【期中真题】吉林省长春外国语学校2021-2022学年高三上学期期中考试数学（理）试题.zip

长春外国语学校2021-2022学年第一学期期中考试高三年级

数学试卷（理科）

一､选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知全集，，，（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据补集与交集的概念即可求出结果.

【详解】因为，所以，

故选：B.

2. 已知向量，，若，则（      ）

A  B. 2 C.  D. 6

【答案】B

【解析】

【分析】利用向量共线列方程，由此求得.

【详解】由于，所以.

故选：B

3. 已知l、m是两条不同的直线，是平面，，，则“”是“” 的（    ）

A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】根据空间中线面垂直关系的转化，利用充分条件和必要条件的定义直接判断即可.

【详解】依题意，l、m是两条不同的直线，是平面，，，

若，则与可以相交，也可以平行，故推不出；

若，由线面垂直的性质定理可知，.

故“”是“” 的必要不充分条件.

故选：C.

4. 已知服从正态分布的随机变量在区间，和内取值的概率分别为68.3%，95.4%和99.7%.某校为高一年级1000名新生每人定制一套校服，经统计，学生的身高（单位：cm）服从正态分布，则适合身高在155~175cm范围内的校服大约要定制（    ）

A. 683套 B. 954套 C. 972套 D. 997套

【答案】B

【解析】

【分析】根据正态分布可得身高在155~175cm范围内的概率为95.4%，即可求出答案.

【详解】因为学生的身高（单位：cm）服从正态分布，

所以身高在155~175cm范围内即在内取值，概率为95.4%，

所以身高在155~175cm范围内的校服大约要定制套.

故选：B.

5. 设i是虚数单位，若，则（    ）

A.  B. 4 C.  D. 2

【答案】D

【解析】

分析】先化简求出，得出，即可求出答案.

【详解】，，

，.

故选：D.

6. 在中，，则的形状为（    ）

A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形

【答案】B

【解析】

【分析】利用给定条件结合对数运算可得，再利用正弦定理角化边即可判断得解.

【详解】因，则有，

即有，于是得，

在中，由正弦定理得：，

所以是直角三角形.

故选：B

7. 已知(x＋1)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10．若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈N*)是一个单调递增数列，则k的最大值是（    ）

A. 5 B. 6

C. 7 D. 8

【答案】B

【解析】

【分析】由an＝，结合二项式系数的对称性和单调性即可得解.

【详解】由二项式定理知an＝ (n＝1，2，3，…，11)．

又(x＋1)10展开式中二项式系数具有对称性，且最大的项是第6项，

且从第1项到第6项二项式系数逐渐增大，第6项到底11项二项式系数逐渐减小，

∴k最大值为6.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了二项式系数的性质，属于基础题.

8. 函数的大致图象是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用排除法，先由函数的取值情况判断，再由导数判断函数的极值即可得答案

【详解】因为，

所以当时，，

可知C，D选项错误；

又，

当时，.

当时，，

故当时，取得极小值，故选项B正确.

故选：B.

9. 已知，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由指数函数的知识可得，由对数函数的知识可得，即可选出答案.

【详解】因为，，

所以

故选：B

10. 已知球O，过其球面上A，B，C三点作截面，若点O到该截面的距离是球半径的一半，且，，则球O的表面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由正弦定理求出的外接圆半径，则可建立关系求出球半径，得出表面积.

【详解】设球半径为，的外接圆半径为，

因为，，，由正弦定理可得，则，

因为点O到平面的距离是球半径的一半，所以，即，

解得，则球O的表面积为.

故选：A.

11. 已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线与C交于两点.若，，则C的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由，，利用椭圆的定义，求得，，，

可得，，由于，由二倍角公式列方程可得结果.

【详解】

如图，由题意可得：

，，，，

所以，故，

可得，，，，

利用，则为等腰三角形，所以，，，,可得，可得．

故选：C

【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用以及椭圆的离心，属于难题．离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．

12. 已知函数的定义域为 ，且函数的图象关于点对称，对于任意的，总有成立，当时，，函数（），对任意，存在，使得成立，则满足条件的实数构成的集合为（   ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由的特性结合函数图象平移变换可得是奇函数，由可得函数的周期，由此探讨出的值域，再将所求问题转化为不等式在上有解即可.

【详解】由函数的图象关于点对称知函数的图象关于原点对称，即函数是奇函数，

由任意的，总有成立，即恒成立，于是得函数的周期是4，

又当时，，则当时，，而是奇函数，当时，，

又，f(-2)=-f(2)，从而得，即时，，

而函数的周期是4，于是得函数在上的值域是，

因对任意，存在，使得成立，从而得不等式，即在上有解，

当时，取，成立，即得，

当时，在上有解，必有，解得，则有，

综上得，

所以满足条件的实数构成的集合为.

故选：A

二､填空题：本题共4小题，每小题5分.

13. _______________;

【答案】

【解析】

【详解】.

14. 已知实数满足约束条件，则的最大值为_______.

【答案】6

【解析】

【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．

【详解】作出实数x，y满足约束条件对应的平面区域如图：（阴影部分）

由得y＝﹣x+z，平移直线y＝﹣x+z，

由图象可知当直线y＝﹣x+z经过点A时，直线y＝﹣x+z的截距最大，此时z最大．

由，解得A（2，2），代入目标函数z＝x+2y得z＝2×2+2＝6.

故答案为：6．

【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，属于基础题．

15. 已知函数，若将其图象向右平移个单位长度后所得的图象关于原点对称，则的最小值为_____.

【答案】

【解析】

【分析】利用二倍角的正弦公式以及两角和的正弦公式将函数的解析式化简为，并求出平移后的函数解析式，利用所得函数图象过原点，求出的表达式，即可得出正数的最小值.

【详解】，

将其图象向右平移个单位长度后所得的图象的函数解析式为，

由于函数的图象关于原点对称，则，

，，

由于，当时，取得最小值.

故答案为：.

【点睛】本题考查利用三角函数的对称性求参数的最值，同时也考查了三角函数的图象变换，解题的关键就是要结合对称性得出参数的表达式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

16. 刍甍，中国古代算数中的一种几何形体，《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”如图为一个刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则该茅草屋顶的面积为___________.

【答案】32

【解析】

【分析】由三视图可知该刍甍是一个组合体，它由成一个直三棱柱和两个全等的四棱锥组成，根据三视图中的数据可得其体积.

【详解】如图：E，F在平面ABCD内垂足分别为Q，G，则QG=FG=4，

H为AB的中点，则GH=2，于是FH=，

FA=.

点G在DA边上的垂足为P，

则AP=2.

FP=，

∴S△ABF=AB·FH=×4×2=4，

S梯形ADEF= (AD+EF)·FP=(8+4)×2=12，

所以茅草屋顶的面积为2×(4+12)=32.

故答案为：32

【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.

三､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要证明过程或演算步骤.

17. 设等差数列的公差为，，为的等比中项.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列前项和.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）根据等比中项的概念求出公差，结合等差数列的通项公式，可得结果.

（2）根据（1）的结论，结合分组求和的方法，可得结果.

【详解】解：（1），为与的等比中项，

，即，

由，所以，

∴数列的通项公式为.

（2）由（1）得，，

.

【点睛】本题考查等差数列的通项公式以及分组求和，掌握求和的基本题型，比如：分组求和，裂项相消，错位相减等，属基础题.

18. 很多新手拿到驾驶证后开车上路，如果不遵守交通规则，将会面临扣分的处罚，为让广大新手了解驾驶证扣分新规定，某市交警部门结合机动车驾驶人有违法行为一次记12分､6分､3分､2分的新规定设置了一份试卷（满分100分），发放给新手解答，从中随机抽取了12名新手的成绩，成绩以茎叶图表示如图所示，并规定成绩低于95分的为不合格，需要加强学习，成绩不低于95分的为合格.

（1）求这12名新手的平均成绩与方差；

（2）将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，若从该市新手中任选4名参加座谈会，用X表示成绩合格的人数，求X的分布列与数学期望.

【答案】（1）平均数92分，方差   

（2）分布列答案见解析，数学期望为3

【解析】

【分析】（1）先读出12个数据，直接套公式求平均值和方差；

（2）X服从二项分布，直接求出分布列及数学期望.

【小问1详解】

这12名新手的成绩分别为68，72，88，95，95，96，96，97，98，99，100，100，则平均成绩为，

其方差为

.

【小问2详解】

抽取的12名新手中，成绩低于95分的有3个，成绩不低于95分的有9个，故抽取的12名新手中合格的频率为，故从该市新手中任选1名合格的概率为.

X的所有可能取值为0，1，2，3，4，则，

，，

，.

所以X的分布列为

.

19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为等腰梯形，，，，为等腰直角三角形，，平面底面ABCD，E为PD的中点.

（1）求证：平面PBC；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）取PC的中点F，连接EF，BF，证明四边形ABFE为平行四边形即可得出；

（2）取AB中点O，以O为原点建立空间直角坐标系，求出平面ABE和平面CBE的一个法向量，利用向量关系可求出.

【小问1详解】

如图，取PC的中点F，连接EF，BF，

∵，，∴，，

∵，，∴，且.

∴四边形ABFE为平行四边形，∴.

∵平面PBC，平面PBC，故平面PBC.

【小问2详解】

取AB中点O，CD中点M，以O为原点，OM为x轴，AB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系：则，，，，，，则，，，

设平面ABE的一个法向量为，平面CBE的一个法向量为，

则，令，则，

，，则，

设与的夹角为，则，由二面角为钝角，则余弦值为.

20. 已知：函数（）．

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数的单调区间；

（3）函数在区间上满足，求a的取值范围．

【答案】（1）；（2）递减区间为，；递增区间为；（3）.

【解析】

【分析】（1）求出导函数，得切线斜率，写出切线方程并整理；

（2）求出导函数，由得增区间，得减区间，注意在定义域内求单调区间；

（3）利用（2）的单调性，分类讨论在上的最小值，由最小值可得结论．

【详解】解：（1）若，则，，

所以，即切线的斜率等于—2；

又，切点为；

所以曲线在点处的切线方程为，即；

（2）的定义域为，   

（），   

当或时，，在和上单调递减；

当时，，在单调递增；

所以的递减区间为，；递增区间为；

（3）①当，即时，在上单调递增，，

解得，因此；

②当，即时，在上单调递减，上单调递增，

，解得，因此；   

③当时，定义域是，但在要有定义，故排除；

④当，在上单调递减，

，与矛盾，因此无解；

综上所述，a的取值范围为．

【点睛】本题考查导数的几何意义，用导数确定函数的单调性，研究不等式恒成立问题．在解决不等式恒成立求参数范围时，注意问题的转化，常常转化为求函数的最值，由最值满足的不等关系得参数范围，由于含有参数，因此常常需要分类讨论得函数单调性，得最值．

21. 已知椭圆：的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系，直线：与以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆相切．

（1）求椭圆的方程；

（2）设是椭圆的上顶点，过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为，，且，证明：直线过定点，并求出该定点．

【答案】（1）   

（2）证明见解析，定点坐标为

【解析】

【分析】（1）根据椭圆离心率为和直线和圆相切得到，，得到椭圆方程。

（2）考虑直线斜率不存在和存在两种情况，联立方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，根据得到代入直线得到定点。

【小问1详解】

等轴双曲线离心率为，故椭圆的离心率．

，故 ．

由与圆相切，即，得，．

椭圆的方程为．

【小问2详解】

①若直线的斜率不存在，设方程为，则点，．

由已知，得．此时方程为．

②若直线的斜率存在，设方程为，依题意．

设，，由得．

则，．由已知，可得，

，即，

将，代入得

，．

故直线的方程为，即．

直线过定点．

综上，直线过定点．

22. 已知直线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数），直线与曲线交于，两点.

（1）求直线的直角坐标方程，及曲线的普通方程；

（2）若点，求的值.

【答案】（1）；；（2）2.

【解析】

【分析】（1）将代入可得直线的直角坐标方程，消去参数可得曲线的普通方程；

（2）得出直线的参数方程为代入曲线，利用韦达定理可求.

【详解】（1）由，得，

将代入，

所以直线的直角坐标方程为，

由，消去参数得，所以曲线的普通方程为.

（2）显然点在直线：上，直线的参数方程为（为参数），代入曲线可得，即，

设，对应的参数分别为，，则，，

∴.

【点睛】本题考查直线参数方程的几何意义，解题的关键是得出直线参数方程，代入曲线，利用直线参数的几何意义求解.

23. 已知函数.

（1）解不等式;

（2）若存在实数，使得，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）利用零点分段法解绝对值不等式即可；

（2）依题意可得即，利用绝对值三角不等式可得，即可求出参数的取值范围；

【详解】解：(1)①当时，，

所以

②当时，，

所以

③当时，，

所以

综上，不等式的解集为

(2)原式即

由绝对值三角不等式，，

即

，即

【点睛】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的能成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想．