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必修 第二册3 向心加速度导学案
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这是一份必修 第二册3 向心加速度导学案，共16页。
2．知道向心加速度和线速度、角速度的关系式，并能进行相关计算。
3．能够运用向心加速度公式求解有关问题。
匀速圆周运动的加速度方向
1．向心加速度定义：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向圆心，我们把它叫作向心加速度。
2．向心加速度方向：总沿半径指向圆心，并且与线速度方向垂直。
3．向心加速度的物理意义：描述线速度方向改变快慢的物理量。
如图所示为游乐设施旋转飞车的示意图，旋转飞车的运动可以看作匀速圆周运动。
【问题】
(1)飞车做匀速圆周运动时，飞车受几个力？合力的方向如何？
(2)合力产生的加速度就是向心加速度吗？
(3)当飞车加速旋转过程中，合力产生的加速度就是向心加速度吗？
(4)圆周运动的加速度方向一定指向圆心吗？
提示：(1)在匀速圆周运动中，飞车受两个力，重力和绳子的拉力，合力指向做圆周运动的圆心。
(2)合力产生的加速度就是向心加速度，加速度方向一定指向圆心。
(3)飞车加速旋转过程中，合力产生的加速度不是向心加速度。
(4)匀速圆周运动的加速度方向一定指向圆心，非匀速圆周运动的加速度方向不指向圆心。
1．向心加速度的物理意义
向心加速度只表示线速度方向变化的快慢，不表示线速度大小变化的快慢。
2．向心加速度方向特点
(1)指向圆心：无论匀速圆周运动，还是变速圆周运动，向心加速度的方向都指向圆心，或者说与线速度的方向垂直。
(2)时刻改变：无论向心加速度的大小是否变化，向心加速度的方向随线速度方向的改变而改变。所以一切圆周运动都是变加速曲线运动。
3．非匀速圆周运动的加速度
对于非匀速圆周运动，如图所示。
(1)物体加速度的方向不再指向圆心。
(2)其中一个分加速度的方向指向圆心，为向心加速度，其作用仍然是改变速度的方向。
(3)另一个分加速度改变速度的大小。
【典例1】 关于向心加速度，下列说法正确的是( )
A．向心加速度是描述线速度大小变化快慢的物理量
B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
C．向心加速度的大小恒定，方向时刻改变
D．向心加速度是平均加速度，大小可用a＝v-v0t来计算
B [向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小，它是描述线速度方向变化快慢的物理量，A错误，B正确；只有匀速圆周运动的向心加速度大小才恒定，C错误；公式a＝v-v0t适用于平均加速度的计算，向心加速度是瞬时加速度，D错误。]
[跟进训练]
1．下列关于向心加速度的说法中正确的是( )
A．向心加速度的方向始终指向圆心
B．向心加速度的方向保持不变
C．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的
D．在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变化
A [向心加速度的方向时刻指向圆心，A正确；向心加速度的大小不变，方向时刻指向圆心，不断变化，故B、C、D错误。]
匀速圆周运动的加速度大小
1．基本公式an＝v2r＝ω2r。
2．拓展公式an＝4π2T2·r＝ωv。
如图所示，自行车的大齿轮、小齿轮、后轮三个轮子的半径不一样，RC＞RA＞RB。A、B、C是它们边缘上的三个点，请思考：
【问题】
(1)哪两个点的向心加速度与半径成正比？
(2)哪两个点的向心加速度与半径成反比？
(3)如何比较A点和C点的向心加速度大小？
提示：(1)B、C两个点同轴转动，它们的角速度相同，向心加速度与半径成正比。
(2)A、B两个点的线速度大小相等，向心加速度与半径成反比。
(3)根据A、B两点线速度大小相等，可知aB＞aA，再根据B、C两点角速度相等，可知aC＞aB，故aC＞aA。
1．向心加速度的几种表达式
2．向心加速度的大小与半径的关系
(1)当半径一定时，向心加速度的大小与角速度的平方成正比，也与线速度的平方成正比。随频率的增大或周期的减小而增大。
(2)当角速度一定时，向心加速度的大小与运动半径成正比。
(3)当线速度一定时，向心加速度的大小与运动半径成反比。
(4)an与r的关系图像：如图所示，由an-r图像可以看出，an与r成正比还是反比，要看ω恒定还是v恒定。
【典例2】 如图所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无相对滑动，大轮的半径是小轮半径的2倍，大轮上的一点S离转动轴的距离是大轮半径的13。当大轮边缘上的P点的向心加速度是12 m/s2时，大轮上的S点和小轮边缘上的Q点的向心加速度各为多少？
[思路点拨] (1)P和S在同一轮上，角速度相同，选用an＝ω2r计算向心加速度。
(2)P和Q为皮带传动的两个轮边缘上的点，线速度大小相等，选用an＝v2r计算向心加速度。
[解析] 同一轮上的S点和P点的角速度相同，
即ωS＝ωP
由向心加速度公式an＝ω2r，得aSaP＝rSrP
故aS＝rSrPaP＝13×12 m/s2＝4 m/s2
又因为皮带不打滑，所以皮带传动的两轮边缘上各点的线速度大小相等，即vP＝vQ
由向心加速度公式an＝v2r，得aPaQ＝rQrP
故aQ＝rPrQaP＝2×12 m/s2＝24 m/s2。
[答案] 4 m/s2 24 m/s2
向心加速度表达式的应用技巧
(1)角速度相等时，研究an与v的关系用an＝ωv分析比较。
(2)周期相等时，研究an与r的关系用an＝4π2T2r分析比较。
(3)线速度相等时，研究an与r的关系用an＝v2r分析比较。
(4)线速度相等时，研究an与ω的关系用an＝ωv分析比较。
[跟进训练]
2．(多选)如图所示为A、B两物体做匀速圆周运动的向心加速度a的大小随半径r变化的图像，其中A为反比例函数图像的一个分支，由图可知( )
A．A物体运动的线速度大小不变
B．A物体运动的角速度不变
C．B物体运动的角速度不变
D．B物体运动的线速度大小不变
AC [由a＝v2r知，做匀速圆周运动的物体线速度大小不变时，加速度与半径成反比，故A正确，B错误；由a＝rω2知，角速度不变时，加速度与半径成正比，故C正确、D错误。]
3．甲、乙两个物体都做匀速圆周运动，转动半径之比为9∶4，转动周期之比为3∶4，则它们的向心加速度大小之比为( )
A．1∶4 B．4∶1
C．4∶9 D．9∶4
B [设甲、乙两个物体的转动半径分别为r1、r2，周期分别为T1、T2，根据题意r1r2＝94，T1T2＝34，由an＝4π2T2r得：a1a2＝r1r2·T2T12＝94×(43)2＝41，故选B。]
1．关于向心加速度，下列说法正确的是( )
A．向心加速度是描述物体速率变化快慢的物理量
B．匀速圆周运动的向心加速度恒定不变
C．向心加速度是描述物体运动方向变化快慢的物理量
D．向心加速度随着轨道半径的增大而减小
C [向心加速度与速度垂直，是描述物体运动方向变化快慢的物理量，故A错误，C正确；匀速圆周运动的向心加速度大小不变、方向时刻改变，是变化的，故B错误；根据an＝ω2r可知，角速度一定时，轨道半径越大，向心加速度越大，故D错误。]
2．关于质点做匀速圆周运动，下列说法正确的是( )
A．由a＝v2r知a与r成反比
B．由a＝ω2r知a与r成正比
C．由ω＝vr知ω与r成反比
D．由ω＝2πn知ω与转速n成正比
D [由a＝v2r可知，v一定时，a与r成反比，A错误；由a＝ω2r可知，ω一定时，a与r成正比，B错误；由ω＝vr可知，v一定时，ω与r成反比，C错误；因为2π是恒量，由ω＝2πn可知，ω与转速n成正比，D正确。]
3．如图所示，半径为R的圆盘绕过圆心的竖直轴OO′匀速转动，在距轴为r处有一竖直杆，杆上用长为L的细线悬挂一小球。当圆盘以角速度ω匀速转动时，小球也以同样的角速度做匀速圆周运动，这时细线与竖直方向的夹角为θ，则小球的向心加速度大小为( )
A．ω2R B．ω2r
C．ω2L sin θ D．ω2(r＋L sin θ)
D [小球运动的轨迹是水平面内的圆，如题图中虚线所示，其圆心是水平面与转轴OO′的交点，所以圆周运动的半径为r＋L sin θ，由an＝rω2，可知其加速度大小为ω2(r＋L sin θ)，选项D正确。]
4．A、B两小球都在水平面上做匀速圆周运动，A球的轨道半径是B球轨道半径的2倍，A的转速为30 r/min，B的转速为15 r/min。则两球的向心加速度之比为( )
A．1∶1 B．2∶1
C．4∶1 D．8∶1
D [由题意知A、B两小球的角速度之比ωA∶ωB＝nA∶nB＝2∶1，所以两小球的向心加速度之比aA∶aB＝ωA2RA:ωB2RB＝8∶1，D正确。]
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．圆周运动的加速度一定指向圆心吗？
提示：不一定，只有匀速圆周运动的加速度才指向圆心。
2．向心加速度的物理意义是什么？
提示：反映线速度方向变化快慢。
3．向心加速度表达式有哪些？
提示：an＝v2r＝ω2r＝4π2T2r＝ωv。
旋转的足球——香蕉球
喜欢足球的人肯定知道“香蕉球”，即运动员踢出的足球在行进中绕过“人墙”转弯进入球门，其轨迹如图甲所示。运动员踢出足球时，一方面使它向前运动，另一方面又使它绕轴旋转。设旋转方向和前进方向如图乙(a)所示，若自上向下看，如图乙(b)，由于足球的自转，足球表面附近有一层空气被足球带动做同一旋向的转动，造成足球A、B两侧附近空气相对于足球的速度不相等，A侧附近空气的流速大于B侧附近空气的流速。根据流体的速度与压强的关系可知，空气对足球 B 侧的压强大于对A侧的压强，从而使足球的 A、B 两侧形成一个压力差，其合力F的方向由 B 指向 A，正是这个压力差，使足球偏离了原来的运动方向，在空中划出一条形如香蕉的轨迹。
(1)图乙(a)中的a、b两点相同的物理量是什么？
(2)a、b两点的向心加速度哪个大？
提示：(1)相同的角速度。(2)b点向心加速度大。
课时分层作业(六) 向心加速度
◎题组一 对向心加速度的理解
1．下列关于向心加速度的说法中，正确的是( )
A．在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变化
B．向心加速度的方向始终保持不变
C．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的
D．向心加速度的方向始终与速度的方向垂直
D [向心加速度的方向始终沿半径方向指向圆心，与速度的方向垂直，它的方向始终在改变，故B错误，D正确；匀速圆周运动的向心加速度的大小始终不变，但是方向时刻改变，所以匀速圆周运动的向心加速度时刻改变，故A、C错误。]
2．做匀速圆周运动的两物体甲和乙，它们的向心加速度分别为a1和a2，且a1>a2，下列判断正确的是( )
A．甲的线速度大于乙的线速度
B．甲的角速度比乙的角速度小
C．甲的轨道半径比乙的轨道半径小
D．甲的速度方向比乙的速度方向变化快
D [由于不知甲和乙做匀速圆周运动的半径大小关系，故不能确定它们的线速度、角速度的大小关系，A、B、C错误。向心加速度是表示线速度方向变化快慢的物理量，a1>a2，表明甲的速度方向比乙的速度方向变化快，D正确。]
3．(多选)如图所示，细绳的一端固定，另一端系一小球，让小球在水平面内做圆周运动，关于小球运动到P点时的加速度方向，下列图中可能的是( )
A B C D
BD [若小球做匀速圆周运动，则合外力提供向心力，加速度指向圆心，故B项正确；若小球做变速圆周运动，运动到图示的P点时，所受的合力可分解为向心力和沿切向方向的分力，即P点的加速度可分解为沿PO方向的向心加速度和垂直于PO的切向加速度，故D项正确。]
◎题组二 向心加速度的表达式及应用
4．“旋转纽扣”是一种传统游戏。如图所示，先将纽扣绕几圈，使穿过纽扣的两股细绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现。拉动多次后，纽扣绕其中心的转速可达50 r/s，此时纽扣上距离中心1 cm处的点向心加速度大小约为( )
A．10 m/s2 B．100 m/s2
C．1 000 m/s2 D．10 000 m/s2
C [向心加速度的公式an＝rω2，结合角速度与转速的关系ω＝2πn，代入数据可得an约为1 000 m/s2，C正确。]
5．(多选)冰上芭蕾舞表演中，演员展开双臂单脚点地做着优美的旋转动作，在他将双臂逐渐放下的过程中，他转动的速度会逐渐变快，则他肩上某点随之转动的( )
A．周期变大 B．线速度变大
C．角速度变大 D．向心加速度变大
BCD [他转动的速度逐渐变快，说明角速度变大，而v＝ωr，an＝ω2r，T＝2πω，随ω的增大，v、an在变大，T将变小，选项A错误，B、C、D正确。]
6．(2022·济南市第一中学高一期中)2021年11月8日，中国载人航天工程空间站顺利完成第三次航天员出舱活动，本次出舱先后完成了机械臂悬挂装置与转接件安装测试工作。机械臂绕图中O点旋转时，旋转臂上A、B两点的线速度v、角速度ω、周期T、向心加速度a的关系正确的是( )
A．vA>vB、aA>aB B．vAC．ωA>ωB、aA>aB D．vAωB
B [在旋转过程中，各点都绕O点同轴转动，所以各点的角速度是相同的，根据T＝2πω可知，A、B两点的周期也是相等的，根据v＝rω可知，B点线速度大，故A、C、D错误， B正确。]
7．如图所示，压路机大轮的半径R是小轮半径r的2倍，压路机匀速行进时，大轮边缘上A点的向心加速度是0.12 m/s2，那么小轮边缘上的B点向心加速度是多少？大轮上距轴心的距离为R3的C点的向心加速度是多大？
[解析] 由题意知vB＝vA，由a＝v2r，得aBaA＝rArB＝2，
所以aB＝0.24 m/s2，
因为ωA＝ωC，由a＝ω2r，
得aCaA＝rCrA＝13
所以aC＝0.04 m/s2。
[答案] 0.24 m/s2 0.04 m/s2
8．(多选)如图所示，一小物块在外力作用下，以大小为a＝4 m/s2的向心加速度做匀速圆周运动，半径R＝1 m，则下列说法正确的是( )
A．小物块运动的角速度为2 rad/s
B．小物块做圆周运动的周期为π s
C．小物块在t＝π4 s内通过的位移大小为π20 m
D．小物块在π s内通过的路程为零
AB [因为a＝ω2R，所以小物块运动的角速度为ω＝aR＝2 rad/s，故A项正确；周期T＝2πω＝π s，故B项正确；小物块在π4 s内转过π2弧度，通过的位移大小为2 m，小物块在π s内转过一周，通过的路程为2π m，故C、D错误。]
9．(多选)一小球质量为m，用长为L的悬绳(不可伸长，质量不计)固定于O点，在O点正下方L2处钉有一颗钉子。如图所示，将悬线沿水平方向拉直无初速度释放后，当悬线碰到钉子后的瞬间，则( )
A．小球的角速度突然增大
B．小球的线速度突然减小到零
C．小球的向心加速度突然增大
D．小球的向心加速度不变
AC [由于悬线与钉子接触时小球在水平方向上不受力，故小球的线速度不会发生突变，由于做圆周运动的半径变为原来的一半，由v＝ωr知，角速度变为原来的2倍，A正确，B错误；由a＝v2r知，小球的向心加速度变为原来的2倍，C正确，D错误。]
10．如图甲所示，修正带是通过两个齿轮的相互咬合进行工作的，其原理可简化为图乙中所示的模型。A、B是转动的大、小齿轮边缘的两点，C是大轮上的一点。若大轮半径是小轮的两倍，C为大轮半径的中点，则A、B、C三点( )
A．线速度之比是1∶1∶2
B．角速度之比是1∶2∶2
C．向心加速度之比是4∶2∶1
D．转动周期之比是2∶1∶1
C [由于是齿轮传动，可知vA＝vB，由于B、C在同一个轮上，因此ωB＝ωC，根据v＝ωr可得vB∶vC＝rB∶rC＝2∶1，因此vA∶vB∶vC＝2∶2∶1，A错误；根据ω＝vr，可得ωA∶ωB＝rB∶rA＝2∶1，因此ωA∶ωB∶ωC＝2∶1∶1，B错误；根据a＝ω2r＝ωv，因此aA∶aB∶aC＝ωAvA∶ωBvB∶ωCvC＝4∶2∶1，C正确；根据T＝2πω，可得TA∶TB∶TC＝1ωA∶1ωB∶1ωC＝1∶2∶2，D错误。故选C。]
11．(2022·江西南昌高一期中)如图所示，轮O1、O3固定在同一转轴上，轮O1、O2用皮带连接且不打滑。在O1、O2、O3三个轮的边缘各取一点，分别为A、B、C，已知三个轮的半径比r1∶r2∶r3＝2∶1∶1。求：
(1)A、B、C三点的角速度之比ωA∶ωB∶ωC；
(2)A、B、C三点的向心加速度大小之比aA∶aB∶aC。
[解析] (1)A、C共轴转动，角速度相等，A、B两点靠皮带传动，线速度大小相等，根据v＝rω，
ωA∶ωB＝r2∶r1＝1∶2
所以A、B、C三点的角速度之比
ωA∶ωB∶ωC＝1∶2∶1。
(2)A、B两点靠皮带传动，线速度大小相等，A、C共轴转动，角速度相等，根据v＝rω，
则vA∶vC＝r1∶r3＝2∶1
所以A、B、C三点的线速度大小之比
vA∶vB∶vC＝2∶2∶1
根据an＝vω，可知，A、B、C三点的加速度之比为2∶4∶1。
[答案] (1)1∶2∶1 (2)2∶4∶1
12．(2022·天津一中高一期中)如图所示，在双人花样滑冰运动中，有时会看到被男运动员拉着的女运动员离开地面在空中做圆锥摆运动的精彩场面，质量为m的女运动员做圆锥摆运动时和水平冰面的夹角约为30°，重力加速度为g，估算该女运动员( )
A．向心加速度约为33g
B．向心加速度约为2g
C．受到的拉力约为mg
D．受到的拉力约为2mg
D [女运动员做圆锥摆运动，对女运动员受力分析可知，受到重力、男运动员对女运动员的拉力F，竖直方向合力为零，则有F sin 30°＝mg，解得F＝2mg，故C错误，D正确；水平方向的合力提供匀速圆周运动的向心力，有F cs 30°＝ma，即2mg cs 30°＝ma，解得a＝3g，故A、B错误。故选D。]
2．知道向心加速度和线速度、角速度的关系式，并能进行相关计算。
3．能够运用向心加速度公式求解有关问题。
匀速圆周运动的加速度方向
1．向心加速度定义：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向圆心，我们把它叫作向心加速度。
2．向心加速度方向：总沿半径指向圆心，并且与线速度方向垂直。
3．向心加速度的物理意义：描述线速度方向改变快慢的物理量。
如图所示为游乐设施旋转飞车的示意图，旋转飞车的运动可以看作匀速圆周运动。
【问题】
(1)飞车做匀速圆周运动时，飞车受几个力？合力的方向如何？
(2)合力产生的加速度就是向心加速度吗？
(3)当飞车加速旋转过程中，合力产生的加速度就是向心加速度吗？
(4)圆周运动的加速度方向一定指向圆心吗？
提示：(1)在匀速圆周运动中，飞车受两个力，重力和绳子的拉力，合力指向做圆周运动的圆心。
(2)合力产生的加速度就是向心加速度，加速度方向一定指向圆心。
(3)飞车加速旋转过程中，合力产生的加速度不是向心加速度。
(4)匀速圆周运动的加速度方向一定指向圆心，非匀速圆周运动的加速度方向不指向圆心。
1．向心加速度的物理意义
向心加速度只表示线速度方向变化的快慢，不表示线速度大小变化的快慢。
2．向心加速度方向特点
(1)指向圆心：无论匀速圆周运动，还是变速圆周运动，向心加速度的方向都指向圆心，或者说与线速度的方向垂直。
(2)时刻改变：无论向心加速度的大小是否变化，向心加速度的方向随线速度方向的改变而改变。所以一切圆周运动都是变加速曲线运动。
3．非匀速圆周运动的加速度
对于非匀速圆周运动，如图所示。
(1)物体加速度的方向不再指向圆心。
(2)其中一个分加速度的方向指向圆心，为向心加速度，其作用仍然是改变速度的方向。
(3)另一个分加速度改变速度的大小。
【典例1】 关于向心加速度，下列说法正确的是( )
A．向心加速度是描述线速度大小变化快慢的物理量
B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
C．向心加速度的大小恒定，方向时刻改变
D．向心加速度是平均加速度，大小可用a＝v-v0t来计算
B [向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小，它是描述线速度方向变化快慢的物理量，A错误，B正确；只有匀速圆周运动的向心加速度大小才恒定，C错误；公式a＝v-v0t适用于平均加速度的计算，向心加速度是瞬时加速度，D错误。]
[跟进训练]
1．下列关于向心加速度的说法中正确的是( )
A．向心加速度的方向始终指向圆心
B．向心加速度的方向保持不变
C．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的
D．在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变化
A [向心加速度的方向时刻指向圆心，A正确；向心加速度的大小不变，方向时刻指向圆心，不断变化，故B、C、D错误。]
匀速圆周运动的加速度大小
1．基本公式an＝v2r＝ω2r。
2．拓展公式an＝4π2T2·r＝ωv。
如图所示，自行车的大齿轮、小齿轮、后轮三个轮子的半径不一样，RC＞RA＞RB。A、B、C是它们边缘上的三个点，请思考：
【问题】
(1)哪两个点的向心加速度与半径成正比？
(2)哪两个点的向心加速度与半径成反比？
(3)如何比较A点和C点的向心加速度大小？
提示：(1)B、C两个点同轴转动，它们的角速度相同，向心加速度与半径成正比。
(2)A、B两个点的线速度大小相等，向心加速度与半径成反比。
(3)根据A、B两点线速度大小相等，可知aB＞aA，再根据B、C两点角速度相等，可知aC＞aB，故aC＞aA。
1．向心加速度的几种表达式
2．向心加速度的大小与半径的关系
(1)当半径一定时，向心加速度的大小与角速度的平方成正比，也与线速度的平方成正比。随频率的增大或周期的减小而增大。
(2)当角速度一定时，向心加速度的大小与运动半径成正比。
(3)当线速度一定时，向心加速度的大小与运动半径成反比。
(4)an与r的关系图像：如图所示，由an-r图像可以看出，an与r成正比还是反比，要看ω恒定还是v恒定。
【典例2】 如图所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无相对滑动，大轮的半径是小轮半径的2倍，大轮上的一点S离转动轴的距离是大轮半径的13。当大轮边缘上的P点的向心加速度是12 m/s2时，大轮上的S点和小轮边缘上的Q点的向心加速度各为多少？
[思路点拨] (1)P和S在同一轮上，角速度相同，选用an＝ω2r计算向心加速度。
(2)P和Q为皮带传动的两个轮边缘上的点，线速度大小相等，选用an＝v2r计算向心加速度。
[解析] 同一轮上的S点和P点的角速度相同，
即ωS＝ωP
由向心加速度公式an＝ω2r，得aSaP＝rSrP
故aS＝rSrPaP＝13×12 m/s2＝4 m/s2
又因为皮带不打滑，所以皮带传动的两轮边缘上各点的线速度大小相等，即vP＝vQ
由向心加速度公式an＝v2r，得aPaQ＝rQrP
故aQ＝rPrQaP＝2×12 m/s2＝24 m/s2。
[答案] 4 m/s2 24 m/s2
向心加速度表达式的应用技巧
(1)角速度相等时，研究an与v的关系用an＝ωv分析比较。
(2)周期相等时，研究an与r的关系用an＝4π2T2r分析比较。
(3)线速度相等时，研究an与r的关系用an＝v2r分析比较。
(4)线速度相等时，研究an与ω的关系用an＝ωv分析比较。
[跟进训练]
2．(多选)如图所示为A、B两物体做匀速圆周运动的向心加速度a的大小随半径r变化的图像，其中A为反比例函数图像的一个分支，由图可知( )
A．A物体运动的线速度大小不变
B．A物体运动的角速度不变
C．B物体运动的角速度不变
D．B物体运动的线速度大小不变
AC [由a＝v2r知，做匀速圆周运动的物体线速度大小不变时，加速度与半径成反比，故A正确，B错误；由a＝rω2知，角速度不变时，加速度与半径成正比，故C正确、D错误。]
3．甲、乙两个物体都做匀速圆周运动，转动半径之比为9∶4，转动周期之比为3∶4，则它们的向心加速度大小之比为( )
A．1∶4 B．4∶1
C．4∶9 D．9∶4
B [设甲、乙两个物体的转动半径分别为r1、r2，周期分别为T1、T2，根据题意r1r2＝94，T1T2＝34，由an＝4π2T2r得：a1a2＝r1r2·T2T12＝94×(43)2＝41，故选B。]
1．关于向心加速度，下列说法正确的是( )
A．向心加速度是描述物体速率变化快慢的物理量
B．匀速圆周运动的向心加速度恒定不变
C．向心加速度是描述物体运动方向变化快慢的物理量
D．向心加速度随着轨道半径的增大而减小
C [向心加速度与速度垂直，是描述物体运动方向变化快慢的物理量，故A错误，C正确；匀速圆周运动的向心加速度大小不变、方向时刻改变，是变化的，故B错误；根据an＝ω2r可知，角速度一定时，轨道半径越大，向心加速度越大，故D错误。]
2．关于质点做匀速圆周运动，下列说法正确的是( )
A．由a＝v2r知a与r成反比
B．由a＝ω2r知a与r成正比
C．由ω＝vr知ω与r成反比
D．由ω＝2πn知ω与转速n成正比
D [由a＝v2r可知，v一定时，a与r成反比，A错误；由a＝ω2r可知，ω一定时，a与r成正比，B错误；由ω＝vr可知，v一定时，ω与r成反比，C错误；因为2π是恒量，由ω＝2πn可知，ω与转速n成正比，D正确。]
3．如图所示，半径为R的圆盘绕过圆心的竖直轴OO′匀速转动，在距轴为r处有一竖直杆，杆上用长为L的细线悬挂一小球。当圆盘以角速度ω匀速转动时，小球也以同样的角速度做匀速圆周运动，这时细线与竖直方向的夹角为θ，则小球的向心加速度大小为( )
A．ω2R B．ω2r
C．ω2L sin θ D．ω2(r＋L sin θ)
D [小球运动的轨迹是水平面内的圆，如题图中虚线所示，其圆心是水平面与转轴OO′的交点，所以圆周运动的半径为r＋L sin θ，由an＝rω2，可知其加速度大小为ω2(r＋L sin θ)，选项D正确。]
4．A、B两小球都在水平面上做匀速圆周运动，A球的轨道半径是B球轨道半径的2倍，A的转速为30 r/min，B的转速为15 r/min。则两球的向心加速度之比为( )
A．1∶1 B．2∶1
C．4∶1 D．8∶1
D [由题意知A、B两小球的角速度之比ωA∶ωB＝nA∶nB＝2∶1，所以两小球的向心加速度之比aA∶aB＝ωA2RA:ωB2RB＝8∶1，D正确。]
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．圆周运动的加速度一定指向圆心吗？
提示：不一定，只有匀速圆周运动的加速度才指向圆心。
2．向心加速度的物理意义是什么？
提示：反映线速度方向变化快慢。
3．向心加速度表达式有哪些？
提示：an＝v2r＝ω2r＝4π2T2r＝ωv。
旋转的足球——香蕉球
喜欢足球的人肯定知道“香蕉球”，即运动员踢出的足球在行进中绕过“人墙”转弯进入球门，其轨迹如图甲所示。运动员踢出足球时，一方面使它向前运动，另一方面又使它绕轴旋转。设旋转方向和前进方向如图乙(a)所示，若自上向下看，如图乙(b)，由于足球的自转，足球表面附近有一层空气被足球带动做同一旋向的转动，造成足球A、B两侧附近空气相对于足球的速度不相等，A侧附近空气的流速大于B侧附近空气的流速。根据流体的速度与压强的关系可知，空气对足球 B 侧的压强大于对A侧的压强，从而使足球的 A、B 两侧形成一个压力差，其合力F的方向由 B 指向 A，正是这个压力差，使足球偏离了原来的运动方向，在空中划出一条形如香蕉的轨迹。
(1)图乙(a)中的a、b两点相同的物理量是什么？
(2)a、b两点的向心加速度哪个大？
提示：(1)相同的角速度。(2)b点向心加速度大。
课时分层作业(六) 向心加速度
◎题组一 对向心加速度的理解
1．下列关于向心加速度的说法中，正确的是( )
A．在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变化
B．向心加速度的方向始终保持不变
C．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的
D．向心加速度的方向始终与速度的方向垂直
D [向心加速度的方向始终沿半径方向指向圆心，与速度的方向垂直，它的方向始终在改变，故B错误，D正确；匀速圆周运动的向心加速度的大小始终不变，但是方向时刻改变，所以匀速圆周运动的向心加速度时刻改变，故A、C错误。]
2．做匀速圆周运动的两物体甲和乙，它们的向心加速度分别为a1和a2，且a1>a2，下列判断正确的是( )
A．甲的线速度大于乙的线速度
B．甲的角速度比乙的角速度小
C．甲的轨道半径比乙的轨道半径小
D．甲的速度方向比乙的速度方向变化快
D [由于不知甲和乙做匀速圆周运动的半径大小关系，故不能确定它们的线速度、角速度的大小关系，A、B、C错误。向心加速度是表示线速度方向变化快慢的物理量，a1>a2，表明甲的速度方向比乙的速度方向变化快，D正确。]
3．(多选)如图所示，细绳的一端固定，另一端系一小球，让小球在水平面内做圆周运动，关于小球运动到P点时的加速度方向，下列图中可能的是( )
A B C D
BD [若小球做匀速圆周运动，则合外力提供向心力，加速度指向圆心，故B项正确；若小球做变速圆周运动，运动到图示的P点时，所受的合力可分解为向心力和沿切向方向的分力，即P点的加速度可分解为沿PO方向的向心加速度和垂直于PO的切向加速度，故D项正确。]
◎题组二 向心加速度的表达式及应用
4．“旋转纽扣”是一种传统游戏。如图所示，先将纽扣绕几圈，使穿过纽扣的两股细绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现。拉动多次后，纽扣绕其中心的转速可达50 r/s，此时纽扣上距离中心1 cm处的点向心加速度大小约为( )
A．10 m/s2 B．100 m/s2
C．1 000 m/s2 D．10 000 m/s2
C [向心加速度的公式an＝rω2，结合角速度与转速的关系ω＝2πn，代入数据可得an约为1 000 m/s2，C正确。]
5．(多选)冰上芭蕾舞表演中，演员展开双臂单脚点地做着优美的旋转动作，在他将双臂逐渐放下的过程中，他转动的速度会逐渐变快，则他肩上某点随之转动的( )
A．周期变大 B．线速度变大
C．角速度变大 D．向心加速度变大
BCD [他转动的速度逐渐变快，说明角速度变大，而v＝ωr，an＝ω2r，T＝2πω，随ω的增大，v、an在变大，T将变小，选项A错误，B、C、D正确。]
6．(2022·济南市第一中学高一期中)2021年11月8日，中国载人航天工程空间站顺利完成第三次航天员出舱活动，本次出舱先后完成了机械臂悬挂装置与转接件安装测试工作。机械臂绕图中O点旋转时，旋转臂上A、B两点的线速度v、角速度ω、周期T、向心加速度a的关系正确的是( )
A．vA>vB、aA>aB B．vA
B [在旋转过程中，各点都绕O点同轴转动，所以各点的角速度是相同的，根据T＝2πω可知，A、B两点的周期也是相等的，根据v＝rω可知，B点线速度大，故A、C、D错误， B正确。]
7．如图所示，压路机大轮的半径R是小轮半径r的2倍，压路机匀速行进时，大轮边缘上A点的向心加速度是0.12 m/s2，那么小轮边缘上的B点向心加速度是多少？大轮上距轴心的距离为R3的C点的向心加速度是多大？
[解析] 由题意知vB＝vA，由a＝v2r，得aBaA＝rArB＝2，
所以aB＝0.24 m/s2，
因为ωA＝ωC，由a＝ω2r，
得aCaA＝rCrA＝13
所以aC＝0.04 m/s2。
[答案] 0.24 m/s2 0.04 m/s2
8．(多选)如图所示，一小物块在外力作用下，以大小为a＝4 m/s2的向心加速度做匀速圆周运动，半径R＝1 m，则下列说法正确的是( )
A．小物块运动的角速度为2 rad/s
B．小物块做圆周运动的周期为π s
C．小物块在t＝π4 s内通过的位移大小为π20 m
D．小物块在π s内通过的路程为零
AB [因为a＝ω2R，所以小物块运动的角速度为ω＝aR＝2 rad/s，故A项正确；周期T＝2πω＝π s，故B项正确；小物块在π4 s内转过π2弧度，通过的位移大小为2 m，小物块在π s内转过一周，通过的路程为2π m，故C、D错误。]
9．(多选)一小球质量为m，用长为L的悬绳(不可伸长，质量不计)固定于O点，在O点正下方L2处钉有一颗钉子。如图所示，将悬线沿水平方向拉直无初速度释放后，当悬线碰到钉子后的瞬间，则( )
A．小球的角速度突然增大
B．小球的线速度突然减小到零
C．小球的向心加速度突然增大
D．小球的向心加速度不变
AC [由于悬线与钉子接触时小球在水平方向上不受力，故小球的线速度不会发生突变，由于做圆周运动的半径变为原来的一半，由v＝ωr知，角速度变为原来的2倍，A正确，B错误；由a＝v2r知，小球的向心加速度变为原来的2倍，C正确，D错误。]
10．如图甲所示，修正带是通过两个齿轮的相互咬合进行工作的，其原理可简化为图乙中所示的模型。A、B是转动的大、小齿轮边缘的两点，C是大轮上的一点。若大轮半径是小轮的两倍，C为大轮半径的中点，则A、B、C三点( )
A．线速度之比是1∶1∶2
B．角速度之比是1∶2∶2
C．向心加速度之比是4∶2∶1
D．转动周期之比是2∶1∶1
C [由于是齿轮传动，可知vA＝vB，由于B、C在同一个轮上，因此ωB＝ωC，根据v＝ωr可得vB∶vC＝rB∶rC＝2∶1，因此vA∶vB∶vC＝2∶2∶1，A错误；根据ω＝vr，可得ωA∶ωB＝rB∶rA＝2∶1，因此ωA∶ωB∶ωC＝2∶1∶1，B错误；根据a＝ω2r＝ωv，因此aA∶aB∶aC＝ωAvA∶ωBvB∶ωCvC＝4∶2∶1，C正确；根据T＝2πω，可得TA∶TB∶TC＝1ωA∶1ωB∶1ωC＝1∶2∶2，D错误。故选C。]
11．(2022·江西南昌高一期中)如图所示，轮O1、O3固定在同一转轴上，轮O1、O2用皮带连接且不打滑。在O1、O2、O3三个轮的边缘各取一点，分别为A、B、C，已知三个轮的半径比r1∶r2∶r3＝2∶1∶1。求：
(1)A、B、C三点的角速度之比ωA∶ωB∶ωC；
(2)A、B、C三点的向心加速度大小之比aA∶aB∶aC。
[解析] (1)A、C共轴转动，角速度相等，A、B两点靠皮带传动，线速度大小相等，根据v＝rω，
ωA∶ωB＝r2∶r1＝1∶2
所以A、B、C三点的角速度之比
ωA∶ωB∶ωC＝1∶2∶1。
(2)A、B两点靠皮带传动，线速度大小相等，A、C共轴转动，角速度相等，根据v＝rω，
则vA∶vC＝r1∶r3＝2∶1
所以A、B、C三点的线速度大小之比
vA∶vB∶vC＝2∶2∶1
根据an＝vω，可知，A、B、C三点的加速度之比为2∶4∶1。
[答案] (1)1∶2∶1 (2)2∶4∶1
12．(2022·天津一中高一期中)如图所示，在双人花样滑冰运动中，有时会看到被男运动员拉着的女运动员离开地面在空中做圆锥摆运动的精彩场面，质量为m的女运动员做圆锥摆运动时和水平冰面的夹角约为30°，重力加速度为g，估算该女运动员( )
A．向心加速度约为33g
B．向心加速度约为2g
C．受到的拉力约为mg
D．受到的拉力约为2mg
D [女运动员做圆锥摆运动，对女运动员受力分析可知，受到重力、男运动员对女运动员的拉力F，竖直方向合力为零，则有F sin 30°＝mg，解得F＝2mg，故C错误，D正确；水平方向的合力提供匀速圆周运动的向心力，有F cs 30°＝ma，即2mg cs 30°＝ma，解得a＝3g，故A、B错误。故选D。]
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