确。
4．(2022·华中师大附中高一期中)某变速自行车的传动装置如图所示，曲柄与踏板连接，飞轮与后轮共轴。通过变速调节器可以选择不同齿数的飞轮和牙盘，获得不同的变速比，以更好适应不同路段的骑行需求。某骑手在一段爬坡骑行过程中调用的牙盘和飞轮齿数分别为22和34，踩踏板一周用时约0.65 s。已知该车车轮直径为26英寸(约66 cm)则自行车轮边缘上一质点的向心加速度大小最接近于( B )
A．11 m/s2 B．13 m/s2
C．15 m/s2 D．17 m/s2
解析：踩踏板一周用时约0.65 s，可知牙盘的角速度为ω＝eq \f(2π,T)，牙盘和飞轮齿数分别为22和34，飞轮与牙盘由链条相连，边缘点的线速度大小相等，可知飞轮的角速度为ω′＝eq \f(22,34)ω＝eq \f(44π,34T)，后轮与飞轮共轴，角速度相等，则有a＝ω′2r，代入数据解得a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(44×3.14,34×0.65)))2×eq \f(0.66,2) m/s2≈13 m/s2，可知自行车轮边缘上一质点的向心加速度大小最接近于13 m/s2，B正确，A、C、D错误。故选B。
5．(2022·佳木斯高一期末)现在许多汽车都应用了自动无级变速装置，不用离合器就可连续变换速度；如图所示为截锥式变速模型示意图，主动轮、从动轮之间有一个滚动轮，它们之间靠彼此的摩擦力带动。当滚动轮处于主动轮直径为D1、从动轮直径为D2的位置时，主动轮转速n1与从动轮转速n2的关系是( A )
A.eq \f(n1,n2)＝eq \f(D2,D1) B．eq \f(n1,n2)＝eq \f(D1,D2)
C.eq \f(n1,n2)＝eq \r(\f(D1,D2)) D．eq \f(n1,n2)＝eq \f(D\\al(2,2),D\\al(2,1))
解析：两轮之间线速度相同，对于主动轮v＝ω1r1＝2n1πeq \f(D1,2)＝n1πD1，同理对于从动轮v＝ω2r2＝2n2πeq \f(D2,2)＝n2πD2，所以n1D1＝n2D2，即eq \f(n1,n2)＝eq \f(D2,D1)，A正确。
6．(多选)(2023·河南高一月考)甲、乙两球做匀速圆周运动，向心加速度a随半径r的变化关系如图所示，由图像可知( AC )
A．甲球运动时，角速度大小恒为2 rad/s
B．甲球运动时，线速度大小恒为16 m/s
C．乙球运动时，角速度大小恒为2 rad/s
D．乙球运动时，线速度大小恒为16 m/s
解析：甲图线反映角速度不变，由a＝ω2r可知，甲球运动时，角速度大小恒为ω＝eq \r(\f(a,r))＝eq \r(\f(8,2)) rad/s＝2 rad/s，线速度大小v＝ωr＝2×2 m/s＝4 m/s，故A正确，B错误；乙图线反映线速度不变，由a＝eq \f(v2,r)可知，乙球运动时，线速度大小v＝eq \r(ar)＝eq \r(8×2) m/s＝4 m/s，角速度大小恒为ω＝eq \f(v,r)＝eq \f(4,2)rad/s＝2 rad/s，故C正确，D错误。
7．一可视为质点的圆柱形小物块放在水平转盘上，并随着转盘一起绕O点匀速转动。通过频闪照相技术对其进行研究，从转盘的正上方拍照，得到转盘转动一周的频闪照片如图所示，已知频闪照相的闪光频率为30 Hz，转盘的转动半径为2 m，则该转盘转动的角速度和物块的向心加速度分别是多少？
答案：10π rad/s 200π2 m/s2
解析：闪光频率为30 Hz，即每隔eq \f(1,30) s闪光一次，由频闪照片可知，转一周有6个时间间隔，即周期为eq \f(1,5) s，所以转盘转动的角速度为ω＝eq \f(2π,T)＝10π rad/s。物块的向心加速度大小为a＝ω2r＝200π2 m/s2。
8．如图所示，定滑轮的半径r＝10 cm，绕在滑轮上的细线悬挂一重物，由静止开始释放重物，测得重物以a＝2 m/s2的加速度做匀加速运动。则重物由静止开始下落1 m的瞬间，求：
(1)滑轮边缘上的P点的角速度大小ω；
(2)P点的向心加速度大小an。
答案：(1)20 rad/s (2)40 m/s2
解析：(1)重物以a＝2 m/s2的加速度做匀加速运动，由v2－veq \\al(2,0)＝2ax可得，下落1 m时，滑轮边缘上的P点的线速度大小v＝eq \r(2ax)＝eq \r(2×2×1) m/s＝2 m/s
根据ω＝eq \f(v,r)
代入数据得ω＝eq \f(2,0.10) rad/s＝20 rad/s。
(2)解法1：根据an＝eq \f(v2,r)
代入数据得an＝eq \f(22,0.10) m/s2＝40 m/s2。
解法2：根据an＝ω2r代入数据得an＝202×0.10 m/s2＝40 m/s2。
等级考训练
9．如图所示，在光滑水平面上，轻弹簧的一端固定在竖直转轴O上，另一端连接质量为m的小球，轻弹簧的劲度系数为k，原长为L，小球以角速度ω绕竖直转轴做匀速圆周运动(k>mω2)，则小球运动的向心加速度为( B )
A．ω2L B．eq \f(kω2L,k－mω2)
C．eq \f(kωL,k－mω2) D．eq \f(ω2L,k－mω2)
解析：设弹簧的形变量为x，则有kx＝mω2(x＋L)，解得x＝eq \f(mω2L,k－mω2)，则小球运动的向心加速度为a＝ω2(x＋L)＝eq \f(kω2L,k－mω2)，B正确。
10.(多选)(2022·安徽师大附中高一下学期月考)如图所示，竖直固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相等的小球A和B，在各自不同的水平面内做匀速圆周运动。以下关于A、B两球做圆周运动时的速度(vA、vB)、角速度(ωA、ωB)、加速度(aA、aB)和对内壁的压力(FNA、FNB)的说法正确的是( AC )
A．vA>vB B．ωA>ωB
C．aA＝aB D．FNA>FNB
解析：对小球受力分析如图所示，可得FN＝eq \f(mg,sin θ)，Fn＝eq \f(mg,tan θ)，由于两个小球的质量相同，并且都是在水平面内做匀速圆周运动，即θ相同，所以两个小球的向心力大小和受到的支持力大小都相等，所以有FNA＝FNB，aA＝aB，故C正确、D错误；向心力大小相等，由向心力的公式Fn＝meq \f(v2,r)可知，半径大的，线速度大，所以vA>vB，故A正确；由向心力的公式Fn＝mrω2可知，半径大的，角速度小，所以ωA<ωB，故B错误。
11．由于高度限制，车库出入口采用如图所示的曲杆道闸。道闸由转动杆OP与横杆PQ链接而成，P、Q为横杆的两个端点。在道闸抬起过程中，杆PQ始终保持水平。杆OP绕O点从与水平方向成30°匀速转动到60°的过程中，下列说法正确的是( A )
A．P点的线速度大小不变
B．P点的加速度方向不变
C．Q点在竖直方向做匀速运动
D．Q点在水平方向做匀速运动
解析：由题知杆OP绕O点从与水平方向成30°匀速转动到60°，则P点绕O点做匀速圆周运动，则P点的线速度大小不变，A正确；P点的加速度方向时刻指向O点，B错误；Q点在竖直方向的运动与P点相同，位移y关于时间t的关系为y＝lOP·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6) ＋ ωt))，则可看出Q点在竖直方向不是匀速运动，C错误；Q点在水平方向的位移x关于时间t的关系为x＝lOPcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6) ＋ ωt)) ＋ lPQ，则可看出Q点在水平方向也不是匀速运动，D错误。
12．(2023·广州市第四中学高一月考)如图所示，用内壁光滑的薄壁细圆管弯成的由半圆形AB(圆半径比细管的内径大得多)和直线BC组成的轨道固定在水平桌面上，已知AB部分的半径R＝1.0 m。弹射装置将一个质量为0.1 kg的小球(可视为质点)以v0＝3 m/s的水平初速度从A点射入轨道，小球从C点离开轨道随即水平抛出，桌子的高度h＝0.8 m，不计空气阻力，g取10 m/s2。求：
(1)小球在半圆轨道上运动时的角速度ω、向心加速度a的大小；
(2)小球在空中做平抛运动的时间及落到地面D点时的速度大小。
答案：(1)3 rad/s 9 m/s2 (2)0.4 s 5 m/s
解析：(1)小球在半圆轨道上做匀速圆周运动，则有
ω＝eq \f(v0,R)，a＝eq \f(v\\al(2,0),R)，
代入数据有ω＝3 rad/s，a＝9 m/s2。
(2)小球在空中做平抛运动，竖直方向有
h＝eq \f(1,2)gt2，vy＝gt，
解得t＝0.4 s，vy＝4 m/s，
则D点的速度大小为vD＝eq \r(v\\al(2,0)＋v\\al(2,y))＝5 m/s。