人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.1 导数的概念及其意义随堂练习题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.1 导数的概念及其意义随堂练习题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A组·基础自测
一、选择题
1．设 f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( B )
A．不存在 B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直 D．与x轴斜交
[解析] 由导数的几何意义知B正确，故应选B.
2．(2023·阜阳高二检测)函数y＝f(x)的图象在点P(5，f(5))处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f ′(5)＝( C )
A.eq \f(1,2) B．1
C．2 D．0
[解析] ∵y＝f(x)的图象在点P(5，f(5))处的切线方程为y＝－x＋8，可得y＝f(x)在点P(5，f(5))处的切点纵坐标和切线斜率分别为f(5)＝－5＋8＝3，f ′(5)＝－1，则f(5)＋f ′(5)＝2.
3．如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么( B )
A．f ′(x0)>0 B．f ′(x0)<0
C．f ′(x0)＝0 D．f ′(x0)不存在
[解析] 由x＋2y－3＝0知斜率k＝－eq \f(1,2)，
∴f ′(x0)＝－eq \f(1,2)<0.
4．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则f ′(xA)与f ′(xB)的大小关系是( B )
A．f ′(xA)>f ′(xB) B．f ′(xA)C．f ′(xA)＝f ′(xB) D．不能确定
[解析] 由图象易知，点A，B处的切线斜率kA，kB满足kA5．如图所示，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(f(1＋Δx)－f(1),Δx)＝( B )
A．0 B．－2
C．2 D．3
[解析] 函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2x＋4，0≤x≤2，,x－2，2eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(f(1＋Δx)－f(1),Δx)＝eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(－2(1＋Δx)＋4－2,Δx)＝－2.
二、填空题
6．若f ′(2)＝3，则eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(f(2＋Δx)－f(2),Δx)＝_3__.
[解析] 由导数的定义可知应为3.
7．已知曲线f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线的斜率为16，则点P的坐标为_(3,30)__.
[解析] 设点P(x0,2xeq \\al(2,0)＋4x0)，
则f ′(x0)＝eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx)
＝eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(2(Δx)2＋4x0·Δx＋4Δx,Δx)＝4x0＋4，
令4x0＋4＝16得x0＝3，∴点P的坐标为(3,30)．
8．(2023·河南郑州一中高二检测)已知曲线y＝f(x)＝2x2＋a在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，则实数a的值为_－7__.
[解析] 设点P(x0,2xeq \\al(2,0)＋a)．由导数的几何意义可得f ′(x0)＝eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(2(x0＋Δx)2＋a－(2x\\al(2,0)＋a),Δx)＝4x0＝8，∴x0＝2，
∴P(2,8＋a)．将x＝2，y＝8＋a代入8x－y－15＝0，得a＝－7.
三、解答题
9．已知曲线y＝f(x)＝2x2上一点A(1,2)，求：
(1)曲线在点A处的切线的斜率；
(2)曲线在点A处的切线方程．
[解析] (1)k＝f ′(1)＝eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(f(1＋Δx)－f(1),Δx)
＝eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(2(1＋Δx)2－2×12,Δx)
＝eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(4Δx＋2(Δx)2,Δx)
＝eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) (4＋2Δx)＝4，
∴曲线在点A处的切线的斜率为4.
(2)由(1)知曲线在点A处的切线的斜率是4，
∴切线方程是y－2＝4(x－1)，即y＝4x－2.
10．已知曲线y＝f(x)＝eq \f(1,t－x)上两点P(2，－1)，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2))).
(1)求曲线在点P，Q处的切线的斜率；
(2)求曲线在P，Q处的切线方程．
[解析] 将点P(2，－1)代入y＝eq \f(1,t－x)，得t＝1，
所以y＝eq \f(1,1－x).
y′＝eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(f(x＋Δx)－f(x),Δx)＝eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(\f(1,1－(x＋Δx))－\f(1,1－x),Δx)
＝eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(Δx,[1－(x＋Δx)](1－x)Δx)
＝eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(1,(1－x－Δx)(1－x))＝eq \f(1,(1－x)2).
(1)曲线在点P处的切线斜率为y′|x＝2＝eq \f(1,(1－2)2)＝1；
曲线在点Q处的切线斜率为y′|x＝－1＝eq \f(1,4).
(2)曲线在点P处的切线方程为y－(－1)＝x－2，
即x－y－3＝0，
曲线在点Q处的切线方程为y－eq \f(1,2)＝eq \f(1,4)[x－(－1)]，
即x－4y＋3＝0.
B组·素养提升
一、选择题
1．已知函数f(x)和g(x)在区间[a，b]上的图象如图所示，则下列说法正确的是( D )
A．f(x)在a到b之间的平均变化率大于g(x)在a到b之间的平均变化率
B．f(x)在a到b之间的平均变化率小于g(x)在a到b之间的平均变化率
C．对于任意x0∈(a，b)，函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率总大于函数g(x)在x＝x0处的瞬时变化率
D．存在x0∈(a，b)，使得函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率小于函数g(x)在x＝x0处的瞬时变化率
[解析] 对于A、B，∵f(x)在a到b之间的平均变化率是eq \f(f(b)－f(a),b－a)，
g(x)在a到b之间的平均变化率是eq \f(g(b)－g(a),b－a)，
∴eq \f(f(b)－f(a),b－a)＝eq \f(g(b)－g(a),b－a)，即二者相等；
∴选项A、B错误；
对于C、D，∵函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)在x＝x0处的导数，
即函数f(x)在该点处的切线的斜率，
同理函数g(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数g(x)在x＝x0处的导数，
即函数g(x)在x＝x0处的切线的斜率，
由图形知，选项C错误，D正确．
故选D.
2．已知曲线y＝eq \f(1,2)x2－2上一点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(3,2)))，则过点P的切线的倾斜角为( B )
A．30° B．45°
C．135° D．165°
[解析] ∵y＝eq \f(1,2)x2－2，
∴y′＝eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(\f(1,2)(x＋Δx)2－2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x2－2)),Δx)
＝eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(\f(1,2)(Δx)2＋x·Δx,Δx)
＝eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)Δx))＝x.
∴y′|x＝1＝1.
∴过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(3,2)))的切线的斜率为1，
则切线的倾斜角为45°.
3．(多选题)已知函数y＝f(x)在自变量x0处的改变量为Δx，函数值的改变量为Δy，f(x)在x0处的导数值为f ′(x0)，下列等式中正确的是( ABD )
A．f ′(x0)＝eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)
B．f ′(x0)＝eq \(lim,\s\d8(x→x0)) eq \f(f(x)－f(x0),x－x0)
C．f ′(x0)＝ eq \(lim,\s\d8(Δx→0))[f(x0＋Δx)－f(x0)]
D．f ′(x0)＝eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx)
[解析] 根据导数的定义可知，A正确；对于B，若令x＝x0＋Δx，当x→x0时，Δx→0，则
＝＝f ′(x0)，B正确；
根据导数的定义f ′(x0)＝ eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx)，所以，C错误；根据导数的定义可知，D正确．故选ABD.
二、填空题
4．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f ′(x)，f ′(0)>0，且对于任意实数x，有f(x)≥0，则eq \f(f(1),f ′(0))的最小值为_2__.
[解析] 由导数的定义，得f ′(0)＝eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(f(Δx)－f(0),Δx)
＝eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(a(Δx)2＋bΔx＋c－c,Δx)＝eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) (a·Δx＋b)＝b.
又因为对于任意实数x，有f(x)≥0，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝b2－4ac≤0，,a>0，))所以ac≥eq \f(b2,4)，所以c>0.
所以eq \f(f(1),f ′(0))＝eq \f(a＋b＋c,b)≥eq \f(b＋2\r(ac),b)≥eq \f(2b,b)＝2.
当且仅当a＝c＝eq \f(b,2)时取等号．
5．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，则点P横坐标的取值范围为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,2))) .
[解析] y′＝eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f((x＋Δx)2＋2(x＋Δx)＋3－(x2＋2x＋3),Δx)
＝eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) (2x＋2＋Δx)
＝2x＋2，
且切线倾斜角θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，
∴切线的斜率k满足0≤k≤1，即0≤2x＋2≤1，
∴－1≤x≤－eq \f(1,2).
三、解答题
6．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．
[解析] ∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)
＝(x0＋Δx)3＋a(x0＋Δx)2－9(x0＋Δx)－1－(xeq \\al(3,0)＋axeq \\al(2,0)－9x0－1)
＝(3xeq \\al(2,0)＋2ax0－9)Δx＋(3x0＋a)(Δx)2＋(Δx)3，
∴eq \f(Δy,Δx)＝3xeq \\al(2,0)＋2ax0－9＋(3x0＋a)Δx＋(Δx)2.
当Δx无限趋近于零时，eq \f(Δy,Δx)无限趋近于3xeq \\al(2,0)＋2ax0－9.
即f′(x0)＝3xeq \\al(2,0)＋2ax0－9，
∴f′(x0)＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0＋\f(a,3)))2－9－eq \f(a2,3).
当x0＝－eq \f(a,3)时，f′(x0)取最小值－9－eq \f(a2,3).
∵斜率最小的切线与12x＋y＝6平行，
∴该切线斜率为－12.
∴－9－eq \f(a2,3)＝－12.解得a＝±3.
又a<0，∴a＝－3.
C组·探索创新
过点(－1，－2)且与曲线y＝2x－x3相切的直线方程为_y＝2x或19x＋4y＋27＝0__.
[解析] y ′＝eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝
eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(2(x＋Δx)－(x＋Δx)3－2x＋x3,Δx)＝eq \(lim,\s\d8(Δx→0))[2－3x2－3xΔx－(Δx)2]＝2－3x2.
设切点坐标为(x0,2x0－xeq \\al(3,0))，则切线方程为y－2x0＋xeq \\al(3,0)＝(2－3xeq \\al(2,0))(x－x0)．
又切线过点(－1，－2)，∴－2－2x0＋xeq \\al(3,0)＝(2－3xeq \\al(2,0))(－1－x0)，
即2xeq \\al(3,0)＋3xeq \\al(2,0)＝0，解得x0＝0或x0＝－eq \f(3,2).
∴切点坐标为(0,0)或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(3,8))).
当切点坐标为(0,0)时，切线斜率k＝eq \f(－2－0,－1－0)＝2，切线方程为y＝2x；
当切点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(3,8)))时，切线斜率k＝eq \f(\f(3,8)－(－2),－\f(3,2)－(－1))＝－eq \f(19,4)，切线方程为y＋2＝－eq \f(19,4)(x＋1)，即19x＋4y＋27＝0.
综上可知，过点(－1，－2)且与曲线y＝2x－x3相切的直线方程为y＝2x或19x＋4y＋27＝0.