人教A版 (2019)选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用5.3 导数在研究函数中的应用第1课时当堂达标检测题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用5.3 导数在研究函数中的应用第1课时当堂达标检测题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A组·基础自测
一、选择题
1．下列关于函数的极值的说法正确的是( D )
A．导数值为0的点一定是函数的极值点
B．函数的极小值一定小于它的极大值
C．函数在定义域内必有一个极大值和一个极小值
D．若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数
[解析] 由函数极值的有关概念知A、B、C说法都不正确，故选D.
2．函数f(x)＝eq \f(1,3)ax3＋ax2＋x＋3有极值的充要条件是( D )
A．a>1或a≤0 B．a>1
C．01或a<0
[解析] f(x)有极值的充要条件是f ′(x)＝ax2＋2ax＋1＝0有两个不相等的实根，即4a2－4a>0，解得a<0或a>1.故选D.
3．已知函数y＝f(x)，x∈R有唯一的极值，且x＝1是f(x)的极小值点，则( C )
A．当x∈(－∞，1)时，f ′(x)≥0；当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)≤0
B．当x∈(－∞，1)时，f ′(x)≥0；当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)≥0
C．当x∈(－∞，1)时，f ′(x)≤0；当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)≥0
D．当x∈(－∞，1)时，f ′(x)≤0；当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)≤0
[解析] 由极小值点的定义，知极小值点左右两侧的导函数是左负右正，又函数f(x)，x∈R有唯一的极值，故当x∈(－∞，1)时，f ′(x)≤0；当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)≥0.
4．已知函数f(x)＝x(x－c)2，在x＝2处取得极大值，则实数c的值是( D )
A.eq \f(2,3) B．2
C．2或6 D．6
[解析] 函数f(x)＝x(x－c)2的导数为f ′(x)＝(x－c)2＋2x(x－c)＝(x－c)(3x－c),
由f(x)在x＝2处有极大值，即有f ′(2)＝0，即(c－2)(c－6)＝0，
解得c＝2或6, 若c＝2时，f ′(x)＝0，可得x＝2或eq \f(2,3)，
由f(x)在x＝2处导数左负右正，取得极小值，
若c＝6，f ′(x)＝0 ，可得x＝6或2 ，
由f(x)在x＝2处导数左正右负，取得极大值.
综上可得c＝6.
5．函数y＝x3－2ax＋a在(0,1)内有极小值，则实数a的取值范围是( D )
A．(0,3) B．(－∞，3)
C．(0，＋∞) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3,2)))
[解析] y′＝3x2－2a，因为函数在(0,1)内有极小值，
所以y′＝3x2－2a＝0在(0,1)内必有实数解，
记f(x)＝3x2－2a，如图
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f0＝－2a<0，,f1＝3－2a>0，))解得0二、填空题
6．已知函数f(x)＝eq \f(1,3)x3－eq \f(1,2)x2＋cx＋d有极值，则c的取值范围为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,4))) .
[解析] ∵f ′(x)＝x2－x＋c且f(x)有极值，
∴f ′(x)＝0有不等的实数根，
即Δ＝1－4c>0，解得c7．若x＝1是函数f(x)＝x3＋eq \f(a,x)的一个极值点，则实数a＝_3__.
[解析] ∵函数f(x)＝x3＋eq \f(a,x)，
∴f ′(x)＝3x2－eq \f(a,x2)，
∵x＝1是函数f(x)的一个极值点，
∴f ′(1)＝0，即3－a＝0，∴a＝3.经验证a＝3符合题意．故答案为3.
8．若函数f(x)＝eq \f(x2＋a,x＋1)在x＝1处取得极值，则a＝_3__.
[解析] f ′(x)＝eq \f(2xx＋1－x2＋a,x＋12)
＝eq \f(x2＋2x－a,x＋12)，
由题意得f ′(1)＝eq \f(3－a,4)＝0，解得a＝3.经检验，a＝3符合题意．
三、解答题
9．设函数f(x)＝2x3＋3x2＋ax＋b，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝－12x＋1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)的极值．
[解析] (1)∵f(x)＝2x3＋3x2＋ax＋b，
∴f ′(x)＝6x2＋6x＋a，
曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝－12x＋1，
所以f(0)＝b＝1，f ′(0)＝a＝－12，
∴f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1.
(2)由(1)得f ′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x＋2)(x－1)，
令f ′(x)＝0，x＝－2或x＝1，
f ′(x)＞0，x＜－2或x＞1，f ′(x)＜0，－2＜x＜1，
∴f(x)递增区间是(－∞，－2)，(1，＋∞)，递减区间是(－2,1)，
∴f(x)的极大值为f(－2)＝21，极小值为f(1)＝－6.
10．设函数f(x)＝(x2＋3x＋1)ex.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)的极值．
[解析] (1)∵f ′(x)＝(2x＋3)ex＋(x2＋3x＋1)ex＝(x2＋5x＋4)ex＝(x＋1)(x＋4)ex，
∴当x∈(－∞，－4)∪(－1，＋∞)时，f ′(x)>0；
当x∈(－4，－1)时，f ′(x)<0，∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－4)和(－1，＋∞)，单调递减区间为(－4，－1)．
(2)由(1)可知f(x)在x＝－4处取得极大值，在x＝－1处取得极小值，∴f(x)的极大值为f(－4)＝5e－4＝eq \f(5,e4)，极小值为f(－1)＝－e－1＝－eq \f(1,e).
B组·素养提升
一、选择题
1．若函数y＝ex＋mx有极值，则实数m的取值范围是( B )
A．m>0 B．m<0
C．m>1 D．m<1
[解析] y′＝ex＋m，则ex＋m＝0必有根，∴m＝－ex<0.
2．(多选题)(2023·新课标全国Ⅱ卷)若函数f(x)＝aln x＋eq \f(b,x)＋eq \f(c,x2)(a≠0)既有极大值也有极小值，则( BCD )
A．bc>0 B．ab>0
C．b2＋8ac>0 D．ac<0
[解析] 函数f(x)＝aln x＋eq \f(b,x)＋eq \f(c,x2)的定义域为(0，＋∞)，求导得f ′(x)＝eq \f(a,x)－eq \f(b,x2)－eq \f(2c,x3)＝eq \f(ax2－bx－2c,x3)，
因为函数f(x)既有极大值也有极小值，则函数f ′(x)在(0，＋∞)上有两个变号零点，而a≠0，
因此方程ax2－bx－2c＝0有两个不等的正根x1，x2，
于是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝b2＋8ac>0，,x1＋x2＝\f(b,a)>0，,x1x2＝－\f(2c,a)>0.))即有b2＋8ac>0，ab>0，ac<0，显然a2bc<0，即bc<0，A错误，B、C、D正确，故选BCD.
3．(多选题)对于函数f(x)＝x3－3x2，给出下列结论中正确的是( CD )
A．f(x)是增函数，无极值
B．f(x)是减函数，无极值
C．f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，单调递减区间为(0,2)
D．f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值
[解析] f ′(x)＝3x2－6x.令f ′(x)＝3x2－6x>0，得x>2或x<0；令f ′(x)＝3x2－6x<0，得0二、填空题
4．已知f(x)＝eq \f(1,3)x3－eq \f(a,2)x2＋2x＋1，x1，x2是f(x)的两个极值点，且0[解析] f′(x)＝x2－ax＋2，
∴x1，x2是f′(x)＝0的两个根，
由0eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f′0＝2>0，,f′1＝1－a＋2<0，,f′3＝9－3a＋2>0.))解得35．已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) .
[解析] 由题知，x>0，f ′(x)＝ln x＋1－2ax，由于函数f(x)有两个极值点，则f ′(x)＝0有两个不等的正根，即函数y＝ln x＋1与y＝2ax的图象有两个不同的交点(x>0)，则a>0；设函数y＝ln x＋1上任一点(x0,1＋ln x0)处的切线为l，则kl＝y′＝eq \f(1,x0)，当l过坐标原点时，eq \f(1,x0)＝eq \f(1＋ln x0,x0)⇒x0＝1，令2a＝1⇒a＝eq \f(1,2)，∴0三、解答题
6．已知函数f(x)＝eq \f(aln x－bex,x)(a，b∈R且a≠0，e为自然对数的底数)．若曲线f(x)在点(e，f(e))处的切线斜率为0，且f(x)有极小值，求实数a的取值范围．
[解析] f(x)＝eq \f(aln x－bex,x)，(x＞0)，
∴f ′(x)＝eq \f(a1－ln x－bexx－1,x2)，
由f ′(e)＝0，则b＝0，则f ′(x)＝eq \f(a1－ln x,x2)，
当a＞0时，f ′(x)在(0，e)内大于0，在(e，＋∞)内小于0，
∴f(x)在(0，e)内为增函数，在(e，＋∞)为减函数，
∴f(x)有极大值无极小值；
当a＜0时，f(x)在(0，e)为减函数，在(e，＋∞)为增函数，
∴f(x)有极小值无极大值；
∴实数a的取值范围(－∞，0)．
C组·探索创新
如图，可导函数f(x)的图象在点P(x0，f(x0))处的切线方程为y＝g(x)，设h(x)＝g(x)－f(x)，h′(x)为h(x)的导函数，则下列结论中正确的是( B )
A．h′(x0)＝0，x0是h(x)的极大值点
B．h′(x0)＝0，x0是h(x)的极小值点
C．h′(x0)≠0，x0不是h(x)的极值点
D．h′(x0)≠0，x0是h(x)的极值点
[解析] 由题得h′(x)＝g′(x)－f ′(x)，
∵y＝f(x)的图象在点P(x0，f(x0))处的切线方程为y＝g(x)，∴g′(x0)＝f ′(x0)，即h′(x0)＝0.
由题图易得当x∈(－∞，x0)时，h′(x)<0，h(x)单调递减；
当x∈(x0，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增，
∴x0是h(x)的极小值点，故选B.