人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用习题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用习题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A组·基础自测
一、选择题
1．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( B )
A．y＝sin x B．y＝xe2
C．y＝x3－x D．y＝ln x－x
[解析] 对于B，y＝xe2，则y′＝e2，∴y＝xe2在R上为增函数，在(0，＋∞)上也为增函数，选B.
2．下面的命题中，正确的是( C )
A．可导的奇函数的导函数仍是奇函数
B．可导的偶函数的导函数仍是偶函数
C．可导的周期函数的导函数仍是周期函数
D．可导的单调函数的导函数仍是单调函数
[解析] 排除法，对于A，取y＝x3可验证其错误；对于B，取y＝x2可验证其错误；对于D，取y＝x3可验证其错误．
3．函数f(x)＝eq \f(5,x)＋ln x的单调递减区间为( B )
A．(－∞，5) B．(0,5)
C．(5，＋∞) D．(0，＋∞)
[解析] 易知，函数f(x)定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝－eq \f(5,x2)＋eq \f(1,x)，令f ′(x)<0得04．若函数f(x)＝－cs x＋ax为增函数，则实数a的取值范围为( B )
A．[－1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(－1，＋∞) D．(1，＋∞)
[解析] 由题意可得，f ′(x)＝sin x＋a≥0恒成立，故a≥－sin x恒成立．因为－1≤－sin x≤1，所以a≥1.故选B.
5．设 f ′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f ′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，下列选项不正确的是( D )
[解析] A．将上方的图象记为f(x)的图象，将下方的图象记为f ′(x)的图象，f(x)为增函数时f ′(x)>0，反之f(x)为减函数而f ′(x)<0，符合函数的单调性与导数的关系，正确；
B.
①为f(x)的图象，②为f ′(x)的图象，
f(x)为增函数而f ′(x)>0，符合函数的单调性与导数的关系，正确；
C．将下方的图象记为f(x)的图象，上方的图象记为f ′(x)的图象，
f(x)为增函数，而f ′(x)≥0，符合函数的单调性与导数的关系，正确；
D．无论哪个函数的图象为f ′(x)的图象，都有f ′(x)≤0或f ′(x)≥0恒成立，
即函数f(x)是单调函数，错误．
故选D.
二、填空题
6．(2023·沙市区校级期中)函数y＝x3－x2－x的单调增区间为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,3)))，(1，＋∞) .
[解析] 由y＝x3－x2－x，∴f′(x)＝3x2－2x－1＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,3)))(x－1)．
令f′(x)>0，解得x>1或x<－eq \f(1,3).
函数f(x)的单调递增区间是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,3)))，(1，＋∞)．
故答案为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,3)))，(1，＋∞)．
7．函数f(x)＝x＋2cs x(0≤x≤2π)的单调递减区间为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,6))) .
[解析] ∵函数y＝x＋2cs x，∴y′＝1－2sin x＜0，
∴sin x＞eq \f(1,2)，
又∵x∈[0,2π]，
∴x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,6)))，故答案为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,6))).
8．已知函数f(x)＝x2(x－a)．
(1)若f(x)在(2,3)上单调，则实数a的取值范围是 (－∞，3]∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)，＋∞)) .
(2)若f(x)在(2,3)上不单调，则实数a的取值范围是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(9,2))) .
[解析] (1)由f(x)＝x3－ax2，得
f ′(x)＝3xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2a,3))).
若f(x)在(2,3)上单调，则有f ′(2)＝12－4a≥0或f ′(3)＝27－6a≤0，∴a≤3或a≥eq \f(9,2).
(2)由f(x)＝x3－ax2，得f ′(x)＝3x2－2ax＝3xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2a,3))).若f(x)在(2,3)上不单调，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2a,3)≠0，,2<\f(2a,3)<3，))可得3三、解答题
9．求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝3x2－2ln x；
(2)f(x)＝x2·e－x.
[解析] (1)函数的定义域为D＝(0，＋∞)．
∵f ′(x)＝6x－eq \f(2,x)，令f ′(x)＝0，得x1＝eq \f(\r(3),3)，x2＝－eq \f(\r(3),3)(舍去)．
用x1分割定义域D，得下表：
∴函数f(x)的单调递减区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),3)))，单调递增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，＋∞)).
(2)函数的定义域为D＝(－∞，＋∞)．
∵f ′(x)＝(x2)′e－x＋x2(e－x)′＝2xe－x－x2e－x＝e－x(2x－x2)，
令f ′(x)＝0，由于e－x>0，∴x1＝0，x2＝2.
用x1，x2分割定义域D，得下表：
∴f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递增区间为(0,2)．
10．已知函数f(x)＝ax－eq \f(a,x)－2ln x(a≥0)，若函数f(x)在其定义域上为单调函数，求a的取值范围．
[解析] f ′(x)＝a＋eq \f(a,x2)－eq \f(2,x)，
要使f(x)在定义域(0，＋∞)内为单调函数，
则在(0，＋∞)内f ′(x)恒大于等于0或恒小于等于0.
当a＝0时，f ′(x)＝－eq \f(2,x)<0在(0，＋∞)内恒成立；
当a>0时，要使f ′(x)＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－\f(1,a)))2＋a－eq \f(1,a)≥0恒成立，
则a－eq \f(1,a)≥0，解得a≥1.
综上，a的取值范围为{a|a＝0或a≥1}．
B组·素养提升
一、选择题
1．已知定义在R上的函数f(x)＝eq \f(1,3)ax3＋x2＋ax＋1有三个不同的单调区间，则实数a的取值范围是( D )
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．[－1,0)∪(0,1]
C．(－1,1) D．(－1,0)∪(0,1)
[解析] 根据题意知，f ′(x)＝ax2＋2x＋a，若函数f(x)＝eq \f(1,3)ax3＋x2＋ax＋1有三个不同的单调区间，则f ′(x)＝ax2＋2x＋a＝0有两个不相等的实根，Δ＝4－4a2>0，且a≠0，解得－1故实数a的取值范围是(－1,0)∪(0,1)．
2．(多选题)下列图象中，可以作为函数f(x)＝eq \f(1,3)x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R)的导函数 f ′(x)的图象的是( AC )
[解析] ∵f ′(x)＝x2＋2ax＋(a2－1)，∴导函数f ′(x)的图象开口向上．当a≠0时，f ′(x)不是偶函数，其图象不关于y轴对称，∴f ′(x)的图象可以为C项图．当a＝0时，f ′(x)＝x2－1，为A项图．故选AC.
3．(多选题)已知函数f(x)的定义域为R，其导函数f ′(x)的图象如图所示，则对于任意x1，x2∈R(x1≠x2)，下列结论正确的是( AD )
A．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0
B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0
C．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))>eq \f(fx1＋fx2,2)
D．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))[解析] 由题中图象可知，导函数f ′(x)的图象在x轴下方，即f ′(x)<0，且其绝对值越来越小，因此过函数f(x)图象上任一点的切线的斜率为负，并且从左到右切线的倾斜角是越来越大的钝角，由此可得f(x)的大致图象如图所示．
A选项表示x1－x2与f(x1)－f(x2)异号，即f(x)图象的割线斜率eq \f(fx1－fx2,x1－x2)为负，故A正确；B选项表示x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，即f(x)图象的割线斜率eq \f(fx1－fx2,x1－x2)为正，故B不正确；feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))表示eq \f(x1＋x2,2)对应的函数值，即图中点B的纵坐标，eq \f(fx1＋fx2,2)表示当x＝x1和x＝x2时所对应的函数值的平均值，即图中点A的纵坐标，显然有feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))二、填空题
4．在R上可导的函数f(x)的图象如图所示，则关于x的不等式xf ′(x)<0的解集为_(－∞，－1)∪(0,1)__.
[解析] 由xf ′(x)<0，可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0，,f ′x<0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<0，,f ′x>0，))由题图可知当－11时，f(x)单调递增，f ′(x)>0，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0，,－11，))解得05．已知函数f(x)＝eq \f(3－x2,ex)在区间(m，m＋2)上单调递减，则实数m的取值范围为_[－1,1]__.
[解析] f ′(x)＝eq \f(x－3x＋1,ex)，
令f ′(x)＜0，解得－1＜x＜3，
故f(x)在(－1,3)上递减，故(m，m＋2)⊆(－1,3)，
故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m≥－1，,m＋2≤3，))解得－1≤m≤1，故答案为[－1,1]．
三、解答题
6．已知函数f(x)＝eq \f(1,3)x3＋ax2＋bx，且 f ′(－1)＝0(a≠1)．
(1)试用含a的代数式表示b；
(2)求f(x)的单调区间．
[解析] (1)依题意，得f ′(x)＝x2＋2ax＋b，
由f ′(－1)＝1－2a＋b＝0得b＝2a－1.
(2)由(1)得f(x)＝eq \f(1,3)x3＋ax2＋(2a－1)x，
故f ′(x)＝x2＋2ax＋2a－1＝(x＋1)(x＋2a－1)，
∵a≠1，∴－1≠1－2a.
令f ′(x)＝0，得x＝－1或x＝1－2a.
①当a>1时，1－2a<－1，
当x变化时，f ′(x)与f(x)的变化情况如下表：
由此可得，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，1－2a)和(－1，＋∞)，单调递减区间为(1－2a，－1)．
②当a<1时，1－2a>－1，同理可得函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1－2a，＋∞)，单调递减区间为(－1，1－2a)．
综上，当a>1时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，1－2a)和(－1，＋∞)，单调递减区间为(1－2a，－1)；
当a<1时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1－2a，＋∞)，单调递减区间为(－1，1－2a)．
C组·探索创新
设函数f(x)＝eq \f(1,xln x)(x>0且x≠1)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)已知>xa对任意x∈(0,1)成立，求实数a的取值范围．
[解析] (1)f ′(x)＝－eq \f(ln x＋1,x2ln2x).若f ′(x)＝0，则x＝eq \f(1,e).
列表如下：
所以f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,e)))，单调递减区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，1))和(1，＋∞)．
(2)在>xa两边取对数，得eq \f(1,x)ln 2>aln x.
由于0eq \f(1,xln x).①
由(1)的结果知，
当x∈(0,1)时，f(x)≤feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)))＝－e.
为使①式对所有x∈(0,1)成立，当且仅当eq \f(a,ln 2)>－e，得a>－eln 2.
∴实数a的取值范围为(－eln 2，＋∞)．x
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),3)))
eq \f(\r(3),3)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，＋∞))
f ′(x)
－
0
＋
f(x)


x
(－∞，0)
0
(0,2)
2
(2，＋∞)
f ′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)



x
(－∞，1－2a)
(1－2a，－1)
(－1，＋∞)
f ′(x)
＋
－
＋
f(x)



x
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,e)))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，1))
(1，＋∞)
f ′(x)
＋
－
－
f(x)
单调递增
单调递减
单调递减