还剩9页未读，
继续阅读
所属成套资源：2024年高中物理新教材同步学案 (含解析)
成套系列资料，整套一键下载
高中物理人教版 (2019)必修 第二册第六章 圆周运动3 向心加速度优秀导学案及答案
展开
这是一份高中物理人教版 (2019)必修 第二册第六章 圆周运动3 向心加速度优秀导学案及答案，共12页。
一、对向心加速度的理解
如图甲所示，地球绕太阳做匀速圆周运动(近似的)；如图乙所示，光滑水平桌面上一个小球在细线的牵引下绕桌面上的图钉做匀速圆周运动。
(1)分析地球和小球的受力情况，说明地球和小球的加速度方向；
(2)地球和小球加速度的作用是什么？
(3)地球和小球的加速度方向变化吗？匀速圆周运动是一种什么性质的运动呢？
答案 (1)地球只受到太阳引力作用，方向指向圆心，加速度方向指向圆心。小球受到重力、支持力、拉力作用，合力指向圆心，故加速度的方向指向圆心。
(2)由于速度大小没有发生变化，故加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。
(3)由于地球和小球的加速度总是沿半径指向圆心，故加速度方向是变化的。匀速圆周运动是一种变加速曲线运动。
1．定义：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向圆心，这个加速度叫作向心加速度。常用an表示。
2．方向：始终指向圆心。
3．作用：改变速度的方向，不改变速度的大小。
4．物理意义：描述速度方向变化的快慢。
5．说明：匀速圆周运动加速度的方向时刻改变，所以匀速圆周运动不是匀变速运动，而是变加速曲线运动。
6．变速圆周运动：变速圆周运动的加速度不指向圆心；可分解为向心加速度和切向加速度分析。向心加速度改变速度方向，切向加速度改变速度大小。
(1)物体做匀速圆周运动时，其向心加速度是恒定的。( × )
(2)物体做匀速圆周运动时，在相等时间内速度变化量是相同的。( × )
(3)圆周运动的加速度一定指向圆心。( × )
(4)向心加速度的方向始终与速度方向垂直。( √ )
二、向心加速度的大小
1．向心加速度公式
(1)an＝eq \f(v2,r)＝ω2r。
(2)由于v＝ωr，所以向心加速度也可以写成an＝ωv。
(3)由于ω＝eq \f(2π,T)＝2πf，所以向心加速度也可以写成an＝eq \f(4π2,T2)r＝4π2f2r。
2．向心加速度与半径的关系(如图所示)
3．向心加速度公式不仅适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动，v为某位置的线速度，且无论物体做的是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，其向心加速度的方向都指向圆心。
(1)匀速圆周运动的向心加速度的方向时刻指向圆心，大小不变。( √ )
(2)由an＝eq \f(4π2,T2)r知，向心加速度an与半径r成正比。( × )
例1 (2023·曲靖市期末)自行车靠一条链子将两个齿轮连接起来，一辆自行车的齿轮转动示意图如图所示，O1、O2是自行车的两个转动齿轮1和2的中心，A和B分别是齿轮1和齿轮2边缘上一点，其中齿轮1上有一点C，C点到齿轮1中心O1的距离为齿轮1半径的一半，则( )
A．A点和B点的线速度相同
B．B点和C点的向心加速度相等
C．B点和C点的向心加速度之比为4∶1
D．B点和C点的线速度大小之比为2∶1
答案 D
解析 A点和B点是链条传动，线速度大小相等，方向不同，故A错误；A点和C点是同轴转动，角速度相同，即ωA＝ωC，根据v＝ωr，可得eq \f(vA,vC)＝eq \f(rω,\f(1,2)rω)＝eq \f(2,1)，因为vA＝vB，所以vB：vC＝2∶1，故D正确；因为两齿轮的半径关系未知，无法比较B、C两点向心加速度的大小，故B、C错误。
例2 (多选)(2022·烟台市高一期中)如图所示，甲、乙两物体分别静置于赤道和纬度为45°的地面上，甲、乙两物体随地球自转的线速度大小分别为v1和v2，向心加速度大小分别为a1和a2，下列关系式正确的是( )
A．v1∶v2＝1∶1 B．v1∶v2＝eq \r(2)∶1
C．a1∶a2＝2∶1 D．a1∶a2＝eq \r(2)∶1
答案 BD
解析 甲、乙两物体分别静置于赤道和纬度为45°的地面上，轨道半径关系为eq \f(R1,R2)＝eq \f(R地,R地cs 45°)＝eq \f(\r(2),1)
甲、乙两物体随地球一起自转，角速度相同，由线速度与角速度的关系知eq \f(v1,v2)＝eq \f(ωR1,ωR2)＝eq \f(\r(2),1)
故A错误，B正确；由向心加速度a＝ω2R知
eq \f(a1,a2)＝eq \f(ω2R1,ω2R2)＝eq \f(\r(2),1)
故C错误，D正确。
例3 (2022·扬州市邵伯高级中学高一月考)2022年2月，北京冬奥会上，中国选手夺得双人花样滑冰运动冠军。如图所示，男运动员以自身为转动轴拉着女运动员做匀速圆周运动。若运动员的转速为0.5 r/s，女运动员触地冰鞋的线速度为1.5π m/s，(设π2＝10)求：
(1)女运动员做圆周运动的角速度ω；
(2)触地冰鞋做圆周运动的半径r；
(3)触地冰鞋向心加速度a向的大小。
答案 (1)π rad/s (2)1.5 m (3)15 m/s2
解析 (1)女运动员做圆周运动的角速度
ω＝2πn＝2π×0.5 rad/s＝π rad/s
(2)根据v＝ωr得r＝eq \f(v,ω)＝eq \f(1.5π,π) m＝1.5 m
(3)根据向心加速度公式得a向＝ω2r＝π2×1.5 m/s2＝15 m/s2。
三、圆周运动的动力学问题分析
例4 长为L的细线，下端拴一质量为m的小球，上端固定，让小球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，细线与竖直方向成θ角时，求：(重力加速度为g)
(1)细线上的拉力大小；
(2)小球运动的线速度的大小和角速度的大小。
答案 (1)eq \f(mg,cs θ) (2)eq \r(gLsin θtan θ) eq \r(\f(g,Lcs θ))
解析 (1)小球受重力及细线的拉力的作用，如图所示，
由平衡条件可知，竖直方向：
FTcs θ＝mg，
故拉力FT＝eq \f(mg,cs θ)。
(2)小球做匀速圆周运动的半径r＝Lsin θ，向心力Fn＝FTsin θ＝mgtan θ，又Fn＝meq \f(v2,r)，
故小球的线速度大小v＝eq \r(gLsin θtan θ)。
由Fn＝mrω2
联立解得ω＝eq \r(\f(g,Lcs θ))。
思考：从上面角速度大小的结果中我们可以看出做圆锥摆运动的小球的角速度ω与什么因素有关？
答案 与圆心到绳上端的高度有关。
例5 (2022·南阳市高一期末)甲图是两个圆锥摆，两摆球运动轨道在同一个水平面内，乙图是完全相同的两个小球在内壁光滑的倒圆锥内做匀速圆周运动。下列说法正确的是( )
A．甲图中两小球的运动周期相等
B．甲图中两小球的线速度大小相等
C．乙图中两个小球的线速度大小相等
D．乙图中两个小球的角速度大小相等
答案 A
解析 设题图甲中做圆锥摆运动的其中一个小球对应摆绳与竖直方向的夹角为θ，摆球与悬点的高度差为h，线速度大小为v，周期为T，根据牛顿第二定律有mgtan θ＝meq \f(v2,htan θ)＝meq \f(4π2,T2)htan θ
解得
v＝tan θeq \r(gh)
T＝2πeq \r(\f(h,g))
由此可知题图甲中两小球的线速度大小不相等，周期相等，A正确，B错误；设题图乙中倒圆锥母线与竖直方向夹角为α，由牛顿第二定律可得eq \f(mg,tan α)＝meq \f(v′2,r)＝mrω′2
解得 v′＝eq \r(\f(gr,tan α))，ω′＝eq \r(\f(g,rtan α))
两球运动的轨道半径不同，故线速度、角速度大小均不同，C、D错误。
分析匀速圆周运动问题的基本步骤
1．明确研究对象，对研究对象进行受力分析，画出受力示意图。
2．确定物体做圆周运动的轨道平面、圆心、半径。
3．找出向心力的来源，利用平行四边形定则或正交分解法，计算出沿半径方向的合力F合。
4．利用牛顿第二定律列方程F合＝Fn＝mω2r＝meq \f(v2,r)＝meq \f(4π2,T2)r。
5．解方程求出待求物理量。
拓展学习：用运动学方法分析匀速圆周运动向心加速度
1．向心加速度的方向
第一步，画出物体经过 A、B两点时的速度方向，如图甲所示。
第二步，平移vA至B点，如图乙所示。
第三步，作出物体由A点到B点的速度变化量Δv，如图丙所示。
第四步，假设由A到B的时间极短， A到B的距离将非常小，作出此时的Δv，如图丁所示。
从运动学角度分析也可以发现：物体做匀速圆周运动时的加速度指向圆心。
2．向心加速度的大小
由图丁可知，当Δt足够小时，θ就足够小，θ角所对的弦和弧的长度就近似相等。
因此，θ ＝ eq \f(Δv,v)，由角速度定义知：θ＝ωΔt，可得： Δv ＝ vωΔt
根据加速度定义式 a ＝ eq \f(Δv,Δt)，由 v ＝ωr
向心加速度大小的表达式为an＝ω2r，an ＝eq \f(v2,r)。
课时对点练
考点一 对向心加速度的理解
1．关于向心加速度，下列说法正确的是( )
A．向心加速度是描述物体速率变化快慢的物理量
B．匀速圆周运动的向心加速度恒定不变
C．向心加速度是描述物体运动方向变化快慢的物理量
D．向心加速度随着轨道半径的增大而减小
答案 C
解析 向心加速度与速度垂直，是描述物体运动方向变化快慢的物理量，故A错误，C正确；匀速圆周运动的向心加速度大小不变、方向时刻改变，是变化的，故B错误；根据an＝ω2r，角速度一定时，轨道半径越大，向心加速度越大，故D错误。
2．(2022·烟台市高一期末)两物体都在做匀速圆周运动，下列说法正确的是( )
A．它们的线速度大小相等时，半径小的向心加速度大
B．它们的周期相等时，半径小的向心加速度大
C．它们的角速度相等时，半径小的向心加速度大
D．它们的转速相等时，半径小的向心加速度大
答案 A
解析 根据a＝eq \f(v2,r)可知线速度大小相等时，半径小的向心加速度大，A正确；根据a＝eq \f(4π2,T2)r可知周期相等时，半径大的向心加速度大，B错误；根据a＝ω2r可知角速度相等时，半径小的向心加速度小，C错误；根据a＝4π2n2r可知转速相等时，半径小的向心加速度小，D错误。
3.(2022·温州市高一期末)光滑的水平面上固定着一个螺旋形光滑水平轨道，俯视如图所示。一小球以一定速度沿轨道切线方向进入轨道，运动到螺旋形中央，下列关于该小球运动的说法正确的是( )
A．线速度增大，角速度不变
B．线速度不变，角速度减小
C．线速度减小，向心加速度增大
D．角速度增大，向心加速度增大
答案 D
解析 水平轨道光滑，所以小球的线速度大小不变，但是转动半径变小，根据ω＝eq \f(v,r)可知角速度增大，根据a＝eq \f(v2,r)可知向心加速度变大，故D正确，A、B、C错误。
考点二 向心加速度的计算
4.(多选)如图所示，皮带传动装置中，右边两轮连在一起同轴转动，图中三轮半径分别为r1＝3r，r2＝2r，r3＝4r；A、B、C三点为三个轮边缘上的点，向心加速度大小分别为a1、a2、a3，皮带不打滑，则下列比例关系正确的是( )
A.eq \f(a1,a2)＝eq \f(3,2) B.eq \f(a1,a2)＝eq \f(2,3)
C.eq \f(a2,a3)＝2 D.eq \f(a2,a3)＝eq \f(1,2)
答案 BD
解析 由于皮带不打滑，故v1＝v2，由an＝eq \f(v2,r)可得eq \f(a1,a2)＝eq \f(r2,r1)＝eq \f(2,3)，A错误，B正确；由于右边两轮同轴转动，故ω2＝ω3，由an＝rω2可得eq \f(a2,a3)＝eq \f(r2,r3)＝eq \f(1,2)，C错误，D正确。
考点三 匀速圆周运动的动力学问题
5.如图所示，质量相等的A、B两物体紧贴在匀速转动的圆筒的竖直内壁上，随圆筒一起做匀速圆周运动，则下列关系式正确的是( )
A．线速度vA＝vB
B．角速度ωA>ωB
C．它们受到合力FA合>FB合
D．它们受到的摩擦力FfA>FfB
答案 C
解析 A、B同轴运动，两者角速度相等，选项B错误；根据v＝ωr可知，选项A错误；由F合＝mrω2可知，选项C正确；在竖直方向，它们所受的静摩擦力等于重力，由于二者质量相等，重力相等，所以它们受到的静摩擦力相等，选项D错误。
6．(2022·聊城市高一期中)质量为m的飞机以速率v在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，如图所示，重力加速度为g，则空气对飞机的作用力大小为( )
A.eq \f(mv2,R) B．meq \r(g2＋\f(v2,R)2)
C．mg D.eq \r(\f(v2,R)2－g2)
答案 B
解析 飞机受到竖直向下的重力和空气给的作用力，两力之和提供向心力，如图所示，故有F＝eq \r(mg2＋m\f(v2,R)2)＝meq \r(g2＋\f(v2,R)2)，故选B。
7.一质量为m的物体，沿半径为R的半圆形轨道滑行，如图所示，经过最低点时的速度为v，物体与轨道间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则它在最低点时受到的摩擦力大小为( )
A．μmg B.eq \f(μmv2,R)
C．μm(g＋eq \f(v2,R)) D．μm(g－eq \f(v2,R))
答案 C
解析 在最低点有：FN－mg＝meq \f(v2,R)，得FN＝mg＋meq \f(v2,R)，又由滑动摩擦力公式有Ff＝μFN＝μ(mg＋meq \f(v2,R))＝μm(g＋eq \f(v2,R))，C选项正确。
8.(2023·南洋模范中学高一期中)有一种杂技表演叫“飞车走壁”。由杂技演员驾驶摩托车沿圆台形表演台的侧壁，做匀速圆周运动。图中圆弧表示摩托车的行驶轨迹，轨迹离地面的高度为h。下列说法中正确的是( )
A．h越高，摩托车对侧壁的压力将越大
B．h越高，摩托车做圆周运动的向心力将越大
C．h越高，摩托车做圆周运动的周期将越小
D．h越高，摩托车做圆周运动的线速度将越大
答案 D
解析 杂技演员以及摩托车所受的重力和支持力的合力提供向心力，向心力F＝mgtan θ，对侧壁的压力FN′＝FN＝eq \f(mg,cs θ)，其中θ是表演台的侧壁与地面的夹角，可以看出，向心力和对侧壁的压力均与h无关，故A、B错误；向心力F＝meq \f(4π2,T2)r，由于F为定值，则T2与r成正比，当h越大时，r越大，所以周期T也越大，故C错误；向心力F＝meq \f(v2,r)，由于F为定值，则v2与r成正比，当h越大时，r越大，所以线速度v也越大，故D正确。
9．(多选)(2022·聊城市高一期中)智能呼啦圈轻便美观，深受大众喜爱。如图甲，腰带外侧带有轨道，将带有滑轮的短杆穿入轨道，短杆的另一端悬挂一根带有配重的轻绳，其简化模型如图乙所示。可视为质点的配重质量为0.8 kg，绳长为0.5 m，悬挂点P到腰带中心点O的距离为0.2 m。水平固定好腰带，通过人体微小扭动，使配重随短杆沿水平面做匀速圆周运动，若绳子与竖直方向夹角为37°，运动过程中腰带可看作不动，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，下列说法正确的是( )
A．绳的拉力大小为10 N
B．配重的向心加速度大小为7.5 m/s2
C．配重的角速度大小为eq \r(15) rad/s
D．配重的角速度大小为5 rad/s
答案 ABC
解析 绳的拉力大小为F＝eq \f(mg,cs 37°)＝10 N，故A正确；由向心力公式有mgtan 37°＝man，可得an＝7.5 m/s2，故B正确；由an＝(Lsin 37°＋rPO)ω2可得ω＝eq \r(15) rad/s，故C正确，D错误。
10．(2023·江阴高级中学高一期末)如图甲，一半径为r＝0.2 m的滚筒洗衣机内有一件质量为m＝0.5 kg的衣服(示意图如图乙)，衣服贴着内壁跟着圆筒以角速度ω＝20 rad/s绕中心轴做匀速圆周运动，重力加速度g＝10 m/s2，若此时衣服恰好不下滑，求：
(1)衣服对桶壁的压力大小；
(2)衣服与桶壁之间的动摩擦因数。
答案 (1)40 N (2)eq \f(1,8)
解析 (1)衣服所受弹力F＝mω2r＝40 N
由牛顿第三定律知，衣服对桶壁压力为F′＝F＝40 N
(2)衣服竖直方向受力平衡，Ff＝mg＝5 N
而Ff＝μF
解得μ＝eq \f(1,8)。
11.如图所示，有一质量为m1的小球A与质量为m2的物块B通过轻绳相连，轻绳穿过光滑水平板绕O点做半径为r的匀速圆周运动时，物块B刚好保持静止。求：(重力加速度为g)
(1)轻绳的拉力大小；
(2)小球A做匀速圆周运动的线速度大小。
答案 (1)m2g (2)eq \r(\f(m2gr,m1))
解析 (1)物块B受力平衡，故轻绳拉力大小FT＝m2g
(2)小球A做匀速圆周运动的向心力由轻绳拉力FT提供，
根据牛顿第二定律有：m2g＝m1eq \f(v2,r)
解得v＝eq \r(\f(m2gr,m1))。
12.(多选)(2023·揭阳市揭东第一中学高一期中)如图所示，一倾斜的圆筒绕固定轴OO1以恒定的角速度ω转动，圆筒的半径r＝1 m。筒壁内有一小物体与圆筒始终保持相对静止，小物体与圆筒间的动摩擦因数为eq \f(\r(3),2)(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，转动轴与水平面间的夹角为60°，重力加速度g取10 m/s2，则ω的值可能是( )
A．1 rad/s B.eq \r(10) rad/s
C．4 rad/s D．5 rad/s
答案 CD
解析 当物体在轨迹的最高点时，受力分析如图，
其中沿桶壁的方向：Ff＝mgsin 60°≤μFN＝Ffm
垂直于桶壁的方向：mgcs 60°＋FN＝mω2r
联立可得ω≥eq \r(15) rad/s。
一、对向心加速度的理解
如图甲所示，地球绕太阳做匀速圆周运动(近似的)；如图乙所示，光滑水平桌面上一个小球在细线的牵引下绕桌面上的图钉做匀速圆周运动。
(1)分析地球和小球的受力情况，说明地球和小球的加速度方向；
(2)地球和小球加速度的作用是什么？
(3)地球和小球的加速度方向变化吗？匀速圆周运动是一种什么性质的运动呢？
答案 (1)地球只受到太阳引力作用，方向指向圆心，加速度方向指向圆心。小球受到重力、支持力、拉力作用，合力指向圆心，故加速度的方向指向圆心。
(2)由于速度大小没有发生变化，故加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。
(3)由于地球和小球的加速度总是沿半径指向圆心，故加速度方向是变化的。匀速圆周运动是一种变加速曲线运动。
1．定义：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向圆心，这个加速度叫作向心加速度。常用an表示。
2．方向：始终指向圆心。
3．作用：改变速度的方向，不改变速度的大小。
4．物理意义：描述速度方向变化的快慢。
5．说明：匀速圆周运动加速度的方向时刻改变，所以匀速圆周运动不是匀变速运动，而是变加速曲线运动。
6．变速圆周运动：变速圆周运动的加速度不指向圆心；可分解为向心加速度和切向加速度分析。向心加速度改变速度方向，切向加速度改变速度大小。
(1)物体做匀速圆周运动时，其向心加速度是恒定的。( × )
(2)物体做匀速圆周运动时，在相等时间内速度变化量是相同的。( × )
(3)圆周运动的加速度一定指向圆心。( × )
(4)向心加速度的方向始终与速度方向垂直。( √ )
二、向心加速度的大小
1．向心加速度公式
(1)an＝eq \f(v2,r)＝ω2r。
(2)由于v＝ωr，所以向心加速度也可以写成an＝ωv。
(3)由于ω＝eq \f(2π,T)＝2πf，所以向心加速度也可以写成an＝eq \f(4π2,T2)r＝4π2f2r。
2．向心加速度与半径的关系(如图所示)
3．向心加速度公式不仅适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动，v为某位置的线速度，且无论物体做的是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，其向心加速度的方向都指向圆心。
(1)匀速圆周运动的向心加速度的方向时刻指向圆心，大小不变。( √ )
(2)由an＝eq \f(4π2,T2)r知，向心加速度an与半径r成正比。( × )
例1 (2023·曲靖市期末)自行车靠一条链子将两个齿轮连接起来，一辆自行车的齿轮转动示意图如图所示，O1、O2是自行车的两个转动齿轮1和2的中心，A和B分别是齿轮1和齿轮2边缘上一点，其中齿轮1上有一点C，C点到齿轮1中心O1的距离为齿轮1半径的一半，则( )
A．A点和B点的线速度相同
B．B点和C点的向心加速度相等
C．B点和C点的向心加速度之比为4∶1
D．B点和C点的线速度大小之比为2∶1
答案 D
解析 A点和B点是链条传动，线速度大小相等，方向不同，故A错误；A点和C点是同轴转动，角速度相同，即ωA＝ωC，根据v＝ωr，可得eq \f(vA,vC)＝eq \f(rω,\f(1,2)rω)＝eq \f(2,1)，因为vA＝vB，所以vB：vC＝2∶1，故D正确；因为两齿轮的半径关系未知，无法比较B、C两点向心加速度的大小，故B、C错误。
例2 (多选)(2022·烟台市高一期中)如图所示，甲、乙两物体分别静置于赤道和纬度为45°的地面上，甲、乙两物体随地球自转的线速度大小分别为v1和v2，向心加速度大小分别为a1和a2，下列关系式正确的是( )
A．v1∶v2＝1∶1 B．v1∶v2＝eq \r(2)∶1
C．a1∶a2＝2∶1 D．a1∶a2＝eq \r(2)∶1
答案 BD
解析 甲、乙两物体分别静置于赤道和纬度为45°的地面上，轨道半径关系为eq \f(R1,R2)＝eq \f(R地,R地cs 45°)＝eq \f(\r(2),1)
甲、乙两物体随地球一起自转，角速度相同，由线速度与角速度的关系知eq \f(v1,v2)＝eq \f(ωR1,ωR2)＝eq \f(\r(2),1)
故A错误，B正确；由向心加速度a＝ω2R知
eq \f(a1,a2)＝eq \f(ω2R1,ω2R2)＝eq \f(\r(2),1)
故C错误，D正确。
例3 (2022·扬州市邵伯高级中学高一月考)2022年2月，北京冬奥会上，中国选手夺得双人花样滑冰运动冠军。如图所示，男运动员以自身为转动轴拉着女运动员做匀速圆周运动。若运动员的转速为0.5 r/s，女运动员触地冰鞋的线速度为1.5π m/s，(设π2＝10)求：
(1)女运动员做圆周运动的角速度ω；
(2)触地冰鞋做圆周运动的半径r；
(3)触地冰鞋向心加速度a向的大小。
答案 (1)π rad/s (2)1.5 m (3)15 m/s2
解析 (1)女运动员做圆周运动的角速度
ω＝2πn＝2π×0.5 rad/s＝π rad/s
(2)根据v＝ωr得r＝eq \f(v,ω)＝eq \f(1.5π,π) m＝1.5 m
(3)根据向心加速度公式得a向＝ω2r＝π2×1.5 m/s2＝15 m/s2。
三、圆周运动的动力学问题分析
例4 长为L的细线，下端拴一质量为m的小球，上端固定，让小球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，细线与竖直方向成θ角时，求：(重力加速度为g)
(1)细线上的拉力大小；
(2)小球运动的线速度的大小和角速度的大小。
答案 (1)eq \f(mg,cs θ) (2)eq \r(gLsin θtan θ) eq \r(\f(g,Lcs θ))
解析 (1)小球受重力及细线的拉力的作用，如图所示，
由平衡条件可知，竖直方向：
FTcs θ＝mg，
故拉力FT＝eq \f(mg,cs θ)。
(2)小球做匀速圆周运动的半径r＝Lsin θ，向心力Fn＝FTsin θ＝mgtan θ，又Fn＝meq \f(v2,r)，
故小球的线速度大小v＝eq \r(gLsin θtan θ)。
由Fn＝mrω2
联立解得ω＝eq \r(\f(g,Lcs θ))。
思考：从上面角速度大小的结果中我们可以看出做圆锥摆运动的小球的角速度ω与什么因素有关？
答案 与圆心到绳上端的高度有关。
例5 (2022·南阳市高一期末)甲图是两个圆锥摆，两摆球运动轨道在同一个水平面内，乙图是完全相同的两个小球在内壁光滑的倒圆锥内做匀速圆周运动。下列说法正确的是( )
A．甲图中两小球的运动周期相等
B．甲图中两小球的线速度大小相等
C．乙图中两个小球的线速度大小相等
D．乙图中两个小球的角速度大小相等
答案 A
解析 设题图甲中做圆锥摆运动的其中一个小球对应摆绳与竖直方向的夹角为θ，摆球与悬点的高度差为h，线速度大小为v，周期为T，根据牛顿第二定律有mgtan θ＝meq \f(v2,htan θ)＝meq \f(4π2,T2)htan θ
解得
v＝tan θeq \r(gh)
T＝2πeq \r(\f(h,g))
由此可知题图甲中两小球的线速度大小不相等，周期相等，A正确，B错误；设题图乙中倒圆锥母线与竖直方向夹角为α，由牛顿第二定律可得eq \f(mg,tan α)＝meq \f(v′2,r)＝mrω′2
解得 v′＝eq \r(\f(gr,tan α))，ω′＝eq \r(\f(g,rtan α))
两球运动的轨道半径不同，故线速度、角速度大小均不同，C、D错误。
分析匀速圆周运动问题的基本步骤
1．明确研究对象，对研究对象进行受力分析，画出受力示意图。
2．确定物体做圆周运动的轨道平面、圆心、半径。
3．找出向心力的来源，利用平行四边形定则或正交分解法，计算出沿半径方向的合力F合。
4．利用牛顿第二定律列方程F合＝Fn＝mω2r＝meq \f(v2,r)＝meq \f(4π2,T2)r。
5．解方程求出待求物理量。
拓展学习：用运动学方法分析匀速圆周运动向心加速度
1．向心加速度的方向
第一步，画出物体经过 A、B两点时的速度方向，如图甲所示。
第二步，平移vA至B点，如图乙所示。
第三步，作出物体由A点到B点的速度变化量Δv，如图丙所示。
第四步，假设由A到B的时间极短， A到B的距离将非常小，作出此时的Δv，如图丁所示。
从运动学角度分析也可以发现：物体做匀速圆周运动时的加速度指向圆心。
2．向心加速度的大小
由图丁可知，当Δt足够小时，θ就足够小，θ角所对的弦和弧的长度就近似相等。
因此，θ ＝ eq \f(Δv,v)，由角速度定义知：θ＝ωΔt，可得： Δv ＝ vωΔt
根据加速度定义式 a ＝ eq \f(Δv,Δt)，由 v ＝ωr
向心加速度大小的表达式为an＝ω2r，an ＝eq \f(v2,r)。
课时对点练
考点一 对向心加速度的理解
1．关于向心加速度，下列说法正确的是( )
A．向心加速度是描述物体速率变化快慢的物理量
B．匀速圆周运动的向心加速度恒定不变
C．向心加速度是描述物体运动方向变化快慢的物理量
D．向心加速度随着轨道半径的增大而减小
答案 C
解析 向心加速度与速度垂直，是描述物体运动方向变化快慢的物理量，故A错误，C正确；匀速圆周运动的向心加速度大小不变、方向时刻改变，是变化的，故B错误；根据an＝ω2r，角速度一定时，轨道半径越大，向心加速度越大，故D错误。
2．(2022·烟台市高一期末)两物体都在做匀速圆周运动，下列说法正确的是( )
A．它们的线速度大小相等时，半径小的向心加速度大
B．它们的周期相等时，半径小的向心加速度大
C．它们的角速度相等时，半径小的向心加速度大
D．它们的转速相等时，半径小的向心加速度大
答案 A
解析 根据a＝eq \f(v2,r)可知线速度大小相等时，半径小的向心加速度大，A正确；根据a＝eq \f(4π2,T2)r可知周期相等时，半径大的向心加速度大，B错误；根据a＝ω2r可知角速度相等时，半径小的向心加速度小，C错误；根据a＝4π2n2r可知转速相等时，半径小的向心加速度小，D错误。
3.(2022·温州市高一期末)光滑的水平面上固定着一个螺旋形光滑水平轨道，俯视如图所示。一小球以一定速度沿轨道切线方向进入轨道，运动到螺旋形中央，下列关于该小球运动的说法正确的是( )
A．线速度增大，角速度不变
B．线速度不变，角速度减小
C．线速度减小，向心加速度增大
D．角速度增大，向心加速度增大
答案 D
解析 水平轨道光滑，所以小球的线速度大小不变，但是转动半径变小，根据ω＝eq \f(v,r)可知角速度增大，根据a＝eq \f(v2,r)可知向心加速度变大，故D正确，A、B、C错误。
考点二 向心加速度的计算
4.(多选)如图所示，皮带传动装置中，右边两轮连在一起同轴转动，图中三轮半径分别为r1＝3r，r2＝2r，r3＝4r；A、B、C三点为三个轮边缘上的点，向心加速度大小分别为a1、a2、a3，皮带不打滑，则下列比例关系正确的是( )
A.eq \f(a1,a2)＝eq \f(3,2) B.eq \f(a1,a2)＝eq \f(2,3)
C.eq \f(a2,a3)＝2 D.eq \f(a2,a3)＝eq \f(1,2)
答案 BD
解析 由于皮带不打滑，故v1＝v2，由an＝eq \f(v2,r)可得eq \f(a1,a2)＝eq \f(r2,r1)＝eq \f(2,3)，A错误，B正确；由于右边两轮同轴转动，故ω2＝ω3，由an＝rω2可得eq \f(a2,a3)＝eq \f(r2,r3)＝eq \f(1,2)，C错误，D正确。
考点三 匀速圆周运动的动力学问题
5.如图所示，质量相等的A、B两物体紧贴在匀速转动的圆筒的竖直内壁上，随圆筒一起做匀速圆周运动，则下列关系式正确的是( )
A．线速度vA＝vB
B．角速度ωA>ωB
C．它们受到合力FA合>FB合
D．它们受到的摩擦力FfA>FfB
答案 C
解析 A、B同轴运动，两者角速度相等，选项B错误；根据v＝ωr可知，选项A错误；由F合＝mrω2可知，选项C正确；在竖直方向，它们所受的静摩擦力等于重力，由于二者质量相等，重力相等，所以它们受到的静摩擦力相等，选项D错误。
6．(2022·聊城市高一期中)质量为m的飞机以速率v在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，如图所示，重力加速度为g，则空气对飞机的作用力大小为( )
A.eq \f(mv2,R) B．meq \r(g2＋\f(v2,R)2)
C．mg D.eq \r(\f(v2,R)2－g2)
答案 B
解析 飞机受到竖直向下的重力和空气给的作用力，两力之和提供向心力，如图所示，故有F＝eq \r(mg2＋m\f(v2,R)2)＝meq \r(g2＋\f(v2,R)2)，故选B。
7.一质量为m的物体，沿半径为R的半圆形轨道滑行，如图所示，经过最低点时的速度为v，物体与轨道间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则它在最低点时受到的摩擦力大小为( )
A．μmg B.eq \f(μmv2,R)
C．μm(g＋eq \f(v2,R)) D．μm(g－eq \f(v2,R))
答案 C
解析 在最低点有：FN－mg＝meq \f(v2,R)，得FN＝mg＋meq \f(v2,R)，又由滑动摩擦力公式有Ff＝μFN＝μ(mg＋meq \f(v2,R))＝μm(g＋eq \f(v2,R))，C选项正确。
8.(2023·南洋模范中学高一期中)有一种杂技表演叫“飞车走壁”。由杂技演员驾驶摩托车沿圆台形表演台的侧壁，做匀速圆周运动。图中圆弧表示摩托车的行驶轨迹，轨迹离地面的高度为h。下列说法中正确的是( )
A．h越高，摩托车对侧壁的压力将越大
B．h越高，摩托车做圆周运动的向心力将越大
C．h越高，摩托车做圆周运动的周期将越小
D．h越高，摩托车做圆周运动的线速度将越大
答案 D
解析 杂技演员以及摩托车所受的重力和支持力的合力提供向心力，向心力F＝mgtan θ，对侧壁的压力FN′＝FN＝eq \f(mg,cs θ)，其中θ是表演台的侧壁与地面的夹角，可以看出，向心力和对侧壁的压力均与h无关，故A、B错误；向心力F＝meq \f(4π2,T2)r，由于F为定值，则T2与r成正比，当h越大时，r越大，所以周期T也越大，故C错误；向心力F＝meq \f(v2,r)，由于F为定值，则v2与r成正比，当h越大时，r越大，所以线速度v也越大，故D正确。
9．(多选)(2022·聊城市高一期中)智能呼啦圈轻便美观，深受大众喜爱。如图甲，腰带外侧带有轨道，将带有滑轮的短杆穿入轨道，短杆的另一端悬挂一根带有配重的轻绳，其简化模型如图乙所示。可视为质点的配重质量为0.8 kg，绳长为0.5 m，悬挂点P到腰带中心点O的距离为0.2 m。水平固定好腰带，通过人体微小扭动，使配重随短杆沿水平面做匀速圆周运动，若绳子与竖直方向夹角为37°，运动过程中腰带可看作不动，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，下列说法正确的是( )
A．绳的拉力大小为10 N
B．配重的向心加速度大小为7.5 m/s2
C．配重的角速度大小为eq \r(15) rad/s
D．配重的角速度大小为5 rad/s
答案 ABC
解析 绳的拉力大小为F＝eq \f(mg,cs 37°)＝10 N，故A正确；由向心力公式有mgtan 37°＝man，可得an＝7.5 m/s2，故B正确；由an＝(Lsin 37°＋rPO)ω2可得ω＝eq \r(15) rad/s，故C正确，D错误。
10．(2023·江阴高级中学高一期末)如图甲，一半径为r＝0.2 m的滚筒洗衣机内有一件质量为m＝0.5 kg的衣服(示意图如图乙)，衣服贴着内壁跟着圆筒以角速度ω＝20 rad/s绕中心轴做匀速圆周运动，重力加速度g＝10 m/s2，若此时衣服恰好不下滑，求：
(1)衣服对桶壁的压力大小；
(2)衣服与桶壁之间的动摩擦因数。
答案 (1)40 N (2)eq \f(1,8)
解析 (1)衣服所受弹力F＝mω2r＝40 N
由牛顿第三定律知，衣服对桶壁压力为F′＝F＝40 N
(2)衣服竖直方向受力平衡，Ff＝mg＝5 N
而Ff＝μF
解得μ＝eq \f(1,8)。
11.如图所示，有一质量为m1的小球A与质量为m2的物块B通过轻绳相连，轻绳穿过光滑水平板绕O点做半径为r的匀速圆周运动时，物块B刚好保持静止。求：(重力加速度为g)
(1)轻绳的拉力大小；
(2)小球A做匀速圆周运动的线速度大小。
答案 (1)m2g (2)eq \r(\f(m2gr,m1))
解析 (1)物块B受力平衡，故轻绳拉力大小FT＝m2g
(2)小球A做匀速圆周运动的向心力由轻绳拉力FT提供，
根据牛顿第二定律有：m2g＝m1eq \f(v2,r)
解得v＝eq \r(\f(m2gr,m1))。
12.(多选)(2023·揭阳市揭东第一中学高一期中)如图所示，一倾斜的圆筒绕固定轴OO1以恒定的角速度ω转动，圆筒的半径r＝1 m。筒壁内有一小物体与圆筒始终保持相对静止，小物体与圆筒间的动摩擦因数为eq \f(\r(3),2)(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，转动轴与水平面间的夹角为60°，重力加速度g取10 m/s2，则ω的值可能是( )
A．1 rad/s B.eq \r(10) rad/s
C．4 rad/s D．5 rad/s
答案 CD
解析 当物体在轨迹的最高点时，受力分析如图，
其中沿桶壁的方向：Ff＝mgsin 60°≤μFN＝Ffm
垂直于桶壁的方向：mgcs 60°＋FN＝mω2r
联立可得ω≥eq \r(15) rad/s。
相关学案
人教版 (2019)必修 第二册第六章 圆周运动1 圆周运动优质学案设计： 这是一份人教版 (2019)必修 第二册<a href="/wl/tb_c163058_t4/?tag_id=42" target="_blank">第六章 圆周运动1 圆周运动优质学案设计</a>，共10页。
必修 第二册3 实验：探究平抛运动的特点精品导学案： 这是一份必修 第二册<a href="/wl/tb_c163053_t4/?tag_id=42" target="_blank">3 实验：探究平抛运动的特点精品导学案</a>，共6页。
物理必修 第二册1 曲线运动精品导学案及答案： 这是一份物理必修 第二册<a href="/wl/tb_c163049_t4/?tag_id=42" target="_blank">1 曲线运动精品导学案及答案</a>，共10页。
