吉林省长春市博硕学校（原北京师范大学长春附属学校）2022-2023学年高二上学期期中数学试题

北师大长春附属学校2022—2023学年度上学期

高二年级期中考试    数学学科试卷

考试时间：  120分钟        满分： 150分    

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．直线x =的倾斜角为（    ）

A．90 B．120 C．60 D．不存在

2．已知圆的方程圆心坐标为，则圆的半径为（    ）

A．2 B．3 C．4 D.  10

3．若从装有个红球和个黑球的口袋内任取个球，则下列为互斥的两个事件是

A．“至少有一个黑球”与“都是黑球” B．“一个红球也没有”与“都是黑球”

C．“恰有个黑球”与“恰有个黑球         D．“至少有一个红球”与“都是红球”

4．抛物线的准线经过椭圆的右焦点，则（   ）

A． B． C． D．

5．美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法.三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如图，假设三庭中一庭的高度为2cm，五眼中一眼的宽度为1cm，若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（    ）

A．     B．

C．    D．

6．对于新型冠状病毒肺炎，目前没有特异治疗方法.只能严格落实常态化防控要求，落实隔离防控措施，全力做好疫情防控工作.已知甲通过核酸检测确诊为呈“阳性”，经过追踪发现甲有乙，丙，丁，戊四位密切接触者，现把这四个人平均分成二组，分别送到两个医院进行隔离观察，则乙，丙两人被分到同一个医院的概率为（    ）

A． B． C． D．

7．直线与曲线（m，n为非零实数）在同一平面直角坐标系中的示意图可以是（    ）

A． B．

C． D．

A． B． C． D．

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9．已知直线和圆，则（    ）

A．直线l恒过定点         B．存在k使得直线l与直线垂直

C．直线l与圆O相交            D．若，直线l被圆O截得的弦长为4

10．已知双曲线过点且渐近线方程为，则下列结论正确的是（    ）

A．双曲线的方程为 B．直线与双曲线C有两个交点

C．曲线经过双曲线的一个焦点      D．焦点到渐近线的距离为1

11．《文心雕龙》中说“造化赋形，支体必双，神理为用，事不孤立”，意思是自然界的事物都是成双成对的．已知动点与定点的距离和它到定直线：的距离的比是常数．若某条直线上存在这样的点，则称该直线为“成双直线”．则下列结论正确的是（    ）

A．动点的轨迹方程为

B．动点的轨迹与圆：没有公共点

C．直线：为成双直线

D．若直线与点的轨迹相交于，两点，点为点的轨迹上不同于，的一点，且直线，的斜率分别为，，则

12．2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G．若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，则（    ）

A．椭圆的长轴长为

B．线段AB长度的取值范围是

C．面积的最小值是4

D．的周长为

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中16题第一空2分，第二空3分）

13．甲､乙两名同学进行篮球投篮练习，甲同学一次投篮命中的概率为，乙同学一次投篮命中的概率为，假设两人投篮命中与否互不影响，则甲､乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率是___________.

四、解答题（本题共6小题，17题10分，其余5道题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．在平面直角坐标系中，直线l1：x－y－1 = 0与直线l2：2x + y－5 = 0相交于点Q．

(1)求交点Q的坐标；

(2)若直线l经过点Q，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．

18．某网络营销部门随机抽查了某市200名网友在2021年11月11日的网购金额，所得数据如下表：

已知网购金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰为3：2.

(1)试确定x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图（如图）；

(2)估计网购金额的分位数；

(3)在一次网购中，嘉嘉和琪琪随机从“微信，支付宝，银行卡”三种支付方式中任选种方式进行支付，求两人恰好选择同一种支付方式的概率.

19．已知圆，点.

(1)若，半径为的圆过点，且与圆相外切，求圆的方程；

(2)若过点的两条直线被圆截得的弦长均为，且与轴分别交于点、，，求.

20．已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．

（1）求C的方程;

（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.

21．如图，某野生保护区监测中心设置在点O处，正西、正东、正北处有3个监测点A，B，C，且|OA|＝|OB|＝|OC|＝30km，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，3个监测点均收到求救信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早（注：信号每秒传播）

(1)求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程；

(2)若C点信号失灵，现立即以C为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r至少是多少千米？

22．椭圆的左右焦点分别为，焦距为，点M为椭圆上位于x轴上方的一点，，且的面积为2.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设椭圆的左､右顶点分别为，直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知.求证：直线恒过定点.

期中考试题答案

一、选择题

二、填空题   

13.    14. (]    15.      16., (-6,6)

15. 【答案】

【详解】圆的圆心为，半径，

抛物线的焦点，

因为是抛物线上的动点，到轴的距离为，到圆上动点的距离为，

所以要使最小，即到抛物线的焦点与到圆的圆心的距离最小，

连接，则的最小值为减去圆的半径，再减去抛物线焦点到原点的距离，

即，

所以的最小值为，

16. 【答案】          (-6,6)

【详解】当轴时，，

所以，从而，所以；

由题意知，.设直线的方程为，

联立，整理得：

又

故

所以可知，当点在右支运动时，由渐近线方程为可知：，故.

三、解答题

17．在平面直角坐标系中，直线l1：x－y－1 = 0与直线l2：2x + y－5 = 0相交于点Q．

(1)求交点Q的坐标；

(2)若直线l经过点Q，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．

（1）（2，1）

（2）当直线过原点时：直线L的方程为，x-2y=0

当直线不过原点时，k=，直线L的方程为，x+y3=0

18．某网络营销部门随机抽查了某市200名网友在2021年11月11日的网购金额，所得数据如下表：

已知网购金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰为3：2.

(1)试确定x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图（如图）；

(2)估计网购金额的；

(3)在一次网购中，嘉嘉和琪琪随机从“微信，支付宝，银行卡”三种支付方式中任选种方式进行支付，求两人恰好选择同一种支付方式的概率.

=2.125

（3）设两人恰好选择同一种支付方式为事件A

P(A)==

19．已知圆，点.

(1)若，半径为的圆过点，且与圆相外切，求圆的方程；

(2)若过点的两条直线被圆截得的弦长均为，且与轴分别交于点、，，求.

【答案】(1)或(2)

(1)解：设圆心，圆的圆心为，

由题意可得，解得或，

因此，圆的方程为或.

(2)解：若过点的直线斜率不存在，则该直线的方程为，

圆心到直线的距离为，不合乎题意.

设过点且斜率存在的直线的方程为，即，

由题意可得，整理可得，

设直线、的斜率分别为、，

则、为关于的二次方程的两根，

，

由韦达定理可得，，

在直线的方程中，令，可得，即点

在直线的方程中，令，可得，即点，

所以，，解得.

20．已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．

（1）求C的方程;

（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.

答案：（1）；（2）最大值为.

【详解】（1）抛物线的焦点，准线方程为，

由题意，该抛物线焦点到准线的距离为，

所以该抛物线的方程为；

（2）[方法一]：轨迹方程+基本不等式法

设，则，

所以，

由在抛物线上可得，即，

据此整理可得点的轨迹方程为，

所以直线的斜率，

当时，；

当时，，

当时，因为，

此时，当且仅当，即时，等号成立；

当时，；

综上，直线的斜率的最大值为.

[方法二]：【最优解】轨迹方程+数形结合法

同方法一得到点Q的轨迹方程为．

设直线的方程为，则当直线与抛物线相切时，其斜率k取到最值．联立得，其判别式，解得，所以直线斜率的最大值为．

[方法三]：轨迹方程+换元求最值法

同方法一得点Q的轨迹方程为．

设直线的斜率为k，则．

令，则的对称轴为，所以．故直线斜率的最大值为．

[方法四]：参数+基本不等式法

由题可设．

因为，所以．

于是，所以

则直线的斜率为．

当且仅当，即时等号成立，所以直线斜率的最大值为．

21．如图，某野生保护区监测中心设置在点O处，正西、正东、正北处有3个监测点A，B，C，且|OA|＝|OB|＝|OC|＝30km，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，3个监测点均收到求救信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早（注：信号每秒传播）

(1)求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程；

(2)若C点信号失灵，现立即以C为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r至少是多少千米？

【答案】(1)      (2)．

（1）设观察员可能出现的位置为点，

由题意，得，

故点的轨迹为双曲线的左支，

设双曲线方程为，又，，

所以，

故点的轨迹方程为；

（2）设轨迹上一点为，则，

又，所以，

所以|，

当且仅当时，取得最小值，

故扫描半径r至少是．

22．椭圆的左右焦点分别为，焦距为，点M为椭圆上位于x轴上方的一点，，且的面积为2.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设椭圆的左､右顶点分别为，直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知.求证：直线恒过定点.

【答案】(1)

(2)证明见解析, 恒过定点

【分析】(1)根据焦点三角形与椭圆的定义可求解;(2)利用韦达定理确定，转化为，再结合韦达定理求得定点.

（1）因为，所以，即，所以，所以

又，，，

所以，即，所以，

所以，

所以椭圆方程为.

（2）依题意，设，

若直线的斜率为0则关于轴对称，必有，不合题意．

所以直线斜率必不为0，设其方程为，

与椭圆C联立，整理得：，

所以，

且，

因为是椭圆上一点，即

所，

则，即，

因为，得

即

因为

，

，

整理得 解得，

所以直线恒过定点 .