人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.1 导数的概念及其意义第1课时巩固练习

第五章　5.1　5.1.2　第1课时

A级——基础过关练

1．(2022年昭通期末)已知函数f(x)在x＝x0处的导数为f′(x0)，则＝(　　)

A．－f′(x0) B．－3f′(x0)

C．3f′(x0) D．f′(x0)

【答案】C　【解析】根据题意，

＝

3＝3f′(x0)．

故选C．

2．已知f(x)＝－x2＋10，则f(x)在x＝处的瞬时变化率是(　　)

A．3 B．－3

C．2 D．－2

【答案】B

3．若＝k，则＝(　　)

A．2k B．k

C．k D．以上都不对

【答案】A

4．(2021年阜新月考)如果质点A按照规律s(t)＝3t2运动，那么在t0＝3时的瞬时速度为(　　)

A．6 B．18

C．54 D．81

【答案】B　【解析】∵s(t)＝3t2，t0＝3，∴Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝3(3＋Δt)2－3×32＝18Δt＋3(Δt)2，∴＝18＋3Δt，∴＝(18＋3Δt)＝18.

5．(2021年山东实验中学期中)已知f(x)＝x2－3x，则f′(0)＝(　　)

A．Δx－3 B．(Δx)2－3Δx

C．－3 D．0

【答案】C　【解析】f′(0)＝

＝

＝(Δx－3)＝－3.

6．(2022年东北师大附中月考)甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图，则在[0，t0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是(　　)

A．v甲＞v乙

B．v甲＜v乙

C．v甲＝v乙

D．大小关系不确定

【答案】B　【解析】设直线AC，BC的斜率分别为kAC，kBC，由平均变化率的几何意义知，s1(t)在[0，t0]上的平均变化率v甲＝kAC，s2(t)在[0，t0]上的平均变化率v乙＝kBC．因为kAC＜kBC，所以v甲＜v乙．

7．(多选)(2021年应县一中期末)在x＝1附近，取Δx＝0.3，关于下列说法正确的有(　　)

A．函数y＝x的平均变化率为1

B．函数y＝x2的平均变化率为2.3

C．函数y＝x3的平均变化率为3.99

D．函数y＝的平均变化率为1

【答案】ABC　【解析】根据平均变化率的计算公式，可得＝，所以在x＝1附近取Δx＝0.3，则平均变化率的公式为＝，

下面逐项判定，

①中，函数y＝x，则＝＝＝1，正确；

②中，函数y＝x2，则＝＝＝＝2.3，正确；

③中，函数y＝x3，则＝＝＝＝3.99，正确；

④中，函数y＝中，则＝＝＝－≠1，错误．

故选ABC．

8．(2022年青岛月考)设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________．

【答案】2

【解析】∵f′(1)＝＝

＝a，∴a＝2.

9．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1，1)及其附近一点(1＋Δx，f(1＋Δx))，则＝________．

【答案】2Δx＋4　【解析】∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1－(2－1)＝4Δx＋2(Δx)2，∴＝2Δx＋4.

10．求函数y＝x2在x＝1，2，3附近的平均变化率，取Δx的值为，哪一点附近的平均变化率最大？

【答案】解：在x＝1附近的平均变化率为k1＝＝2＋Δx；

在x＝2附近的平均变化率为k2＝＝4＋Δx；

在x＝3附近的平均变化率为k3＝＝6＋Δx.

若Δx＝，则k1＝2＋＝，k2＝4＋＝，k3＝6＋＝.

由于k1<k2<k3，所以在x＝3附近的平均变化率最大．

B级——能力提升练

11．(2021年南通期末)函数f(x)＝x2－sinx在[0，π]上的平均变化率为(　　)

A．1　 B．2

C．π　 D．π2

【答案】C　【解析】根据题意，f(x)＝x2－sin x，则f(0)＝0，f(π)＝π2－sin π＝π2，则f(x)在[0，π]上的平均变化率为＝＝＝π.

12．(多选)(2021年通化期末)已知函数f(x)的定义域为R，其导函数f′(x)的图象如图所示，则对于任意x1，x2∈R(x1≠x2)，下列结论正确的是(　　)

A．<0

B．>0

C．f>

D．f<

【答案】AD　【解析】由题中图象可知，导函数f′(x)的图象在x轴下方，即f′(x)<0，且其绝对值越来越小，因此过函数f(x)图象上任一点的切线的斜率为负，并且从左到右切线的倾斜角是越来越大的钝角，由此可得f(x)的大致图象如图所示．

由图象可知x1－x2与f(x1)－f(x2)异号，故A正确，B不正确；f表示对应的函数值，即图中点B的纵坐标，表示当x＝x1和x＝x2时所对应的函数值的平均值，即图中点A的纵坐标，显然有f<，故C不正确，D正确．故选AD．

13．(2022年北京期末)日常生活中的饮用水通常是经过净化的．随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断増加．已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：元)为c(x)＝(80<x<100)，则净化到纯净度为99%时所需费用的瞬时变化率是净化到纯净度为95%时所需费用的瞬时变化率的________倍，这说明，水的纯净度越高，净化费用增加的速度越________(填“快”或“慢”)．

【答案】25　快　【解析】由题意，可知净化所需费用的瞬时变化率为c′(x)＝5284×[－(100－x)－2×(－1)]＝，所以c′(95)＝＝，c′(99)＝＝5284，所以＝＝25，所以净化到纯净度为99%时所需费用的瞬时变化率是净化到纯净度为95%时所需费用的瞬时变化率的25倍．因为c′(99)>c′(95)，可知水的纯净度越高，净化费用增加的速度越快．

14．(2022年承德月考)某人服药后，人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c(单位：

mg/mL)来表示，它是时间t(单位：min)的函数，表示为c＝c(t)，下表给出了c(t)的一些函数值．

服药后30～70min这段时间内，药物浓度的平均变化率为________．

【答案】－0.002　【解析】＝＝－0.002.

15．(2022年长沙月考)设函数f(x)在x0处可导，求下列各式的值．

(1)；

(2).

解：(1)

＝－m

＝－mf′(x0)．

(2)

＝

＝－

＝4－5

＝4f′(x0)－5f′(x0)＝－f′(x0)．