高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用第1课时课时作业

5．3.2　函数的极值与最大(小)值

第1课时　函数的极值

知识点一  函数极值的概念

1.关于函数的极值，下列说法正确的是(　　)

A．导数为零的点一定是函数的极值点

B．函数的极小值一定小于它的极大值

C．f(x)在定义域内最多只能有一个极大值、一个极小值

D．若f(x)在区间(a，b)上有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数

答案　D

解析　易知选项A，B，C均不正确；对于D，不妨设x0是f(x)在区间(a，b)上的极小值点，则在x0附近，当x<x0时，f(x)>f(x0)，当x>x0时，f(x)>f(x0)，故在x0附近函数f(x)不单调，即f(x)在区间(a，b)内不是单调函数，故选D.

2．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是(　　)

答案　C

解析　由题意可得f′(－2)＝0，而且当x∈(－∞，－2)时，f′(x)<0，此时xf′(x)>0，排除B，D；当x∈(－2，＋∞)时，f′(x)>0，此时若x∈(－2,0)，xf′(x)<0，若x∈(0，＋∞)，xf′(x)>0，所以函数y＝xf′(x)的图象可能是C.

知识点二  求函数的极值

3.(多选)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)

A．函数f(x)在(－∞，－2)上单调递增

B．函数f(x)在(1,2)上单调递减

C．函数f(x)有极大值f(1)

D．函数f(x)有极小值f(2)

答案　ABD

解析　当x<－2时，1－x>0，(1－x)f′(x)>0，则f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当－2<x<1时，1－x>0，(1－x)f′(x)<0，则f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当1<x<2时，1－x<0，(1－x)f′(x)>0，则f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x>2时，1－x<0，(1－x)f′(x)<0，则f′(x)>0，函数f(x)单调递增，所以函数f(x)有极大值f(－2)，有极小值f(2)．故选ABD.

4．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴相切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为(　　)

A.，0  B．0，

C．－，0  D．0，－

答案　A

解析　f′(x)＝3x2－2px－q，由f′(1)＝0，f(1)＝0，

得解得∴f(x)＝x3－2x2＋x.

由f′(x)＝3x2－4x＋1＝0，得x＝或x＝1，易得当x＝时，f(x)取极大值；当x＝1时，f(x)取极小值0.

知识点三  已知函数极值求参数

5.已知函数f(x)＝asin2x－(a＋2)cosx－(a＋1)x在上无极值，则a＝________.

答案　2

解析　函数f(x)的导数为f′(x)＝acos2x＋(a＋2)sinx－a－1＝a(1－2sin2x)＋(a＋2)sinx－a－1＝－2asin2x＋(a＋2)sinx－1＝－(2sinx－1)(asinx－1)．当sinx＝，即x＝∈时，f′(x)＝0.所以要使f(x)在上无极值，则a＝2.

6．设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx2＋x的两个极值点．

(1)试确定常数a和b的值；

(2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．

解　(1)∵f(x)＝aln x＋bx2＋x，

∴f′(x)＝＋2bx＋1.

由题意可知f′(1)＝f′(2)＝0，∴

解方程组得a＝－，b＝－.

(2)由(1)，知f(x)＝－ln x－x2＋x，

则f′(x)＝－x－1－x＋1.

当x∈(0,1)时，f′(x)<0，当x∈(1,2)时，f′(x)>0，

当x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0.

故在x＝1处函数f(x)取得极小值.

在x＝2处函数f(x)取得极大值－ln 2.

∴x＝1是函数f(x)的极小值点，x＝2是函数f(x)的极大值点．

7．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取极值10，求f(2)的值．

解　f′(x)＝3x2＋2ax＋b.

由题意，得即

解得或

当a＝4，b＝－11时，

令f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝－.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

显然函数f(x)在x＝1处取极小值，符合题意，此时f(2)＝18.

当a＝－3，b＝3时，

f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，

∴f(x)没有极值，不符合题意．

综上可知f(2)＝18.

一、选择题

1．已知函数y＝f(x)，x∈R有唯一的极值，且x＝1是f(x)的极小值点，则(　　)

A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)≥0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)≤0

B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)≥0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)≥0

C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)≤0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)≥0

D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)≤0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)≤0

答案　C

解析　由极小值点的定义，知极小值点左右两侧的导函数是左负右正，又函数f(x)，x∈R有唯一的极值，故当x∈(－∞，1)时，f′(x)≤0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)≥0.

2．已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝(　　)

A．－4  B．－2

C．4  D．2

答案　D

解析　由题意得f′(x)＝3x2－12，由f′(x)＝0得x＝±2，当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，当x∈(－2,2)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，所以a＝2.

3．函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则x＋x等于(　　)

A.  B．

C．  D．

答案　C

解析　由图象可得f(x)＝0的根为0,1,2，故d＝0，f(x)＝x(x2＋bx＋c)，则1,2为x2＋bx＋c＝0的根，由根与系数的关系得b＝－3，c＝2，故f(x)＝x3－3x2＋2x，则f′(x)＝3x2－6x＋2，由图可得x1，x2为3x2－6x＋2＝0的根，则x1＋x2＝2，x1x2＝，故x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝.

4．对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是(　　)

A．a＝0或a＝21  B．0≤a≤21

C．a<0或a>21  D．0<a<21

答案　B

解析　f′(x)＝3x2＋2ax＋7a，因为f(x)在R上不存在极值，则Δ＝4a2－84a≤0，解得0≤a≤21.

5．(多选)函数f(x)＝ax3－bx2＋cx的图象如图所示，且f(x)在x＝x0与x＝1处取得极值，给出下列判断，其中正确的判断是(　　)

A．c>0

B．a<0

C．f(1)＋f(－1)>0

D．函数y＝f′(x)在区间(0，＋∞)上是增函数

答案　CD

解析　f′(x)＝3ax2－2bx＋c＝3a(x－x0)(x－1)，由图可知x>1时，f(x)为增函数，可知f′(x)>0，所以有a>0，B错误；又由f′(x)＝3ax2－2bx＋c＝3a(x－x0)(x－1)＝3ax2－3a(1＋x0)x＋3ax0，所以有2b＝3a(1＋x0)，c＝3ax0，因为x0<－1<0，所以c＝3ax0<0，A错误；因为x0<－1<0，所以有1＋x0<0，所以f(1)＋f(－1)＝－2b＝－3a(1＋x0)>0，C正确；因为f′(x)＝3ax2－2bx＋c开口向上，对称轴为x＝＝＝(1＋x0)<0，所以函数y＝f′(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，D正确．

二、填空题

6．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋6，其导数f′(x)的图象如图所示，则函数的极小值是________．

答案　6

解析　依题意f′(x)＝3ax2＋2bx.

由题图象可知，当x<0时，f′(x)<0，

当0<x<2时，f′(x)>0，

故x＝0时函数f(x)取极小值f(0)＝6.

7．已知函数f(x)＝x3－x2＋cx＋d有极值，则c的取值范围为________．

答案　

解析　∵f′(x)＝x2－x＋c且f(x)有极值，∴f′(x)＝0有不等的实数根，即Δ＝1－4c>0，解得c<.

8．已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是________．

答案　

解析　由题知，x>0，f′(x)＝ln x＋1－2ax，由于函数f(x)有两个极值点，则f′(x)＝0有两个不等的正根，即函数y＝ln x＋1与y＝2ax的图象有两个不同的交点(x>0)，则a>0；设函数y＝ln x＋1上任一点(x0，1＋ln x0)处的切线为l，则kl＝y′＝，当l过坐标原点时，＝⇒x0＝1，令2a＝1⇒a＝，结合图象(略)知0<a<.

三、解答题

9．已知f(x)＝ax5－bx3＋c在x＝±1处有极值，且极大值为4，极小值为0，试确定a，b，c的值．

解　f′(x)＝5ax4－3bx2＝x2(5ax2－3b)．

由题意，f′(x)＝0应有根x＝±1，故5a＝3b，

于是f′(x)＝5ax2(x2－1)．

①当a>0，x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

由表可知又5a＝3b，

解得a＝3，b＝5，c＝2.

②当a<0时，同理可得a＝－3，b＝－5，c＝2.

10．已知函数f(x)＝x3－3ax－1(a≠0)．若函数f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．

解　因为f(x)在x＝－1处取得极值且f′(x)＝3x2－3a，

所以f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，所以a＝1.

所以f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，

由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.

当x<－1时，f′(x)>0；

当－1<x<1时，f′(x)<0；

当x>1时，f′(x)>0.

所以由f(x)的单调性可知，

f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，

在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.

作出f(x)的大致图象如图所示．

因为直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，结合f(x)的图象可知，m的取值范围是(－3,1)．