高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用学案及答案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用学案及答案，共13页。学案主要包含了函数图象与导函数图象的关系，利用导数求函数的单调区间等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.了解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间．
知识点一 函数的单调性与其导数的正负之间的关系
定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：
思考 如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么函数f(x)有什么特性？
答案 f(x)是常数函数．
知识点二 利用导数判断函数的单调性的一般步骤
(1)确定函数y＝f(x)的定义域；
(2)求出导数f′(x)的零点；
(3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．
知识点三 函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系
一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：
1．函数f(x)在定义域上都有f′(x)<0，则函数f(x)在定义域上单调递减．( × )
2．函数f(x)在某区间内单调递增，则一定有f′(x)>0.( × )
3．函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝对值越大．( √ )
4．函数y＝x3＋x的单调递增区间为(－∞，＋∞)．( √ )
一、函数图象与导函数图象的关系
例1 (1)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为( )
答案 D
解析 由函数的图象可知：当x＜0时，函数单调递增，导数始终为正；当x＞0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D.
(2)已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是( )
答案 D
解析 从f′(x)的图象可以看出，在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，\f(a＋b,2)))内，导数单调递增；在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)，b))内，导数单调递减．
即函数f(x)的图象在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，\f(a＋b,2)))内越来越陡，
在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)，b))内越来越平缓，由此可知，只有选项D符合．
反思感悟 (1)函数的单调性与其导函数的正负之间的关系：在某个区间(a，b)内，若f′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，则y＝f(x)在这个区间上单调递减；若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性．
(2)函数图象变化得越快，f′(x)的绝对值越大，不是f′(x)的值越大．
跟踪训练1 (1)已知y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则所给的四个图象中，y＝f(x)的图象大致是( )
答案 C
解析 当0∴f′(x)<0，故y＝f(x)在(0,1)上单调递减；
当x>1时，xf′(x)>0，∴f′(x)>0，
故y＝f(x)在(1，＋∞)上单调递增．
故选C.
(2)函数y＝f(x)在定义域eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，3))内可导，其图象如图，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)<0的解集为__________________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，1))∪(2,3)
解析 因为y＝f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，1))和区间(2,3)上单调递减，所以在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，1))和区间(2,3)上f′(x)<0.
二、利用导数求函数的单调区间
例2 求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝eq \f(1,2)x2－ln x；
(2)f(x)＝x＋eq \f(b,x)(b>0)．
解 (1)函数f(x)＝eq \f(1,2)x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，
又f′(x)＝eq \f(x＋1x－1,x).令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝－1(舍)．
f′(x)，f(x)随x的变化如表所示．
故函数f(x)＝eq \f(1,2)x2－ln x的单调递增区间为(1，＋∞)；单调递减区间为(0,1)．
(2)函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
f′(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(b,x)))′＝1－eq \f(b,x2)＝eq \f(1,x2)(x＋eq \r(b))(x－eq \r(b))，
令f′(x)＝0，解得x＝eq \r(b)或x＝－eq \r(b).
f′(x)，f(x)随x的变化如下表所示．
所以函数的单调递增区间为(－∞，－eq \r(b))，(eq \r(b)，＋∞)．
单调递减区间为(－eq \r(b)，0)，(0，eq \r(b))．
反思感悟 求函数y＝f(x)的单调区间常用解不等式f′(x)<0，函数在解集与定义域的交集上单调递减．解不等式f′(x)>0，函数在解集与定义域的交集上为单调递增．
跟踪训练2 (1)函数f(x)＝(x2＋2x)ex(x∈R)的单调递减区间为__________________．
答案 (－2－eq \r(2)，－2＋eq \r(2))
解析 由f′(x)＝(x2＋4x＋2)ex<0，
即x2＋4x＋2<0，
解得－2－eq \r(2)所以f(x)＝(x2＋2x)ex的单调递减区间为
(－2－eq \r(2)，－2＋eq \r(2))．
(2)设函数f(x)＝ex－ax－2，求f(x)的单调区间．
解 f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a.
若a≤0，则f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．
若a>0，则当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；
当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0.
所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．
综上所述，当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间；
当a>0时，f(x)的单调递减区间为(－∞，ln a)，单调递增区间为(ln a，＋∞)．
利用导数求参数的取值范围
典例 已知函数f(x)＝x3－ax－1为增函数，求实数a的取值范围．
解 由已知得f′(x)＝3x2－a，
因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，
即a≤3x2对x∈R恒成立，
因为3x2≥0，所以只需a≤0.
又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，
即f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0.
[素养提升] (1)利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路
①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．
②先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．
(2)理清运算对象，选择运算方法，求得运算结果，充分体现数学运算的数学核心素养．
1．设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为( )
答案 C
解析 ∵f(x)在(－∞，1)，(4，＋∞)上单调递减，在(1,4)上是单调递增，∴当x＜1或x＞4时，f′(x)＜0；
当1＜x＜4时，f′(x)＞0.
2．(多选)函数f(x)＝(x－3)ex在下列区间上单调递增的是( )
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(3,4) D．(2，＋∞)
答案 CD
解析 ∵f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，
由f′(x)＞0得(x－2)ex＞0，∴x＞2.
∴f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，CD符合．
3．函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则( )
A．a≤0 B．a<1
C．a<2 D．a≤eq \f(1,3)
答案 A
解析 f′(x)＝3ax2－1≤0恒成立，
∴a≤0.
4．若函数f(x)＝eq \f(4,3)x3－2ax2－(a－2)x＋5恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围为( )
A．－1≤a≤2 B．－2≤a≤1
C．a＞2或a＜－1 D．a＞1或a＜－2
答案 D
解析 若函数f(x)有3个单调区间，
则f ′(x)＝4x2－4ax－(a－2)有2个零点，
故Δ＝16a2＋16(a－2)＞0，
解得a＞1或a＜－2.
5．若f(x)＝－eq \f(1,2)x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上单调递减，则b的取值范围是________．
答案 (－∞，－1]
解析 ∵f(x)在(－1，＋∞)上单调递减，
∴f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立．
∵f′(x)＝－x＋eq \f(b,x＋2)，
∴－x＋eq \f(b,x＋2)≤0在(－1，＋∞)上恒成立，
即b≤x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒成立．
设g(x)＝x(x＋2)＝(x＋1)2－1，
则当x>－1时，g(x)>－1，∴b≤－1.
1．知识清单：
(1)函数的单调性与其导数的关系．
(2)利用导数判断函数的单调性．
(3)利用导数求函数的单调区间．
2．方法归纳：方程思想、分类讨论．
3．常见误区：利用导数法解决取值范围问题时忽略等号是否满足；忽略定义域的限制．
1．(多选)如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断正确的是( )
A．在区间(－2,1)上，f(x)单调递增
B．在(1,2)上，f(x)单调递增
C．在(4,5)上，f(x)单调递增
D．在(－3，－2)上，f(x)单调递增
答案 BC
解析 由题图知当x∈(1,2)，x∈(4,5)时，f′(x)>0，所以在(1,2)，(4,5)上，f(x)是单调递增，当x∈(－3，－2)时，f′(x)<0，所以在(－3，－2)上，f(x)是单调递减．
2．函数f(x)＝x3－3x2＋1的单调递减区间为( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，2)
C．(－∞，0) D．(0,2)
答案 D
解析 f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)<0，得03．函数f(x)＝ln x－4x＋1的单调递增区间为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4))) B．(0,4)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,4))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，＋∞))
答案 A
解析 f(x)＝ln x－4x＋1的定义域是{x|x>0}，f′(x)＝eq \f(1,x)－4＝eq \f(1－4x,x)，当f′(x)>0时，解得04．(多选)函数f(x)＝xe－x的单调递增区间可以是( )
A．[－1,0] B．[2,8] C．[1,2] D．[0,1]
答案 AD
解析 由f′(x)＝e－x－x·e－x＝(1－x)·e－x>0，
e－x>0，得x<1.
5．函数f(x)＝xcs x的导函数f′(x)在区间[－π，π]上的图象大致是( )
答案 A
解析 因为f(x)＝xcs x，所以f′(x)＝cs x－xsin x.
因为f′(－x)＝f′(x)，
所以f′(x)为偶函数，
所以函数图象关于y轴对称．
由f′(0)＝1可排除C，D.
而f′(1)＝cs 1－sin 1<0，排除B.
6．函数f(x)＝(x2＋x＋1)ex的单调递减区间为________________．
答案 (－2，－1)
解析 f′(x)＝(2x＋1)ex＋(x2＋x＋1)ex＝ex(x2＋3x＋2)＝ex(x＋1)(x＋2)，
令f′(x)<0，解得－2所以函数f(x)的单调递减区间为(－2，－1)．
7．函数f(x)的图象如图所示，f′(x)为函数f(x)的导函数，则不等式eq \f(f′x,x)<0的解集为______________．
答案 (－3，－1)∪(0,1)
解析 由题图知，当x∈(－∞，－3)∪(－1,1)时，
f′(x)<0；
当x∈(－3，－1)∪(1，＋∞)时，f′(x)>0，
故不等式eq \f(f′x,x)<0的解集为(－3，－1)∪(0,1)．
8．若函数f(x)＝(x2＋mx)ex的单调递减区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，1))，则实数m的值为______________，函数f(x)的单调递增区间是________________．
答案 －eq \f(3,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(3,2)))，(1，＋∞)
解析 f′(x)＝[x2＋(m＋2)x＋m]ex，
因为f(x)的单调递减区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，1))，
所以f′(x)＝0的两个根分别为x1＝－eq \f(3,2)，x2＝1，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f′\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＝0，,f′1＝0，))解得m＝－eq \f(3,2).
由f′(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,2)x－\f(3,2)))ex
＝eq \f(1,2)(x－1)(2x＋3)ex，
得f′(x)>0时，x<－eq \f(3,2)或x>1.
9．试求函数f(x)＝kx－ln x的单调区间．
解 函数f(x)＝kx－ln x的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝k－eq \f(1,x)＝eq \f(kx－1,x).
当k≤0时，kx－1<0，∴f′(x)<0，
则f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
当k>0时，由f′(x)<0，即eq \f(kx－1,x)<0，
解得0由f′(x)>0，即eq \f(kx－1,x)>0，解得x>eq \f(1,k).
∴当k>0时，f(x)的单调递减区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,k)))，
单调递增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k)，＋∞)).
综上所述，当k≤0时，f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间；
当k>0时，f(x)的单调递减区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,k)))，单调递增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k)，＋∞)).
10．已知函数f(x)＝x3＋ax2－a2x＋2.
(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若a>0，求函数f(x)的单调区间．
解 (1)∵a＝1，∴f(x)＝x3＋x2－x＋2，
∴f′(x)＝3x2＋2x－1，∴f′(1)＝4.又f(1)＝3，
∴切点坐标为(1,3)，∴所求切线方程为y－3＝4(x－1)，
即4x－y－1＝0.
(2)f′(x)＝3x2＋2ax－a2＝(x＋a)(3x－a)，
由f′(x)＝0得x＝－a或x＝eq \f(a,3).
又a>0，由f′(x)<0，得－a由f′(x)>0，得x<－a或x>eq \f(a,3)，
故f(x)的单调递减区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－a，\f(a,3)))，单调递增区间为(－∞，－a)和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,3)，＋∞)).
11．已知函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为单调递减，函数g(x)＝x2－aln x在(1,2)上为单调递增，则a等于( )
A．1 B．2 C．0 D.eq \r(2)
答案 B
解析 因为函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上单调递减，
所以eq \f(a,2)≥1，解得a≥2.g′(x)＝2x－eq \f(a,x)，
依题意得，g′(x)≥0在(1,2)上恒成立，
即2x2≥a在(1,2)上恒成立，故a≤2.所以a＝2.
12．设f(x)，g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，则当aA．f(x)g(x)>f(b)g(b)
B．f(x)g(a)>f(a)g(x)
C．f(x)g(b)>f(b)g(x)
D．f(x)g(x)>f(a)g(a)
答案 C
解析 因为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(fx,gx)))′＝eq \f(f′xgx－fxg′x,g2x).
又因为f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，
所以eq \f(fx,gx)在R上为减函数．
又因为a所以eq \f(fa,ga)>eq \f(fx,gx)>eq \f(fb,gb)，
又因为f(x)>0，g(x)>0，
所以f(x)g(b)>f(b)g(x)．
13．已知函数f(x)＝x3－12x，若f(x)在区间(2m，m＋1)上单调递减，则实数m的取值范围是________．
答案 [－1,1)
解析 令f′(x)≤0，即3x2－12≤0，解得－2≤x≤2.
∴f(x)的单调递减区间为[－2,2]，
由题意得(2m，m＋1)⊆[－2,2]，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m≥－2，,m＋1≤2，,2m14．已知函数f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f′(x)>0，若f(－1)＝0，则关于x的不等式xf(x)<0的解集是________________．
答案 (－∞，－1)∪(0,1)
解析 因为在(0，＋∞)上f′(x)>0，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又f(x)为偶函数，
所以f(－1)＝f(1)＝0，
且f(x)在(－∞，0)上单调递减，
f(x)的草图如图所示，
所以xf(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)．
15．(多选)已知f(x)为(0，＋∞)上的可导函数，且(x＋1)·f′(x)>f(x)，则下列不等式一定成立的是( )
A．3f(4)<4f(3) B．4f(4)>5f(3)
C．3f(3)<4f(2) D．3f(3)>4f(2)
答案 BD
解析 由(x＋1)f′(x)>f(x)，
得(x＋1)f′(x)－f(x)>0，
令g(x)＝eq \f(fx,x＋1)，则g′(x)＝eq \f(x＋1f′x－fx,x＋12)>0，
∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴g(2)则eq \f(f2,3)即4f(2)<3f(3)，5f(3)<4f(4)，故选BD.
16．已知函数f(x)＝ax2＋ln(x＋1)．
(1)当a＝－eq \f(1,4)时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在区间[1，＋∞)上为单调递减，求实数a的取值范围．
解 (1)当a＝－eq \f(1,4)时，
f(x)＝－eq \f(1,4)x2＋ln(x＋1)(x>－1)，
f′(x)＝－eq \f(1,2)x＋eq \f(1,x＋1)＝－eq \f(x＋2x－1,2x＋1)(x>－1)．
当f′(x)>0时，解得－1当f′(x)<0时，解得x>1.
故函数f(x)的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1，＋∞)．
(2)因为函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递减，
所以f′(x)＝2ax＋eq \f(1,x＋1)≤0对任意x∈[1，＋∞)恒成立，
即a≤－eq \f(1,2xx＋1)对任意x∈[1，＋∞)恒成立．
令g(x)＝－eq \f(1,2xx＋1)，x∈[1，＋∞)，
易求得在区间[1，＋∞)上g′(x)>0，
故g(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，
故g(x)min＝g(1)＝－eq \f(1,4)，故a≤－eq \f(1,4).
即实数a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,4))).f′(x)的正负
f(x)的单调性
f′(x)>0
单调递增
f′(x)<0
单调递减
导数的绝对值
函数值变化
函数的图象
越大
快
比较“陡峭”(向上或向下)
越小
慢
比较“平缓”(向上或向下)
x
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
单调递减
f(1)
单调递增
x
(－∞，－eq \r(b))
－eq \r(b)
(－eq \r(b)，0)
(0，eq \r(b))
eq \r(b)
(eq \r(b)，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
－
0
＋
f(x)
单调递增
f(－eq \r(b))
单调递减
单调递减
f(eq \r(b))
单调递增